Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

102 Kapitel 5. Integration
Elementare Integrationsregeln
(f, g : [a, b] → R stückweise stetig)
(1) ∫ b
[αf(x) + βg(x)]dx = α ∫ b
f(x)dx + β ∫ b
a a a
(2) ∫ b
f(x)dx = ∫ c
f(x)dx + ∫ b
a a c
f(x)dx (a ≤ c ≤ b).
g(x)dx (α, β ∈ R).
(3) f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ [a, b] ⇒ ∫ b
a f(x)dx ≤ ∫ b
a g(x)dx.
(4) m ≤ f(x) ≤ M für alle x ∈ [a, b] ⇒ m(b − a) ≤ ∫ b
f(x)dx ≤ M(b − a).
a (5) ∣ ∫ ∣
b ∣∣ f(x)dx ∫ b
a ≤ |f(x)|dx.
a
Satz 5.1.2 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sind die Funktionen
f, g : [a, b] → R stetig, g(x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], dann gibt es mindestens
eine Stelle ξ ∈ [a, b] mit
Spezialfall: g(x) = 1
∫ b
a
∫ b
a
f(x)g(x)dx = f(ξ)
∫ b
a
g(x)dx.
f(x)dx = f(ξ)(b − a) mit geeignetem ξ ∈ [a, b].
5.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Definition Es sei f : I → R, I ⊆ R Intervall, eine Funktion. Eine differenzierbare
Funktion F : I → R heißt Stammfunktion von f, wenn F ′ (x) = f(x)
für alle x ∈ I gilt.
Satz 5.2.1 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Es sei
I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine stetige Funktion, a, b ∈ I. Dann gilt
(a) Die durch
F a (x) :=
∫ x
a
f(t)dt
für x ∈ I
definierte Funktion ist eine Stammfunktion von f, d.h.
(∫
d x
)
f(t)dt = f(x)
dx a