Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.3 Das Skalarprodukt im R n 11
(b) Für ⃗x, ⃗y ∈ R n mit ⃗x ≠ ⃗0 und ⃗y ≠ ⃗0 gilt
∠(⃗x, ⃗y) = ∠(⃗y, ⃗x).
(c) Für ⃗x, ⃗y ∈ R n mit ⃗x ≠ ⃗0 und ⃗y ≠ ⃗0 und λ, µ ∈ R mit λµ > 0 gilt
∠(λ⃗x, µ⃗y) = ∠(⃗x, ⃗y).
(d) Für ⃗x, ⃗y ∈ R n mit ⃗x ≠ ⃗0 und ⃗y ≠ ⃗0 gilt ∠(⃗x, ⃗y) = 0 oder ∠(⃗x, ⃗y) = π
genau dann, wenn es ein λ ∈ R mit ⃗y = λ⃗x gibt.
Beweis. Diese Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Definition und der Cauchy-Schwarzschen
Ungleichung.
✷
Wir wollen nun zeigen, dass die Definition des Winkels mit der anschaulichen
Definition übereinstimmt. Dazu beschränken wir uns auf den Fall n = 2.
Es seien also ⃗x, ⃗y ∈ R 2 von Null verschiedene Vektoren und
⃗x ′ := 1
|⃗x| ⃗x, ⃗y′ := 1
|⃗y| ⃗y.
Da |⃗x ′ | = |⃗y ′ | = 1, gibt es 0 ≤ α, β ≤ π, so dass
⃗x ′ = (cos α, sin α),
⃗y ′ = (cos β, sin β).
Aus Satz 1.3.5 (iii) und der Definition des Winkels folgt
Es gilt
cos ∠(⃗x, ⃗y) = cos ∠(⃗x ′ , ⃗y ′ ) = ⃗x ′ · ⃗y ′ .
⃗x ′ · ⃗y ′ = cos α cos β + sin α sin β = cos(α − β) = cos(β − α),
also
∠(⃗x, ⃗y) = β − α.
Es seien ⃗a, ⃗ b ∈ R n mit ⃗ b ≠ ⃗0.
Definition Mit ⃗a ⃗b bezeichnen wir die orthogonale Projektion von ⃗a auf ⃗ b
(siehe Abbildung).