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Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

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106 Kapitel 5. Integration<br />

Beispiel 5.3.2<br />

(1)<br />

∫ b<br />

a<br />

(ln x) 2<br />

dx<br />

x<br />

=<br />

∫ ln b<br />

ln a<br />

Substitution: ln x = t, 1 dx = dt<br />

x<br />

t 2 dt =<br />

1 3 t3 ∣ ∣∣∣<br />

ln b<br />

ln a<br />

= 1 3 (ln b)3 − 1 3 (ln a)3 .<br />

(2)<br />

∫ b<br />

a<br />

(px + q) n dx<br />

= 1 p<br />

Substitution: px + q = t, pdx = dt<br />

∫ pb+q<br />

pa+q<br />

t n dt = 1 p<br />

t n+1<br />

n + 1∣<br />

pb+q<br />

pa+q<br />

.<br />

(3)<br />

∫ b<br />

a<br />

sin(kx + ϕ)dx Substitution: kx + ϕ = t, dx = 1 dt(k ≠ 0)<br />

k<br />

= 1 k<br />

∫ kb+ϕ<br />

ka+ϕ<br />

sin tdt = − 1 ∣ ∣∣∣<br />

kb+ϕ<br />

k cos t .<br />

ka+ϕ<br />

Für jede ganze Zahl k ≠ 0 folgt daraus<br />

∫ 2π<br />

0<br />

sin(kx + ϕ)dx = 0.<br />

Für ϕ = 0 und ϕ = −π erhalten wir damit<br />

∫ 2π<br />

0<br />

sin(kx)dx = 0,<br />

∫ 2π<br />

0<br />

cos(kx)dx = 0 (k ∈ Z, k ≠ 0).<br />

Daraus leitet man die Orthogonalitätsrelationen von sin und cos ab: Für ganze<br />

Zahlen m, n ≥ 0 gilt<br />

⎧<br />

∫ 2π<br />

⎨ 0 falls m = n = 0,<br />

sin mx sin nxdx = 0 falls m ≠ n,<br />

0<br />

⎩<br />

π falls m = n ≠ 0.<br />

∫ 2π<br />

0<br />

⎧<br />

⎨<br />

cos mx cos nxdx =<br />

⎩<br />

∫ 2π<br />

0<br />

2π falls m = n = 0,<br />

0 falls m ≠ n,<br />

π falls m = n ≠ 0.<br />

sin mx cos nxdx = 0.

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