Thesis - Tumb1.biblio.tu-muenchen.de - Technische Universität ...
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zu beachten, dass im Bereich von großen Krümmungen o<strong>de</strong>r großen zu erwarten<strong>de</strong>n<br />
Konzentrationsgradienten eine möglichst feine Gitterauflösung erreicht wird. Die<br />
folgen<strong>de</strong> Linearisierung <strong>de</strong>r zu lösen<strong>de</strong>n partiellen Differentialgleichungen (Ficksche<br />
Gesetze) führt sonst zu großen Näherungsfehlern. In Abb. 6-1 ist eine solche<br />
Diskretisierung exemplarisch für ein zweidimensionales Gebiet dargestellt.<br />
Simulation und Mo<strong>de</strong>llierung 100_________________________________________________6 Seite<br />
Abb. 6-1:<br />
Diskrete Approximation eines kontinuierlichen zweidimensionalen Gebiets; Gitterpunkte<br />
Gitterabstän<strong>de</strong> h=sy,j∆y bzw. k=sx,i∆x; Verfeinerungsfaktoren<br />
an und liegen zwischen 0 und 1 (siehe Randbereiche)<br />
sy,j sx,i Pi,j<br />
und und geben<br />
Durch dieses Vorgehen muss daher nicht mehr eine Lösung auf <strong>de</strong>m gesamten<br />
kontinuierlichen Gebiet errechnet wer<strong>de</strong>n, son<strong>de</strong>rn nur noch für die einzelnen<br />
Gitterpunkte Pi,j. Weitere Zwischenwerte können bei Bedarf aus <strong>de</strong>r diskreten Lösung<br />
mittels Interpolationstechniken bestimmt wer<strong>de</strong>n.<br />
Die Diskretisierung <strong>de</strong>r Ablei<strong>tu</strong>ngen <strong>de</strong>r partiellen Differentialgleichungen sowie <strong>de</strong>r<br />
vom System vorgegebenen Randbedingungen erfolgt durch Taylorentwicklung. Dabei<br />
wird je nach auftreten<strong>de</strong>r Ordnung n <strong>de</strong>r Ablei<strong>tu</strong>ng die Entwicklung nach dieser Zahl an<br />
Entwicklungsglie<strong>de</strong>rn abgebrochen. Der resultieren<strong>de</strong> Fehler zur exakten Lösung<br />
entspricht dann <strong>de</strong>m Rest <strong>de</strong>r Taylorsumme o( ) . ∆xn1<br />
6.1.1 Allgemeine mathematische Darstellung<br />
+<br />
Im Fall <strong>de</strong>r partiellen Differentialgleichungen, die <strong>de</strong>n Stofftransport durch ein Polymer<br />
beschreiben, treten sowohl Ablei<strong>tu</strong>ngen erster als auch zweiter Ordnung auf. Diese gilt<br />
es nun durch Taylorentwicklung zu linearisieren. Für einen isotropen und<br />
konzentrationsunabhängigen Diffusionskoeffizienten lässt sich dies wie folgt<br />
durchführen.<br />
Ausgangspunkt sind die Fickschen Gesetze, wie sie bereits bei <strong>de</strong>r Permeation durch<br />
Polymere beschrieben wur<strong>de</strong>n:<br />
∂N<br />
1. Ficksches Gesetz: j ------<br />
1<br />
⋅ --- – D∇c<br />
D -----<br />
∂c<br />
∂c<br />
(6-1)<br />
∂t A<br />
∂ x -----<br />
∂c<br />
= = = – ⎛ , , ---- ⎞<br />
⎝ ∂y ∂z⎠