Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

5.1 Das bestimmte Integral 101
Satz 5.1.1 Es sei f : [a, b] → R eine beschränkte stückweise stetige Funktion
und (E n ) n∈N eine Folge von Einteilungen von [a, b] mit lim n→∞ ϕ(E n ) = 0.
Z n sei eine Riemannsche Summe zu E n .
Dann existiert lim n→∞ Z n und ist unabhängig von der Wahl der Teilpunkte
und Zwischenpunkte.
Definition (Bestimmtes Integral) Bestimmtes Integral von f über [a, b]:
∫ b
a
f(x)dx := lim
n→∞
Z n = lim
n→∞
n∑
f(ξ i )(x i − x i−1 )
Es sei nun f : [a, b] → R stetig, f(x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b]. Dann ist der
Flächeninhalt I(A) der Fläche A unter dem Graphen von f:
I(A) =
∫ b
a
i=1
f(x)dx.
Gilt f(x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, b], dann gilt für den entsprechenden Flächeninhalt
oberhalb des Graphen
I(A) =
∫ b
a
(−f)(x)dx = −
∫ b
a
f(x)dx.
Begrenzt der Graph von f Flächenstücke oberhalb und unterhalb der x-
Achse, so ist ∫ b
f(x)dx die Summe der mit einem Vorzeichen versehenen
a
Flächeninhalte.
Wir treffen noch folgende
Vereinbarung
∫ a
a
∫ a
f(x)dx := 0,
f(x)dx := −
∫ b
b
a
f(x)dx
(a < b).
Beispiel 5.1.1
(1)
(2)
∫ b
a
∫ b
a
cdx = c(b − a).
xdx = 1 2 (b2 − a 2 ) = a + b (b − a).
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