Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

5.5 Partialbruchzerlegung 111
5.5 Partialbruchzerlegung
Eine wichtige Methode zur Bestimmung eines Integrals über eine rationale
Funktion ist die Partialbruchzerlegung.
Wir betrachten eine rationale Funktion
f(x) = p(x)
q(x)
mit Polynomen p(x), q(x) ohne gemeinsamen Teiler und Grad p(x) < Grad q(x).
1. Schritt: Produktdarstellung von q(x)
q(x) = c(x − α 1 ) k 1
(x − α 2 ) k2 · · · (x − α r ) kr q 1 (x) l1 · · · q s (x) ls ,
α i ∈ R, α i ≠ α j , q i (x) quadratische Polynome mit Leitkoeffizient 1, q i (x) ≠
q j (x), q i (x) hat keine Nullstelle in R.
2. Schritt: Der Partialbruchansatz
p(x) A 11
A 1k1
= + . . . +
q(x) x − α 1 (x − α 1 ) + k 1
. . .
+ A r1
x − α r
+ . . . +
+ B 11x + C 11
q 1 (x)
. . .
+ B s1x + C s1
q s (x)
mit Unbekannten A ij , B ij , C ij ∈ R.
A rkr
(x − α r ) kr
+ B 12x + C 12
q 1 (x) 2
+ B s2x + C s2
q s (x) 2
+ . . . + B 1l 1
x + C 1l1
q 1 (x) l 1
+ . . . + B sl s
x + C sls
q s (x) ls
+
3. Schritt: Koeffizientenberechnung (Einsetzmethode, Koeffizientenvergleich)
Multipliziere Gleichung mit q(x) und mache anschließend Koeffizientenvergleich
oder setze spezielle Werte für x ein, um die Unbekannten A ij , B ij , C ij ∈
R zu ermitteln.
Beispiel 5.5.1
f(x) = x2 + x + 1
(x − 1) 3 (x − 2) .
Partialbruchansatz:
x 2 + x + 1 A 1
=
(x − 1) 3 (x − 2) x − 1 + A 2
(x − 1) + A 3
2 (x − 1) + B
3 x − 2∣ · (x − 1)3 (x − 2)
x 2 + x + 1 = A 1 (x − 1) 2 (x − 2) + A 2 (x − 1)(x − 2) + A 3 (x − 2)
+ B(x − 1) 3 .