y - Lehrstuhl Numerische Mathematik - M2/Allgemeines

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Lokaler Fehler
y ′ = y 2 , y(0.2) = 5/9, Lösung: y = 1
Fehler nach dem 1. Schritt
(2−t) 2
10 0 1/h
10 −2
10 −4
Fehler
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
(I) Euler explizit
(II) Euler implizit
(IIIa) Crank−Nicolson
(IIIb) Heun
(IVa) Euler modifiziert
(IVb) Euler mod. implizit
10 0 10 1 10 2 10 3 10 4
Kapitel IV (esv08) 1

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Globaler Fehler
y ′ = y 2 , y(0.2) = 5/9, Lösung: y = 1
Fehler bei t=1.2
(2−t) 2
10 0 1/h
10 −1
10 −2
10 −3
Fehler
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
(I) Euler explizit
(II) Euler implizit
(IIIa) Crank−Nicolson
(IIIb) Heun
(IVa) Euler modifiziert
(IVb) Euler mod. implizit
10 0 10 1 10 2 10 3 10 4
Kapitel IV (esv09) 2

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Lokaler Fehler: Vergleich
y ′ = 2ty, y(0) = 1, Fehler bei t = h
10 0 h
Fehler
10 −5
10 −10
exp. Euler
c*h²
mod. Euler
Heun
C*(h²)²
1/2 1/8 1/32 1/128
Ordnung p entspricht der Steigung −p im doppelt logarithmischen Plot
Kapitel IV (konvergenz01) 3

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Globaler Fehler: Vergleich
y ′ = 2ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1
10 0 h
Fehler
10 −2
10 −4
exp. Euler
c*h
mod. Euler
Heun
C*h²
1/2 1/8 1/32 1/128
Beobachtung: Globaler Fehler ist eine Ordnung niedriger als Lokaler
Kapitel IV (konvergenz02) 4

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Globaler Fehler: Vergleich
y ′ = 5y, y(0) = 1, Fehler bei t = 2
10 6 h
10 4
Fehler
10 2
10 0
exp. Euler
imp. Euler
Heun
C−N
C*h
C*h 2
1 1/4 1/16 1/64 1/256 1/1024
Kapitel IV (konvergenz03) 5

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Globaler Fehler: Vergleich
y ′ = −5y, y(0) = 1, Fehler bei t = 2
10 −2
exp. Euler
imp. Euler
Heun
C−N
C*h
C*h 2
10 0 h
Fehler
10 −4
10 −6
10 −8
1 1/4 1/16 1/64 1/256 1/1024
Kapitel IV (konvergenz04) 6

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Runge–Kutta Verfahren
y i+1 = y i +hφ(t i ,h i ,y i ), φ(t i ,h i ,y i ) =
k j = f
(
s∑
γ j k j ,
j=1
)
s∑
t i +α j h i , y i +h i β jl k l , j = 1,2,...,s
wobei s als die Stufe des Verfahrens bezeichnet wird. Runge–Kutta Verfahren
können mit Hilfe des Butcherschemas charakterisiert werden:
l=1
α 1 β 11 β 12 ... β 1s α 1 0 0 ... 0
α 2 β 21 β 22 ... β 2s α 2 β 21 0 ... 0
. . .
... . . . .
... .
α s β s1 β s2 ... β ss α s β s1 β s2 ... 0
γ 1 γ 2 ... γ s γ 1 γ 2 ... γ s
implizit
Bedingung für die Konsistenz: ∑ s
j=1 γ j = 1
explizit
Kapitel IV (rk01) 7

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Butcher–Schema, Beispiele
Impliziter Euler:
1 1
1
RK (1895): explizit, 4stufig, 4te Ordnung:
0 0 0 0 0
1/2 1/2 0 0 0
1/2 0 1/2 0 0
1 0 0 1 0
1/6 2/6 2/6 1/6
implizit, 2stufig, 4te Ordnung:
1/2 − √ 3/6 1/4 1/4 − √ 3/6
1/2 + √ 3/6 1/4 + √ 3/6 1/4
1/2 1/2
Kapitel IV (rk02) 8

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
RK 3 Verfahren: verschiedene Schrittweiten
Restringiertes Dreikörperproblem, 1 Periode
2 n = 6000
1
0
2 n = 12000
1
0
−1
−1
−2
RK 3
−1 0 1
−2
RK 3
−1 0 1
2 n = 24000
1
0
2 n = 48000
1
0
−1
−1
−2
RK 3
−1 0 1
−2
RK 3
−1 0 1
Kapitel IV (rk03) 9

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
RK 4 Verfahren: verschiedene Schrittweiten
Restringiertes Dreikörperproblem, 1 Periode
2 n = 6000
1
0
−1
2 n = 12000
1
0
−1
−2
RK 4
−1 0 1
−2
RK 4
−1 0 1
2 n = 24000
1
0
−1
2 n = 48000
1
0
−1
−2
RK 4
−1 0 1
−2
RK 4
−1 0 1
Kapitel IV (rk04) 10

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Runge–Kutta Verfahren, Vergleich
Restringiertes Dreikörperproblem, Fehler e(T)
10 2 Anzahl der Schritte
Fehler
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
Euler
Heun
RK 3
RK 4
10 4 10 5
Längeneinheit für die euklidische Norm |(x,y)| ist die mittlere Entfernung Erde–Mond (384000
km). Ein Fehler von 2.6 · 10 −6 entspricht 1 km. Für die letzte Rechnung benötigte das RK
4–Verfahren 768000 Funktionsauswertungen.
Kapitel IV (rk05) 11

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
RK4–Verfahren: Vergleich
Vergleich von 3 expliziten Runge-Kutta Verfahren der Stufe 4 am Beispiel
y ′ = y 2 , y(0.8) = 5 6
mit y(t) = 1 , t ∈ [0.8, 1.8].
2−t
klassisch
3/8–Regel
Kuntzmann
0
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1 0 0 1
0
1
3
1
3
2
3
− 1 3
1
1 1 −1 1
0
2
5
2
5
3
5
− 3 20
3
4
1
19
44
− 15
44
40
44
1
6
1
3
1
3
1
6
1
8
3
8
3
8
1
8
55
360
125
360
125
360
55
360
Kapitel IV (rk06) 12

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
RK4–Verfahren: Vergleich
y ′ = y 2 , y(0.8) = 5/6, Lösung y = 1/(2 − t), Fehler bei t = 1.8
10 −1 Fehler für t=1.8
10 −2
10 −3
10 −5 Zoom
10 −4
error
10 −5
10 −6
error
10 −7
10 −8
10 −9
10 −10
classical
3/8−Regel
Kuntzmann
10 0 10 1 10 2 10 3
1/h
10 −6
classical
3/8−Regel
Kuntzmann
10 1.7 10 1.8 10 1.9
1/h
Kapitel IV (rk07) 13

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Runge–Kutta Verfahren, Vergleich
y ′ = −200ty 2 , y(−1) = 1/101, bestimme y(0)
Einfluss von Rundungsfehlern: Fehler ≤ C ( h p + eps
h
)
10 0 h
Fehler
10 −4
10 −8
10 −12
Euler
Heun
RK 3
RK 4
1 1e−02 1e−04 1e−06
Beobachtung: Je größer die Ordnung, desto früher tritt der Effekt auf
Kapitel IV (rk09) 14

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Einfluss von Rundungsfehlern
y ′ = y 2 , y(0.2) = 5/9, Lösung: y = 1
(2−t) 2
Fehler bei t=1.2 (double, eps = 2.2e−16)
Fehler bei t=1.2 (single, eps = 1.2e−7)
10 0 1/h
10 0 1/h
10 −2
10 −1
10 −4
10 −2
error
10 −6
error
10 −3
10 −4
10 −8
10 −5
10 −10
10 −12
(I) Euler explizit
(IIIb) Heun
(IVa) Euler modifiziert
10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6
10 −6
10 −7
(I) Euler explizit
(IIIb) Heun
(IVa) Euler modifiziert
10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6
Kapitel IV (esv10) 15

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Runge–Kutta Verfahren, Rundungsfehler
Einfluss der Ordnung p auf Rundungsfehler
optimale Schrittweite
optimaler Fehler
10 −1
10 −4
10 −2
10 −6
h opt
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
10 0 p
single
double
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
e opt
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
10 −16
10 −2 p
single
eps (single)
double
eps (double)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Mit der Maschinengenauigkeit eps gilt: e opt = O(eps p
p+1)
Kapitel IV (rk09a) 16

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Einfluss der Glattheit der Lösung auf Konvergenz
y ′ = √ t, y(0) = 0, Fehler bei t = 1
10 −2 Fehler gegen Anzahl der Schritte
10 −4
10 −6
Euler
Heun
RK 3
RK 4
10 1 10 2 10 3
Theorie: Um Ordnung p zu beobachten, muss Lösung in C p+1 sein.
Kapitel IV (rk10) 17

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Einfluss der Glattheit der Lösung auf Konvergenz
y ′ = t a , y(0) = 0, Fehler bei t = 1
a = 0.5 a = 1.5 a = 2.5
a = 3.5 a = 4.5 a = 5.5
Bei kleinem a liefern Verfahren höherer Ordnung keine schnellere Konvergenz
Kapitel IV (rk11) 18

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Implizite Runge–Kutta Verfahren
1
2 − √ 3
6
1
2 + √ 3
6
Ordnung 2
1
2
1
2
1
Ordnung 4
1
4
1
4 + √ 3
6
1
2
1
4 − √ 3
6
1
4
1
2
Innere Iteration: k m+1
i
Ordnung 6: Kuntzmann und Butcher
1
2 − √ 15
10
1
2
1
2 + √ 15
10
= f
(
5
36
5
36 + √ 15
24
5
36 + √ 15
30
5
18
2
9 − √ 15
15
2
9
2
9 + √ 15
15
4
9
s∑
t i +α i h i , y i +h i β il kl
m
l=1
5
36 − √ 15
30
5
36 − √ 15
24
5
36
)
5
18
Kapitel IV (rk19) 19

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
y(t)
1.4
1.3
1.2
1.1
Anzahl der inneren Iterationen: M
y ′ = 1 4ty, y(0) = 1
Implizites RK4−Verfahren
exact solution
h = 0.325
h = 0.18571
h = 0.13
y(t)
8
7
6
5
4
3
y ′ = ty 2 , y(0) = 1
Implizites RK4−Verfahren
exact solution
h = 0.325
h = 0.18571
h = 0.13
2
Anzahl der Iterationen
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Zeit t
9
8
7
6
5
4
3
2
1
h = 0.325
h = 0.18571
h = 0.13
Innere Iterationen
Anzahl der Iterationen
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Zeit t
120
100
80
60
40
20
h = 0.325
h = 0.18571
h = 0.13
Innere Iterationen
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Zeit t
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Zeit t
Beobachtung: M abhängig von Schrittweite und Lipschitz–Konstante
Kapitel IV (rk20) 20

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Einfluss des Startwertes auf innere Iteration
y ′ = 1 4 ty, y(0) = 1 Startwerte k0 i+1 = 0 und k0 i+1 = kn max
i
5
Innere Iterationen h = 0.0026
5
Innere Iterationen h = 0.00026
4
4
Anzahl der Iterationen
3
2
1
Startwert 0
Startwert aus vorigem Schritt
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Zeit t
Anzahl der Iterationen
3
2
1
Startwert 0
Startwert aus vorigem Schritt
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Zeit t
Kapitel IV (rk21) 21

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Van der Pol’s Gleichung
I have a theory that whenever you want to get in trouble with a method, look for
the Van der Pol equation. (P. E. Zadunaisky, 1982)
Aufgabe: Modellierung der Schwingung einer Geigensaite.
Pizzicato–Effekt: rasches Abklingen der Schwingung
Bogenstrich hält die Schwingung aufrecht. Die Saite nimmt beim Übergang von Gleit– zu
Haftreibung, bei gleicher Geschwindigkeit von Saite und Bogen, Energie auf.
Modellierung: unstetige Anregung, keine Sinus–Schwingung
x ′′ −ε ( x 2 k −x 2) x ′ +Dx = 0.
mit den Anfangswerten y ′ (0) = 1 und D = 1, sowie ε = 10.
Weitere Beispiele: Uhr (Pendel oder Batterie),
Luftstrom bei Blasinstrumenten
elektrischer Schaltkreis
Kapitel IV (konvergenz10) 22

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Anzahl der inneren Iterationen (implizit RK4)
Vanderpol–Oszillator
Abbruchkriterium: ‖k m+1 −k m ‖ < 10e-12
3 h = 0.1
3 h = 0.076923
250
Innere Iterationen
2
2
1
0
1
0
200
−1
−2
0 10 20 30 40 50
3 h = 0.0625
2
−1
−2
0 10 20 30 40 50
3 h = 0.052632
2
Anzahl der Iterationen
150
100
1
0
1
0
50
−1
−2
0 10 20 30 40 50
−1
−2
0 10 20 30 40 50
0
0 10 20 30 40 50
Zeit t
Beobachtung: lokal stark unterschiedliche Anzahl von Iterationen
Kapitel IV (rk22) 23

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Innere Iterationen: Fixpunkt vs. Newton
Innere Iterationen
200
100
5
0 20 40
20
h = 0.1
Zeit
h = 0.025
Innere Iterationen
40
30
20
h = 0.05
10
5
0
0 20 40
15
Zeit
h = 0.0125
Innere Iterationen
15
10
5
Innere Iterationen
10
5
0
0 20 40
Zeit
0
0 20 40
Zeit
Kapitel IV (rk22a) 24

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Unterschiedliche implizite RK–Verfahren
y ′ = ty 2 , y(0) = 1
8
7
Ordnung 2
Ordnung 4
Ordnung 6
Implizite RK−Verfahren
60
50
Ordnung 2
Ordnung 4
Ordnung 6
Innere Iterationen
y(t)
6
5
4
3
Anzahl der Iterationen
40
30
20
2
10
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Zeit t
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Zeit t
Beobachtung: Anzahl der inneren Iterationen hängt von der Ordnung ab
Kapitel IV (rk24) 25

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Implizite RK–Verfahren: Fehler
y ′ = ty 2 , y(0) = 1
10 0 Anzahl der Schritte
10 −5
Fehler
10 −10
Ordnung 2
Ordnung 4
Ordnung 6
10 1 10 2
Kapitel IV (rk25) 26

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Kollokation
Idee: Setze ein Polynom q i ∈ P(s)([t i ,t i+1 ]) mit
• q i (t i ) = y i
• ˙q(t ij ) = f ( t ij ,q i (t ij ) ) für j = 1,...,s, d.h. q i erfüllt die DGL an den
Kollokationspunkten t ij = t i +α j h i mit 0 ≤ α 1 < α 2 < ... < α s ≤ 1
Setze y i+1 := q i (t i+1 ).
⇒ Mittels Quadratur können damit RKV höherer Ordnung entwickelt werden.
Entsprechend der gewählten Quadratur Regel, lassen sich bei gegebener Stufenzahl
s folgende Ordnung erwarten:
• Gauß-Legendre→Ordnung 2s
• Gauß-Radau IA bzw.IIA→Ordnung 2s − 1 (Anfangs- bzw. Endpunkt mit
eingeschlossen)
• Gauß-Lobatto→Ordnung 2s−2
Neben Radau-IA/IIA gibt es noch weitere Verfahren von Lobatto/Radau
(z.B.Lobatto IIIB,Lobatto IIIC,...).
Kapitel IV (rk44) 27

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Kollokation - Vergleich von 6 impliziten Runge-Kutta
Verfahren
Gauss-Legendre Gauss-Radau-(IIA) Gauss-Lobatto
Stufe 1 impliziter Euler Crank-Nicolson
1 1
0 0 0
1
2
1
2
1
1
1
1
2
Hammer-Hollingsworth Stufe 2 Stufe 3
1
2 − √ 3
6
1
2 + √ 3
6
1
4
1
4 + √ 3
6
1
2
1
4 − √ 3
6
1
4
1
2
1 5
3 12
− 1 12
3 1
1
4 4
3
4
1
4
1
0
6
1 1
2 6
1
1
6
1
6
1
2
1
2
1
2
−1 1
3 6
5
12
− 1
12
2 1
3 6
2
3
1
6
Kapitel IV (rk45) 28

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Kollokation - Vergleich von 6 impliziten Runge-Kutta
Verfahren
10 −2 Number of steps
10 −4
10 −6
Error
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
Hammer−Hollingsworth
Ch 4
Gauss−Lobatto3
Ch 4
Gauss−Radau2
Ch 3
Crank−Nicolson
Ch 2
Impliziter−Euler
Ch 1
Gauss−Legendre1
Ch 2
10 1 10 2
Kapitel IV (rk46) 29

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettete Runge–Kutta Verfahren
Bogacki– und Shampine–Verfahren: FSAL–Verfahren RK3(2)
0
1
2
1
2
3 3
4
0
4
1
2
9
2
p = 3
9
11
ˆp = 2
72
1
3
1
3
5
12
4
9
4
9
5
9
− 1 8
k i 4
k i+1
= f
( ( 2
t i + h i , y i + h i
9 ki 1 + 1 3 ki 2 + 4 ))
9 ki 3
1 = f ( )
t i+1 , y i+1
( ( 2
= f t i + h i , y i + h i
9 ki 1 + 1 3 ki 2 + 4 ))
9 ki 3
= k i 4
First Same As Last
Entspricht in Matlab dem Aufruf von ode23
Kapitel IV (rk16) 30

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Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettete Runge–Kutta Verfahren
DOPRI5(4)–Verfahren: FSAL–Verfahren
0
1
5
3
10
4
5
8
9
1
5
3 9
40 40
44
45
− 56
15
19372
6561
− 25360
2187
9017
1
3168
− 355
33
1
35
348
0
500
1113
35 500
p = 5
348
0
1113
5179 7571
ˆp = 4
57600
0
16695
Entspricht in Matlab dem Aufruf von ode45
32
9
64448
6561
− 212
729
46732 49
5247 176
− 5103
18656
125
192
− 2187
6784
125
192
− 2187
6784
393
640
− 92097
339200
11
84
11
84
187
2100
1
40
Kapitel IV (rk17) 31

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettete Runge–Kutta Verfahren
DOPRI8(7)–Verfahren: Butcherschema
entnommen aus Deuflhard/Bornemann
Kapitel IV (rk18) 32

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Motivation für adaptive Schrittweite
Ziel: Gegebene Genauigkeit mit möglichst minimalem Aufwand zu erreichen
Idee: Wähle lokal unterschiedliche Schrittweiten
Minimierungsproblem: Bestimme für gegebene Anzahl der Schritte die Verteilung
der Stützstellen, so dass der Fehler minimal wird
Aber: Viel zu teuer
Ausweg: Bestimme die Schrittweite möglichst groß, so dass eine relative lokale
Genauigkeit erfüllt ist
Umsetzung: Bestimme den Fehler durch Vergleich mit einer besseren Lösung
• halbe Schrittweite
• höhere Ordnung
h neu =??
Kapitel IV (adapt01) 33

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Adaptives Verfahren: Berechnung der neuen Schrittweite
nach Dahmen-Reusken
p : Ordnung des Verfahrens, EST: Schätzung des Fehlers, Parameter α max , α min ,
β und TOL
α = β p √
hTOL
EST
α = min{α,α max }
α = max{α,α min }
h neu = αh
h neu = min{h neu ,h max }
h neu = max{h neu ,h min }
Validierung: Ist EST ≤ hTOL oder h = h min ?
Kapitel IV (adapt20) 34

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettetes RK4(3)–Verfahren
y ′ = y, y(0) = 1
3
2.5
exakte Loesung
Knoten und lokale Schrittweite
TOL = 1e−6
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
10 −1
10 −2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Beobachtung: Geringe Schwankungen in der Schrittweite
y
2
h
1.5
Kapitel IV (adapt02) 35

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettetes RK4(3)–Verfahren
y ′ = −200ty 2 , y(0) = 1
1
0.8
exakte Loesung
Knoten und lokale Schrittweite
TOL = 1e−5
10 −1 t
0.6
y
h
0.4
0.2
10 −2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Beobachtung: Starke Schwankungen in der Schrittweite
Kapitel IV (adapt03) 36

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettetes RK4(3)–Verfahren
y ′ = −sgn(t)y, y(−1) = 1/e
1
exakte Loesung
Knoten und lokale Schrittweite
TOL = 1e−5
10 −1 t
y
0.8
0.6
0.4
h
10 −2
10 −3
0.2
−1 −0.5 0 0.5 1
t
10 −4
−1 −0.5 0 0.5 1
Beobachtung: Algorithmus erkennt die Singularität;
Vorgabe von minimaler Schrittweite verhindert “Festfressen”
Kapitel IV (adapt04) 37

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettetes RK4(3)–Verfahren
Restringiertes Dreikörperproblem (1)
1.5
TOL=0.1−>#f=421
1
0.5
0
−0.5
−1
1.5
TOL=0.01−>#f=741
1
0.5
0
−0.5
−1
1.5
TOL=0.001−>#f=1809
1
0.5
0
−0.5
−1
adaptiv RK4(3)
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
−1.5
adaptiv RK4(3)
0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15
h max = 1.0 · 10 0 h max = 6.1 · 10 −1 h max = 3.3 · 10 −1
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
h avg = 2.8 · 10 −1
h min = 3.0 · 10 −5
h avg = 1.5 · 10 −1
h min = 1.7 · 10 −5
h avg = 6.5 · 10 −2
h min = 9.6 · 10 −6
−1.5
adaptiv RK4(3)
Kapitel IV (adapt05) 38

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettetes RK4(3)–Verfahren
Restringiertes Dreikörperproblem (2)
1.5
TOL=0.1−>#f=369
1
0.5
0
−0.5
−1
1.5
TOL=0.01−>#f=673
1
0.5
0
−0.5
−1
1.5
TOL=0.001−>#f=1653
1
0.5
0
−0.5
−1
adaptiv RK4(3)
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
−1.5
adaptiv RK4(3)
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
h max = 8.4 · 10 −1 h max = 6.7 · 10 −1 h max = 3.6 · 10 −1
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
h avg = 1.9 · 10 −1
h min = 3.0 · 10 −5
h avg = 1.1 · 10 −1
h min = 1.6 · 10 −5
h avg = 4.8 · 10 −2
h min = 9.3 · 10 −6
−1.5
adaptiv RK4(3)
Kapitel IV (adapt06) 39

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettetes RK4(3)–Verfahren
Restringiertes Dreikörperproblem (3)
1.5
TOL=0.1−>#f=405
1
0.5
0
−0.5
−1
1.5
TOL=0.01−>#f=821
1
0.5
0
−0.5
−1
1.5
TOL=0.001−>#f=1813
1
0.5
0
−0.5
−1
adaptiv RK4(3)
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
−1.5
adaptiv RK4(3)
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
h max = 8.6 · 10 −1 h max = 4.5 · 10 −1 h max = 2.5 · 10 −1
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
h avg = 8.8 · 10 −2
h min = 2.7 · 10 −5
h avg = 4.5 · 10 −2
h min = 1.5 · 10 −5
h avg = 2.1 · 10 −2
h min = 8.6 · 10 −6
−1.5
adaptiv RK4(3)
Kapitel IV (adapt07) 40

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettetes RK4(3)–Verfahren
Restringiertes Dreikörperproblem (4)
1.5
TOL=0.1−>#f=2085
1
0.5
0
−0.5
−1
1.5
TOL=0.01−>#f=2205
1
0.5
0
−0.5
−1
1.5
TOL=0.0001−>#f=9193
1
0.5
0
−0.5
−1
adaptiv RK4(3)
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
−1.5
adaptiv RK4(3)
0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25
h max = 5.3 · 10 −1 h max = 3.2 · 10 −1 h max = 9.0 · 10 −2
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
h avg = 1.0 · 10 −1
h min = 3.2 · 10 −5
h avg = 9.7 · 10 −2
h min = 2.6 · 10 −3
h avg = 2.0 · 10 −2
h min = 1.4 · 10 −4
−1.5
adaptiv RK4(3)
Kapitel IV (adapt08) 41

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Eingebettetes RK4(3)–Verfahren
Vanderpol–Oszillator
3
TOL=10−>#f=2025
2
1
0
−1
−2
3
TOL=1−>#f=2105
2
1
0
−1
−2
3
TOL=0.1−>#f=2513
2
1
0
−1
−2
adaptiv RK4(3)
−3
−3
0 10 20 30 40 50
adaptiv RK4(3)
0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50
h max = 7.8 · 10 −1 h max = 8.1 · 10 −1 h max = 5.0 · 10 −1
0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50
h avg = 1.4 · 10 −1
h min = 7.1 · 10 −7
h avg = 1.3 · 10 −1
h min = 4.5 · 10 −7
h avg = 1.1 · 10 −1
h min = 2.8 · 10 −7
−3
adaptiv RK4(3)
Kapitel IV (adapt09) 42

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Runge–Kutta: adaptiv vs. äquidistant
Restringiertes Dreikörperproblem, Fehler e(T)
10 0
10 −2
Fehler
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
adaptiv
aequidistant
10 2 10 3 10 4 10 5 10 6
Anzahl der Funktionsauswertungen
Blau: Standard RK 4–Verfahren, Rot: eingebettetes RK4(3)–Verfahren
Für einen Fehler in der Größenordnung von 1 km benötigt das äquidistante Verfahren mit 384000
Funktionsauswertungen über 60mal mehr als das adaptive (6261).
Kapitel IV (adapt11) 43

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Runge–Kutta: adaptiv vs. äquidistant
Restringiertes Dreikörperproblem
60
40
#f = 1000
1.5
1
#f = 741
20
0.5
0
0
−20
−0.5
−40
−1
−60
RK 4
−40 −20 0 20 40 60
adaptiv RK4(3)
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
Blau: ÄquidistantePunkte,
Rot: Adaptive Punkte,
bei ähnlicher Anzahl von Funktionsauswertungen.
Kapitel IV (adapt12) 44

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Runge–Kutta: adaptiv vs. äquidistant
Vanderpol–Oszillator, Fehler e(T)
10 −2 adaptiv
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
äquidistant
C*Anzahl 4
10 4 10 5
Anzahl der Funktionsauswertungen
Blau: Standard RK4–Verfahren, Rot: eingebettetes RK4(3)–Verfahren
Kapitel IV (adapt13) 45

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Runge–Kutta: adaptiv vs. äquidistant
Vanderpol–Oszillator
Lösung x(t)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
#f = 2452
3
#f=2513
2
1
0
−1
−1.5
−2
RK4, h = 0.081566
−2.5
0 10 20 30 40 50
Zeit t
−2
adaptiv RK4(3)
−3
0 10 20 30 40 50
Blau: Äquidistante Punkte, Rot: Adaptive Punkte,
bei ähnlicher Anzahl von Funktionsauswertungen.
Kapitel IV (adapt14) 46

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Lokale Schrittweite
Dreikörper-Problem
2
TOL = 1e-2
Eingebettetes Runge−Kutta Verfahren RK4(3)
2
TOL = 1e-3
Eingebettetes Runge−Kutta Verfahren RK4(3)
1
1
0
0
−1
−1
TOL = 1e−02, Schritte = 10717
−2
−2 −1 0 1
Schrittweite
TOL = 1e−03, Schritte = 38897
−2
−2 −1 0 1
Schrittweite
10 0 t
10 0 t
10 −1
10 −1
10 −2
10 −2
10 −3
10 −3
h
h
10 −4
10 −4
10 −5
10 −5
10 −6
10 −6
10 −7
0 5 10 15 20 25
10 −7
0 5 10 15 20 25
Kapitel IV (adapt16) 47

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Lokale Schrittweite
Vanderpol-Oszillator
TOL = 1e-1
3
Lösung
Schrittweite
10 0 t
x(t)
2
1
0
−1
−2
h
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
−3
0 10 20 30
t
0 5 10 15 20 25 30
Kapitel IV (adapt17) 48

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Fehlversuche: Einfluss des Faktors β
Vanderpol-Oszillator
β = 0.85
Schrittweite
TOL = 5·10 −2 ,α max = 2,α min = 0.5
β = 0.9
Schrittweite
β = 0.95
Schrittweite
10 0 t
10 0 t
10 0 t
10 −1
10 −1
10 −1
10 −2
10 −2
10 −2
h
h
h
10 −3
10 −3
10 −3
10 −4
10 −4
10 −4
0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30
# Fehlversuche: 108
# Schritte: 1149
Aufwand: 1302
# Fehlversuche: 172
# Schritte: 1095
Aufwand: 1267
# Fehlversuche: 320
# Schritte: 1012
Aufwand: 1332
Kapitel IV (adapt18) 49

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Fehlversuche: Einfluss der Toleranz
Vanderpol-Oszillator
TOL = 5·10 −1
Schrittweite
β = 0.9,α max = 2,α min = 0.5
TOL = 5·10 −2
Schrittweite
TOL = 5·10 −3
Schrittweite
10 0 t
10 0 t
10 0 t
10 −1
10 −1
10 −1
10 −2
10 −2
10 −2
h
h
h
10 −3
10 −3
10 −3
10 −4
10 −4
10 −4
0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30
# Fehlversuche: 168
# Schritte: 453
Aufwand: 621
# Fehlversuche: 172
# Schritte: 1095
Aufwand: 1267
# Fehlversuche: 135
# Schritte: 3112
Aufwand: 3247
Kapitel IV (adapt19) 50