Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

100 Kapitel 5. Integration
von [a, b]. Eine solche endliche Folge von Teilpunkten nennt man eine Einteilung
E n von [a, b]. Dadurch wird [a, b] in n Teilintervalle [x i−1 , x i ] zerlegt.
a
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
b
Die maximale Intervalllänge dieser Teilintervalle
ϕ(E n ) := max
i=1,...,n (x i − x i−1 )
nennt man den Feinheitsgrad der Einteilung E n .
In [x i−1 , x i ] wähle Zwischenpunkt ξ i mit x i−1 ≤ ξ i ≤ x i . Die Zahl
Z n :=
n∑
f(ξ i )(x i − x i−1 )
i=1
nennt man eine zur Einteilung E n gehörige Zwischensumme oder Riemannsche
Summe von f.
Anschaulich: Z n ist eine Summe von Rechteckflächen, die den Flächeninhalt
von A approximiert. Je feiner die Einteilung ist, desto genauer ist die Approximation.
Die Riemannsche Summe hängt also von der Einteilung E n und der Wahl
der Zwischenpunkte ξ i ab.
Spezialfälle, wenn f stetig ist:
(a) Riemannsche Untersumme von f zur Einteilung E n :
s n :=
n∑
m i (x i − x i−1 ),
i=1
wobei m i := Minimum von f auf [x i−1 , x i ] (wird wegen der Stetigkeit
von f an einer Stelle ξ i ∈ [x i−1 , x i ] angenommen).
(b) Riemannsche Obersumme von f zur Einteilung E n :
S n :=
n∑
M i (x i − x i−1 ),
i=1
wobei M i := Maximum von f auf [x i−1 , x i ].