Thesis - Tumb1.biblio.tu-muenchen.de - Technische Universität ...

–
j
∂ x
2.3 Permeation_______________________________________________________________Seite 21
D----
c
= =
– D c0c1
(2-12)
∂
⋅
----------------
d
Bei Kenntnis des Diffusionskoeffizienten des permeierenden Stoffs im Polymer und der
Konzentration auf der Ober- und Unterseite der Folie kann die zu erwartende
Durchlässigkeit berechnet werden. Oft ist man aber an der Bestimmung des
Diffusionskoeffizienten interessiert. Dieser ergibt sich durch die experimentelle
Ermittelung der Durchlässigkeit, der Konzentrationen auf Ober- und Unterseite und dem
anschließenden Auflösen der Gleichung (2-12).
Wie jedoch schon erwähnt, sind die Konzentrationen und meist nicht bekannt bzw.
schwer zu messen. Daher werden statt dessen meist die extern anliegenden
Dampfdrücke Beschreibung herangezogen. Unter Verwendung der
Definition des Permeationskoeffizienten P (siehe Gleichung (2-1)) ergibt sich:
p1 p0 c1 c0
j
= P ∂ -----
p =
∂x
–
⋅ ----------------
d
– P p0p1
und
zur
(2-13)
Man erkennt hier aber, dass so nur die Überlagerung von Diffusion und Löslichkeit
bestimmt werden kann. Um diese zu separieren, wird meist die sogenannte "Time-lag"
Methode angewandt. Dabei wird die bei einem konstanten Partialdruck- bzw.
Konzentrationsgefälle durch die Folie permeierende Stoffmenge detektiert. Es handelt
sich daher um eine Nicht-Gleichgewichtsmessung. Das zweite Ficksche Gesetz muss
daher integriert werden. Man erhält für den zeitlichen und örtlichen Verlauf der
Konzentration im eindimensionalen Fall [68]:
c
=
+
( – )
+ -------
π
c0 c1c0
⋅
x
--
d
+
--
2
π
∑∞=
cos( iπ) – iπx
--------------------------------- -------
i ⎝
⎛ d ⎠
⎞ ⎛ Di2π2t ⎞
sin exp⎜–----------------
⎟
⎝ ⎠ d2
c0
c1
-------------
1 ⎛-------------------------
( 2i + 1)πx⎞ ⎛ D( 2i + 1)2π2t⎞
sin
exp –----------------------------------
2i + 1 ⎝ d ⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
(2-14)
i1
Für den aus der Unterseite der Folie bei x = d heraustretenden Teilchenstrom ergibt sich
für ca=0 aus ∂N ⁄ ∂t = – D ∂c ⁄ ∂x (siehe Gleichung (2-8)):
d2
4ca
∑∞=
i0
( )xd
N
-------
=
Dt
-----
1
--
2
– – -----
6
( 1 ⎛
--------
Di2π2t⎞
exp⎜–----------------
⎟
⎠ d2
i2)i
⎝
=
(2-15)
Für hinreichend große Zeiten t folgt für die durchgetretene Stoffmenge:
i1
dc0
d2
d
Dc0
π2
∑∞=
N
=
--------- t – ------
⎝ 6D
d2⎠
(2-16)
⎛
⎞