Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

10 Kapitel 1. Lineare Algebra I
Mit einem Winkel wird in Zukunft immer der Winkel im Bogenmaß gemeint
sein. Dann sind sin α und cos α anhand der folgenden Zeichnung definiert:
sin α
α
cos α
x
1
Es gilt
−1 ≤ sin α ≤ 1, −1 ≤ cos α ≤ 1.
Ist ein Wert y ∈ R, −1 ≤ y ≤ 1, vorgegeben, so gibt es genau einen Winkel
α mit 0 ≤ α ≤ π mit cos α = y. Es gilt
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Nun betrachten wir zwei Vektoren ⃗x, ⃗y ∈ R n mit ⃗x ≠ ⃗0 und ⃗y ≠ ⃗0. Aus
der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt dann
−1 ≤
Es gibt also ein α ∈ [0, π], so dass
cos α =
⃗x · ⃗y
|⃗x||⃗y| ≤ 1.
⃗x · ⃗y
|⃗x||⃗y| .
Definition Der Winkel zwischen ⃗x und ⃗y, in Zeichen ∠(⃗x, ⃗y), ist definiert
als diejenige Zahl α mit 0 ≤ α ≤ π, so dass
cos α =
⃗x · ⃗y
|⃗x||⃗y| .
Satz 1.3.5 (Eigenschaften des Winkels) (a) Für ⃗x, ⃗y ∈ R n mit ⃗x ≠ ⃗0
und ⃗y ≠ ⃗0 gilt
⃗x · ⃗y = |⃗x||⃗y| cos ∠(⃗x, ⃗y).