Erzeugung und Messung... - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Ein Versuch des physikalischen Grundpraktikums
des Studiengangs Physik Diplom
der Otto - von - Guericke - Universität Magdeburg
Erzeugung und Messung
magnetischer Felder
Bezeichnung : H2
Themengebiet : Elektronenhülle
Von : Sören Giemsch
Matrikelnummer : 161027
Partner : Stefan Bresch
Studiengang : PH00
Durchgeführt am : 08.11.2001

1 Aufgabenstellung
Ziel des Versuches:
Der Versuch macht mit dem Problem der Erzeugung homogener Magnetfelder und Messmethoden
zur Bestimmung der magnetischen Feldstärke von Zylinderspulen bekannt.
1. Eine Prüfspule mit Fluxmeter ist mittels einer langen Zylinderspule als Feldstärkemessgerät
zu eichen.
2. Die Fluxmeterkonstante ist zu bestimmen.
3. Der Verlauf der magnetischen Feldstärke über der Spulenlänge ist an zwei Zylinderspulen
mit der Prüfspule zu messen und mit dem berechneten Verlauf zu vergleichen.
4. Der Verlauf der Feldstärke der kurzen Zylinderspule ist mit einer HALLsonde zu
messen und mit der vorhergehenden Messung zu vergleichen.
2 Grundlagen zum Versuch
Die magnetische Feldstärke auf der Achse einer vom Strom I durchflossenen Spule der
Länge l, der Windungszahl N und des Durchmessers d berechnet sich nach der Gleichung:
H = NI
2l
⎡
x +
⎣
l 2
√
d 2
+ ( )
−
x + l 2
4 2
x − l 2
√
d 2
+ ( x − l 4 2
) 2
⎤
⎦ (1)
Wobei x der Abstand des Punktes vom Spulenmittelpunkt in Richtung der Spulenachse
ist.
In der Mitte der Spule (x = 0) gilt also:
r = Radius der Spule
H =
NI
√
4r2 + l 2 (2)
Ist l ≧ 20 · r so erhält man den für eine unendlich lange Spule gültigen Grenzfall:
H = NI
l
Wenn (3) gilt, so kann man davon sprechen, dass das Feld im Inneren der Spule über
grosse Bereiche homogen ist. Starke Inhomogenitäten treten nur an den Spulenenden auf.
/1/
Messanordnungen zur Messung magnetischer Felder nutzen zur Gewinnung eines Messsignals
meist den HALL-Effekt oder die Induktionswirkung feldpropotionaler Flussänderungen
auf eine Probespule bekannter Windungszahl.
25
(3)

Der magnetische Fluss durch eine kleine, flache Probespule mit der Fläche A P
Windungszahl N 0 welche sich im Inneren der Spule befindet ist:
und der
φ = µ 0 HA P N 0 = µ 0NA P N 0 I
(4)
l
Wenn der Strom in der zu untersuchenden Spule kommutiert wird, so ändert sich
der magnetische Fluss in der Probespule um 2φ; dadurch wird in der Probespule ein
Spannungsstoß induziert, welche am Fluxmeter einen Ausschlag α hervorruft.
Es gilt die Beziehung:
C F = Fluxmeterkonstante in V s · Skalenteile −1
2φ = α · C F (5)
Es ist leicht ersichtlich, dass der Ausschlag am Fluxmeter proportional zur Feldstärke
in der langen Spule ist.
(5) und (4) ergeben für den Ausschlag:
Für die Fluxmeterkonstante gilt somit:
α = 2µ 0A P N 0 H
C F
(6)
/2/
C F = 2µ 0A P N 0 NI
α · l
(7)
Durch Einwirkung eines magnetischen Feldes kann es zu einer Ladungstrennung in einem
stromdurchflossenen Leiter (rechteckiges Halbleiterplättchen) kommen (HALL-Effekt),
dieser Potentialunterschied wird als HALLspannung U H bezeichnet. Wenn Magnetfeldrichtung
und Elektronengeschwindigkeit senkrecht auf einander stehen, so gilt :
U H = R H
I S B
d
I S = Steuerstrom
d = Dicke des Halbleiterplättchens
R H = HALLkonstante
Die HALLkonstante wird von der Ladungsträgerkonzentration bestimmt. Es gilt:
R H = 1
n · e
n = Ladungsträgerkonzentration in m −3
e = Elementarladung
(8)
(9)
26

Wenn die HALLkonstante bekannt ist und die HALLspannung ermittelt wurde, lässt
sich die magnetische Feldstärke nach (10) ermitteln:
3 Versuchsaufbau
H =
U Hd
A H I S µ 0
(10)
Abbildung 1: Prinzipielles Vorgehen beim Vermessen eines magnetischen Feldes mit einer
HALLsonde
27

Abbildung 2: Prinzipielles Vorgehen beim Vermessen eines magnetischen Feldes mit einer
Probespule und einem Fluxmeter
4 Durchführung und Meßergebnisse
Bei diesem versuch wurden folgende Geräte verwendet:
Ein Schaltnetzteil DPS 4005 der Firma Voltcraft, ein Digitalmultimeter G-1022.500 mit
einem Fehler von 1, 5 % und ein 10 A Shunt der Firma RFT und ein MV 40 DC-Multi-
Pico-Meter der Firma Präcitronic.
Die Maße der Spulen waren:
Prüfspule lange Zylinderspule kurze Zylinderspule
N 0 = 3000 N 1 = 1830 N 2 = 1645
r 0 = (0, 012 ± 0, 001) m r 1 = (0, 035 ± 0, 005) m R 2 = (0, 040 ± 0, 005) m
l 1 = (0, 60 ± 0, 05) m l 1 = (0, 15 ± 0, 05) m
Um die Fluxmeterkonstante zu bestimmen, wurde die Prüfspule in die Mitte der langen
Zylinderspule gebracht (wie in Abb. 2 angedeutet). Dann liess man einen Strom durch
die Spule fliessen was den Aufbau eines magnetischen Feldes zur Folge hatte (Gl. (3) ).
Wurde der Strom nun kommutiert, so wurde in der Prüfspule eine Spannung induziert, was
wiederum einen Ausschlag des Fluxmeters zur Folge hatte. Dann wurde die Stromstärke
erhöht und weiter so verfahren wie vorher.
28

Die Prüfspule hatte einen Querschnitt von A = 4, 52 · 10 −4 m 2 ± 7, 54 · 10 −5 m 2
Tabelle 1: Abhängigkeit des Ausschlag des Fluxmeters α von der Stromstärke I
I in A ±1, 5 % 2φ in mWb ±1, 5 % (α 1 ± 5) Skt (α 2 ± 5) Skt (α 3 ± 5) Skt
0,00 0,0 16 16 0
0,15 1,6 17 20 3
0,30 3,1 14 21 7
0,45 4,7 13 23 10
0,60 6,2 9 22 13
0,75 7,8 8 24 16
0,90 9,4 7 27 20
1,05 10,9 9 31 22
1,20 12,5 -4 22 26
1,35 14,0 2 31 29
1,50 15,6 4 36 32
1,65 17,2 5 40 35
1,80 18,7 0 38 38
1,95 20,3 0 41 41
2,10 21,8 1 45 44
2,25 23,4 -7 40 47
2,40 24,9 -9 41 50
2,55 26,5 -20 35 55
2,70 28,1 -15 42 57
2,85 29,6 -16 49 65
3,00 31,2 -20 44 64
29

60
55
50
45
40
2φ in mWb
35
30
25
20
15
10
5
0
0 3 5 8 10 13 15 18 20 23 25 28 30
α in Skt.
Abbildung 3: Abhängigkeit des Fluxmeterausschlags α von der Änderung des magnetischen
Flusses
Die lineare Regression ergab für die Fluxmeterkonstante einen Wert von
C F = (462, 0 · 10 −6 ± 97, 9 · 10 −6 ) V s
Beim zweiten Teilexperiment wurde das Feld der selben Spule mit der Prüfspule längs der
Zylinderachse vermessen. Dabei wurde der Strom durch die Spule konstant bei I = 3 A
gehalten und die Position der Prüfspule jeweils um einen Zentimeter verändert, dann
wurde wieder die Stromrichtung umgekehrt und der Ausschlag bestimmt. Auf der zweiten
Zylinderhälfte wurden nur drei Probemessungen vorgenommen, denn Aufgrund der
Symmetrie müssen es die gleichen Werte sein.
Bei der kurzen Spule wurde der Strom konstant bei I = 1 A gehalten. Es wurden beide
Zylinderhälften vermessen.
30

Tabelle 2: Abhängigkeit der Feldstärke H von der Position x bei der langen Spule
(x ± 0, 5) cm (α 1 ± 5) Skt (α 2 ± 5) Skt (α 3 ± 5) Skt H in A · s −1 ± 28%
0 -16 48 64 8676
1 -19 42 61 8269
2 -29 34 63 8540
3 -29 35 64 8676
4 -28 35 63 8540
5 -31 32 63 8540
6 -32 32 64 8676
7 -31 32 63 8540
8 -30 33 63 8540
9 -36 28 64 8676
10 -23 40 63 8540
11 -30 34 64 8676
12 -37 26 63 8540
13 -29 35 64 8676
14 -38 26 64 8676
15 -37 26 63 8540
16 -29 34 63 8540
17 -32 31 63 8540
18 -29 34 63 8540
19 -38 24 62 8405
20 -27 25 52 7049
21 -34 27 61 8269
22 -29 32 61 8269
23 -40 20 60 8134
24 -27 32 59 7998
25 -37 21 58 7863
26 -32 24 56 7592
27 -22 31 53 7185
28 -18 30 48 6507
29 -20 20 40 5423
-10 -28 35 63 8540
-20 -27 35 62 8405
-25 -26 31 57 7727
31

H in A/s
9250
9000
8750
8500
8250
8000
7750
7500
7250
7000
6750
6500
6250
6000
5750
5500
5250
5000
4750
4500
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
x in cm
Abbildung 4: Verlauf der magnetischen Feldstärke entlang der Zylinderachse bei der langen
Spule
Tabelle 3: Abhängigkeit der Feldstärke H von der Position x bei der kurzen Spule
(x ± 0, 5) cm (α 1 ± 5) Skt (α 2 ± 5) Skt (α 3 ± 5) Skt H in A · s −1 ± 28%
-7 -10 32 42 5694
-6 -18 38 56 7592
-5 -16 46 62 8405
-4 -25 40 65 8812
-3 -35 38 73 9896
-2 -11 52 63 8540
-1 -5 64 69 9354
0,5 1 70 69 9354
1,5 -2 65 67 9083
2,5 0 64 64 8676
3,5 -17 44 61 8269
4,5 -13 42 55 7456
5,5 -10 44 54 7320
6,5 -12 30 42 5694
32

H in A/m
9750
9500
9250
9000
8750
8500
8250
8000
7750
7500
7250
7000
6750
6500
6250
6000
5750
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x in cm
Abbildung 5: Verlauf der magnetischen Feldstärke entlang der Zylinderachse bei der kurzen
Spule
Beim dritten Teilexperiment wurde die kurze Spule nochmals mit Hilfe einer HALLsonde
vermessen. Weil die Kontaktierungen an der HALLsonde nicht ideal sind, wurde die
HALLspannung für alle vier möglichen Strompolaritäten bestimmt. Die HALLspannung
errechnet sich dann nach:
U H = 1 ( 1 I+
(UB+ 2 2 − U I+
B− ) + 1 )
I−
(UB+ 2 − U I−
B− ) (11)
Wobei die Indizes jeweils die Richtung des Stromes in der Spule bzw. die Richtung des
Steuerstromes angeben.
Der Strom durch die Spule war wieder konstant und betrug : I = ±2 A
Die HALLkonstante betrug : A H = 0, 35 · 10 −3 V sA −1 m −1
Die Dicke der HALLsonde war : d = 1, 8 mm
Der Steuerstrom betrug : I S = 25 mA
33

Tabelle 4: Abhängigkeit der Feldstärke H von der Position x bei der kurzen Spule ermittelt
mit Hilfe einer HALLsonde
(x ± 0, 5) (U I+
I+
I−
I−
B+
± 0, 5) (UB− ± 0, 5) (UB+ ± 0, 5) (UB− H ± 0, 5) (H ± 518)
cm mV mV mV mV mV A · m −1
7,5 -7,5 -17,0 15,0 5,8 4,67 7653
6,5 -6,0 -18,5 17,0 4,0 6,37 10436
5,5 -4,0 -20,0 18,0 3,0 7,75 12686
4,5 -3,0 -22,0 20,0 1,5 9,37 15347
3,5 -2,0 -23,0 21,0 0,0 10,50 17188
2,5 -1,0 -23,5 22,0 0,0 11,12 18211
1,5 -0,5 -24,0 22,2 0,0 11,42 18702
0,5 0,0 -24,0 22,5 -1,0 11,87 19439
-0,5 0,0 -25,0 23,0 -1,5 12,37 20258
-1,5 0,0 -24,5 22,5 -1,2 12,05 19726
-2,5 0,0 -24,5 22,8 -1,5 12,20 19971
-3,5 -0,5 -24,0 22,2 -1,0 11,67 19112
-4,5 -1,0 -24,0 22,0 -1,0 11,50 18825
-5,5 -1,5 -23,5 21,5 0,0 10,87 17802
-6,5 -2,5 -22,5 20,5 0,8 9,92 16247
-7,5 -4,0 -21,0 19,0 2,0 8,50 13914
21000
20000
19000
18000
17000
16000
H in A/m
15000
14000
13000
12000
11000
10000
9000
8000
7000
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x in cm
Abbildung 6: Verlauf der magnetischen Feldstärke entlang der Zylinderachse bei der kurzen
Spule ermittelt mit Hilfe einer HALLsonde
34

Um den Verlauf der magnetischen Feldstärken in den Spulen besser vergleichen zu
können, wurden die gemessenen und berechneten Feldstärken jeweils auf den höchsten
theoretischen Wert normiert und gemeinsam in einem Diagramm dargestellt.
relative magnetische Feldstärke
1,05
1,03
1,00
0,98
0,95
0,93
0,90
0,88
0,85
0,83
0,80
0,78
0,75
0,73
0,70
0,68
0,65
0,63
0,60
0,58
0,55
0,53
0,50
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
x in cm
Abbildung 7: Relative Feldstärke längs der Achse der Zylinderspulen
- mit Fluxmeter gemessene Feldstärke der langen Spule
- mit Fluxmeter gemessene Feldstärke der kurzen Spule
- mit HALLsonde gemessene Feldstärke der kurzen Spule
Die durchgezogenen Linien stellen jeweils den theoretischen Verlauf dar.
5 Diskussion
Bei diesem Versuch wurden die magnetischen Felder zweier Zylinderspulen untersucht.
Dazu musste zuerst der Zusammenhang zwischen der Änderung des magnetischen Flusses
und dem Ausschlag am Fluxmeter untersucht werden. Nach Gl. (5) wurde erwartet,
dass dieser Zusammenhang linear ist. Wie in Abb. 3 zu sehen, konnte dies bestätigt
werden. Mit Hilfe der linearen Regression konnte die Fluxmeterkonstante zu: C F =
(462 · 10 −6 ± 97, 9 · 10 −6 ) V s bestimmt werden.
Danach wurde der Verlauf der Feldstärke entlang der Spulenachsen bestimmt. Bei der
langen Spule wurde aufgrund der Symmetrie nur die eine Spulenhälfte vermessen, die drei
Kontrollwerte für die andere Hälfte bestätigen, dass diese Annahme richtig war, wie Abb.
4 zeigt. Zur übersichtlicheren Darstellung wurden bis zu einem Abstand x = 20 cm nur
die Hälfte der Messwerte in das Diagramm aufgenommen, da das Magnetfeld im Inneren
35

der langen Spule als homogen betrachtet werden kann (ausser an den Spulenenden) tut
das der grafischen Darstellung keinen Abbruch. Aus Abb. 4 ist zu erkennen, dass die gemessenen
Werte bis zu 750 A · m −1 unter den zu erwartenden Werten lagen. Dies kann
daran liegen, dass die Spule nicht korrekt gewickelt ist, ist aber vermutlich auf Messfehler
zurückzuführen, denn bei der Messung mit dem Fluxmeter war es nicht möglich den
korrekten Ausschlag festzustellen, da der Zeiger sich sehr schnell wieder in seine Ausgangsposition
zurückbewegte. Die Werte liegen allerdings innerhalb der Fehlergrenzen.
Auch ist es möglich, dass die Fluxmeterkonstante in Wirklichkeit höher liegt, denn sie
wurde unter den Annahmen die für Gl. (3) gelten bestimmt.
Abb. 5 und Abb. 6 zeigen den Verlauf der magnetischen Feldstärke einer kurzen Spule.
Wie zu erwarten ist zu erkennen, dass das Magnetfeld sehr inhomogen ist und nicht nur an
den Rändern wie bei einer langen Spule. Abb. 5 zeigt den mit dem Fluxmeter gemessenen
Verlauf; Abb. 6 zeigt den mit Hilfe einer HALLsonde gemessenen Verlauf. In beiden Diagrammen
stellt die durchgezogene Kurve den theoretischen Verlauf dar. In beiden Fällen
weicht die gemessene Kurve von der berechneten ab. Die gemessene Kurve scheint nach
links verschoben zu sein, dies ist vermutlich darauf zurückzuführen, dass der Spulenmittelpunkt
nicht korrekt bestimmt werden konnte. Berücksichtigt man diesen Sachverhalt,
dann passen sich die gemessenen Kurven gut den berechneten an. Im mittleren Bereich
scheinen die gemessenen Werte entweder niedriger (Abb. 5) oder höher (Abb. 6) als die
berechneten Werte zu sein. Da die Abweichungen jeweils in die entgegengesetzte Richtung
laufen, scheint es sich um einen Messfehler zu handeln.
In Abb. 7 sind die relativen Feldstärken der Spulen gegenübergestellt. Man kann leicht erkennen,
dass die maximalen Feldstärken übereinstimmen, man aber bei der kurzen Spule
nicht davon ausgehen kann, dass das Magnetfeld über einen grösseren Bereich homogen ist.
Die Fehler berechnen sich nach dem linearen Fehlerfortpflanzungsgesetz. Angegeben ist
der jeweils grösste Fehler.
∆A P = 2πr 0 = 7, 54 · 10 −5 m 2
∣ ∣ ∆C F =
2µ 0 N 0 NI ∣∣∣ ∣ · ∆A P +
2µ 0 N 0 NA P
∣∣∣
α · l
∣
· ∆I
α · l ∣ + − 2µ 0N 0 NIA P
· ∆α
α 2 · l ∣ +
+
∣ −2µ 0N 0 NIA P
· ∆l
α · l 2 ∣ = (8, 67 · 10−6 + 1, 56 · 10 −5 + 6, 93 · 10 −5 + 4, 33 · 10 −6 ) V s
∆φ =
2µ 0 N 0 NI
∣ l
= 97, 9 · 10 −6 V s
∣ ∣ ∣∣∣ · ∆A P +
2µ 0 N 0 NA P
∣∣∣
∣
· ∆I
l ∣ + − 2µ 0N 0 NIA P
· ∆l
l 2 ∣
= (2, 6 + 0, 23 + 1, 3) mW b = 4, 13 mW b
36

∣ ∣ ∆H =
C F
∣∣∣
∣ · ∆α
2µ 0 N 0 A P
∣ + α ∣∣∣ · ∆C F +
2µ 0 N 0 A P
∣ − αC ∣
F ∣∣∣
· ∆A
2µ 0 N 0 A 2 P
P
= (678 + 1838 + 4 · 10 −9 ) A · m −1 = 2516 A · m −1
Bei der Ermittlung der Feldstärke unter Zuhilfenahme des HALL-Effektes ergibt sich
der Fehler nach:
∣ ∆H =
d ∣∣∣ ∣ · ∆U H +
µ 0 A H I S
∣ − U ∣
Hd ∣∣∣
· ∆I
µ 0 A H IS
2 S = (161 + 357) A · m −1 = 518 A · m −1
6 Literatur
/1/ Walcher, W / Praktikum der Physik, SB.G. Teubner Stuttgart, 6. Auflage 1989
/2/ Autorenkollektiv / Versuchsanleitungen Physikalisches Grundpraktikum, Institut
für Experimentelle Physik, Otto - von - Guericke - Universität Magdeburg, 1991
37

7 Berichtigung
Gerechnet wurde mit dem vollen Fluxmeterausschlag, da der Strom durch die Spule kommutiert
wurde, entspricht das natürlich dem doppelten Ausschlag, wie als wenn man nur
den Strom abgeschaltet hätte. Dies wurde allerdings in den Gl. (5), (6) und (7) berücksichtigt.
Dass der berechnete Verlauf von dem gemessenem so stark abweicht, liegt daran,
dass die ersten sechs Werte aus Tabelle 1 Fehler von bis zu 75% haben. Lässt man diese
Werte zur Ermittlung der Fluxmeterkonstante aussen vor, so erhält man:
C F = (487 ± 98) µV s
Damit ändern sich natürlich die Werte für die Feldstärke H aus Tabelle 2.
Der selbe Fehler erklärt natürlich auch, warum der berechnete Verlauf von den dargestellten
Werten in Abb. 5 abweicht.
Wie man leicht an Abb. 8 sieht, stimmt der berechnete Verlauf (durchgezogene Kurve)
sehr gut mit dem gemessenem überein.
H in A/m
9250
9000
8750
8500
8250
8000
7750
7500
7250
7000
6750
6500
6250
6000
5750
5500
5250
5000
4750
4500
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30
x in cm
Abbildung 8: Verlauf der magnetischen Feldstärke entlang der Zylinderachse bei der langen
Spule
38

Tabelle 5: Abhängigkeit der Feldstärke H von der Position x bei der kurzen Spule (berichtigt)
(x ± 0, 5) cm H in A · m −1 ± 28%
0 9146
1 8717
2 9003
3 9146
4 9003
5 9003
6 9146
7 9003
8 9003
9 9146
10 9003
11 9146
12 9003
13 9146
14 9146
15 9003
16 9003
17 9003
18 9003
19 8860
20 7431
21 8717
22 8717
23 8574
24 8431
25 8288
26 8002
27 7574
28 6859
29 5716
-10 9003
-20 8860
-25 8145
Desweiteren wurde in Abb. 7 auf den höchsten theoretischen Wert normiert. Dies ist
nicht korrekt. Abb. 9 gibt den richtigen Verlauf der relativen Feldstärke an.
39

1,0
relative magnetische Feldstärke
0,8
0,6
-30 -20 -10 0 10 20 30
x in cm
Abbildung 9: Relative Feldstärke längs der Achse der Zylinderspulen
- mit Fluxmeter gemessene Feldstärke der langen Spule
- mit Fluxmeter gemessene Feldstärke der kurzen Spule
- mit HALLsonde gemessene Feldstärke der kurzen Spule
40

8 Anmerkungen von Dr. Ecklar
- Abb. 2, Tabelle 3 und 1 Richtung von ⃗ B einzeichnen
- zu Tabelle 1 und Abb. 3 → Bitte prüfen ob mit α oder 2α bzw. H oder 2H gerechnet
wurde → Berichtigung
666