Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

112 Kapitel 5. Integration
Einsetzmethode:
Koeffizientenvergleich: Aus
x = 1 ⇒ 3 = −A 3
x = 2 ⇒ 7 = B
x = 3 ⇒ 13 = 4A 1 + 2A 2 + A 3 + 8B
x = 0 ⇒ 1 = −2A 1 + 2A 2 − 2A 3 − B
x 2 + x + 1 = (A 1 + B)x 3 + (−4A 1 + A 2 − 3B)x 2 +
folgt
Ergebnis:
also
+ (5A 1 − 3A 2 + A 3 + 3B)x + (−2A 1 + 2A 2 − 2A 3 − B)
0 = A 1 + B
1 = −4A 1 + A 2 − 3B
1 = 5A 1 − 3A 2 + A 3 + 3B
1 = −2A 1 + 2A 2 − 2A 3 − B
A 1 = −7, A 2 = −6, A 3 = −3, B = 7,
x 2 + x + 1
(x − 1) 3 (x − 2) = − 7
x − 1 − 6
(x − 1) − 3
2 (x − 1) + 7
3 x − 2 .
Die Integration einer rationalen Funktion R(x) geschieht nun in folgenden
Schritten:
1. Schritt: Polynomdivision
R(x) = g(x) + p(x)
(q(x) ,
p(x), q(x) teilerfremd, Grad p(x) < Grad q(x).
2. Schritt: Partialbruchzerlegung von p(x)
q(x)
(falls p(x) ≢ 0).
3. Schritt: Integration von g(x) und der Partialbrüche mittels der folgenden
Formeln:
∫
dx
= ln |x − α| + c,
x − α
∫
dx
= − 1 1
+ c (k > 1)
(x − α) k k − 1 (x − α)
k−1
∫
ax + b
dx = siehe Tabellen in [2].
(x 2 + px + q)
k