Thesis - Tumb1.biblio.tu-muenchen.de - Technische Universität ...
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etrachteter Gesamtoberfläche ( berücksichtigt. Die notwendigen<br />
)2 37 Permeation_______________________________________________________________Seite 2.3<br />
π φ ⁄ 2<br />
Randbedingungen wur<strong>de</strong>n wie bereits bei Prins und Hermans wie folgt <strong>de</strong>finiert:<br />
c( 0,<br />
r) = für r<br />
∂c ⁄ ∂z 0<br />
( ) = c1 = r0<br />
c0<br />
(<br />
c dPolymerr ,<br />
)z0<br />
≤<br />
= für r ><br />
für alle r<br />
r0<br />
Zusätzlich sollte die Diffusion durch die Zylin<strong>de</strong>rseitenwän<strong>de</strong> nicht möglich sein:<br />
( )rφ2<br />
∂c ⁄ ∂r<br />
= 0 für alle z =<br />
Schließlich muss auf <strong>de</strong>r zentralen Schichtdickenachse noch die Symmetrie erfüllt sein:<br />
( )r0<br />
∂c ⁄ ∂r<br />
= 0 für alle z =<br />
Die Autoren lösten jedoch nicht die so aufgestellte LaPlace-Gleichung mit <strong>de</strong>n<br />
entsprechen<strong>de</strong>n Randbedingungen, son<strong>de</strong>rn vielmehr ein etwas allgemeineres Problem,<br />
die Poisson-Gleichung in<br />
⁄<br />
Zylin<strong>de</strong>rkoordinaten:<br />
⎛<br />
-------<br />
1<br />
-- ∂ ⎞<br />
⎜ + ---- + ------- ⎟ c( r,<br />
z)<br />
= s( r,<br />
z)<br />
⎝ r ∂r ⎠<br />
(2-43)<br />
wobei r <strong>de</strong>n Radius, z die Position senkrecht zur Oberfläche im Polymer, c(r,z) und s(r,z)<br />
die Konzentration am Ort (r,z) bzw. eine allgemeine Funktion vom Ort darstellt. Der<br />
vollständige Lösungsweg und <strong>de</strong>r numerische Berechnungsalgorithmus ist für eine<br />
knappe Darstellung jedoch zu komplex, daher wird hierfür auf die Originallitera<strong>tu</strong>r<br />
verwiesen<br />
∂2 ∂2<br />
[94,95].<br />
Beu und Mercea verglichen ihre durch Finite-Differenzen Metho<strong>de</strong>n ermittelten Werte<br />
mit experimentellen Daten aus <strong>de</strong>r Veröffentlichung von Mercea, Silipas und Ursu [86]<br />
sowie mit Berechnungen über Gleichung (2-32). Die Finite-Differenzen Metho<strong>de</strong> führte<br />
dabei auf noch geringere Durchlässigkeiten als durch das erweiterte Mo<strong>de</strong>ll nach Prins<br />
und Hermans (Gleichung (2-32)) beschrieben wur<strong>de</strong>. Die experimentell beobachteten<br />
Permeationsraten lagen im Vergleich zur theoretischen Vorhersage sogar um circa eine<br />
Größenordnung höher. Als Begründung für die <strong>de</strong>utliche Abweichung verwiesen die<br />
Autoren wie<strong>de</strong>rum auf zusätzliche Permeationswege wie Oberflächendiffusion o<strong>de</strong>r<br />
Molekularströmung entlang Korngrenzen.<br />
∂r2<br />
∂z2<br />
Des Weiteren wur<strong>de</strong>n Konzentrationsprofile mit <strong>de</strong>m aufgestellten Mo<strong>de</strong>lls berechnet.<br />
So stellten Beu und Mercea fest, dass bei gegebener Defektgröße und -häufigkeit mit<br />
zunehmen<strong>de</strong>r Polymerdicke die Barrierewirkung durch das Metallisieren abnahm.<br />
Ausser<strong>de</strong>m fällt die Barriereverbesserung für eine steigen<strong>de</strong> Gesamt<strong>de</strong>fektfläche Θ für<br />
dünne metallisierte Polymerfolien schneller ab, als dies <strong>de</strong>r Fall für eine dickere ist. Wie<br />
Jamieson und Windle vor ihnen stellten auch sie fest, dass die direkt unterhalb <strong>de</strong>r<br />
Metallisierung befindliche Schicht die Permeationseigenschaften stark beeinflusst.