Thesis - Tumb1.biblio.tu-muenchen.de - Technische Universität ...

gewährleistet ist. Des Weiteren ist die Fourierzahl F0 103 Simulationsergebnisse_______________________________Seite und Gittermodelle Erstellte 6.2
folgende Werte nicht übersteigen [158]:
F01
≤ --
2
F01
≤ --
4
F01
≤ --
6
bei 1-dimensionalen Berechnungen
bei 2-dimensionalen Berechnungen
bei 3-dimensionalen Berechnungen, wie sie hier vorliegen.
dimensionsabhängig und darf
Es ist jedoch anzumerken, dass die Berechnung transienter Diffusionsprozesse mittels
Finite-Differenzen Methoden im Allgemeinen eine große Anzahl an Rechenschritten
benötigt, um eine konvergente Lösung zu erzielen. Dies ist auch ein Grund, warum in
dieser Arbeit nur stationäre Diffusionsprobleme untersucht wurden. Weiterhin stellt sich
aufgrund der geringen Diffusionszeiten von kleinen Molekülen durch dünne polymere
Stoffe wie etwa Folien der stationäre Stoffstrom im Vergleich zu den relevanten
Lagerzeiten so schnell ein, dass eine stationäre Betrachtung völlig ausreichend ist.
Schließlich bleibt zusammenfassend festzuhalten, dass bei stabilen Rechnungen
Rundungsfehler nur einen geringen bis verschwindenden Effekt auf die Genauigkeit
haben. Fehler durch die Linearisierung hingegen sind der dominierende Grund für
Ungenauigkeiten der berechneten Lösung. Diese lassen sich jedoch durch geeignete
Gitterverfeinerung deutlich reduzieren.
6.2 Erstellte Gittermodelle und Simulationsergebnisse
Testsimulationen mit äquidistantem Gitteraufbau ließen den Schluss zu, dass die
erforderliche Genauigkeit der Simulation nur für Gitterabstände deutlich unter hundert
Nanometer erzielt werden. Für simulierte Feldgrößen von bis zu 150 x 150 µm2 und
Foliendicken von bis zu einigen zehn Mikrometern sowie Schrittweiten von 100 nm
ergeben sich dann jedoch Gitterpunktzahlen von mehr als 4,5·108. Berücksichtigt man
weiter, dass zur Konvergenz zwischen einigen zehn- und hunderttausend
Iterationsschritte durchgeführt werden müssen, so führt dies selbst auf
Hochleistungsrechnern zu inakzeptabel langen Rechenzeiten von mehreren Wochen.
Daher wurden in dieser Arbeit Gittermodelle mit nichtäquidistanten, an das jeweilige
Problem angepassten Gittern aufgestellt. Diese wurden, ebenso wie die Lösung der
Finiten-Differenzengleichungen auf Basis eines Gauß-Seidl Algorithmus [158] in C++
Programmen implementiert. Mit den erstellten Programmen wurden dann Simulationen
zum Stofftransport durch unterschiedliche Schichtsysteme durchgeführt. Die
Berechnung einer einzelnen simulierten Geometrie dauerte auf handelsüblichen
Personal Computern (CPU: 1,3 GHz AMD Athlon, Hauptspeicherausstattung zwischen
256 MB und 768 MB) typischerweise einige Stunden bis Tage. Im Folgenden werden
diese unterschiedlichen Gittermodelle und die durchgeführten Simulationen dargestellt.