Thesis - Tumb1.biblio.tu-muenchen.de - Technische Universität ...

Der Fehler in der Näherung der zweiten Ableitung hängt in diesem Fall quadratisch vom
verwendeten Gitterabstand ∆x ab. Auch hier führt eine Verfeinerung des Gitters zu
deutlich genaueren Ergebnissen.
Simulation und Modellierung 102_________________________________________________6 Seite
Zur Berechnung des Stofftransports durch eine Folie (Annahme Foliendicke in
z-Richtung) werden zunächst die übrigen Koordinaten (y,z) in gleicher Weise
linearisiert. Anschließend lassen sich die Ableitungen in den Fickschen Gesetzen durch
ihre Linearisierungen ersetzen. Gleichung 6-1 und 6-2 lauten damit wie folgt:
Linearisiertes 1. Ficksches Gesetz (Flussdichte durch die Folie):
j = – D∇c
= – D ∂ ----
c = – D c ---------------------------------------------------------------
( x, y,
z + ∆z)
– c( x, y,
z)
∂z
∆z
(6-9)
Linearisiertes 2. Ficksches Gesetz (Diffusionsgleichung):
c
-----------------------------------------------------------------------
( x, y,
z, t + ∆t) – c ( x, y, z,
t ) = D ⋅ ⎛ c ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( x + ∆x, y,
z,
t)
+ 2c( x, y, z,
t)
+ c( x – ∆x, y, z,
t)
∆t
∆x2
⎝
c( x, y + ∆y, z,
t) + 2c( x, y, z,
t) + c( x, y – ∆y, z,
t)
+ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c( x, y, z + ∆z,
t) + 2c( x, y, z,
t) + c( x, y, z + ∆z,
t)
+ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⎞
⎠
(6-10)
∆y2
Mögliche Vorfaktoren zur Gitteranpassung, wie sie in der Skizze Abb. 6-1
∆z2
beschrieben
sind, wurden hier zur besseren Übersicht nicht mit angegeben. In den erstellten,
unterschiedlichen Computerprogrammen sind sie in der Form implementiert, wie sie
beispielsweise von Croft und Lilley [158] vorgeschlagen wird.
Insgesamt können dadurch sowohl zeitabhängige als auch zeitunabhängige
Diffusionsprozesse auf dem Gitter berechnet werden. Im Fall zeitabhängiger
Berechnungen müssen für jeden Zeitschritt ∆t alle Gitterpunkte berechnet werden. Es
zeigt sich dabei jedoch, dass nicht jede Kombination aus Zeitschrittweite und
Gitterabstand zu stabilen konvergierenden Lösungen führt. In ungünstigen Fällen
beginnen die berechneten Werte mit fortschreitender Rechenzeit immer stärker zu
oszillieren. Dieses Phänomen ist jedoch nicht unmittelbar auf Rundungsfehler
zurückzuführen, sondern stellt eine Eigenart der partiellen Differentialgleichungen und
ihrer Randbedingungen dar [158]. Zur Abschätzung, ob eine Instabilität auftritt, kann die
Fourierzahl herangezogen werden.
=
-------------
⋅ ∆t
(6-11)
F0
Gitterverfeinerungen müssen dabei so berücksichtigt werden, dass die
Stabilitätsbedingung für den größten Zeitschritt und den kleinsten Gitterabstand
F0
D
∆x2