Blatt zu Übung 10

Übung 10 zur Elektrodynamik, SoSe-2013
Christof Gattringer, Andreas Windisch, Pascal Törek
Aufgabe 10.1
Wir diskutieren nun ein sehr einfaches Modell für die Polarisierung eines Dielektrikums
(siehe Skizze). In den Ursprung des Koordinatensystems setzen
wir einen Atomkern mit Gesamtladung Q. Diese Ladung ist umgeben von einer
homogen geladenen Kugel mit Radius a deren Gesamtladung durch −Q
gegeben ist (”Elektronenwolke”). Ein externes elektrisches Feld ⃗ E = −E⃗e x
verschiebe jetzt die Elektronenwolke um eine Wegstrecke d, wobei wir eine
allfällige Deformation der Elektronenwolke vernachlässigen.
Q
d
a
−Q
E
• Stellen Sie die Kräfte auf die Elektronenwolke auf, die Kraft durch das
externe Feld und die rücktreibende Kraft durch den Kern (Nachdenken!
Der Kern ist im Inneren der negativ geladenen Kugel).
• Aus dem Kräftegleichgewicht erhalten Sie den Abstand d um den die
Elektronenwolke verschoben wird.
• Berechnen Sie jetzt noch das resultierende Dipolmoment ⃗p, die Dipolmomentdichte
⃗ P = ⃗p/V Kugel und die elektrische Suszeptibilität χ e , die
durch ⃗ P = χ e
⃗ E definiert ist.
Aufgabe 10.2
Gegeben sei eine Kugel mit konstanter Polarisation ⃗ P = P⃗e z und Radius R.
Berechnen Sie das elektrische Feld im Außenraum. Verwenden Sie dazu den
1

Zusammenhang zwischen ⃗ P und der Flächenladungsdichte σ an der Oberfläche.
Wenn Sie die Oberflächenladungsdichte kennen, kann das elektrische
Feld daraus berechnet zu werden. Es empfiehlt sich dabei die Methode zu
verwenden die wir für Probleme in Kugelkoordinaten mit azimutaler Symmetrie
entwickelt haben.
Aufgabe 10.3
In diesem Beispiel betrachten wir eine Metallkugel mit Radius R 1 die eine
Ladung Q trägt. Die Kugel ist von einem homogenen isotropen Dielektrikum
umgeben mit Dielektrizitätskonstante ɛ und elektrischer Suszeptibilität χ e .
Das Dielektrikum bildet eine Kugelschale die sich von R 1 bis zu R 2 (> R 1 )
erstreckt (siehe Skizze). Berechnen Sie die Felder ⃗ D(⃗r ) und ⃗ E(⃗r ), die Polarisationsdichte
⃗ P (⃗r ) und die Oberflächenladungsdichten σ 1 und σ 2 an der
inneren und äußeren Oberfläche des Dielektrikums.
R
ε
1
,
χ e
Q
R 2
• Was sind ⃗ D(⃗r ), ⃗ E(⃗r ) und ⃗ P (⃗r ) für |⃗r | < R 1 ?
• Bestimmen Sie ⃗ D(⃗r ) für |⃗r | > R 1 indem Sie die inhomogene Gleichung
für die Elektrostatik der Dielektrika durch Integration über das Volumen
in das Gauß’sche Gesetz für Dielektrika umschreiben. Benützen
Sie die Kugelsymmetrie des Problems und den Satz von Gauß um D(⃗r )
für |⃗r | > R 1 zu bestimmen.
• Bestimmen Sie nun aus ⃗ D(⃗r ) das Feld ⃗ E(⃗r ) (Fallunterscheidung R 1 <
|⃗r | < R 2 und R 2 < |⃗r |).
• Bestimmen Sie aus ⃗ E(⃗r ) nun noch die Polarisationsdichte ⃗ P (⃗r ), sowie
σ 1 und σ 2 .
2