Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

110 Kapitel 5. Integration
∫ ∞
−∞
f(x)dx :=
∫ c
−∞
= lim
u→−∞
f(x)dx +
∫ c
u
∫ ∞
c
f(x)dx (−∞ < c < ∞)
∫ v
f(x)dx + lim f(x)dx
v→∞
c
Warnung
Die Grenzwerte sind unabhängig voneinander zu bestimmen!
Beispiel 5.4.3 (1)
∫ ∞
−∞
dx
1 + x 2 =
∫ 0
∫
dx ∞
−∞ 1 + x + 2 0
= 2 lim arctan v = π.
v→∞
∫
dx
∞
1 + x = 2 2
0
dx
1 + x 2
(2) Die Gamma-Funktion:
Γ : (0, ∞) → R, Γ(x) :=
∫ ∞
0
e −t t x−1 dt.
(a) ∫ 1
0 e−t t x−1 dt ist uneigentlich für 0 < x < 1. Es gilt
e −t t x−1 ≤ t x−1 = 1 , α := 1 − x < 1.
tα Damit folgt die Konvergenz aus dem Vergleichskriterium.
(b) ∫ ∞
e −t t x−1 dt konvergiert ebenfalls nach dem Vergleichskriterium,
1
denn es gilt:
lim
t→∞
e t tx−1
= ∞ ⇒ ≤ 1 für großes t.
t 2 tx−1 e t t2 Funktionalgleichung:
Γ(x + 1) = xΓ(x).
(Beweis: Partielle Integration) Es gilt
Daraus folgt
Γ(1) =
∫ ∞
0
e −t dt = lim
c→∞
[
−e
−t ] c
0 = 1.
Γ(n + 1) = nΓ(n) = . . . = n!Γ(1) = n!
(n ∈ N).