Relativitätstheorie - physica.ch
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Eine kurze Einführung in<br />
die spezielle und allgemeine<br />
<strong>Relativitätstheorie</strong>
Inhaltsverzei<strong>ch</strong>nis<br />
16.1 Das Newtons<strong>ch</strong>e Relativitätsprinzip / Galilei – Transformation .................... 3<br />
16.2 Die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit .............................................................................. 3<br />
16.2.1 Galileo Galilei (1564-1642).................................................................... 3<br />
16.2.2 Ole Rømer (1644-1710) ........................................................................ 4<br />
16.2.3 James Bradley (1692-1762).................................................................. 5<br />
16.2.4 Hyppolite Fizeau (1819-1896)............................................................... 5<br />
16.2.5 Léon Foucault (1819-1868)................................................................... 7<br />
16.2.6 Versu<strong>ch</strong>saufbau (S<strong>ch</strong>ulexperiment) ...................................................... 7<br />
16.3 Die Äthertheorie ........................................................................................... 9<br />
16.3.1 Albert Mi<strong>ch</strong>elson (1852-1931) und Edward Morley (1838-1923)........... 9<br />
16.4 Die spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> ................................................................. 11<br />
16.4.1 Die Lorentz – Transformation.......... Fehler! Textmarke ni<strong>ch</strong>t definiert.<br />
16.4.2 Zeitdilatation.................................... Fehler! Textmarke ni<strong>ch</strong>t definiert.<br />
16.4.3 Längenkontraktion............................................................................... 13<br />
16.4.4 Die Ges<strong>ch</strong>windigkeitstransformation ................................................... 14<br />
16.4.5 Relativistis<strong>ch</strong>e Massenzunahme......................................................... 15<br />
16.4.6 Äquivalenz von Masse und Energie .................................................... 18<br />
16.5 Gedanken zur allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> ........................................... 19<br />
16.5.1 Einsteins<strong>ch</strong>e Äquivalenzprinzip........................................................... 19<br />
16.5.2 Effekte................................................................................................. 20<br />
16.6 Aufgaben.................................................................................................... 22<br />
16.7 Lösungen ................................................................................................... 23<br />
16.8 Anhang....................................................................................................... 25<br />
16.8.1 Einsteins Originalpublikation aus dem Jahre 1905 zur<br />
<strong>Relativitätstheorie</strong> (Annalen der Physik)............................................................ 25<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 2
16.1 Das Newtons<strong>ch</strong>e Relativitätsprinzip / Galilei – Transformation<br />
Stellen wir uns die Frage, wer oder was bewegt si<strong>ch</strong> eigentli<strong>ch</strong>, wenn si<strong>ch</strong> ein Körper<br />
gegenüber einem anderen bewegt. Galileo Galilei hat diese Frage sehr kurz beantwortet:<br />
Beide Körper bewegen si<strong>ch</strong> immer „relativ“ zueinander. Dies soll an einem<br />
Beispiel erläutert werden. Fährt ein Zug an einem Bahnsteig vorüber, so fährt dieser<br />
aus der Si<strong>ch</strong>te der Leute auf dem Bahnsteig an ihnen vorbei. Für die Fahrgäste im<br />
Zug hingegen bewegt si<strong>ch</strong> der Bahnsteig mit den Wartenden an ihnen vorbei. Dies<br />
tönt eigentli<strong>ch</strong> re<strong>ch</strong>t simpel, hat aber eine grosse Tragweite. Es heisst ni<strong>ch</strong>ts anderes,<br />
als dass jeder für si<strong>ch</strong> behaupten kann, dass er selbst ruhend ist und si<strong>ch</strong> die<br />
anderen bewegen. Stellen wir uns nun vor, dass si<strong>ch</strong> der Zug (Bezugssystem Zug)<br />
mit konstanter Ges<strong>ch</strong>windigkeit fortbewegt. Dass er konstanter Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
fährt, ist eine Notwendigkeit: Ansonsten würden die Fahrgäste und alle Körper im<br />
Zug eine für sie ni<strong>ch</strong>t na<strong>ch</strong>vollziehbare Bes<strong>ch</strong>leunigung erfahren und das erste Newtons<strong>ch</strong>e<br />
Axiom würde ni<strong>ch</strong>t mehr gelten. Bezugssysteme, in wel<strong>ch</strong>en das erste Newtons<strong>ch</strong>e<br />
Axiom gilt, nennt man Inertialsysteme. Im Zug (wir sagen ihm nun Inertialsystem<br />
Zug) ma<strong>ch</strong>en Physiker Experimente mit einem fallenden Ball, um die Fallbes<strong>ch</strong>leunigung<br />
zu ermitteln. Das glei<strong>ch</strong>e Experiment ma<strong>ch</strong>t eine zweite Gruppe Physiker<br />
auf dem Bahnsteig (Inertialsystem Bahnsteig). Beide Gruppen werden für die<br />
Fallbes<strong>ch</strong>leunigung den glei<strong>ch</strong>en Wert erhalten. Keines der beiden Inertialsysteme ist<br />
gegenüber dem anderen ausgezei<strong>ch</strong>net. In beiden gelten dieselben physikalis<strong>ch</strong>en<br />
Gesetze.<br />
Der zweite wi<strong>ch</strong>tige Punkt des Galileis<strong>ch</strong>en Relativitätsprinzips ist die Addierbarkeit<br />
von Ges<strong>ch</strong>windigkeiten (Additionsprinzip). Bewegen si<strong>ch</strong> zwei Autos mit 50 km/h und<br />
80 km/h aufeinander zu, so bewegen si<strong>ch</strong> relativ zum jeweils anderen Fahrzeug mit<br />
einer Ges<strong>ch</strong>windigkeit von 130 km/h. Geht ein S<strong>ch</strong>affner (falls es ihn denn no<strong>ch</strong> gibt)<br />
in einem Zug, wel<strong>ch</strong>er mit 100 km/h unterwegs ist, in Fahrri<strong>ch</strong>tung mit 5 km/h, so<br />
bewegt er si<strong>ch</strong> von aussen gesehen mit einer Ges<strong>ch</strong>windigkeit von 105 km/h. Dieses<br />
(einleu<strong>ch</strong>tende) Re<strong>ch</strong>enverfahren ist als Galilei – Transformation bekannt.<br />
Diese Ergebnisse fasst man im Newtons<strong>ch</strong>en Relativitätsprinzip zusammen:<br />
• Raum und Zeit sind absolut<br />
• Alle relativ zu einem Inertialsystem glei<strong>ch</strong>förmig bewegten Bezugssysteme sind<br />
ebenfalls Inertialsysteme und im Rahmen der Newtons<strong>ch</strong>en Me<strong>ch</strong>anik glei<strong>ch</strong>wertig.<br />
Dieses Prinzip war Galilei, na<strong>ch</strong> ihm Newton und anderen Wissens<strong>ch</strong>aftlern seit dem<br />
17. Jahrhundert bekannt. Es wurde erst in Frage gestellt, als gegen Ende des 19.<br />
Jahrhunderts die Vermutung aufkam, dass si<strong>ch</strong> ein absolutes Bezugssystem finden<br />
lasse.<br />
16.2 Die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
16.2.1 Galileo Galilei (1564-1642)<br />
Bereits Galileo Galilei wollte die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit messen, weil er der Ansi<strong>ch</strong>t<br />
war, dass es si<strong>ch</strong> ni<strong>ch</strong>t mit unendli<strong>ch</strong>er Ges<strong>ch</strong>windigkeit ausbreite. Er stellte si<strong>ch</strong> dazu<br />
1638 eines Na<strong>ch</strong>ts, mit einer Laterne bewaffnet auf einen Hügel. Sein Assistent<br />
ma<strong>ch</strong>te dasselbe auf einem etwa 1km entfernten Hügel. Galilei liess seine Laterne<br />
kurz aufleu<strong>ch</strong>ten. In dem Moment, wo der Assistent Galileos Laterne wahrnahm,<br />
liess er ebenfalls seine Laterne aufblitzen. Galileo mass nun die Zeit, wel<strong>ch</strong>e seit<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 3
dem Aufleu<strong>ch</strong>ten seiner eigenen<br />
Lampe vergangen<br />
war und dem Zeitpunkt, zu<br />
dem er die Laterne seines<br />
Assistenten aufleu<strong>ch</strong>ten<br />
sah. Aus dieser Laufzeitdifferenz<br />
und der örtli<strong>ch</strong>en Distanz<br />
wollte er die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
bere<strong>ch</strong>nen.<br />
Quelle: www.iap.uni-bonn.de<br />
Dies gelang ihm ni<strong>ch</strong>t (heute<br />
wissen wir warum), er kam aber zum S<strong>ch</strong>luss, dass die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit sehr<br />
gross sein muss.<br />
16.2.2 Ole Rømer (1644-1710)<br />
Im 17. Jahrhundert war die Zeitbestimmung für die<br />
Orientierung auf hoher See eine grosse Herausforderung.<br />
Dazu legte der französis<strong>ch</strong>e Astronom<br />
Giovanni Domenico Cassini, Direktor der Pariser<br />
Sternwarte, die Verfinsterung der Jupitermonde in<br />
Zeittafeln nieder. Das Jupitersystem war für Giovanni<br />
Domenico Cassini ein Miniaturabbild des<br />
ganzen Planetensystems, und die ständig variierenden<br />
Konstellationen von Jupiter mit seinen<br />
Monden galten ihm als Beispiel für das Verhalten<br />
der Planeten. Es ist verständli<strong>ch</strong>, dass die Bahnbewegung<br />
dieser Monde sorgfältig studiert wurde.<br />
Quelle: www.wissens<strong>ch</strong>aft.de<br />
Neben unserem Erdmond gehören die vier Galileis<strong>ch</strong>en<br />
Monde des Jupiter mit Si<strong>ch</strong>erheit zu den<br />
bekanntesten Monden im Sonnensystem. Es sind au<strong>ch</strong> die vier grössten Jupitermonde:<br />
Io, Europa, Ganymed und Kallisto, benannt na<strong>ch</strong> den vier Geliebten des Göttervaters<br />
Zeus, der bei den Römern Jupiter heisst.<br />
Entdeckt wurden die Monde 1610 von Galileo Galilei, der ihre Bewegungen um Jupiter<br />
als Modellfall und Bestätigung dafür ansah, dass die Planeten um die Sonne laufen.<br />
Als si<strong>ch</strong> aber der dänis<strong>ch</strong>e Astronom<br />
Ole Römer um 1675 daranma<strong>ch</strong>te, zur<br />
Verbesserung dieser Zeittafeln die Satelliten<br />
no<strong>ch</strong>mals zu beoba<strong>ch</strong>ten, stellte er<br />
merkwürdige Abwei<strong>ch</strong>ungen fest. Wenn<br />
die Erde dem Jupiter am nä<strong>ch</strong>sten war,<br />
stimmte alles vorzügli<strong>ch</strong>, do<strong>ch</strong> im Laufe<br />
des nä<strong>ch</strong>sten halben Jahres „ging Jupiter<br />
na<strong>ch</strong>". S<strong>ch</strong>liessli<strong>ch</strong> lief sein Mond fast<br />
1000 Sekunden zu spät dur<strong>ch</strong> den dunklen<br />
S<strong>ch</strong>atten des Planeten. Römer ma<strong>ch</strong>te<br />
si<strong>ch</strong> auf Fehlersu<strong>ch</strong>e und prüfte die<br />
Seltener Anblick von Io und dessen<br />
S<strong>ch</strong>atten auf Jupiter.<br />
Quelle: http://hubblesite.org<br />
Tabellen. Mittlerweile verging wieder ein<br />
halbes Jahr, und - wel<strong>ch</strong>e Überras<strong>ch</strong>ung<br />
- die Jupiteruhr ging so genau als wäre<br />
ni<strong>ch</strong>ts gewesen.<br />
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Nun liegen die Bahnen der Erde und der Jupitermonde fast in der glei<strong>ch</strong>en Ebene, so<br />
dass Römer mit einer einfa<strong>ch</strong>en Messung auskam: Er bestimmte zweimal im Jahr die<br />
Zeiten, zu denen ein Mond hinter dem Jupiter vers<strong>ch</strong>wand (oder auf der anderen Seite<br />
wieder auftau<strong>ch</strong>te) und stellte fest, dass si<strong>ch</strong> die Finsternistermine wegen des<br />
grösseren Abstands Jupiter - Erde um 15 bis 20 Minuten vers<strong>ch</strong>oben. Rømer interpretierte<br />
dieses Ergebnis mit einer endli<strong>ch</strong>en Ausbreitungsges<strong>ch</strong>windigkeit des Li<strong>ch</strong>tes:<br />
Befindet si<strong>ch</strong> die Erde weiter weg vom Jupiter (in Rømers Experiment ein Erdbahndur<strong>ch</strong>messer),<br />
so trifft das Li<strong>ch</strong>t mit einer Verzögerung von 22 Minuten ein –<br />
genau die Zeit, die das Li<strong>ch</strong>t benötigt, um die Strecke eines Erdbahndur<strong>ch</strong>messers<br />
zu dur<strong>ch</strong>laufen.<br />
Rømer selbst hätte die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit bere<strong>ch</strong>nen können. Als Mitarbeiter von<br />
Giovanni Domenico Cassini hatte er Zugang zum Abstand Erde – Sonne. Er tat es<br />
aber ni<strong>ch</strong>t (Cassini war der Ansi<strong>ch</strong>t, dass si<strong>ch</strong> Li<strong>ch</strong>t augenblickli<strong>ch</strong> ausbreite). Rømer<br />
spri<strong>ch</strong>t in seiner Arbeit ledigli<strong>ch</strong> von „Verzögerung“, um auf die endli<strong>ch</strong>e Ausbreitungsges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
von Li<strong>ch</strong>t hinzuweisen.<br />
Erst Christian Huygens bere<strong>ch</strong>nete 1678 mit Rømers Werten die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit.<br />
16.2.3 James Bradley (1692-1762)<br />
Eine andere astronomis<strong>ch</strong>e Beoba<strong>ch</strong>tung, wel<strong>ch</strong>e<br />
Rücks<strong>ch</strong>lüsse auf die Ges<strong>ch</strong>windigkeit des Li<strong>ch</strong>ts<br />
zuliess, ma<strong>ch</strong>te James Bradley im Jahre 1728. Er<br />
stellte fest, dass Sterne, wel<strong>ch</strong>e er dur<strong>ch</strong> ein Teleskop<br />
betra<strong>ch</strong>ten wollte, ni<strong>ch</strong>t mehr in ihrer mit dem<br />
Auge wahrgenommenen Position zu befinden<br />
s<strong>ch</strong>ienen. Er musste die Neigung des Fernrohres<br />
ein wenig korrigieren. Der Grund dafür musste sein,<br />
dass si<strong>ch</strong> das Fernrohr (bzw. die Erde) während der<br />
Zeit, die ein Li<strong>ch</strong>tstrahl von der Linse bis zum Okular<br />
brau<strong>ch</strong>t, ein wenig weiterbewegt. Bradley mass den<br />
Korrekturwinkel und bestimmte mit Hilfe des Wertes<br />
für die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit von Rømer die Bahnges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
der Erde.<br />
16.2.4 Hyppolite Fizeau (1819-1896)<br />
Die erste Messung der Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit auf der<br />
Erde (terrestris<strong>ch</strong>e Methode) gelang im Jahre 1848<br />
Hippolyte Fizeau (1819 - 1896) in Paris. Er liess das<br />
Li<strong>ch</strong>t auf einer fast 9 km langen Strecke laufen (siehe<br />
unten). Die Unterbre<strong>ch</strong>ung des Li<strong>ch</strong>tes - d.h. die<br />
Quelle: www.wikipedia.org<br />
Publiziert unter der GFDL<br />
Erzeugung von kurzen Li<strong>ch</strong>tblitzen - erfolgte dur<strong>ch</strong> ein si<strong>ch</strong> drehendes Zahnrad mit<br />
720 Zähnen (man bea<strong>ch</strong>te den te<strong>ch</strong>nis<strong>ch</strong>en Forts<strong>ch</strong>ritt im Verglei<strong>ch</strong> zur Zeit Galileos,<br />
als man die Li<strong>ch</strong>tunterbre<strong>ch</strong>ung mit der Abdunkelung von Laternen versu<strong>ch</strong>te).<br />
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Dreht si<strong>ch</strong> das Zahnrad ni<strong>ch</strong>t oder<br />
nur sehr langsam, so kann das<br />
Li<strong>ch</strong>t, wel<strong>ch</strong>es von der Quelle über<br />
den halbdur<strong>ch</strong>lässigen Spiegel<br />
dur<strong>ch</strong> eine Zahnradlücke zum entfernten<br />
Spiegel läuft, ins Auge des<br />
Beoba<strong>ch</strong>ters gelangen, da das<br />
Li<strong>ch</strong>t so s<strong>ch</strong>nell ist, dass es beim<br />
Rücklauf no<strong>ch</strong> die glei<strong>ch</strong>e Lücke<br />
passieren kann. Jeder Li<strong>ch</strong>tblitz<br />
gelangt also ins Auge des Beoba<strong>ch</strong>ters,<br />
der bei sehr langsamer Quelle: www.leifiphysik.de<br />
Zahnraddrehung die Lampe im<br />
Takt der Zahnfolge aufblitzen sieht. Bei s<strong>ch</strong>neller Umdrehung kommt unser Auge bei<br />
den Hell-Dunkel-We<strong>ch</strong>seln ni<strong>ch</strong>t mehr mit, es sieht eine "mittlere" Helligkeit.<br />
Erhöht man die Drehges<strong>ch</strong>windigkeit des Zahnrades, so tritt der Fall ein, dass das<br />
vom entfernten Spiegel reflektierte Li<strong>ch</strong>t auf den Zahn trifft, wel<strong>ch</strong>er auf die Lücke<br />
folgt, dur<strong>ch</strong> die das Li<strong>ch</strong>t beim Hinweg lief. Der Beoba<strong>ch</strong>ter stellt nun Dunkelheit fest.<br />
Dies war bei 12,6 Umdrehungen pro Sekunde der Fall.<br />
Fizeau s<strong>ch</strong>reibt selber:<br />
"Das erste Fernrohr befand si<strong>ch</strong><br />
im Belvedere eines zu Suresnes<br />
gelegenen Hauses, das andere<br />
auf der Höhe des Montmartre, in<br />
einer Entfernung von beiläufig<br />
8633 Metern. Die S<strong>ch</strong>eibe mit<br />
siebenhundert Zähnen versehen,<br />
ward von einem dur<strong>ch</strong> Gewi<strong>ch</strong>te<br />
getriebenen Räderwerk,<br />
das Hr. Fromet angefertigt hat,<br />
in Bewegung gesetzt, und mittelst<br />
eines Zählers die Umdrehungsges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
gemessen.<br />
Das Li<strong>ch</strong>t war das einer<br />
Lampe von grosser Helligkeit.<br />
Diese ersten Versu<strong>ch</strong>e lieferten<br />
für die Ges<strong>ch</strong>windigkeit des<br />
Li<strong>ch</strong>tes einen Werth, der wenig von dem von den Astronomen angenommenen abwei<strong>ch</strong>t.<br />
Das Mittel aus 28 bisher angestellten Beoba<strong>ch</strong>tungen, gab nämli<strong>ch</strong> diesen<br />
Werth zu 70948 Lieus [Meilen], von 25 auf den Grad".<br />
"Annalen der Physik und Chemie 79 (1850) S. 167 ff.“<br />
Das entspra<strong>ch</strong> einem Wert der Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit von 313400 km/s, also einem<br />
ca. 5% zu hohen Wert.<br />
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16.2.5 Léon Foucault (1819-1868)<br />
Léon Foucault hat 1850 die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit, die heute als c = 299792458,0 m/s<br />
definiert ist, mit einer zu seiner Zeit hohen Genauigkeit gemessen. Obwohl Fizeau<br />
kurz zuvor mit seinem legendären Zahnradexperiment einen ersten Wert für c<br />
gefunden hatte, gilt das Foucault-Experiment als überragend.<br />
Grundgedanke der Methode von Foucault zur Bestimmung der Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit:<br />
Ein Li<strong>ch</strong>tstrahl wird von einer Li<strong>ch</strong>tquelle (im unserem Experiment ein Laser) auf<br />
einen ebenen Drehspiegel gesendet.<br />
Dieser Drehspiegel lenkt den Li<strong>ch</strong>tstrahl dur<strong>ch</strong> eine Linse ( f = 5000 mm) auf einen<br />
Umlenkspiegel und dieser auf einen Endspiegel.<br />
Die Linse bildet in einer symmetris<strong>ch</strong>en Abbildung (2f - 2f – Abbildung) die Strahltallie<br />
(waist) des Lasers auf den Endspiegel und von dort wieder zurück auf den<br />
S<strong>ch</strong>irm ab. Ohne Linse würde der Strahl aufgrund seiner natürli<strong>ch</strong>en Divergenz<br />
immer grösser und eine genaue Messung dadur<strong>ch</strong> verunmögli<strong>ch</strong>t.<br />
Der Endspiegel ist so justiert, dass der Li<strong>ch</strong>tstrahl den selben Weg zurückläuft bis<br />
auf den Drehspiegel, der si<strong>ch</strong> in der Zwis<strong>ch</strong>enzeit weitergedreht hat.<br />
Vom Drehspiegel an ergibt si<strong>ch</strong> also für den rücklaufenden Strahl eine lei<strong>ch</strong>te<br />
Winkelabwei<strong>ch</strong>ung um den doppelten Drehwinkel des Drehspiegels.<br />
Um diese Abwei<strong>ch</strong>ung si<strong>ch</strong>tbar zu ma<strong>ch</strong>en, wird der rücklaufende Strahl dur<strong>ch</strong><br />
den Strahlteiler (eine bes<strong>ch</strong>i<strong>ch</strong>tete Glasplatte mit 50% Reflektivität) auf einen<br />
Matts<strong>ch</strong>irm umgelenkt, wo si<strong>ch</strong> eine seitli<strong>ch</strong>e Vers<strong>ch</strong>iebung des Laserstrahls bei<br />
laufendem Drehspiegel feststellen lässt.<br />
Aufgrund der gemessenen Vers<strong>ch</strong>iebung lässt si<strong>ch</strong> mit den na<strong>ch</strong>folgenden<br />
Überlegungen die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit bere<strong>ch</strong>nen.<br />
16.2.6 Versu<strong>ch</strong>saufbau (S<strong>ch</strong>ulexperiment)<br />
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16.2.6.1 Auswertung: Bere<strong>ch</strong>nung von c aus den Messdaten<br />
Zur Auswertung des Experimentes<br />
benötigen wir als erstes den Li<strong>ch</strong>tweg<br />
l, den das Li<strong>ch</strong>t zwis<strong>ch</strong>en Drehspiegel<br />
und Endspiegel (hin und zurück)<br />
zurücklegt.<br />
In unserem Experiment gilt:<br />
2 l = c ⋅ ∆t<br />
= 30 m ( 1 )<br />
c<br />
In der Zeit ∆ t = dreht si<strong>ch</strong> der<br />
2l<br />
Drehspiegel um den Winkel ∆α weiter, womit der Strahl um den Winkel 2⋅∆α aus<br />
seiner ursprüngli<strong>ch</strong>en Ri<strong>ch</strong>tung abgelenkt wird. Bea<strong>ch</strong>te, dass ∆α der Winkel<br />
zwis<strong>ch</strong>en Lot und einfallendem bzw. ausfallendem Strahl ist.<br />
Die Distanz zwis<strong>ch</strong>en Drehspiegel und Matts<strong>ch</strong>irm sei a (s. Abbildung oben re<strong>ch</strong>ts),<br />
die Vers<strong>ch</strong>iebung auf der Matts<strong>ch</strong>eibe sei ∆x, dann gilt:<br />
∆x<br />
a<br />
∆x<br />
= 2 ⋅ ∆α ⇒ ∆α<br />
=<br />
( 2 )<br />
2 ⋅ a<br />
Rotiert der Drehspiegel mit der Frequenz f, so gilt unter Verwendung von<br />
Glei<strong>ch</strong>ungen ( 1 ) und ( 2 ) für die Winkelges<strong>ch</strong>windigkeit ω:<br />
∆α<br />
∆x<br />
⋅ c<br />
ω = 2π<br />
⋅ f = =<br />
( 3 )<br />
∆t<br />
2 ⋅ a ⋅ 2l<br />
Glei<strong>ch</strong>ung ( 3 ) lässt si<strong>ch</strong> nun na<strong>ch</strong> c auflösen und wir erhalten:<br />
⋅ f ⋅ a ⋅ l<br />
c = 8 π<br />
( 4 )<br />
∆x<br />
16.2.6.2 Experimentdur<strong>ch</strong>führung<br />
Bestimmen Sie die exakten Distanzen sowie die Frequenz des Drehspiegels im<br />
aufgebauten S<strong>ch</strong>ulexperiment und bere<strong>ch</strong>ne aus den Messdaten die<br />
Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit.<br />
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16.3 Die Äthertheorie<br />
Mehr als 200 Jahre lang beherrs<strong>ch</strong>t die Me<strong>ch</strong>anik, wie Newton sie formulierte, die<br />
Physik und prägt damit das Weltbild. Erst im 19. Jahrhundert beginnt sie zu wanken.<br />
Neuerdings glauben die Anhänger der Thermodynamik alle Beoba<strong>ch</strong>tungen mit dem<br />
Begriff der Energie erklären zu können. Daneben gibt es das Gebiet der Elektrodynamik.<br />
Dessen Anhänger deuten das Ges<strong>ch</strong>ehen der Welt mit der Theorie des Elektromagnetismus<br />
und den darin vorkommenden Feldern. Es tobt also ein Kampf der<br />
„Weltbilder“ zu diesem Zeitpunkt.<br />
Hendrik Lorentz hat 1885 die Theorie des Elektromagnetismus von James Clerk<br />
Maxwell erweitert. Diese erklärt alle magnetis<strong>ch</strong>en, elektris<strong>ch</strong>en und optis<strong>ch</strong>en Ers<strong>ch</strong>einungen<br />
in einheitli<strong>ch</strong>er Art und Weise. Wie s<strong>ch</strong>on vers<strong>ch</strong>iedene Physiker vor<br />
ihm geht Lorentz von der Annahme eines Äthers aus. Diese Hilfskonstruktion führten<br />
die Physiker in ihren Theorien ein, um die Bewegung des Li<strong>ch</strong>tes und anderer elektromagnetis<strong>ch</strong>er<br />
Wellen als me<strong>ch</strong>anis<strong>ch</strong>en Vorgang erklären zu können. Dieser Äther,<br />
ein masseloser, starrer Stoff, sollte den gesamten Raum einnehmen und alle Körper<br />
dur<strong>ch</strong>dringen.<br />
16.3.1 Albert Mi<strong>ch</strong>elson (1852-1931) und Edward Morley (1838-1923)<br />
Da der Äther alles dur<strong>ch</strong>dringen sollte, müsste si<strong>ch</strong> do<strong>ch</strong> die Bewegung der Erde<br />
dur<strong>ch</strong> den Äther bemerkbar ma<strong>ch</strong>en. Das Li<strong>ch</strong>t müsste, je na<strong>ch</strong>dem ob es ihn Flug<br />
oder gegen die Flugri<strong>ch</strong>tung der Erde ausgesendet wird, einen „Rückenwind“ oder<br />
einen „Gegenwind“ verspüren. Man müsste also dur<strong>ch</strong> geeignete Experimente in der<br />
Lage sein, unters<strong>ch</strong>iede in der Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit festzustellen. Je na<strong>ch</strong>dem, in<br />
wel<strong>ch</strong>e Ri<strong>ch</strong>tung si<strong>ch</strong> das Li<strong>ch</strong>t auf der Erde ausbreitet. Genau dies haben Mi<strong>ch</strong>elson<br />
und Morley versu<strong>ch</strong>t.<br />
Sie bauten dazu ein Interferometer<br />
auf. Li<strong>ch</strong>t aus der Li<strong>ch</strong>tquelle<br />
L trifft auf eine halbdur<strong>ch</strong>lässig<br />
verspiegelte Glasplatte<br />
G. Dort wird es in einen<br />
dur<strong>ch</strong>gehenden und einen reflektierten<br />
Strahl glei<strong>ch</strong>er Helligkeit<br />
geteilt. Beide Strahlen<br />
legen re<strong>ch</strong>twinklig zueinander<br />
dieselbe Entfernung l zurück<br />
und werden dann jeweils von<br />
den Spiegeln S 1 und S 2 zurück<br />
na<strong>ch</strong> G reflektiert. Dort werden<br />
sie beide teils hindur<strong>ch</strong>gelassen<br />
und teils reflektiert.<br />
Im Punkt P beoba<strong>ch</strong>tet man die<br />
Interferenz der beiden Li<strong>ch</strong>twellen,<br />
die die glei<strong>ch</strong> langen Wege<br />
LGS 1 GP und LGS 2 GP zurückgelegt<br />
haben. Ein Interferenzmaximum<br />
tritt auf, wenn beide Wellen glei<strong>ch</strong>phasig ankommen, ein Interferenzminimum,<br />
wenn sie gegenphasig ankommen.<br />
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Wenn si<strong>ch</strong> die Laufzeiten auf beiden Wegen nur um eine halbe S<strong>ch</strong>wingungsperiode<br />
der Li<strong>ch</strong>twelle unters<strong>ch</strong>eiden, lässt si<strong>ch</strong> dies im Interferenzbild bereits erkennen. Sol<strong>ch</strong>e<br />
Laufzeitunters<strong>ch</strong>iede sind bei hinrei<strong>ch</strong>ender Armlänge l wegen der Bewegung<br />
der Erde dur<strong>ch</strong> den Äther zu erwarten.<br />
Vorausgesetzt, dass der Äther existiert, gelten folgende Überlegungen: Der ruhende<br />
Äther stellt ein absolutes Bezugssystem dar. In ihm breitet si<strong>ch</strong> das Li<strong>ch</strong>t in jeder<br />
Ri<strong>ch</strong>tung mit derselben Ges<strong>ch</strong>windigkeit c = 3.00⋅10 8 m/s aus, ni<strong>ch</strong>t aber in Bezugssystemen,<br />
die si<strong>ch</strong> relativ zum Äther glei<strong>ch</strong>förmig bewegen.<br />
Nehmen wir an, die Erde und mit<br />
ihr der obige Versu<strong>ch</strong>saufbau<br />
(Mi<strong>ch</strong>elson-Interferometer) bewegen<br />
si<strong>ch</strong> im Äther mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
v von links na<strong>ch</strong><br />
re<strong>ch</strong>ts. Dann bewegt si<strong>ch</strong> der Ä-<br />
ther – vom Bezugssystem der<br />
Erde aus gesehen – mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
v von re<strong>ch</strong>ts na<strong>ch</strong><br />
links (am besten stellt man si<strong>ch</strong><br />
einen "Ätherwind" vom Betrag v<br />
in Pfeilri<strong>ch</strong>tung → vor).<br />
Die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit in diesem<br />
irdis<strong>ch</strong>en Bezugssystem ist<br />
dann ni<strong>ch</strong>t mehr in alle Ri<strong>ch</strong>tungen<br />
glei<strong>ch</strong> c, sondern bere<strong>ch</strong>net<br />
si<strong>ch</strong> dur<strong>ch</strong> vektorielle Addition<br />
von c und v. Auf dem Weg vom Strahlteiler G na<strong>ch</strong> S 1 beträgt die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
c – v, auf dem Rückweg c + v.<br />
Wenn man das Interferometer dreht, sollte bei irgend einer Stellung tatsä<strong>ch</strong>li<strong>ch</strong> die<br />
obige Annahme erfüllt und GS 1 parallel zur Bewegungsri<strong>ch</strong>tung der Erde dur<strong>ch</strong> den<br />
Äther sein.<br />
Es gelang Mi<strong>ch</strong>elson und seinem Kollegen Edward Morley im Jahre 1886 aber ni<strong>ch</strong>t<br />
au<strong>ch</strong> nur den geringsten Laufzeitunters<strong>ch</strong>ied ∆t zu messen. Dur<strong>ch</strong> andere Experimente<br />
konnte die Mögli<strong>ch</strong>keit eindeutig ausges<strong>ch</strong>lossen werden, dass die Erde den<br />
Äther mit si<strong>ch</strong> zieht und daher die Relativges<strong>ch</strong>windigkeit an der Erdoberflä<strong>ch</strong>e v = 0<br />
ist.<br />
Hendrik Lorentz glaubt fest an die Existenz des Li<strong>ch</strong>tmediums. Um die Theorie des<br />
Äthers zu retten, nimmt er einfa<strong>ch</strong> an, dass si<strong>ch</strong> Gegenstände bei hoher Ges<strong>ch</strong>windigkeiten<br />
dur<strong>ch</strong> die Wirkung des Ätherwindes me<strong>ch</strong>anis<strong>ch</strong> zusammenziehen. Dur<strong>ch</strong><br />
diese Kontraktionshypothese kann er sämtli<strong>ch</strong>e Versu<strong>ch</strong>sergebnisse erklären und<br />
rettet damit die Äthertheorie.<br />
Es gibt aber einen weiteren Widerspru<strong>ch</strong>: Lorentz hat mit seinem ruhenden Äther ein<br />
bevorzugtes Bezugssystem ges<strong>ch</strong>affen, gegenüber dem si<strong>ch</strong> alle anderen bewegen.<br />
Dies widerspri<strong>ch</strong>t aber dem Newtons<strong>ch</strong>en Relativitätsprinzip.<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 10
16.4 Die spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Sämtli<strong>ch</strong>e Diskrepanzen zwis<strong>ch</strong>en Theorie und Praxis lösen si<strong>ch</strong> 1905. Albert Einstein<br />
kam aufgrund der Experimente seiner Kollegen zum S<strong>ch</strong>luss, dass die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
eine absolute Grösse sein musste. Damit warf er die Äthertheorie<br />
komplett über Bord. Ein Problem aber blieb: Wenn die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit im Vakuum<br />
konstant ist, so wäre das Newtons<strong>ch</strong>e Relativitätsprinzip verletzt. Dieses sieht<br />
er aber als unabdingbar für die Physik. Einstein hadert lange mit diesen Widersprü<strong>ch</strong>en.<br />
S<strong>ch</strong>liessli<strong>ch</strong> sieht er nur einen Ausweg. Er nimmt Zeit und Raum ihre Absolutheit.<br />
Kurz: Es gibt keinen Augenblick für die ganze Welt, der „Jetzt“ genannt werden<br />
könnte.<br />
Einsteins Postulate, die die Welt veränderten, lauten<br />
• Die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit c im Vakuum hat für jedes Inertialsystem<br />
denselben Wert 1 .<br />
• Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen die glei<strong>ch</strong>e Form<br />
an.<br />
16.5 Die Zeitdilatation<br />
Eine der Folgen dieser zwei Postulate lässt si<strong>ch</strong> anhand einer “Li<strong>ch</strong>tuhr“ zeigen. Eine<br />
Li<strong>ch</strong>tuhr ist eine Vorri<strong>ch</strong>tung, in der ein Photon ständig zwis<strong>ch</strong>en zwei Spiegeln hinund<br />
herpendelt. Für einen Beoba<strong>ch</strong>ter, der si<strong>ch</strong> im Bezugssystem der Uhr befindet,<br />
sieht die Situation aus wie in der Abbildung a). Bewegt si<strong>ch</strong> das Bezugssystem der<br />
Li<strong>ch</strong>tuhr dagegen an einem ruhenden Beoba<strong>ch</strong>ter mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit v vorbei,<br />
so stellt si<strong>ch</strong> die Sa<strong>ch</strong>e dar wie in der Abbildung b) gezeigt.<br />
Dies hat aber drastis<strong>ch</strong>e Konsequenzen, wie wir glei<strong>ch</strong> zeigen werden. Für den Beoba<strong>ch</strong>ter<br />
im Bezugssystem der Uhr dauert der Zeitabs<strong>ch</strong>nitt für ein hin- und herpendeln<br />
∆ tE<br />
= . Für den ruhenden Beoba<strong>ch</strong>ter, an dem die Li<strong>ch</strong>tuhr vorbeifliegt, dauert<br />
2d<br />
c<br />
1 Heute ist die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit definiert zu 299’792’458.0 m/s.<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 11
2 ⎛ 1<br />
2<br />
⎞<br />
2· d + ⎜ v∆t<br />
⎟<br />
2l<br />
⎝ 2 ⎠<br />
der Zeitabs<strong>ch</strong>nitt ∆ t = = . Kombinieren wir beide Glei<strong>ch</strong>ungen und<br />
c c<br />
lösen na<strong>ch</strong> ∆ t auf, so erhalten wir<br />
∆t ∆ t = E<br />
2<br />
v<br />
1−<br />
2<br />
c<br />
Ist die Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit in beiden Bezugssystemen gemäss den Einsteins<strong>ch</strong>en<br />
Postulaten glei<strong>ch</strong> gross, so unters<strong>ch</strong>eiden si<strong>ch</strong> die Zeitintervalle ∆ t und ∆tbewegt<br />
um einen Faktor<br />
γ =<br />
1<br />
2<br />
1−<br />
v 2<br />
c<br />
Ereignis unters<strong>ch</strong>iedli<strong>ch</strong> lange! Dies ist ein sensationelles Ergebnis – ist damit die<br />
Zeit do<strong>ch</strong> ihrer Absolutheit beraubt worden!<br />
ruhend<br />
. Für die zwei Beoba<strong>ch</strong>ten dauert also ein und dasselbe<br />
Eine mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit v bewegte Uhr geht um den Faktor<br />
1<br />
γ = langsamer als in ihrem Ruhesystem.<br />
1−<br />
v c<br />
2<br />
2<br />
16.5.1 Beispiel (Der Myonen erster Teil)<br />
Die Vorhersage der Zeitdilatation war das sensationellste Ergebnis der <strong>Relativitätstheorie</strong>.<br />
Die Messung der Zeitdilatation erwies si<strong>ch</strong> aber zunä<strong>ch</strong>st als überaus<br />
s<strong>ch</strong>wierig und gelang erstmals im Jahre 1938 den beiden amerikanis<strong>ch</strong>en Physikern<br />
Ives und Stillwell.<br />
Heute wird die Zeitdilatation in vielen<br />
Experimenten der "Elementartell<strong>ch</strong>enphysik"<br />
gemessen. Als Beispiel<br />
betra<strong>ch</strong>ten wir ein Experiment, wel<strong>ch</strong>es<br />
1959 im Europäis<strong>ch</strong>en<br />
Kernfors<strong>ch</strong>ungszentrum CERN bei Genf<br />
dur<strong>ch</strong>geführt wurde. Zur Messung der<br />
Zeitdilatation wurden dabei Myonen benützt.<br />
Diese Elementarteil<strong>ch</strong>en glei<strong>ch</strong>en<br />
in vielen Eigens<strong>ch</strong>aften den Elektronen.<br />
Myonen sind jedo<strong>ch</strong> instabil und<br />
zerfallen bereits wenige millionstel<br />
Sekunden na<strong>ch</strong> ihrer Entstehung. Hat<br />
man z. B. zum Zeitpunkt t = 0 insgesamt 10 000 Myonen erzeugt, so findet man zur<br />
Zeit t = 1 µs nurmehr 6347 davon vor, na<strong>ch</strong> 1,52 µs sogar nur no<strong>ch</strong> 5000 Myonen,<br />
also die Hälfte. Man bezei<strong>ch</strong>net daher τ = 1,52 µs als die Halbwertszeit der Myonen.<br />
Der Zerfall genügt einem Exponentialgesetz, wie dies au<strong>ch</strong> für den radioaktiven<br />
Zerfall man<strong>ch</strong>er <strong>ch</strong>emis<strong>ch</strong>er Elemente der Fall ist.<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 12
Im erwähnten CERN-Experiment beoba<strong>ch</strong>tete man den Zerfall von Myonen, die ni<strong>ch</strong>t<br />
ruhten, sondern in einem Spei<strong>ch</strong>erring mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit v = 0.99942 c<br />
kreisten.<br />
Wir können die kreisenden Myonen als bewegte Uhren ansehen. Wegen der<br />
Zeitdilatation ist ihr Zerfall verlangsamt, und die Halbwertszeit der kreisenden<br />
Myonen vergrössert si<strong>ch</strong> daher auf den Wert<br />
τ 1.52 µ s<br />
τ ( v ) = =<br />
= 44. 6 µ s<br />
2<br />
2<br />
⎛ v ⎞ 1 − (0.99942)<br />
1 − ⎜ ⎟<br />
⎝ c ⎠<br />
Die Messungen bestätigten diese Vorhersage der <strong>Relativitätstheorie</strong>, wobei der<br />
relative Messfehler 0,1 % betrug.<br />
Heute kann die Zeitdilatation au<strong>ch</strong> mit Atomuhren na<strong>ch</strong>gewiesen werden, wobei die<br />
Ges<strong>ch</strong>windigkeit von Flugzeugen ausrei<strong>ch</strong>t, um messbare Effekte hervorzurufen.<br />
Das erste derartige Experiment wurde im Jahre 1971 von den beiden<br />
amerikanis<strong>ch</strong>en Physikern Joseph Hafele und Ri<strong>ch</strong>ard Keating dur<strong>ch</strong>geführt.<br />
16.6 Längenkontraktion<br />
Eng mit dem Effekt der Zeitdilatation verknüpft ist der Effekt der Längenkontraktion.<br />
Die Länge eines Objekts, gemessen in seinem Ruhesystem, nennt man Ruhelänge<br />
l<br />
0<br />
. Misst man nun die Länge eines bewegten Objekts in Bewegungsri<strong>ch</strong>tung, so ist<br />
die gemessene Länge kürzer als die Ruhelänge des Objekts. Dies um den Faktor<br />
⎛ v ⎞<br />
l = 1 − ⎜ ⎟ · l0<br />
.<br />
⎝ c ⎠<br />
2<br />
Die Länge ist also kleiner, wenn sie in einem Bezugssystem gemessen<br />
wird, in dem si<strong>ch</strong> die Stange bewegt. Dieser Kontraktion sagt man au<strong>ch</strong><br />
Lorentz-FitzGerald-Kontraktion.<br />
16.6.1 Beispiel (Der Myonen zweiter Teil)<br />
Wir betra<strong>ch</strong>ten diese Situation nun vom Standpunkt eines<br />
Beoba<strong>ch</strong>ters, der mit den Myonen zur 10 km entfernten<br />
Erdoberflä<strong>ch</strong>e fliegt. Für ihn ruhen die Myonen, und ihre<br />
Halbwertszeit beträgt daher - gemessen mit seinen Uhren<br />
- nur τ = 1,52 µs. Wieso kann die entgegenfliegende<br />
Erde denno<strong>ch</strong> die Myonen errei<strong>ch</strong>en?<br />
Vom Standpunkt des mit den Myonen mitfliegenden<br />
Beoba<strong>ch</strong>ters ist die Entfernung H wesentli<strong>ch</strong> kleiner als<br />
10 km. Daher können die kurzlebigen Myonen diese Entfernung innerhalb ihrer<br />
Halbwertszeit τ = 1,52 µs lei<strong>ch</strong>t zurücklegen!<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 13
Die Längenkontraktion ma<strong>ch</strong>t si<strong>ch</strong> bei Experimenten mit Elementarteil<strong>ch</strong>en deutli<strong>ch</strong><br />
bemerkbar. Das elektris<strong>ch</strong>e Feld eines fast mit Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit bewegten<br />
Elektrons oder Protons wird dur<strong>ch</strong> die Lorentzkontraktion verformt. Die Feldlinien<br />
werden in der Ebene senkre<strong>ch</strong>t zur Bewegungsri<strong>ch</strong>tung zusammengedrängt, so dass<br />
dort besonders hohe elektris<strong>ch</strong>e Feldstärken entstehen. Dadur<strong>ch</strong> übt das Feld des<br />
Teil<strong>ch</strong>ens stärkere Kräfte auf andere Teil<strong>ch</strong>en aus. Deshalb hinterlassen Teil<strong>ch</strong>en,<br />
die si<strong>ch</strong> fast mit Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit bewegen, besonders kräftige Spuren in<br />
Blasenkammern.<br />
16.7 Die Ges<strong>ch</strong>windigkeitstransformation<br />
Wie transformieren si<strong>ch</strong> nun die Ges<strong>ch</strong>windigkeiten beim Übergang von einem Bezugssystem<br />
zum anderen? Dazu werden die Glei<strong>ch</strong>ungen der Lorentz - Transformation<br />
differenziert. Wir nehmen an dieser Stelle einfa<strong>ch</strong> das Resultat zur Kenntnis. Dazu<br />
betra<strong>ch</strong>ten wir ein Flugzeug, das mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit v - bezügli<strong>ch</strong> eines ruhenden<br />
Beoba<strong>ch</strong>ters – in x- Ri<strong>ch</strong>tung unterwegs ist. Plötzli<strong>ch</strong> wird das Flugzeug von<br />
einem ebenfalls in x- Ri<strong>ch</strong>tung fliegenden UFO überholt. Der überras<strong>ch</strong>te Pilot im<br />
Flugzeug kann die Ges<strong>ch</strong>windigkeit u’ des UFOs bestimmen. Der – ni<strong>ch</strong>t weniger<br />
verdutzte – Beoba<strong>ch</strong>ter am Erdboden misst dann für die Ges<strong>ch</strong>windigkeit der fliegenden<br />
Untertasse ni<strong>ch</strong>t etwa einfa<strong>ch</strong> u = u ' + v sondern<br />
u ' + v<br />
u = .<br />
⎛ v· u ' ⎞<br />
1+ ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ c ⎠<br />
Für langsame Bewegungen unters<strong>ch</strong>eidet si<strong>ch</strong> der Nenner ni<strong>ch</strong>t wesentli<strong>ch</strong> von 1<br />
und das Ergebnis entspri<strong>ch</strong>t dem klassis<strong>ch</strong>en Resultat!<br />
16.7.1 Beispiel Flugzeug<br />
Nehmen wir mal an, obiges UFO wäre gar keines sondern ein s<strong>ch</strong>nell fliegendes<br />
Kampfflugzeug – was erhebli<strong>ch</strong>e Zweifel am Geisteszustand des Piloten im Linienflugzeug<br />
aufkommen lassen würde. Der Linienpilot misst für den Kampfjet eine Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
von u’ = 400 m/s, während er selber mit v = 250 m/s unterwegs ist. Der<br />
ruhende Beoba<strong>ch</strong>ter am Boden registriert für den Kampfjet eine Ges<strong>ch</strong>windigkeit von<br />
m m m<br />
400 + 250 650<br />
m<br />
u =<br />
s s<br />
=<br />
s<br />
≈650<br />
,<br />
−12<br />
m m 1+<br />
1.1·10 s<br />
250 ·400<br />
1+<br />
s s<br />
2<br />
⎛ 8 m ⎞<br />
⎜3·10<br />
⎟<br />
⎝ s ⎠<br />
was dem klassis<strong>ch</strong>en Resultat entspri<strong>ch</strong>t.<br />
16.7.2 Beispiel UFO<br />
Gehen wir zugunsten des Piloten davon aus, dass er tatsä<strong>ch</strong>li<strong>ch</strong> ein UFO gesehen<br />
hat und dafür eine Ges<strong>ch</strong>windigkeit von 0.8 c misst – wie er das trotz seiner Überra-<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 14
s<strong>ch</strong>ung hinkriegt, und wie er das te<strong>ch</strong>nis<strong>ch</strong> ma<strong>ch</strong>t, sei mal dahingestellt – und der<br />
Pilot einen Flieger mit dem neuen X – Speed Antrieb hat und selbst mit 0.5 c unterwegs<br />
ist, dann misst der Beoba<strong>ch</strong>ter am Boden für die fliegende Untertasse eine Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
von<br />
8 m 8 m 8 m<br />
0.8·3·10 + 0.5·3·10 1.3·3·10<br />
8 m<br />
u =<br />
s s<br />
=<br />
s<br />
≈0.92·3·10<br />
8 m 8 m 1+<br />
0.4<br />
s<br />
0.5·3·10 ·0.8·3·10<br />
1+<br />
s s<br />
2<br />
⎛ 8 m ⎞<br />
⎜3·10<br />
⎟<br />
⎝ s ⎠<br />
und ni<strong>ch</strong>t 1.3 – fa<strong>ch</strong>e Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit, wie na<strong>ch</strong> dem klassis<strong>ch</strong>en Resultat zu<br />
erwarten wäre!<br />
16.7.3 Relativistis<strong>ch</strong>e Massenzunahme<br />
Die bei hohen Ges<strong>ch</strong>windigkeiten auftretende Zeitdilatation wirkt si<strong>ch</strong> au<strong>ch</strong> auf andere<br />
Grundgrössen der Me<strong>ch</strong>anik aus. Ein erstes Beispiel ist die Masse, die ja ein<br />
Mass für die Trägheit eines Körpers ist.<br />
Betra<strong>ch</strong>ten wir in einem Gedankenexperiment ein Auto der Masse m 0 = 1000 kg. Es<br />
dur<strong>ch</strong>fährt mit glei<strong>ch</strong>förmiger Ges<strong>ch</strong>windigkeit im Bezugssystem K eine 100 m lange<br />
Messstrecke in y – Ri<strong>ch</strong>tung in 4 s. Somit hat es die Ges<strong>ch</strong>windigkeit v A = 25 m/s. Mit<br />
dieser Ges<strong>ch</strong>windigkeit prallt das Auto frontal auf eine Mauer.<br />
Quelle: unbekannt<br />
Die Tiefe des in der Mauer entstehenden Lo<strong>ch</strong>s ist ein Mass für den Impuls p, den<br />
das Auto gehabt hat.<br />
p = m ⋅ v<br />
A<br />
= 1000 kg ⋅ 25 m / s 25'000 kgm / s<br />
0<br />
=<br />
Stellen wir uns vor, wir seien ruhende Beoba<strong>ch</strong>ter und das ganze Bezugssystem K<br />
mit Auto und Mauer rase in x- Ri<strong>ch</strong>tung mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit v = 0.6c an uns vorbei.<br />
Zwar ist die Messstrecke in y – Ri<strong>ch</strong>tung auf für uns 100 m lang, wegen der Zeitdilatation<br />
wird sie aber für uns ni<strong>ch</strong>t in 4.0 s sondern in der Zeit<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 15
t 4.0 s<br />
t =<br />
0 =<br />
5. 0 s<br />
2<br />
2<br />
1 − β 1 − 0.6<br />
=<br />
dur<strong>ch</strong>fahren.<br />
Uns ers<strong>ch</strong>eint die Ges<strong>ch</strong>windigkeit des Autos in y – Ri<strong>ch</strong>tung aus auf v A ' = 20 m/s<br />
verringert.<br />
Da das Lo<strong>ch</strong> in der Mauer au<strong>ch</strong> für uns dieselbe Tiefe hat, ist der Impuls<br />
p' = m ⋅ v ' A<br />
aus unserer Si<strong>ch</strong>t ebenso 25'000 kgm/s wie aus der Si<strong>ch</strong>t eines in K ruhenden Beoba<strong>ch</strong>ters.<br />
Es bleibt nur eine Erklärung: Für uns hat das Auto statt der "Ruhemasse" m 0 = 1000<br />
kg die Masse:<br />
p'<br />
25'000 kgm / s<br />
m' = =<br />
= 1250 kg<br />
v ' 20 m / s<br />
A<br />
Die Masse eines ruhenden Körpers ist seine Ruhemasse m 0 .<br />
Die Masse m eines mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
v = β ⋅ c<br />
bewegten Körpers ist<br />
grösser als seine Ruhemasse:<br />
m<br />
= γ ⋅<br />
m 0<br />
oder<br />
m =<br />
m<br />
0<br />
2<br />
1 − β<br />
=<br />
m<br />
0<br />
⎛ v ⎞<br />
1 − ⎜ ⎟<br />
⎝ c ⎠<br />
2<br />
Zusammenhang zwis<strong>ch</strong>en Ges<strong>ch</strong>windigkeit und Masse:<br />
Quelle: unbekannt<br />
Die relativistis<strong>ch</strong>e Massenzunahme beträgt dann:<br />
∆m<br />
= m − m<br />
(<br />
0<br />
= γ ⋅ m0<br />
− m0<br />
= m0 γ −<br />
Relativistis<strong>ch</strong>e Effekte ma<strong>ch</strong>en si<strong>ch</strong> erst bemerkbar, wenn si<strong>ch</strong> Körper s<strong>ch</strong>neller<br />
als mit 10% der Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit bewegen.<br />
1)<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 16
Die überras<strong>ch</strong>ende Aussage der <strong>Relativitätstheorie</strong>, dass die Masse eines Körpers<br />
von seiner Ges<strong>ch</strong>windigkeit abhängt, wurde 1909 dur<strong>ch</strong> einen von BUCHERER<br />
dur<strong>ch</strong>geführten Versu<strong>ch</strong> für das Elektron bestätigt.<br />
Ein radioaktiver β-Strahler<br />
sendet Elektronen aus. Sie<br />
haben alle mögli<strong>ch</strong>en Ges<strong>ch</strong>windigkeiten<br />
im Berei<strong>ch</strong><br />
zwis<strong>ch</strong>en etwa 0,20c und<br />
0,95c. Mit einem Ges<strong>ch</strong>windigkeitsfilter<br />
lassen si<strong>ch</strong> Elektronen<br />
jeder gewüns<strong>ch</strong>ten Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
aussondern. Es<br />
besteht aus dem elektris<strong>ch</strong>en Quelle: unbekannt<br />
Feld eines sehr eng gebauten<br />
Plattenkondensators und einem dazu senkre<strong>ch</strong>ten Magnetfeld.<br />
Ein Elektron hat die negative Elementarladung e = 1,60⋅10 -19 C . Im elektris<strong>ch</strong>en Feld<br />
der Feldstärke E wird es mit der Kraft F e = e⋅E na<strong>ch</strong> oben zur positiv geladenen Platte<br />
abgelenkt. Im magnetis<strong>ch</strong>en Feld der Feldstärke B wird es, mit der Lorentzkraft F L<br />
= e⋅v⋅B na<strong>ch</strong> unten abgelenkt.<br />
Die Kraft des elektris<strong>ch</strong>en Feldes hängt ni<strong>ch</strong>t von der Elektronenges<strong>ch</strong>windigkeit v<br />
ab, die des Magnetfelds hingegen ist zu ihr proportional. Nur für Elektronen einer<br />
einzigen Ges<strong>ch</strong>windigkeit v kompensieren si<strong>ch</strong> beide Kräfte:<br />
E<br />
v =<br />
F L = F e ⇒ evB = eE ⇒ B<br />
Diese Elektronen bewegen si<strong>ch</strong> im Ges<strong>ch</strong>windigkeitsfilter geradeaus und dana<strong>ch</strong>, im<br />
Magnetfeld ausserhalb des Kondensators, auf einer Kreisbahn. Dort wirkt die Kraft<br />
F L als Zentripetalkraft F z :<br />
F z = F L<br />
⇒<br />
2<br />
mv =<br />
r<br />
evB<br />
⇒<br />
eBr<br />
m =<br />
v<br />
BUCHERER variierte die elektris<strong>ch</strong>e Feldstärke E des Kondensators und damit die<br />
Ges<strong>ch</strong>windigkeit v der untersu<strong>ch</strong>ten Elektronen. Dur<strong>ch</strong> Messungen der jeweiligen<br />
Kreisbahnradien r bestimmte er die zugehörige Elektronenmasse m und bestätigte,<br />
dass sie gegenüber der Ruhmasse m 0 = 9,11⋅10 -11 kg um den Faktor γ erhöht ist.<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 17
16.7.4 Äquivalenz von Masse und Energie<br />
Die wohl wi<strong>ch</strong>tigste Erkenntnis der <strong>Relativitätstheorie</strong> lässt si<strong>ch</strong> gewinnen, wenn man<br />
die Formel für die relativistis<strong>ch</strong>e Masse<br />
m =<br />
m<br />
0<br />
2<br />
1 − β<br />
im Punkt β = 0 dur<strong>ch</strong> ihr Taylorpolynom 2 (Näherungsformel) ersetzt:<br />
⇒<br />
2<br />
4<br />
⎛ 1 v 3 v ⎞<br />
m ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
≅ 1 +<br />
... ⎟ ⋅ m<br />
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ +<br />
2 c 8 c<br />
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠<br />
0<br />
⇒<br />
m = m<br />
1<br />
+ m<br />
2<br />
v<br />
c<br />
3<br />
+ m<br />
8<br />
v<br />
c<br />
2<br />
4<br />
0 0 2 0<br />
+<br />
4<br />
...<br />
multipliziert man diese Glei<strong>ch</strong>ung mit c 2 , so erhält man:<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
mc = m0c<br />
+ m0v<br />
+<br />
3<br />
m<br />
8<br />
0<br />
v<br />
c<br />
4<br />
2<br />
Bei der Betra<strong>ch</strong>tung dieses Terms fällt sofort der zweite Summand re<strong>ch</strong>ts vom<br />
1 2<br />
E kin<br />
= m0v<br />
Glei<strong>ch</strong>heitszei<strong>ch</strong>en auf; es ist die altbekannte kinetis<strong>ch</strong>e Energie: 2 . Dann<br />
müssen aber alle Terme, wel<strong>ch</strong>e hier summiert werden von der Dimension einer E-<br />
nergie sein!<br />
EINSTEIN erkannte, dass mc 2 die Gesamtenergie eines Körpers der relativistis<strong>ch</strong>en<br />
Masse m ist, die si<strong>ch</strong> aus den vers<strong>ch</strong>iedenen Summanden, der Ruheenergie m 0 c 2<br />
4<br />
1 2 3 v<br />
m0 v + m0<br />
+ ...<br />
2<br />
und der kinetis<strong>ch</strong>en Energie 2 8 c zusammensetzt. Der Korrekturterm<br />
der kinetis<strong>ch</strong>en Energie ma<strong>ch</strong>t si<strong>ch</strong> erst bei Ges<strong>ch</strong>windigkeiten v > 0.1c bemerkbar.<br />
Ein ruhender Körper mit der Ruhemasse m 0 hat die Ruheenergie E 0 = m 0 c 2 .<br />
Die Gesamtenergie E = mc 2 eines sehr s<strong>ch</strong>nell bewegten Körpers besteht aus<br />
Ruheenergie und kinetis<strong>ch</strong>er Energie:<br />
E = E 0 + E k<br />
Das merkwürdige ist aber do<strong>ch</strong>, dass si<strong>ch</strong> die Masse m und die Energie E nur um<br />
den konstanten Faktor c 2 unters<strong>ch</strong>eiden. Eine Erhöhung der kinetis<strong>ch</strong>en Energie<br />
eines Körpers bewirkt eine Erhöhung der Gesamtenergie und so glei<strong>ch</strong>zeitig eine<br />
Erhöhung der Masse!<br />
2 Ist f eine auf dem abges<strong>ch</strong>lossenen Intervall [a,b] → R n-mal stetig differenzierbare Funktion und<br />
existiert die Ableitung f (n) , so lässt si<strong>ch</strong> an jeder beliebigen Stelle x 0 ∈ [a,b] die Funktion f dur<strong>ch</strong> ihr<br />
( n)<br />
Taylorpolynom approximieren:<br />
f ' ( x0<br />
) f ' ' ( x0<br />
)<br />
2 f ( x0<br />
)<br />
n<br />
f ( x)<br />
≅ f ( x0 ) + ( x − x0<br />
) + ( x − x0<br />
) + ..... + ( x − x0<br />
) .<br />
1!<br />
2!<br />
n!<br />
Mit dem TI-89 lässt si<strong>ch</strong> das Taylorpolynom einfa<strong>ch</strong> bere<strong>ch</strong>nen: Eingabe: taylor(Term1, Var,<br />
Grad[,Punkt]), dabei ist Term1 die zu entwickelnde Funktion, Var die Funktionsvariable, Grad = n und<br />
[,Punkt] ist die optionale Eingabe des Entwicklungspunktes, falls dieser von 0 abwei<strong>ch</strong>t.<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 18
In diesem Sinne sind Masse und Energie zwei glei<strong>ch</strong>wertige Aspekte ein und derselben<br />
Sa<strong>ch</strong>e. Man bezei<strong>ch</strong>net dies als Äquivalenz von Masse und Energie.<br />
Für die kinetis<strong>ch</strong>e Energie gilt:<br />
Die kinetis<strong>ch</strong>e Energie E k eines mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit v = β⋅c bewegten Körpers<br />
ist:<br />
E k = (γ – 1)⋅E 0<br />
γ =<br />
Dabei ist E 0 = m 0 c 2 die Ruheenergie des Körpers und<br />
1<br />
2<br />
1 − β<br />
16.8 Gedanken zur allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
16.8.1 Einsteins<strong>ch</strong>e Äquivalenzprinzip<br />
Bei der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong> (SRT) sind stets gegeneinander unbes<strong>ch</strong>leunigte<br />
Bezugssysteme betra<strong>ch</strong>tet worden. Jeder Beoba<strong>ch</strong>ter, unabhängig in wel<strong>ch</strong>em<br />
Bezugssystem er si<strong>ch</strong> befindet, kann keine Aussage darüber ma<strong>ch</strong>en, ob si<strong>ch</strong> sein<br />
Bezugssystem bewegt oder das beoba<strong>ch</strong>tete. Damit klammert man aber stills<strong>ch</strong>weigend<br />
die Gravitationskräfte aus. 1915 erweiterte Albert Einstein seine SRT, dur<strong>ch</strong><br />
zulassen von bes<strong>ch</strong>leunigten Bezugssystemen (damit wurden Gravitationskräfte automatis<strong>ch</strong><br />
einges<strong>ch</strong>lossen), zur allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> (ART).<br />
Die Grundlage der allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> bildet das Äquivalenzprinzip:<br />
Ein homogenes Gravitationsfeld ist zu einem glei<strong>ch</strong>förmig bes<strong>ch</strong>leunigten Bezugssystem<br />
völlig äquivalent!<br />
Ob eine Rakete auf dem der Erde Boden steht oder im Weltraum mit 9.81 m/s 2 dur<strong>ch</strong><br />
die Triebwerke bes<strong>ch</strong>leunigt wird – spielt für den Astronauten keine Rolle. Hat er keine<br />
Fenster und sind die Triebwerke vom neuesten Typ “Flüsterleise“, so kann er die<br />
beiden Situationen dur<strong>ch</strong> physikalis<strong>ch</strong>e Experimente ni<strong>ch</strong>t unters<strong>ch</strong>eiden. Beide Bezugssysteme<br />
sind für ihn glei<strong>ch</strong>wertig.<br />
16.8.1.1 Auswirkungen<br />
Nehmen wir eine kleine Probemasse m 1 an, wel<strong>ch</strong>e im Gravitationsfeld der grossen<br />
Masse M frei falle. Am Anfangspunkt der Bewegung von m 1 , im Unendli<strong>ch</strong>en ( r =∞ ),<br />
besitze sie die Ges<strong>ch</strong>windigkeit v ∞<br />
= 0 . Mit dem Gravitationsgesetz folgt für ihre Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
in der Entfernung r von M:<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 19
Die Messzeit soll nun so kurz sein, dass v im betra<strong>ch</strong>teten Zeitabs<strong>ch</strong>nitt konstant ist.<br />
Der ruhende Beoba<strong>ch</strong>ter bei r =∞ misst dann für einen gewissen Streckenabs<strong>ch</strong>nitt<br />
das Zeitintervall ∆ t . Der auf m 1 reitende Beoba<strong>ch</strong>ter hingegen misst aufgrund der<br />
Zeitdilatation das verkürzte Zeitintervall ∆ t ' =<br />
∆t<br />
. Zusammen mit obiger Formel<br />
2<br />
v<br />
1−<br />
2<br />
c<br />
für die Ges<strong>ch</strong>windigkeit erhalten wir damit<br />
∆ t ' =<br />
∆t<br />
G·<br />
M<br />
, mit ϕ = .<br />
2ϕ<br />
r<br />
1−<br />
2<br />
c<br />
Für praktis<strong>ch</strong>e Probleme kann der Nenner angenähert werden:<br />
S<strong>ch</strong>lussfolgerung:<br />
Offensi<strong>ch</strong>tli<strong>ch</strong> gehen Uhren in einem Gravitationsfeld umso langsamer, je grösser<br />
das Gravitationspotential ist.<br />
Oder anders: Leute auf einem hohen Berg altern s<strong>ch</strong>neller als die Leute im Tal.<br />
16.8.2 Effekte<br />
16.8.2.1 Gravitationsrotvers<strong>ch</strong>iebung<br />
Atome können angeregt werden. Relaxieren sie in ihren Grundzustand, so können<br />
sie die übers<strong>ch</strong>üssige Energie in Form von Strahlung ganz bestimmter Frequenz abgeben.<br />
Die Frequenz ist gegeben dur<strong>ch</strong> f = . Bewegt si<strong>ch</strong> das Atom während des<br />
1<br />
T<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 20
1<br />
Relxationsprozesses, dann misst ein ruhender Beoba<strong>ch</strong>ter die Frequenz f = .<br />
ϕ<br />
1+<br />
2<br />
c<br />
Die gemessene Frequenz wird also kleiner als im Ruhesystem des Atoms. Man<br />
spri<strong>ch</strong>t von einer Gravitationsrotvers<strong>ch</strong>iebung.<br />
16.8.2.2 S<strong>ch</strong>warze Lö<strong>ch</strong>er<br />
2<br />
∆t<br />
c<br />
In der Formel ∆ t ' = tritt genau dann ein Problem auf, wenn ϕ = ist. In diesem<br />
Fall würde der Nenner null und ∆ t ' =∞ . Diesem Wert des Gravitationspotentials<br />
2ϕ<br />
2<br />
1−<br />
2<br />
c<br />
entspri<strong>ch</strong>t der Radius<br />
2GM<br />
r = .<br />
2<br />
c<br />
Dieser Radius wird S<strong>ch</strong>warzs<strong>ch</strong>ild – Radius genannt.<br />
Was hat es mit diesem Radius auf si<strong>ch</strong>? Ist ein Objekt aufgrund seiner Di<strong>ch</strong>te kleiner<br />
als sein S<strong>ch</strong>warzs<strong>ch</strong>ildradius (wie man es si<strong>ch</strong> bei Neutronensternen vorstellen könnte),<br />
so bedeutet dies, dass ni<strong>ch</strong>ts(!) von diesem Objekt entkommen kann, wenn es<br />
näher als der S<strong>ch</strong>warzs<strong>ch</strong>ildradius an diesem Objekt dran ist. Li<strong>ch</strong>t kann vom Ort<br />
r < r S<strong>ch</strong>warzs<strong>ch</strong>ild<br />
einen Beoba<strong>ch</strong>ter am Ort r > rS<strong>ch</strong>warzs<strong>ch</strong>ild<br />
niemals errei<strong>ch</strong>en. Man bezei<strong>ch</strong>net<br />
deshalb den Berei<strong>ch</strong> r < r au<strong>ch</strong> als s<strong>ch</strong>warzes Lo<strong>ch</strong>.<br />
16.8.2.3 Gravitationslinsen<br />
S<strong>ch</strong>warzs<strong>ch</strong>ild<br />
Der Effekt der Zeitdehnung innerhalb<br />
eines Gravitationsfeldes hat no<strong>ch</strong><br />
eine andere Auswirkung. Weil die<br />
Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit im Vakuum<br />
konstant ist, muss si<strong>ch</strong> der Raum in<br />
einem Gravitationsfeld dehnen. Eine<br />
Masse beult also quasi das Raum-<br />
Zeit Gitter aus. Diese Ausbeulung ist<br />
umso grösser, je grösser die Masse<br />
ist. Deswegen verläuft ein Li<strong>ch</strong>tstrahl<br />
im Berei<strong>ch</strong> einer grossen Masse<br />
ni<strong>ch</strong>t geradlinig, sondern wird von<br />
der Masse abgelenkt. Massen<br />
krümmen also den Li<strong>ch</strong>tstrahl (Gravitationslinseneffekt).<br />
Quelle: antwrp.gfsc.nasa.gov<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 21
16.9 Aufgaben<br />
1) Ein 30-jähriger Weltraumfahrer startet im Jahre 2004 zu einer Reise dur<strong>ch</strong> das<br />
Weltall. Seine dur<strong>ch</strong>s<strong>ch</strong>nittli<strong>ch</strong>e Reiseges<strong>ch</strong>windigkeit beträgt relativ zur Erde<br />
40<br />
gemessen v = c . Wie alt ist der Weltraumfahrer, wenn er im Jahre 2035<br />
41<br />
zurückkehrt?<br />
2) Zwei syn<strong>ch</strong>ronisierte Uhren A und B haben auf der Erde einen Abstand von<br />
12<br />
600 km. Eine Rakete fliegt mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit v = c über die Erde<br />
13<br />
hinweg und kommt erst bei Uhr A, dann bei Uhr B vorbei. Bei A zeigt eine Uhr<br />
in der Rakete die glei<strong>ch</strong>e Zeit wie Uhr A an. Wel<strong>ch</strong>e Zeit zeigt die Raketenuhr<br />
im Verglei<strong>ch</strong> zur Uhr B an, wenn sie über diese hinwegfliegt?<br />
3) Im Jahre 1995 startet ein 20-jähriger Astronaut zu einer Weltraumreise. Da<br />
60<br />
seine Rakete mit v = c fliegt und damit fast Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>windigkeit errei<strong>ch</strong>t,<br />
61<br />
kann er während seiner 33 Jahre dauernden Reise au<strong>ch</strong> den 9.7 Li<strong>ch</strong>tjahre<br />
entfernten Sirius besu<strong>ch</strong>en.<br />
a) Wel<strong>ch</strong>es Jahr s<strong>ch</strong>reibt man auf der Erde, wenn der Astronaut als 53-<br />
jähriger zurückkehrt?<br />
b) Wie alt ist der Astronaut, wenn er auf seinem direkten Flug zu Sirius<br />
diesen Stern passiert?<br />
c) Wie s<strong>ch</strong>nell hätte der Astronaut fliegen müssen, um während seiner 33<br />
Jahre dauernden Reise au<strong>ch</strong> den 2 Millionen Li<strong>ch</strong>tjahre entfernten<br />
Andromedanebel besu<strong>ch</strong>en zu können?<br />
4) Wie gross wäre die Halbwertszeit der Myonen, wenn sie mit derselben<br />
Ges<strong>ch</strong>windigkeit v = 0.999 999 997 c im Ring kreisen würden wie Elektronen<br />
im Deuts<strong>ch</strong>en Elektronensyn<strong>ch</strong>rotron (DESY) in Hamburg?<br />
5) Angenommen, die Myonen (v = 0.9994c) hätten eine Lebenserwartung von 70<br />
Jahren. Wie lange lebten sie dann im Spei<strong>ch</strong>erring?<br />
6) Wie s<strong>ch</strong>nell muss ein Elektron in einem Bes<strong>ch</strong>leuniger sein, dass dessen<br />
Länge für das Elektron auf ein Viertel kontrahiert ers<strong>ch</strong>eint?<br />
7) Ein Raums<strong>ch</strong>iff fliegt mit v = 0.6 c über eine syn<strong>ch</strong>ronisierte Uhrenkette<br />
hinweg. Anfang und Ende des Raums<strong>ch</strong>iffes befinden si<strong>ch</strong> glei<strong>ch</strong>zeitig über<br />
zwei Uhren, die einen Abstand von 48 m haben. Wie lang ist das Raums<strong>ch</strong>iff<br />
für einen Astronauten, der si<strong>ch</strong> im Raums<strong>ch</strong>iff aufhält? Wie erklärt er sein<br />
anderslautendes Ergebnis?<br />
8) Wie gross ist die Massenzunahme eines Satelliten mit 1000 kg Masse, der auf<br />
seiner Erdumlaufbahn eine Ges<strong>ch</strong>windigkeit von 28'000 km/h hat?<br />
9) Im deuts<strong>ch</strong>en Elektronensyn<strong>ch</strong>rotron DESY werden Elektronen auf eine<br />
Ges<strong>ch</strong>windigkeit von v = 0.999 999 997 c bes<strong>ch</strong>leunigt. Um wel<strong>ch</strong>en Faktor ist<br />
die dynamis<strong>ch</strong>e Masse dann grösser als die Ruhemasse?<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 22
16.10 Lösungen<br />
⎛ 40 ⎞ 9<br />
∆ ⎜ ⎟<br />
.<br />
⎝ 41⎠<br />
41<br />
Er kommt also als Siebenunddreissigjähriger im Jahre 2035 zurück.<br />
1) Für den Weltraumfahrer vergehen t = ( 2035 − 2004) a 1−<br />
= 31a·<br />
≈6.<br />
8a<br />
2) Während des Fluges der Rakete von Uhr A zur Uhr B vergeht auf der Erde die<br />
∆s<br />
13·600km<br />
1<br />
Zeit ∆ tR = =<br />
= 2 ms . Währenddessen vergeht in der Rakete<br />
12<br />
km 6<br />
c 12·300000<br />
13<br />
s<br />
2<br />
⎛ v ⎞ 13 ⎛12<br />
⎞ 5<br />
nur die Zeit ∆ t = ∆t<br />
R<br />
· 1−<br />
⎜ ⎟ = ms·<br />
1−<br />
⎜ ⎟ = ms . Die Uhr in der Rakete<br />
⎝ c ⎠ 6 ⎝13<br />
⎠ 6<br />
13 5 1<br />
zeigt daher ms − ms = 1 ms weniger an als die Uhr B, wenn sie über diese<br />
6 6 3<br />
hinwegfliegt.<br />
3) a) Auf der Erde sind 183 Jahre vergangen; man s<strong>ch</strong>reibt das Jahr 2178:<br />
∆t<br />
33a<br />
∆t R<br />
= =<br />
= 183a<br />
2<br />
2<br />
⎛ v ⎞ ⎛ 60 ⎞<br />
1−<br />
⎜ ⎟ 1−<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ c ⎠ ⎝ 61⎠<br />
9.7 Lj<br />
b) In Erdzeit vergehen für die Reise zum Sirius ∆ t R<br />
= = 9. 86a<br />
. Für den<br />
60<br />
c<br />
61<br />
⎛ 60 ⎞<br />
Astronauten vergehen jedo<strong>ch</strong> nur ∆ t = 9.86a·<br />
1−<br />
⎜ ⎟ = 1. 78a<br />
. Er kommt als<br />
⎝ 61⎠<br />
Einundzwanzigjähriger am Sirius vorbei.<br />
2<br />
⎛ v ⎞<br />
2·d<br />
c) Aus ∆t = ∆t<br />
R<br />
· 1−<br />
⎜ ⎟ folgt mit ∆ t R<br />
= 33a<br />
und ∆ t R<br />
= (d = 2 Mio Lj =<br />
⎝ c ⎠ v<br />
2·10 6 v 1 −12<br />
ca) =<br />
= 1−<br />
34· 10 . Die Ges<strong>ch</strong>windigkeit des<br />
c<br />
2<br />
⎛ 33 ⎞<br />
1+<br />
⎜<br />
6<br />
⎟<br />
⎝ 4· 10 ⎠<br />
Raums<strong>ch</strong>iffes müsste si<strong>ch</strong> also auf 34 Billionstel von c nähern.<br />
1.52 µ s<br />
4) Die Halbwertszeit wäre ∆t R<br />
=<br />
= 19. 6ms<br />
2<br />
1−<br />
0.999999997<br />
70a<br />
5) = 2021a<br />
2<br />
1−<br />
0.9994<br />
2<br />
2<br />
2<br />
6) Aus<br />
l v ⎛ lK<br />
⎞<br />
l K<br />
= folgt = 1−<br />
⎜ ⎟ = 0. 968<br />
2<br />
⎛ v ⎞<br />
c ⎝ l ⎠<br />
1−<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ c ⎠<br />
2<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 23
48m<br />
7) Die Eigenlänge der Rakete beträgt l R = 60 m: l R<br />
= = 60m<br />
. Für den<br />
2<br />
1−<br />
0.6<br />
Astronauten ist die Uhrenkette ni<strong>ch</strong>t syn<strong>ch</strong>ronisiert. In Flugri<strong>ch</strong>tung gesehen<br />
geht jede na<strong>ch</strong>folgende Uhr um eine bestimmte Zeitspanne gegenüber der<br />
davor stehenden Uhr vor! Anfang und Ende des Raums<strong>ch</strong>iffs werden daher<br />
für den Astronauten ni<strong>ch</strong>t glei<strong>ch</strong>zeitig markiert, sondern der Anfang zu früh,<br />
das Ende zu spät. Die Länge wird zu klein gemessen.<br />
8) Da hier v
16.11 Anhang<br />
16.11.1 Einsteins Originalpublikation aus dem Jahre 1905 zur<br />
<strong>Relativitätstheorie</strong> (Annalen der Physik)<br />
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Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 26
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer 27