Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...
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106 Kapitel 5. Integration<br />
Beispiel 5.3.2<br />
(1)<br />
∫ b<br />
a<br />
(ln x) 2<br />
dx<br />
x<br />
=<br />
∫ ln b<br />
ln a<br />
Substitution: ln x = t, 1 dx = dt<br />
x<br />
t 2 dt =<br />
1 3 t3 ∣ ∣∣∣<br />
ln b<br />
ln a<br />
= 1 3 (ln b)3 − 1 3 (ln a)3 .<br />
(2)<br />
∫ b<br />
a<br />
(px + q) n dx<br />
= 1 p<br />
Substitution: px + q = t, pdx = dt<br />
∫ pb+q<br />
pa+q<br />
t n dt = 1 p<br />
t n+1<br />
n + 1∣<br />
pb+q<br />
pa+q<br />
.<br />
(3)<br />
∫ b<br />
a<br />
sin(kx + ϕ)dx Substitution: kx + ϕ = t, dx = 1 dt(k ≠ 0)<br />
k<br />
= 1 k<br />
∫ kb+ϕ<br />
ka+ϕ<br />
sin tdt = − 1 ∣ ∣∣∣<br />
kb+ϕ<br />
k cos t .<br />
ka+ϕ<br />
Für jede ganze Zahl k ≠ 0 folgt daraus<br />
∫ 2π<br />
0<br />
sin(kx + ϕ)dx = 0.<br />
Für ϕ = 0 und ϕ = −π erhalten wir damit<br />
∫ 2π<br />
0<br />
sin(kx)dx = 0,<br />
∫ 2π<br />
0<br />
cos(kx)dx = 0 (k ∈ Z, k ≠ 0).<br />
Daraus leitet man die Orthogonalitätsrelationen von sin und cos ab: Für ganze<br />
Zahlen m, n ≥ 0 gilt<br />
⎧<br />
∫ 2π<br />
⎨ 0 falls m = n = 0,<br />
sin mx sin nxdx = 0 falls m ≠ n,<br />
0<br />
⎩<br />
π falls m = n ≠ 0.<br />
∫ 2π<br />
0<br />
⎧<br />
⎨<br />
cos mx cos nxdx =<br />
⎩<br />
∫ 2π<br />
0<br />
2π falls m = n = 0,<br />
0 falls m ≠ n,<br />
π falls m = n ≠ 0.<br />
sin mx cos nxdx = 0.