I Ï - Fachgebiet Hochspannungstechnik

Methoden zur Berechnung von Induktivitäten 

Fragestellung: wie lassen sich die Selbst- und Gegeninduktivitäten beliebiger 

Leiteranordnungen berechnen? 

a) Berechnung der Selbstinduktivität über den magnetischen Fluss 

Aus Φ = Li folgt für die Selbstinduktivität: L 

Φ 

= 

i 

Vorgehensweise: 1. Vorgabe eines Stroms in der betrachteten Leiterschleife 

2. Berechnung des Flusses, der die von der Leiterschleife 

aufgespannte Fläche durchsetzt. 

b) Berechnung der Gegeninduktivität über den magnetischen Fluss 

Φ12 

Aus Φ 12 

= L 12 

i 2 

= Mi 2 

folgt für die Gegeninduktivität: = 

M 

i2 

Vorgehensweise: 1. Vorgabe eines Stroms in einer der beiden betrachteten 

Leiterschleifen 

2. Berechnung des Flusses, der von der anderen Leiterschleife 

umfasst wird. 

Fachgebiet 

Hochspannungstechnik 

ETIT II / VL 18 (19+20) 1


A 

d 

Beispiel 1: Für die Doppelleitung nach [C1], Bsp. 5.7, 

für die in ETIT II_16 bereits der die Fläche A durchsetzende 

magnetische Fluss ermittelt wurde, ist die 

Selbstinduktivität zu berechnen. 

Φ ' bereits berechnet (ETIT II_16): 

I 

I 

d 

0Il 

dρ 

μ0 

μ 

Il d 

Φ1 = ∫BdA 

= μ0∫HdA 

= ln 

2π ∫ = 

ρ 2π ρ 

A 

A 

ρ0 

0 

Φ2 = Φ1 

0 

1 2 

2 μ Il 

Φ = Φ + Φ = Φ1 

= ln d 

Φ μ 0I 

Φ′ = = 

π ρ 

l π 

0 

ln d 

ρ 

0 

Damit einfache Ermittlung der 

längenbezogenen Induktivität: 

Φ′ 

L′ = = 

I 

μ0 

ln d 

π ρ 

0 



ETIT II / VL 18 (19+20) 2


Φ′ 

μ0 

d μH 

d 

L′ = = ln = 0.4 ⋅ln 

I π ρ m ρ 

0 0 

Doppelleitung 

d/ρ 0 

0,9 

ln d/ρ 0 

L' / µH/m 

10 000 

9,2 

3,7 

1 000 

6,9 

2,8 

100 

4,6 

1,8 

10 

2,3 



ETIT II / VL 18 (19+20) 3


Beispiel 2: Gegeninduktivität der gezeigten beiden Doppelleitungen (a, b) und (c, d) 



ETIT II / VL 18 (19+20) 4


Beispiel 2: Gegeninduktivität der gezeigten beiden Doppelleitungen (a, b) und (c, d) 

0 ad 

M′ = 

μ ln 

ρ ρ 

2π ρ ρ 

ac 

bc 

bd 



ETIT II / VL 18 (19+20) 5


Die eben gezeigte Methode ist nur dann anwendbar, wenn der Fluss eindeutig 

der Leiterschleife zugeordnet werden kann, die ihn umfasst. Allgemeiner ist das 

folgende Verfahren: 

c) Berechnung der Selbstinduktivität über die magnetische Feldenergie 

1 2 

W 

Aus Wm 

= LI folgt: L = 

2 

2 

I 

2 m 

Vorgehensweise: 1. Vorgabe eines Stroms in der betrachteten Leiterschleife 

2. Berechnung der Feldenergie mit einer der bereits dafür 

hergeleiteten Beziehungen: 

1 1 1 

= μ = = 

2 2 2 

2 

wm 

H BH 

2 

B 

μ 

2W 

3. Bildung des Quotienten m 

2 

I 



ETIT II / VL 18 (19+20) 6


Beispiel 3: Selbstinduktivität eines Koaxialkabels 

Innenleiter: Außenradius ρ 1 

, 

Permeabilität μ 1 

Außenleiter: Innenradius ρ 2 

, 

Permeabilität μ 3 

Dazwischen: Luft mit μ 2 

= μ 0 



ETIT II / VL 18 (19+20) 7



Verwendung der Beziehung für die Energiedichte: 

wm 

= 

1 

μH 

2 

Bereits hergeleitet (ETIT II_15): 

ρ 

Feldstärke im Innern eines Leiters: H( ρ) 

= I 

2 

2πρ 

ρ 1 

Feldstärke außerhalb eines Leiters: 

2 

H 

( ρ ) 

1 

I 

= 2πρ 

H 

H 

∼ 

1 

ρ 

ρ 1 

ρ 



ETIT II / VL 18 (19+20) 8



a) für den Innenleiter 

wm 

1 

ρ 

= I 

2 

= μH 

H( ρ) 

2 

2 

2πρ 

1 



ETIT II / VL 18 (19+20) 9



a) für den Innenleiter 

L 

μ μ −7 

H 

10 

8π 

2 m 

′ 1 r1 

1 

= = ⋅ 

d.h. z.B. für einen Cu-Leiter mit µ r 

= 1: L 1 

' = 0,05 µH/m bzw. 50 nH/m 



ETIT II / VL 18 (19+20) 10



b) für den Luftraum 

wm 

1 

2 

2 

= μH 

H( ρ) 

= I 

2πρ 

(Beziehung für 

magnetische Feldstärke 

um einen Leiter) 



ETIT II / VL 18 (19+20) 11



b) für den Luftraum 

L 

2 

′ 

μ2 ρ2 −7 

ρ2 

H 

= ln = 2 ⋅10 ⋅ln 

2π ρ ρ m 

1 1 

Berechnung der Selbstinduktivität des Außenleiters analog zu der des Innenleiters! 

L' 2 ist der Induktivitätsbelag einer Koaxialleitung. 



ETIT II / VL 18 (19+20) 12


L 

μ ρ ρ 

′ 2 2 −7 

2 

2 

= ln = 2 ⋅10 ⋅ln 

Koaxialleitung 

2π ρ1 ρ1 

m 

H 

10 000 

ln ρ 2 /ρ 1 

9,2 

L' / µH/m 

1,8 

= 50 % der Induktivität einer 

Doppelleitung gleicher 

Abstände zwischen Hin- und 

Rückleiter (vgl. Folie 3) 

ρ 2 /ρ 1 

0,5 

1 000 

6,9 

1,4 

100 

4,6 

0,9 

10 

2,3 



ETIT II / VL 18 (19+20) 13


Induktivitätsbelag der Doppelleitung: 

L′ = 

μ0 

ln d 

π ρ 

Kapazitätsbelag der Doppelleitung 

(s. ETIT II_05) 

0 

Induktivitätsbelag der Koaxialleitung: 

L 

2 

′ = 

μ2 ρ2 

ln 

2π 

ρ 

Kapazitätsbelag der Koaxialleitung 

(s. ETIT II_05): 

1 

C′ = 

πε 

d 

ln 

ρ 

0 

C′ = 

2πε 

ρ2 

ln 

ρ 

1 

LC ′ ′= με 

LC ′ ′ = με 

Gilt für beliebige Leitungsanordnungen! (an dieser Stelle unbewiesen) 

Weiteres Verfahren zur Berechnung von L', wenn C' bereits bekannt ist! 



ETIT II / VL 18 (19+20) 14

Magnetische Feldkräfte – Berechnung über die Energie 

Anwendung des Prinzips der virtuellen Verschiebung (s. ETIT II_07) 

Annahmen: 

• die Stromquelle liefere einen konstanten Strom I 

• alle Leitungen seien widerstandsfrei 

• der Leiterstab könne sich in x-Richtung reibungsfrei bewegen 

• der Übergangswiderstand zwischen Leiterstab und Leiterschienen sei widerstandsfrei 



ETIT II / VL 18 (19+20) 15


Energie tritt in drei Formen auf: 

• magnetische Feldenergie W m 

• mechanische Energie W mech 

(potentielle 

Energie des Gewichts G) 

• elektrische Energie W e 

der Stromquelle 

Lässt man eine langsame Verschiebung 

des Leiterstabes um dx nach rechts zu, 

so ändert sich die Gesamtenergie des 

Systems nicht: 

( ) + W 0 

d W = dW + W + W = dW dW + d = 

ges e mech m e mech m 

Mechanische Energie nimmt zu (Anheben des Gewichts): dWmech = Fxdx 

1 2 

1 2 

Magnetische Energie Wm 

= LI 

nimmt zu (Vergrößerung von L): dWm 

= I dL 

2 

2 

Die Stromquelle gibt Energie ab (Produkt u·I im Verbraucherzählpfeilsystem


dWe 

=−uIdt 

Anwendung des Induktionsgesetzes: 

Umlauf: dΦ 

− u = − 

dt 

dL 

mit Φ = LI: u = I 

dt 

dWe 

=−I 

2 

dL 

Energiebilanz: 

2 1 2 

dWe + dWmech + dWm = − I dL + Fxdx + I dL = 0 

2 

1 

I 

2 

U ind = -dΦ/dt 

Auflösen nach F x 

: 

dL = dW m 

2 

und da 

F 

x 

F 

x 

1 

= I 

2 

= 

2 

dL 

dx 

dW 

dx 

( I ) 

m 

(hochgestellter Index (I) 

steht dabei für I = const.) 

Die Kraft entspricht der Änderung der magnetischen Feldenergie. 



ETIT II / VL 18 (19+20) 17


F 

x 

1 

= I 

2 

2 

dL 

dx 

Die Kraft ist stets so gerichtet, dass 

sie die Induktivität der Stromschleife 

zu vergrößern sucht. 

2 2 A 

Wegen L = N Λ = N μ bedeutet das auch: 

l 

Die Kraft ist stets so gerichtet, dass sie 

die von der Stromschleife umfasste Fläche 

zu vergrößern sucht. 



ETIT II / VL 18 (19+20) 18


Auswirkung z.B.: Wandern von Kurzschlussstromlichtbögen 

F 

I k 



ETIT II / VL 18 (19+20) 19


Demonstrationsversuch: "Feuerrad" 

 

F 

Zünden eines Lichtbogens 

(Schmelzdraht) hier 

I ca. 1 kA, U ca. 3 kV 



ETIT II / VL 18 (19+20) 20


Anwendung: "Arc Rotator" 

• Kraft wirkt jederzeit 

tangential am Umfang 

• Kraftrichtung immer 

gleich (auch bei 

Wechselstrom) 

 

F 

• Lichtbogen bleibt nicht 

auf der Stelle stehen, 

sondern läuft immer 

am Umfang entlang 

 

B 

 

v 

QuickTime 

Movie 



ETIT II / VL 18 (19+20) 21


Anwendung: Vakuumschaltröhre mit Radialfeldkontakten 

 

F 

Alternativ: 

Spiralkontakte 



ETIT II / VL 18 (19+20) 22


Lichtbogenrotation bei Öffnen eines Spiralkontakts 

[Siemens] 



ETIT II / VL 18 (19+20) 23


Anwendung: Freileitungsisolator mit Lichtbogenarmaturen 

(Gabelring, Gabel-Hornring) 



ETIT II / VL 18 (19+20) 24


Anwendung: 

Löschen von Schaltlichtbögen, unterstützt durch magnetische Beblasung 

Gleichstromschalter 

(Bahn, Straßenbahn) 

Schaltkontakte 

fest 

 

F 1 

 

F 2 F 3 

B 

Löschkammern 

beweglich 

v 

 

F 

 

F 

1 

2 

 

F 3 

… Aufweitung der 

Stromschleife 

… magnetische 

Beblasung 

… Thermik 

I 

Spule 



ETIT II / VL 18 (19+20) 25


Anwendung: 

Löschen von Schaltlichtbögen, unterstützt durch magnetische Beblasung 

Gleichstromschalter 

(Bahn, Straßenbahn) 

- gute Kühlung des Lichtbogens 

- hoher Spannungsbedarf (viele Fußpunkte) 

Schaltkontakte 

fest 

 

F 1 

 

F 2 F 3 

B 

Löschkammern 

beweglich 

v 

 

F 

 

F 

1 

2 

 

F 3 

… Aufweitung der 

Stromschleife 

… magnetische 

Beblasung 

… Thermik 

I 

Spule 



ETIT II / VL 18 (19+20) 26


Beispiel: Kraft auf eine Schaltertraverse ([C1], Bsp. 6.3) 

F 

x 

( I ) 

dWm 

d ⎛1 2⎞ 

1 2dL( x) 

= = ⎜ LI 

⎟ = I 

dx dx ⎝2 ⎠ 2 dx 

Lx ( ) = Lx ′ + K 

L' ... Induktivitätsbelag der Leitung 

K ... ein von x unabhängiger Korrekturterm 

zur Berücksichtigung von Randeffekten 

am Leitungsende 

dL( x) 

⇒ = L′ 

dx 

Für die Doppelleitung bereits hergeleitet: 

F 

x 

1 dL( x) 1 

2 dx 2 

L′ 

2 2 

= I = I = 

2 

μ0I 

d 

ln 

2π 

ρ 

0 

L′ = 

μ0 

ln d 

π ρ 

0 

Die Kraft ist proportional I 2 



ETIT II / VL 18 (19+20) 27


Beispiel: Kraft auf eine Schaltertraverse ([C1], Bsp. 6.3) 

Im 380-kV-Netz: z.B. d = 3 m 

ρ 0 

= 0,1 m 

I = 60 kA (Kurzschluss) 

F F 

F 

2 −7 2 6 2 

μ0I 

d 4π 

⋅10 ⋅60 ⋅10 3 Vs⋅A 

Fx 

= ln = 

ln 

2π ρ0 

2π 

0,1 Am 

I 

= 2,45 kN 245 kg 

I 

Konstruktive Maßnahmen 

erforderlich: 

Ausnützen magnetischer Kräfte 

zur Vergrößerung des 

Kontaktdrucks! 



ETIT II / VL 18 (19+20) 28

Magnetische Feldkräfte – Elektromagnet 

Gegeben: 

• Durchflutung 

• Mittlere Eisenweglänge 

• Luftspaltlänge 

• Querschnitt (konstant) 

Θ = NI 

l E 

l L 

A 

- Streuung sei vernachlässigbar 

Flussdichte BE 

= BL 

= B 

F 

x 

= 

dW 

dx 

( I ) 

m 

(darin ist W m 

die gesamte magnetische Feldenergie, aufgeteilt auf 

den Anteil im Eisen und im Luftspalt) 

Bereits hergeleitet: 

1 1 1 

= = = 

2 2 2 

2 

wm 

μH BH 

(Energiedichte) 

2 

B 

μ 

allgemein 

2 2 

1B 

1B 

Wm 

= V = Al 

2 μ 2 μ 

(Energie) 

hier 

( AB) ⎛ l l ⎞ ( AB) 

2 2 2 2 

2 

1B 

1B 

L E 

Φ 

m 

= lL + lE = 

m ges m ges 

2 μ0 2μE 

2 

⎜ + = = 

μ0A 

μEA 

⎟ 

2 2 

W A A R R 

⎝ ⎠ 



ETIT II / VL 18 (19+20) 33


W 

m 

2 

Φ 

= R 

2 

m ges 

Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises: 

Θ Φ Φ 

2 

= Rm 

⇒ = 

2 2 2 2 

Φ 1 Θ Θ Θ 1 

Damit: Wm = Rm ges 

= R 

2 m ges 

= = 

2 2Rm ges 

2Rm ges 

2 lL 

lE 

+ 

μ A μ A 

0 

E 

2 

Θ 

R 

2 

m 



ETIT II / VL 18 (19+20) 34


Einsetzen für die Luftspaltlänge: l L 

l L 

– x: 

F 

x 

d 

dx 

( I ) 2 

dWm 

Θ d 1 

= = 

dx 2 dx lL 

x lE 

− + 

μ A μ A μ A 

1 

1 

= (Quotientenregel) : b 

a x 

− 

⎛ 

b 

a x 

Quotientenregel: ⎞ 

⎜ − 

(u/v)' = (u'v – uv')/v 

⎟ 

2 

⎝ b ⎠ 

0 

0 

E 

2 

W 

F 

m 

x 

2 

Θ 

= 

2 

2 

Θ 

= 

2 

1 

lL 

x lE 

− + 

μ A μ A μ A 

0 0 

1 

μ A 

⎛ lL 

x l ⎞ 

E 

⎜ − + 

μ0A 

μ0A 

μEA 

⎟ 

⎝ 

⎠ 

0 

E 

2 



ETIT II / VL 18 (19+20) 35


Θ Φ Φ 

2 

= Rm 

⇒ = 

2 

Θ 

R 

2 

m 

Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises 

Für x 0: 

F 

x 

Damit für die Kraft pro Fläche: 

1 1 

Θ μ A Θ μ A Θ 1 1 Φ 1BA 

= = = = = 

2 2 2 2 2 

2 2 2 2 2 

0 0 

2 2 

2 

⎛ lL 

l ⎞ R 

E 

m ges 

Θ μ0A 

μ0 

μ0A 

⎜ + 

2 

μ0A 

μE 

A 

⎟ 

Φ 

⎝ 

⎠ 

Fx 

A 

= 

1 

2 

2 

B 

μ 

0 

1 1 BH 

2 2 

2 

= μ0H 

= 

Identisch mit Energiedichte: 

1 1 1 

= = = 

2 2 2 

2 

wm 

μH BH 

2 

B 

μ 



ETIT II / VL 18 (19+20) 36


Rechenbeispiel (nach [H1]) 

Der gezeigte Elektromagnet mit einem Kern aus Dynamoblech besitzt eine Spule 

mit N = 450 Windungen. Die Luftspaltlänge beträgt l L 

= 0,5 mm. Der Anker soll mit 

einer Kraft von F = 2 kN angezogen werden. 

Welcher Strom I muss dazu in der Spule fließen? 



ETIT II / VL 18 (19+20) 37



N = 450 Windungen 

l L 

= 0,5 mm 

F = 2 kN 



ETIT II / VL 18 (19+20) 38





ETIT II / VL 18 (19+20) 39



I = 2,14 A 



ETIT II / VL 18 (19+20) 40

Erste Maxwellsche Gleichung - Durchflutungsgesetz 

Kondensator im Stromkreis: Durchflutungsgesetz liefert kein eindeutiges Ergebnis 

i 

i 

∫ H 

d s 

 

= i 

∫ H 

d s 

 

∫ H 

d s 

 

= ? = 0 

L 

L 

L 

Was passiert zwischen den 

Kondensatorplatten? 



ETIT II / VL 18 (19+20) 41


Aufladung der Kondensatorplatten durch den Ladestrom i (bzw. Stromdichte J 

) 

Ladung auf den Oberflächen Flächenladungsdichte σ Ursache für D 

idt = JAdt 

= dQ = Adσ 

= AdD 

 

dD ∂D 

Jdt = dD J = J = 

dt ∂ t 

da alle Vektoren gleiche Richtung aufweisen 



ETIT II / VL 18 (19+20) 42


 

∂D 

J = ∂ t 

∂D 

... Verschiebungsstromdichte 

∂t 

Der Strom, der in den Leitungen als Leitungsstrom fließt, setzt sich zwischen den 

Kondensatorplatten als Verschiebungsstrom fort. Somit handelt es sich wieder um 

einen geschlossenen Stromkreis, auf den das Durchflutungsgesetz anwendbar ist. 

Der Strom setzt sich dabei aus Leitungsstrom und Verschiebungsstrom zusammen: 

∫ 

L 

 

⎛ ∂D 

⎞ 

Hds = ∫⎜J + ⎟dA 

∂t 

A⎝ 

⎠ 

Erste Maxwellsche Gleichung 

(in Integralform) 

Ein Verschiebungsstrom ist genau so von einem Magnetfeld umgeben 

wie ein Leitungsstrom! 



ETIT II / VL 18 (19+20) 43

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