Thesis - Tumb1.biblio.tu-muenchen.de - Technische Universität ...

∂c ⎛
---- D -------
∂2c ∂2c ∂2c⎞
= ⋅ ⎜ + ------- + ------- ⎟
∂t ⎝
⎠
2. Ficksches Gesetz (6-2)
101 Finite-Differenzen-Methode_________________________________________________Seite 6.1
wobei A die betrachtete Fläche, durch die der Fluss tritt, D den Diffusionskoeffizienten,
x, y, z, t die Ortskoordinaten bzw. die Zeit und c die Konzentration wiedergibt.
Betrachtet man nun die Taylorentwicklung der Konzentration
x-Richtung um den Punkt ( x, y,
z)
, so gilt:
c( x + ∆x, y,
z)
in
c( x + ∆x, y,
z) c( x, y,
z) ∆x ∂
∆x
-----c ( x, y,
z)
∂2
------------- --------c ( x, y,
z) ∆x3
= + + + o
∂x
2!
( )2
( )
(6-3)
∂x2
∂y2
∂z2
Division durch und Abbruch nach dem zweiten Glied führt dann auf eine Näherung
der Ableitung in
∂x2
∆x
"Vorwärts"-Richtung:
∂
-----c ( x, y,
z)
∂x
=
c
---------------------------------------------------------------
( x + ∆x, y,
z) – c( x, y,
z)
– o( ∆x)
∆x
(6-4)
Analog ergibt sich die Näherung in "Rückwärts"-Richtung:
c( x– ∆x, y,
z) = c( x, y,
z) – ∆x-----c ∂ ( x, y,
z)
+
∂x
-------------
∆x ∂2
2!
( )2
-------c ( x, y,
z ∆x3
) o
–
( )
(6-5)
∂
-----c ( x, y,
z)
∂x
=
---------------------------------------------------------------
c( x, y,
z) – c( x – ∆x, y,
z)
+ o( ∆x)
∆x
(6-6)
∂x2
Die Näherungen Gl. 6-4 und Gl. 6-6 weisen einen Fehler auf, der proportional zur
Schrittweite bzw. zum Gitterpunktabstand ist. Durch die lokale Verfeinerung des Gitters
und damit eine Reduzierung von ∆x kann somit die Genauigkeit der numerischen
Simulation verbessert werden.
Die für die Diffusion wichtige Näherung der zweiten Ableitung kann durch die Addition
von Gl. 6-3 und Gl. 6-5 bestimmt werden. Man erhält:
c( x + ∆x, y,
z) + c( x – ∆x, y,
z)
= 2c x, y,
z
( ) --------c ( x, y,
z ∆x4
+ ) +
∆x2∂2
o
( )
(6-7)
Umstellen und Division durch ∆x2 führt dann auf die zentrale Differenzennäherung der
zweiten Ableitung:
-------c ( x, y,
z)
=
c
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( x + ∆x, y,
z) + 2c( x, y,
z) + c( x – ∆x, ∆x2
y,
z)
+ o
∂x2
( )
(6-8)
∂x2
∂2
∆x2