Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

5.4 Uneigentliche Integrale 107
2. Version: Berechnung von ∫ β
α f(x)dx
1. Schritt: Umbenennung x = t, dx = dt, ∫ β
α f(t)dt.
2. Schritt: Substitution t = g(x), dt = g ′ (x)dx mit einer geeigneten umkehrbaren
Funktion g.
3. Schritt: Berechnung des Integrals ∫ g −1 (β)
g −1 (α) f(g(x))g′ (x)dx.
Beispiel 5.3.3
(1)
∫ β
α
e x ∫ β
e 2x + 1 dx =
=
α
∫ e β
e α
e t
e 2t + 1 dt
∫
x 1
e β
x 2 + 1 x dx =
(Substitution: t = ln x, dt = 1 x dx)
e α 1
x 2 + 1
dx = arctan x|eβ
e α .
(2)
∫ 1
0
√
1 − x2 dx = (Fläche eines Viertelkreises mit Radius 1)
=
=
∫ 1
√
1 − t2 dt
0
∫ arcsin 1
arcsin 0
Substitution: t = sin x, dt = cos xdx
√
∫ π
1 − sin 2 2
x cos xdx = cos 2 xdx = π
0
4 .
∫ 1
dx
(3)
=
0 (1 + x 2 ) 2
=
∫ 1
0
∫ π/4
0
dt
1
(Substitution: t = tan x, dt =
(1 + t 2 )
2
cos 2 x dx)
(
cos 2 x
dx
1 + sin2 x
cos 2 x
) 2
=
∫ π/4
= 1 ∣ ∣∣∣
π/4
2 (x + sin x cos x) = π 8 + 1 4 .
5.4 Uneigentliche Integrale
Wir wollen den Integralbegriff erweitern auf
0
0
cos 2 xdx
(a) Integranden, die in der Umgebung eines Punktes nicht beschränkt sind,
(b) unbeschränkte Integrationsintervalle.