Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

104 Kapitel 5. Integration
1) Linearität
∫
∫
[αf(x) + βg(x)]dx = α
∫
f(x)dx + β
g(x)dx, (α, β ∈ R)
2) Partielle Integration
Es sei I ein Intervall, u, v : I → R differenzierbare Funktionen. Die Produktregel
besagt:
(uv) ′ = u ′ v + uv ′
⇒ uv ist
∫
Stammfunktion von u ′ v + uv ′
⇒ uv = (u ′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x))dx
Daraus folgt
∫
∫
u ′ (x)v(x)dx = u(x)v(x) −
u(x)v ′ (x)dx
oder
∫ b
u ′ (x)v(x)dx = u(x)v(x) ∣ ∣b
a −
∫ b
a
a
u(x)v ′ (x)dx
Beispiel 5.3.1 (1)
∫
x
}{{}
v(x)
e x
}{{}
u ′ (x)
∫
dx = xe x −
e x dx = (x − 1)e x + c.
(2)
∫
}{{} x 2
v(x)
sin }{{} x
u ′ (x)
∫
dx = −x 2 cos x + 2
x
}{{}
v(x)
cos }{{} x dx
u ′ (x)
∫
= −x 2 cos x + 2x sin x − 2
sin xdx
= −x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + c.
(3)
∫
ln xdx =
∫
ln x
}{{}
v(x)
}{{} 1
u ′ (x)
∫ x
dx = x ln x − dx = x ln x − x + c.
x