Thesis - Tumb1.biblio.tu-muenchen.de - Technische Universität ...
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Der Fehler in <strong>de</strong>r Näherung <strong>de</strong>r zweiten Ablei<strong>tu</strong>ng hängt in diesem Fall quadratisch vom<br />
verwen<strong>de</strong>ten Gitterabstand ∆x ab. Auch hier führt eine Verfeinerung <strong>de</strong>s Gitters zu<br />
<strong>de</strong>utlich genaueren Ergebnissen.<br />
Simulation und Mo<strong>de</strong>llierung 102_________________________________________________6 Seite<br />
Zur Berechnung <strong>de</strong>s Stofftransports durch eine Folie (Annahme Foliendicke in<br />
z-Rich<strong>tu</strong>ng) wer<strong>de</strong>n zunächst die übrigen Koordinaten (y,z) in gleicher Weise<br />
linearisiert. Anschließend lassen sich die Ablei<strong>tu</strong>ngen in <strong>de</strong>n Fickschen Gesetzen durch<br />
ihre Linearisierungen ersetzen. Gleichung 6-1 und 6-2 lauten damit wie folgt:<br />
Linearisiertes 1. Ficksches Gesetz (Flussdichte durch die Folie):<br />
j = – D∇c<br />
= – D ∂ ----<br />
c = – D c ---------------------------------------------------------------<br />
( x, y,<br />
z + ∆z)<br />
– c( x, y,<br />
z)<br />
∂z<br />
∆z<br />
(6-9)<br />
Linearisiertes 2. Ficksches Gesetz (Diffusionsgleichung):<br />
c<br />
-----------------------------------------------------------------------<br />
( x, y,<br />
z, t + ∆t) – c ( x, y, z,<br />
t ) = D ⋅ ⎛ c ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
( x + ∆x, y,<br />
z,<br />
t)<br />
+ 2c( x, y, z,<br />
t)<br />
+ c( x – ∆x, y, z,<br />
t)<br />
∆t<br />
∆x2<br />
⎝<br />
c( x, y + ∆y, z,<br />
t) + 2c( x, y, z,<br />
t) + c( x, y – ∆y, z,<br />
t)<br />
+ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
c( x, y, z + ∆z,<br />
t) + 2c( x, y, z,<br />
t) + c( x, y, z + ∆z,<br />
t)<br />
+ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⎞<br />
⎠<br />
(6-10)<br />
∆y2<br />
Mögliche Vorfaktoren zur Gitteranpassung, wie sie in <strong>de</strong>r Skizze Abb. 6-1<br />
∆z2<br />
beschrieben<br />
sind, wur<strong>de</strong>n hier zur besseren Übersicht nicht mit angegeben. In <strong>de</strong>n erstellten,<br />
unterschiedlichen Computerprogrammen sind sie in <strong>de</strong>r Form implementiert, wie sie<br />
beispielsweise von Croft und Lilley [158] vorgeschlagen wird.<br />
Insgesamt können dadurch sowohl zeitabhängige als auch zei<strong>tu</strong>nabhängige<br />
Diffusionsprozesse auf <strong>de</strong>m Gitter berechnet wer<strong>de</strong>n. Im Fall zeitabhängiger<br />
Berechnungen müssen für je<strong>de</strong>n Zeitschritt ∆t alle Gitterpunkte berechnet wer<strong>de</strong>n. Es<br />
zeigt sich dabei jedoch, dass nicht je<strong>de</strong> Kombination aus Zeitschrittweite und<br />
Gitterabstand zu stabilen konvergieren<strong>de</strong>n Lösungen führt. In ungünstigen Fällen<br />
beginnen die berechneten Werte mit fortschreiten<strong>de</strong>r Rechenzeit immer stärker zu<br />
oszillieren. Dieses Phänomen ist jedoch nicht unmittelbar auf Rundungsfehler<br />
zurückzuführen, son<strong>de</strong>rn stellt eine Eigenart <strong>de</strong>r partiellen Differentialgleichungen und<br />
ihrer Randbedingungen dar [158]. Zur Abschätzung, ob eine Instabilität auftritt, kann die<br />
Fourierzahl herangezogen wer<strong>de</strong>n.<br />
=<br />
-------------<br />
⋅ ∆t<br />
(6-11)<br />
F0<br />
Gitterverfeinerungen müssen dabei so berücksichtigt wer<strong>de</strong>n, dass die<br />
Stabilitätsbedingung für <strong>de</strong>n größten Zeitschritt und <strong>de</strong>n kleinsten Gitterabstand<br />
F0<br />
D<br />
∆x2