Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

5.4 Uneigentliche Integrale 109
Aus (1) und (2) ergibt sich
∫ ∞
∫1
1
0
dx
x α =
dx
x α =
{ 1
, falls α > 1
α−1
{
∞, falls α < 1
∞, falls α > 1
− 1 , falls α < 1
α−1
(α > 0 fest) als Vergleichsfunktion ver-
Man kann die Funktion f(x) = 1
wenden:
x α
Satz 5.4.1 (Vergleichskriterium) Es seien f : [a, ∞) → R, g : (0, b] → R
stetige Funktionen, α, K ∈ R. Dann gilt:
(a) |f(x)| ≤ K 1
∫ ∞
x , a ≤ x < ∞, 1 < α ⇒ f(x)dx konvergiert.
α
(b) |g(x)| ≤ K 1
∫ b
x , 0 < x ≤ b, 0 < α < 1 ⇒ g(x)dx konvergiert.
α
Beispiel 5.4.2
∫ ∞
0
sin x
x dx = ∫ 1
0
∫
sin x
∞
x
dx + 1
a
0
sin x
x
dx
Das Integral ∫ 1 sin x
sin x
dx ist eigentlich, da durch den Wert 1 stetig nach 0
0 x
x
fortgesetzt werden kann. Mit partieller Integration folgt:
Es gilt
∫ c
1
1
x sin xdx = − 1 ∣ ∣∣∣
c
x cos x
1
−
∫ c
1
cos x
x dx. 2
lim − 1 ∣ ∣∣∣
c
c→∞ x cos x = cos 1.
1
Das Integral ∫ c cos xdx konvergiert nach dem Vergleichskriterium. Also konvergiert
das uneigentliche Integral ∫ ∞ sin xdx. Nicht berechnen, nur verraten
1 x 2
0 x
können wir:
∫ ∞
sin x
x dx = π 2 .
Definition
∫ b
a
0
Ein an beiden Grenzen uneigentliches Integral:
f(x)dx :=
∫ c
a
= lim
f(x)dx +
u→a + ∫ c
u
∫ b
c
f(x)dx (a < c < b)
∫ v
f(x)dx + lim f(x)dx
v→b − c