Blatt zu Übung 10

Zusammenhang zwischen ⃗ P und der Flächenladungsdichte σ an der Oberfläche.
Wenn Sie die Oberflächenladungsdichte kennen, kann das elektrische
Feld daraus berechnet zu werden. Es empfiehlt sich dabei die Methode zu
verwenden die wir für Probleme in Kugelkoordinaten mit azimutaler Symmetrie
entwickelt haben.
Aufgabe 10.3
In diesem Beispiel betrachten wir eine Metallkugel mit Radius R 1 die eine
Ladung Q trägt. Die Kugel ist von einem homogenen isotropen Dielektrikum
umgeben mit Dielektrizitätskonstante ɛ und elektrischer Suszeptibilität χ e .
Das Dielektrikum bildet eine Kugelschale die sich von R 1 bis zu R 2 (> R 1 )
erstreckt (siehe Skizze). Berechnen Sie die Felder ⃗ D(⃗r ) und ⃗ E(⃗r ), die Polarisationsdichte
⃗ P (⃗r ) und die Oberflächenladungsdichten σ 1 und σ 2 an der
inneren und äußeren Oberfläche des Dielektrikums.
R
ε
1
,
χ e
Q
R 2
• Was sind ⃗ D(⃗r ), ⃗ E(⃗r ) und ⃗ P (⃗r ) für |⃗r | < R 1 ?
• Bestimmen Sie ⃗ D(⃗r ) für |⃗r | > R 1 indem Sie die inhomogene Gleichung
für die Elektrostatik der Dielektrika durch Integration über das Volumen
in das Gauß’sche Gesetz für Dielektrika umschreiben. Benützen
Sie die Kugelsymmetrie des Problems und den Satz von Gauß um D(⃗r )
für |⃗r | > R 1 zu bestimmen.
• Bestimmen Sie nun aus ⃗ D(⃗r ) das Feld ⃗ E(⃗r ) (Fallunterscheidung R 1 <
|⃗r | < R 2 und R 2 < |⃗r |).
• Bestimmen Sie aus ⃗ E(⃗r ) nun noch die Polarisationsdichte ⃗ P (⃗r ), sowie
σ 1 und σ 2 .
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