Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

5.3 Integrationsregeln 103
Jede andere Stammfunktion von f hat die Form F (x) = F a (x) + c mit
einer Konstanten c ∈ R.
(b) Für eine beliebige Stammfunktion F von f gilt
∫ b
a
f(x)dx = F (b) − F (a)
Notation
F (x) ∣ ∣b
a := [F (x)] b a := F (b) − F (a).
Definition Eine Stammfunktion F von f nennt man auch unbestimmtes
Integral und schreibt dafür ∫
f(x)dx.
Mit dem Hauptsatz haben wir nun ein Mittel in der Hand, um ein bestimmtes
Integral ∫ b
f(x)dx bequem zu berechnen:
a
Berechnung von ∫ b
a f(x)dx
1. Schritt: Stammfunktion F von f ermitteln (Probe: F ′ = f).
2. Schritt: Berechne ∫ b
f(x)dx = F (b) − F (a).
a
Aus jeder Ableitungsformel F ′ = f ergibt sich eine entspechende Aussage
über unbestimmte Integrale.
Beispiel 5.2.1
∫ b
a
1
|b|
dx = ln |b| − ln |a| = ln
x |a|
(0 ∉ [a, b]),
insbesondere
ln x =
∫ x
1
dt
t
(x > 0) (Integraldarstellung von ln)
5.3 Integrationsregeln
Aufgrund des Hauptsatzes lassen sich die drei Differentiationsregeln Linearität,
Produktregel und Kettenregel zu Regeln zur Berechnung unbestimmter
Integrale übertragen.