Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

5.3 Integrationsregeln 105
(4)
∫ π
2
0
cos 2 xdx =
∫ π
2
0
cos }{{} x cos }{{} x dx
v(x) u ′ (x)
= [cos x sin x] π 2
0 −
=
=
∫ π
2
0
∫ π
2
0
sin 2 xdx =
dx −
∫ π
2
0
∫ π
2
0
∫ π
2
0
cos 2 xdx.
(− sin x) sin xdx
(1 − cos 2 x)dx
Was haben wir damit gewonnen? Auflösen nach dem gesuchten Integral liefert
∫ π
2
0
cos 2 xdx = π 4 .
3) Substitutionsregel
Die Kettenregel besagt
d
dx F (g(x)) = F ′ (g(x))g ′ (x).
Mit F ′ = f folgt daraus
∫
f(g(x))g ′ (x)dx = F (g(x)) + c
⇒
∫ b
a
f(g(x))g ′ (x)dx = F (g(b)) − F (g(a)) =
Damit erhält man die Substitutionsregel
∫ g(b)
g(a)
f(t)dt.
∫ b
f(g(x))g ′ (x)dx =
∫ g(b)
a
g(a)
f(t)dt
Es gibt zwei Versionen der Anwendung dieser Regel:
1. Version: Berechnung von ∫ b
a f(g(x))g′ (x)dx
1. Schritt: Substitution g(x) = t, g ′ (x)dx = dt.
2. Schritt: Berechnung des Integrals ∫ g(b)
g(a) f(t)dt.