Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

108 Kapitel 5. Integration
Definition
definieren
Es sei f : [a, b) → R eine stetige Funktion, b ∈ R ∪ {∞}. Wir
∫ b
a
∫ ∞
a
f(x)dx := lim
f(x)dx := lim
∫ c
c→b − a
∫ c
c→∞
a
f(x)dx falls b ∈ R,
f(x)dx.
Diese Integrale nennt man uneigentlich. Entsprechend definieren wir für f :
(a, b] → R, a ∈ R ∪ {−∞}:
∫ b
a
∫ b
−∞
f(x)dx := lim
c→a + ∫ b
f(x)dx := lim
c→−∞
c
∫ b
c
f(x)dx falls a ∈ R,
f(x)dx.
Man sagt, ein uneigentliches Integral konvergiert (bzw. divergiert), wenn der
zugehörige Grenzwert existiert und endlich ist (bzw. nicht existiert oder ∞
ist).
Beispiel 5.4.1 (1)
∫ ∞
1
∫ 1
0
dx
x
dx
x
∫ c
dx
= lim
c→∞
1 x = lim ln c = ∞.
c→∞
dx
∫ 1
= lim
c→0 + c
x = lim
c→0
Beide uneigentlichen Integrale divergieren.
(2) Es sei α ∈ R, α ≠ 1.
∫ ∞
1
∫ 1
0
∫
dx
c
dx
= lim
x α c→∞
1
= lim
=
α − 1
1
c→∞
{ 1
, α−1
x α = lim
c→∞
+(−
ln c) = ∞.
[
− 1
(
1 − 1
c α−1 )
] c
1
α − 1 x α−1 1
falls α > 1 (konvergiert),
∞, falls α < 1 (divergiert).
( )
dx
1 1
= lim
x α c→0 + α − 1 c − 1 { α−1 ∞, falls α > 1 (divergiert),
=
− 1 , falls α < 1 (konvergiert).
α−1