Grundlagen der Informationssicherheit

Wiederholung: Verschlüsselungsverfahren
Private-Key-Verfahren (symmetrische Verfahren)
gleicher Schlüssel zum Ver- und Entschlüsseln
Schlüsselverteilungsproblem
schnell
z.B. klassische Chiffren, DES, AES, IDEA
Public-Key-Verfahren (asymmetrische Verfahren)
verschiedene Schlüssel zum
◮ Verschlüsseln (öffentlicher Schlüssel)
◮ Entschlüsseln (geheimer Schlüssel)
keine geheime Schlüsselvereinbarung vor
Kommunikation notwendig
Chosen-Plaintext-Angriffe immer möglich
Merkles Rätsel
Schlüsselvereinbarung nach Diffie-Hellman

Wiederholung: Mathematische Grundlagen
◮ Rechnen mit Restklassen:
Addition / additive Inverse
Multiplikation / multiplikative Inverse
Potenzieren / diskreter Logarithmus
◮ primitive Elemente
◮ Einweg-Funktionen,Einweg-Falltürfunktionen
◮ Berechnung der multiplikativen Inversen:
kleiner Fermat
Erweiterung für Produkte zweier Primzahlen
erweiterter Euklidischer Algorithmus

Algebraische Strukturen
Eine algebraische Struktur (A, Ω) besteht aus
◮ einer Menge A ≠ ∅ (Trägermenge)
◮ Operationen f ∈ Ω mit f : A n → A
◮ Relationen R ∈ Ω mit R ⊆ A n
Beispiele (bekannt aus Mathematik und vorangegangenen
Vorlesungen):
(N, +, ·, 0, 1), (N, +, ·, 12, 27), (N, ggT, 0), (N, ≤), (N, +, ·, 0, 1, ≤),
(3Z, ·, 0), wobei nZ = {nz | z ∈ Z}, (Z n , −, ·, −7),
(2 X , ∪, ∩, ∅, X), (2 X , ⊆)
Algebraische Strukturen werden charakterisiert durch Axiome
(Eigenschaften und Zusammenhänge zwischen Operationen und
Relationen)
Bedeutung in der Informatik, z.B. für
◮ Boolesche Algebra
◮ Datentypen, Datenstrukturen
◮ Schnittstellen (Interfaces)
◮ Modellierung sequentieller und nebenläufiger Prozesse

Halbgruppen
Definition 4.6
Eine algebraische Struktur (A, ◦) heißt genau dann
Halbgruppe, falls ◦ : A × A → A eine totale zweistellige
assoziative Funktion ist, d.h. für alle x, y, z ∈ A gilt
(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
Beispiele: (N, +), (N, ·), (N, max), (N, min), (N, ggT), (Z, +),
(Z, ·), (Q, ·),
(2 X , ∪), (2 X , ∩), ({0, 1}, min), ({0, 1}, max)
(nZ, +), (nZ, ·), (Z n , +), (Z n , ·)
Eine Halbgruppe (A, ◦) heißt genau dann kommutative
Halbgruppe, wenn ◦ kommutativ ist, d.h. für alle x, y ∈ A gilt
x ◦ y = y ◦ x

Monoide und Gruppen
Definition 4.7
Eine algebraische Struktur (A, ◦, e) heißt genau dann Monoid,
falls (A, ◦) eine Halbgruppe ist und für jedes x ∈ A gilt
x ◦ e = e ◦ x = x.
e heißt neutrales Element in (A, ◦).
Beispiele: (N, +, 0), (N, ·, 1), (N, max, 0), (N, ggT, 0),
(nZ, +, 0), (Z, ·, 1), (Q, ·, 1),
(2 X , ∪, ∅), (2 X , ∩, X), ({0, 1}, min, 1), ({0, 1}, max, 0)
(nZ, +, 0), (Z n , +, 0), (Z n , ·, 1)
Ein Monoid (A, ◦, e) heißt genau dann kommutativ, wenn ◦
kommutativ ist.

Gruppen
Definition 4.8
Eine algebraische Struktur (A, ◦, e) heißt genau dann Gruppe,
falls (A, ◦, e) ein Monoid ist und für jedes x ∈ A ein y ∈ A
existiert, so dass gilt x ◦ y = y ◦ x = e.
x −1 = y heißt invers zu x.
Beispiele: (Z, +, 0), (nZ, +, 0), (Z n , +, 0), (Q, ·, 1),
(Z n , ·, 1) für Primzahlen n
Eine Gruppe (A, ◦, e) heißt genau dann kommutativ, wenn ◦
kommutativ ist.

Ringe
Definition 4.9
Eine algebraische Struktur (A, +, ·, 0) heißt genau dann Ring, wenn
sie die folgenden Axiome erfüllt:
◮ (A, +, 0) ist eine kommutative Gruppe,
◮ (A, ·) ist eine Halbgruppe,
◮ für alle x, y, z ∈ A gilt x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz
(Distributivgesetze)
Ist außerdem (A, ·, 1) ein Monoid, dann heißt (A, +, ·, 0, 1) Ring mit
Eins.
Ist außerdem (A \ {0}, ·, 1) eine Gruppe, dann heißt (A, +, ·, 0, 1)
Körper.
Beispiele:
◮ (Z, +, ·, 0, 1) ist Ring mit Eins,
◮ (2Z, +, ·, 0) ist Ring,
◮ (Q, +, ·, 0, 1) ist Körper,
◮ ({0, 1}, XOR, ·, 0, 1) ist Ring mit Eins,
◮ Restklassenring (Z n , + n , ·n, 0, 1) (mit Eins),
für Primzahlen n ist (Z n , + n , ·n, 0, 1) Restklassenkörper

Boolesche Algebren
Definition 4.10
Eine algebraische Struktur (A, +, ·, ¬, 0, 1) heißt genau dann
Boolesche Algebra, wenn sie die folgenden Axiome erfüllt:
◮ (A, +, 0) ist ein kommutatives Monoid,
◮ (A, ·, 1) ist ein kommutatives Monoid,
◮ für alle x, y, z ∈ A gilt x · (y + z) = (x · y) + (x · z),
x + (y · z) = (x + y) · (x + z) (Distributivgesetze)
◮ für alle x, y ∈ A gilt x + (x · y) = x, x · (x + y) = x
(Absorptionsgesetze)
◮ für alle x, y ∈ A gilt x + ¬x = 1, x · ¬x = 0, (Komplementgesetze)
Beispiele: ({0, 1}, max, min, ¬, 0, 1), (2 X , ∪, ∩, , ∅, X)

Vektorrräume
mehrsortige algebraische Strukturen
(S, V , + S , ·S, + V , ·, 0 S , 1 S , 0 V )
◮ Trägermengen:
◮ Menge V von Vektoren
◮ Menge S von Skalaren
◮ Operationen, z.B.
◮ Skalarsumme + S : S × S → S
◮ Vektorsumme + V : V × V → V
◮ skalares Produkt ·S : S × S → S
◮ skalare Multiplikation · : S × V → V
◮ Skalarprodukt 〈·, ·〉 : V × V → S
Vektorraum-Axiome: (S, + S , ·S, 0 S , 1 S ) ist ein Körper und
für alle a, b ∈ S und alle u, v ∈ V gilt:
(a ·S b) · v = a · (b · v)
(a + S b) · v = a · v + V b · v
a · (u + V v) = a · u + V a · v
1 S · v = v

ElGamal-Verschlüsselungsverfahren
(Taher ElGamal 1985)
asymmetrisches Verfahren zur Verschlüsselung
Modifikation des Diffie-Hellman-Verfahrens
Verschlüsselung nach ElGamal:
1. Schlüsselerzeugung (durch B):
◮ B wählt (n, p) mit Primzahl n und p ∈ Zn
◮ B wählt gB ∈ Z n und berechnet b = p g B
mod n
erzeugte Schlüssel: (n, p, b) (öffentlich) und g B (geheim)
2. B sendet b an A
3. Verschlüsselung (durch A):
◮ A wählt große Zufallszahl z (geheimer Sitzungsschlüssel)
◮ A berechnet a = p
z
mod n und c = mb z mod n
4. A sendet (a, c) an B
5. Entschlüsselung (durch B):
B entschlüsselt m = ca −g B
mod n
Beispiel: n = 11, p = 7, g B = 3, z = 6, m = 8
Verfahren ist korrekt, weil
ca −g B
≡ n mb z (p z ) −g B
≡ n mp g Bz p −g Bz ≡ n mp g Bz (p g Bz ) −1 ≡ n m