Thesis - Tumb1.biblio.tu-muenchen.de - Technische Universität ...

etrachteter Gesamtoberfläche ( berücksichtigt. Die notwendigen
)2 37 Permeation_______________________________________________________________Seite 2.3
π φ ⁄ 2
Randbedingungen wurden wie bereits bei Prins und Hermans wie folgt definiert:
c( 0,
r) = für r
∂c ⁄ ∂z 0
( ) = c1 = r0
c0
(
c dPolymerr ,
)z0
≤
= für r >
für alle r
r0
Zusätzlich sollte die Diffusion durch die Zylinderseitenwände nicht möglich sein:
( )rφ2
∂c ⁄ ∂r
= 0 für alle z =
Schließlich muss auf der zentralen Schichtdickenachse noch die Symmetrie erfüllt sein:
( )r0
∂c ⁄ ∂r
= 0 für alle z =
Die Autoren lösten jedoch nicht die so aufgestellte LaPlace-Gleichung mit den
entsprechenden Randbedingungen, sondern vielmehr ein etwas allgemeineres Problem,
die Poisson-Gleichung in
⁄
Zylinderkoordinaten:
⎛
-------
1
-- ∂ ⎞
⎜ + ---- + ------- ⎟ c( r,
z)
= s( r,
z)
⎝ r ∂r ⎠
(2-43)
wobei r den Radius, z die Position senkrecht zur Oberfläche im Polymer, c(r,z) und s(r,z)
die Konzentration am Ort (r,z) bzw. eine allgemeine Funktion vom Ort darstellt. Der
vollständige Lösungsweg und der numerische Berechnungsalgorithmus ist für eine
knappe Darstellung jedoch zu komplex, daher wird hierfür auf die Originalliteratur
verwiesen
∂2 ∂2
[94,95].
Beu und Mercea verglichen ihre durch Finite-Differenzen Methoden ermittelten Werte
mit experimentellen Daten aus der Veröffentlichung von Mercea, Silipas und Ursu [86]
sowie mit Berechnungen über Gleichung (2-32). Die Finite-Differenzen Methode führte
dabei auf noch geringere Durchlässigkeiten als durch das erweiterte Modell nach Prins
und Hermans (Gleichung (2-32)) beschrieben wurde. Die experimentell beobachteten
Permeationsraten lagen im Vergleich zur theoretischen Vorhersage sogar um circa eine
Größenordnung höher. Als Begründung für die deutliche Abweichung verwiesen die
Autoren wiederum auf zusätzliche Permeationswege wie Oberflächendiffusion oder
Molekularströmung entlang Korngrenzen.
∂r2
∂z2
Des Weiteren wurden Konzentrationsprofile mit dem aufgestellten Modells berechnet.
So stellten Beu und Mercea fest, dass bei gegebener Defektgröße und -häufigkeit mit
zunehmender Polymerdicke die Barrierewirkung durch das Metallisieren abnahm.
Ausserdem fällt die Barriereverbesserung für eine steigende Gesamtdefektfläche Θ für
dünne metallisierte Polymerfolien schneller ab, als dies der Fall für eine dickere ist. Wie
Jamieson und Windle vor ihnen stellten auch sie fest, dass die direkt unterhalb der
Metallisierung befindliche Schicht die Permeationseigenschaften stark beeinflusst.