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Frequenzgenauigkeit von Silizium-basierten
mikroelektromechanischen, passiv kompensierten
Resonatoren für Kraftfahrzeug-Anwendungen
Der Technischen Fakultät
der Universität Erlangen-Nürnberg
zur Erlangung des Grades
D O K T O R - I N G E N I E U R
vorgelegt von
Dipl.-Ing. (Univ) Florian Schön
Erlangen - 2010

Als Dissertation genehmigt von
der Technischen Fakultät der
Universität Erlangen-Nürnberg
Tag der Einreichung: 10.09.2009
Tag der Promotion: 18.12.2009
Dekan: Professor Dr.-Ing. habil. Reinhard German
Berichterstatter: Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. habil. Robert Weigel
Professor Dr. rer. nat. Doris Schmitt-Landsiedel

Für Nicole

Danksagung
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Doktorand bei der Infineon Technologies
AG (Neubiberg) im Bereich Sense & Control - Development von 2007 bis 2009.
An erster Stelle möchte ich meinem Doktorvater Prof. Dr.-Ing Dr.Ing. R. Weigel (Lehrstuhl für
Technische Elektronik FAU-Erlangen/Nürnberg) für die hervorragende Betreuung danken. Die
stets gute Mischung aus Unterstützung und der Möglichkeit des selbstverantwortlichen Arbeitens
trug maßgeblich zum Gelingen dieser Arbeit bei.
Des Weiteren möchte ich mich bei Frau Prof. Dr. rer. nat. D. Schmitt-Landsiedel (Lehrstuhl
für Technische Elektronik, TU München) für die Übernahme des Zweitgutachtens bedanken.
Ein großer Dank gilt meinem Betreuer bei Infineon, Herrn Dr. Werner Weber. Während der
letzten zweieinhalb Jahre lies er mir stets große Unterstützung zukommen. So konnte ich von
seiner großen wissenschaftlichen Erfahrung profitieren.
Ein großer Dank gilt auch meinen Kollegen im Bereich Sense & Control, im speziellen der
Abteilung Technologieentwicklung für das sehr angenehme und produktive Arbeitsumfeld. Besonders
möchte ich mich dabei bei meinem Resonator-Mitstreiter und guten Freund Mohsin Nawaz
bedanken. Die regelmäßigen Diskussionen waren stets hilfreich und zielführend. In diesem
Zusammenhang möchte ich auch meinen weiteren Kollegen im Silicon Clocks Projekt danken,
namentlich: Dr. Thomas Bever, Robert Grünberger, Dr. Wolfgang Raberg, Mihail Sararoiu und
Bernhard Winkler.
Ein ganz besonderer Dank gilt zudem Dr. Reinhard Linnemann, der mir auch in schwierigen
Situationen die nötige Unterstützung zukommen lies.
Last but not least möchte ich meiner Familie und vor allem meiner Freundin Nicole danken.
Ihre Liebe, Unterstützung und vor allem Motivation hat wesentlich zum Gelingen dieser Arbeit
beigetragen.

Zusammenfassung
Silizium-basierte mikroelektromechanische Resonatoren können aufgrund Ihrer hervorragenden
elektrischen Eigenschaften, den kleinen Abmessungen und der Möglichkeit der Integration mit
dem Anwendungsschaltkreis Quarz-Resonatoren als Frequenzreferenz ersetzen. Eine Herausforderung
im Zusammenhang mit mikroelektromechanischen Resonatoren ist deren Frequenzgenauigkeit.
Aufgrund von Prozessschwankungen kann die Resonanzfrequenz deutlich variieren. Zudem
zeigt die Eigenfrequenz von unkompensierten Silizium-basierten Resonatoren eine ausgeprägte
Abhängigkeit von der Temperatur. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit werden die Quellen für
Frequenzvariationen theoretisch und experimentell untersucht. Zudem werden Verfahren für die
passive Kompensation der Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und für die Reduktion
der Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz diskutiert und evaluiert. Die theoretischen
Überlegungen über die Auswirkungen von Prozessvariationen erfolgen für drei verschiedene
beidseitig eingespannte Balken mittels analytischer Betrachtung und Finiter-Elemente-Methode
Simulationen. Der Wheel-Resonator wird lediglich mittels Simulation untersucht. Die Ergebnisse
zeigen, dass die beiden Hauptquellen für Frequenzvariationen aufgrund von Prozessvariationen
die Definition der Resonatorgeometrie mittels Lithographie und anschließendem Ätzen, sowie
das darauf folgende Polysiliziumspacer-Modul sind. Der Polysiliziumspacer reduziert den Anregespalt
des Resonators von 800 nm und 400 nm. Die ermittelten Frequenzvariationen sind von
der Grundgeometrie sowie von den Abmessungen der Resonatoren abhängig. Für die drei untersuchten
beidseitig angespannten Balken werden Frequenzvariation zwischen 16000 ppm und
31000 ppm gemessen. Die Frequenzabweichungen des Wheel-Resonator sind mit 5500 ppm bis
8800 ppm deutlich geringer. Anhand der experimentellen Untersuchungen zeigt sich zudem, dass
ein interner Stress deutlichen Einfluss auf die Eigenfrequenz hat. Durch einen Ausheilschritt bei
hohen Temperaturen und für lange Zeit können die Stressverteilung minimiert und somit die
Frequenzvariation reduziert werden.
Zur passiven Kompensation der Auswirkungen von Prozessstreuungen wird die lokale Dotierung
mit Bor und Arsen untersucht. Mittels Bor lässt sich die Resonanzfrequenz in um bis zu
2348 ppm hin zu positiveren Werten verändern. Die Dotierung mit Arsen hat eine Reduktion der
Eigenfrequenz von maximal 2595 ppm zur Folge. Die Größe der Frequenzveränderung ist in beiden
Fällen von der Dotierlokation abhängig.
Als weitere Quelle von Frequenzvariationen wird die Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz
von Silizium-basierten Resonatoren untersucht. Die Untersuchungen erfolgen wiederum an
drei beidseitig eingespannten Balken und am Wheel-Resonator. Theoretische Betrachtungen und
experimentelle Ergebnisse zeigen, dass der Temperaturkoeffizient erster Ordnung der Resonanzfrequenz
in Abhängigkeit der Geometrie und des thermischen Budgets während der Prozessierung
zwischen −20 ppm/ ◦ C und 31 ppm/ ◦ C liegt. Als Hauptquelle für das Sinken der Resonanzfrequenz
mit steigender Temperatur wird das Erweichen des verwendeten monokristallinen Siliziums identifiziert.
Aus den experimentellen Untersuchungen zeigt sich zudem, dass thermischer und interner
Stress einen deutlichen Einfluss auf die Temperaturabhängigkeit von beidseitig angespannten
Balken haben können.

Das Embedded-Oxide Konzept wird als passive Kompensationmethode des Temperaturgangs
diskutiert. Anhand von Simulationsergebnissen wird gezeigt, dass durch die Kombination des
Resonatormaterials mit Siliziumdioxid der Temperaturkoeffizient erster Ordnung der Resonanzfrequenz
auf Werte kleiner 1 ppm/ ◦ C reduziert werden kann. Für einen stark kompensierten Resonator
ergibt sich ein temperaturbedingter Restfehler von −137 ppm für einen Temperaturbereich
von −40 ◦ C bis 125 ◦ C. Kompensierte Resonatoren werden mittels des Oxide-Fill-Prozess,
der im Rahmen der Arbeit entwickelt wird, gefertigt. Rasterelektronenmikroskopaufnahmen des
Querschnitts der gefertigten Resonatoren zeigen die Ausbildung von Voids innerhalb der Siliziumdioxidschicht.
Die ermittelten Temperaturkoeffizienten erster Ordnung der Resonanzfrequenz der
gefertigten Strukturen sind dennoch kleiner als aufgrund der Simulationen erwartet wird. Beide
vorgestellten Kompensationskonzepte eignen sich für die Herstellung von Silizium-basierten
mikroelektromechanischen Resonatoren mit einer Gesamtfrequenzvariation im Bereich einiger
hundert ppm.

Abstract
Silicon based MEMS-Resonators are seen as a perfect replacement for quartz crystals in timing and
frequency reference applications due to their small size and the ability to integrate them with the
application circuit. However one challenge is still the frequency accuracy of those resonators. This
thesis deals with the two main contributors to frequency errors, namely the drift of the resonant
frequency with temperature and the initial frequency variation due to process variations. The
application focus for the investigated resonators is thereby the mobile automotive environment.
In a first step the main sources of the initial frequency error due to process variations are identified
to be the lithography and subsequent structuring to form the geometry of the resonator and
the consecutive spacer-module. Those steps reduce the initial actuation gap width from 800 nm
to 400 nm. Theoretical and experimental investigations are carried out with three different kinds
of clamped-clamped-beams and with a 13 MHz wheel-resonator. The theoretical analysis of the
clamped-clamped beams is thereby based on an analytical and a simulation approach. The analysis
of the effect of process variations on the resonant frequency of a wheel-resonator is executed
only by simulation. The simulations are carried out using ANSYS finite element software. In order
to verify the theoretical model clamped-clamped-beams and wheel-resonators are characterized
on five different wafers from the same processing lot. The processing of the five wafers differs only
by an annealing step, which is performed prior to the geometry formation. The relative frequency
variation of the clamped-clamped-beams is determined to be between 16000 ppm and 31000 ppm
depending on the geometrical dimensions of the resonators. The measured values are slightly
smaller than predicted by the theoretical model. The wheel-resonators show a smaller frequency
variation in comparison with the clamped-clamped-beams. It has a minimum of 5500 ppm and a
maximum 8800 ppm depending on the investigated wafer. It is observed that the internal stress
distribution within the device layer can have a large impact on the frequency variations. A high
temperature, long time annealing step leads to a more conformal stress distribution and therefore
reduces the frequency variations.
Local doping of the resonators with arsenic and boron is investigated as a passive compensation
technique for process variations. Depending on the location of doping the resonant frequency can
be shifted by up to 2348 ppm in the positive direction using boron as doping species. In contrast
to that local doping with arsenic reduces the resonant frequency of a wheel-resonator by up
to 2595 ppm. Smaller steps in frequency shift can be achieved by changing the location of the
doping. The proposed technique is therefore capable to dramatically reduce the initial frequency
variations of the resonators.
As a second source for frequency inaccuracy the thermal drift of the natural frequency is investigated.
Theoretical and experimental investigations show that the temperature coefficient of
the resonant frequency for an uncompensated silicon based resonator is within −20 ppm/ ◦ C and
−31 ppm/ ◦ C depending on the resonator geometry and the temperature budget during processing.
The main source of the frequency variation is found to be the softening of the resonator
material with increasing temperature. In addition experimental observations show that thermal
and internal stresses play an important role for the temperature dependence of the resonant

frequency of clamped-clamped-beams.
A passive temperature compensation technique using embedded oxide is proposed. By simulation
it is shown that the first order temperature coefficient of the resonant frequency can be
reduced to values below 1 ppm/ ◦ C, which leads to a remaining frequency variation of −137 ppm
for a temperature range from −40 ◦ C to 125 ◦ C. To implement resonators with embedded oxide
the oxide fill process is developed and verified experimentally. The fabricated resonators are
characterized electrically and by means of a scanning electron microscope. From the scanning
electron microscope pictures it can be seen that voids are formed within the silicon dioxide which
serves as temperature compensation layer. However the extracted temperature coefficients of the
resonant frequency are even lower than predicted by simulation. This reduces the amount of
silicon dioxide needed to compensate the silicon softening.
The results therefore show that resonators with an overall frequency variation of a few hundred
ppm can be manufactured by using passive compensation techniques for both process variations
and temperature drift.

Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 1
1.1. Mikroelektromechanische Systeme und mikroelektromechanische Resonatoren . . . 1
1.2. Stand der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Zielsetzung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Grundlagen mikroelektromechanischer Resonatoren 9
2.1. Mikromechanische Resonatoren und deren Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1. Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2. Elektrostatische Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3. Elektrisches Ersatzmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Verlustmechanismen von mikroelektromechanischen Resonatoren . . . . . . . . . . 13
2.2.1. Fluiddämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2. Thermoelastische Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3. Ankerverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Grundlagen der verwendeten Resonatorgeometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1. Der beidseitig eingespannte Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2. Der Wheel-Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren 21
3.1. Anforderungen an die Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
in Filtern und als Frequenzreferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation . 22
3.2.1. Theoretische Betrachtungen der Prozessstreuungen bei der Halbleiterfertigung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz . . . . . . . 27
3.2.3. Literaturübersicht zu Kompensationsansätzen von Prozessstreuungen . . . 43
3.2.4. Lokale Dotierung zur Modifikation der mechanischen Eigenschaften . . . . . 46
3.3. Temperaturabhängigkeit der Frequenz und deren Kompensation . . . . . . . . . . 49
3.3.1. Quellen der Temperaturabhängigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2. Literaturübersicht zu Kompensationsansätzen des Temperaturgangs . . . . 54
3.3.3. Kompensation des Temperaturgangs mittels Embedded-Oxide-Strukturen . 56
4. Experimentelle Vorgehensweise 61
4.1. Herstellung von mikroelektromechanischen Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1. Bauelementdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2. Vakuumverschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.3. Passivierung und elektrische Kontaktierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

XII
Inhaltsverzeichnis
4.2. Der Oxide-Fill-Prozess zur Herstellung von Embedded-Oxide-Strukturen . . . . . . 64
4.3. Messaufbau zur Charakterisierung mikroelektromechanischer Resonatoren . . . . . 66
5. Messergebnisse 71
5.1. Untersuchungen zu Prozessstreuungen und deren Kompensation . . . . . . . . . . . 71
5.1.1. Frequenzstreuung von unkompensierten mikroelektromechanischen Resonatoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.2. Der Einfluß lokaler Dotierung auf die Resonanzfrequenz von Wheel-Resonatoren 85
5.2. Untersuchungen zur Temperaturdrift und derer Kompensation . . . . . . . . . . . 87
5.2.1. Temperaturgang von unkompensierten Resonatoren . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.2. Wheel-Resonatoren mit Embedded-Oxide-Strukturen . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.3. Die Auswirkungen lokaler Dotierung auf die Temperaturdrift der Resonanzfrequenz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6. Bewertung 101
7. Zusammenfassung und Ausblick 105
A. Verwendete Abkürzungen 109
B. Die mechanischen und thermischen Eigenschaften der verwendeten Materialien 111
B.1. Die Elastizität von monokristallinem Silizium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B.2. Die für die Simulationen verwendeten mechanischen und thermischen Eigenschaften
der Resonatormaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
C. Liste der eigenen Publikationen 113
C.1. Konferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
C.2. Zeitschriftenbeiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
C.3. Patentanmeldungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1 Einleitung
1.1. Mikroelektromechanische Systeme und mikroelektromechanische
Resonatoren
Die Mikroelektronik hat seit den ersten Anwendungen in den 1960er Jahren rasant Einzug in unser
tägliches Leben gefunden. Eine Grundlage dieses Siegeszuges ist die hohe und stetig steigende
Integrationsdichte, die die Siliziumhalbleitertechnologie begleitet. Sie ermöglicht die Realisierung
einer hohen Zahl an Funktionen auf geringster Fläche.
Neben rein elektrischen Systemen werden seit den 1970er Jahren auch Mikrosysteme (im englischen
meist als Microelectromechanical Systems - MEMS - bezeichnet) als Sensoren für Druck,
Temperatur und Beschleunigung entwickelt [1]. Die Silizium-Mikrosystemtechnik basiert dabei
im Allgemeinen auf den Fertigungsverfahren der Mikroelektronik, jedoch schließt sie bei der Verarbeitung
von physikalischen Größen, neben den elektrischen unter anderen auch thermische,
mechanische und magnetische Größen mit ein.
Heute umfasst der gesamte MEMS-Markt in etwa 2 Mrd. Bauteile und einen Gesamtumsatz
von 7 Mrd. US$ (Stand 2007) [2]. Hauptanwendungen sind Druckerköpfe und Drucksensoren,
aber auch andere mikrofluidische Bauelemente. Daneben wird an zahlreichen weiteren möglichen
Applikationen geforscht und gearbeitet. Eine kategorisierte Übersicht ist der in Abbildung 1.1
dargestellten Marktprognose von Yole Developpment (Stand 2008) [2] zu entnehmen.
Ein, kommerziell gesehen, vergleichsweise neues Feld stellen MEMS für Hochfrequenzanwendungen
(Radio Frequency Microelectromechanical Systems - RF-MEMS) dar. Dieses Themengebiet
umfasst neben mikroelektromechanischen Resonatoren unter anderem mikromechanische
Schalter, Spulen, Kondensatoren, Varaktoren und Antennen [1, 3, 4]. Aufgrund der durch die
Silizium-Mikrosystemtechnik gegebenen Möglichkeit der Integration sind diese vor allem für
mobile Kommunikationsanwendungen von Interesse. MEM-Resonatoren können dort Off-chip-
Komponenten wie Quarz-Resonatoren als Frequenzreferenz für den lokalen Oszillator (LO) sowie
Surface-Acoustic-Wave (SAW)-, Bulk-Acoustic-Wave (BAW)- und keramische Filter ersetzen.
Neben der deutlichen Platzersparnis führt dies durch die Reduktion von Parasitäten zu einer verbesserten
Filtercharakteristik [5].
MEM-Resonatoren sind mehrere 10 bis 1000 µm große mechanische Strukturen, beispielsweise
in Form einer Stimmgabel, die mit Hilfe der Prozesse der Siliziumhalbleitertechnik in der Oberfläche
des Halbleiters oder in abgeschiedenen Schichten (meist Polysilizium) geformt werden, und
durch elektrostatische oder piezoelektrische Anregung bei ihrer Eigenfrequenz schwingen. Es findet
wie bei Quarz-, SAW- und BAW-Resonatoren eine Wandelung zwischen elektrischen Größen
(Strom, Spannung, Ladung) hin zu mechanischen Größen (Kraft, Geschwindigkeit, Auslenkung)
und umgekehrt statt [6]. Die Resonatoren können dabei verschiedenste Geometrien aufweisen.
Eine gute Übersicht derzeit untersuchter Geometrien ist bei Hsu [7] und bei Nguyen [5] zu finden.
Die im Rahmen der Arbeit verwendeten Resonatoren, der Wheel-Resonator und der beidseitig
eingespannte Balken werden in Kapitel 2 näher vorgestellt.
Ein weiterer Vorteil, der sich aus den kleinen Abmessungen der Resonatoren ergibt, ist die

2 1. Einleitung
Umsatz [Millionen US$]
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Jahr
Emerging MEMS
Micro−Brennstoffzellen
Micro tips & Probes
RF MEMS
Microfluidik für Arzneiversorgung
Microfluidik für Diagnose
Mikrofluidik für Forschung
Microdisplays
Microbolometer
MOEMS
Gyroskope
Beschleunigungssensoren
Silizium Mikrofon
Drucksensoren
Druckerköpfe
Abbildung 1.1: Von Yole Developpment prognostizierte Markentwicklung im Bereich mikroelektromechanischer
Bauelemente für den Zeitraum 2006 bis 2012
Möglichkeit verschiedene Resonatoren auf einem Chip zu platzieren. So können der Resonator für
den Einsatz im LO und zahlreiche Filter, wie zum Beispiel verschiedene Channel-Select-Filter,
auf einem Chip realisiert werden. Die Integration mit dem Anwendungsschaltkreis (Application
Specific Integrated Circuit - ASIC) erfolgt entweder als System on Chip (SoC - Resonatoren und
Logik auf einem Die) oder als System in Package (SiP - Resonatoren und Logik auf getrennten
Chips, aber in einem Package).
Aufgrund der großen Potenziale von MEM-Resonatoren, aber auch der anderen RF-MEMS
erwartet Yole Developpment für den Zeitraum bis 2012 eine kumulierte durchschnittliche Wachstumsrate
(Cumulated Average Growth Rate - CAGR) von über vierzig Prozent (vergleiche Abbildung
1.2). Dies entspricht für das Jahr 2012 einem erwarteten Gesamtumsatz von etwa 1,4
Mrd. US$.
Für den Einsatz der Resonatoren als Frequenzreferenz des LO in mobilen Systemen werden zahlreiche
Anforderungen gestellt. Zum einen sind eine hohe Güte (≥ 10000) [8] sowie eine niedrige
Versorgungsspannung essentiell. Darüber hinaus muss der Resonator ein geringes Phasenrauschen
sowie eine geringe Impedanz in Serienresonanz aufweisen [9]. Für den Einsatz als Filter, vor allem
im Hochfrequenzteil des Receivers, sind zudem hohe Eigenfrequenzen der Resonatoren von Nöten.
Dementsprechend liegt der Fokus der Entwicklung von MEM-Resonatoren seit mehreren Jahren
vor allem auf der Herstellung von Ausführungsformen mit hohen Frequenzen, hohen Güten (Q)
und niedrigen Impedanzen. Dabei werden Frequenzen von bis zu 1, 5 GHz (Polydiamant-Disk-
Resonator [10]) und Güten von über 130000 (bei 13, 9 MHz [11]) erreicht. Durch die Entwicklung
von Resonatoren mit einem Elektrodenabstand (Abstand zwischen Aktuatorelektrode und
Resonator) im Bereich einiger zehn Nanometer kann zudem die benötigte Betriebsspannung in
den Bereich weniger Volt und die Impedanz hin zu Werten kleiner 1 kΩ in Resonanz minimiert
werden. Eine ausführliche Beschreibung der Anforderungen für den Einsatz der Resonatoren in
GSM-Anwendungen, sowie der Vergleich des in dieser Arbeit verwendeten Wheel-Resonators mit
verschiedenen anderen Resonatorgeometrien ist bei Nawaz [9] zu finden.
Ein weiterer essentieller Parameter, der sowohl für den Einsatz im LO als auch als Filter eine
bedeutende Rolle spielt, ist die Frequenzgenauigkeit. Prinzipiell wird dabei zwischen Anfangs-

1.2. Stand der Technik 3
45
Kummuliertes durchschnittliches
Wachstum bis 2012 [%]
40
35
30
25
20
15
10
5
Microfluidik für Arzneiversorgung
RF MEMS
Si Mikrophon
Microfluidik für Diagnose
Micro tips & Probes
Microdisplays
Microbolometer
Beschleunigungssensoren
Gyroskope
MOEMS
Mikrofluidik für Forschung
Druckerköpfe
Drucksensoren
0
Abbildung 1.2: Von Yole Developpment prognostiziertes kumuliertes durchschnittliches Wachstum
(CAGR) des MEMS Marktes von 2006 bis 2012 gegliedert nach Bauelementkategorien
toleranz, welche die anfängliche Streuung der Frequenz aufgrund der Herstellung beschreibt,
Kurzzeitstabilität (zum Beispiel Jitter), thermischer Stabilität und Langzeitstabilität (Alterung)
unterschieden. Untersuchungen von Hsu et al. [12] und Kim et al. [13] zeigen, dass sowohl Langzeitals
auch Kurzzeitstabilität kein bedeutendes Problem bei MEM-Resonatoren darstellen. Anders
stellt sich der Sachverhalt für die Anfangstoleranz und die thermische Stabilität dar. Neben einer
Anfangstoleranz von einigen 10000 ppm [14] driftet die Resonanzfrequenz temperaturbedingt um
etwa −30 ppm/ ◦ C [15]. Beides ist für die Anwendung in Filtern oder als Frequenzreferenz des
LO nicht akzeptabel. Der Fokus der Arbeit liegt auf diesen Arbeitsgebieten und wird nach einer
Übersicht zum Stand der Technik genauer dargestellt.
1.2. Stand der Technik
Die Frequenzgenauigkeit von Resonatoren sowie Anforderungen an diese sind stark von den verwendeten
Komponenten und deren Einsatzgebiet abhängig. Als sehr präzise Frequenzreferenz
für den Einsatz in einem LO werden heute Quarz-Resonatoren verwendet. Diese weisen inhärent
einen geringen Temperaturgang auf, der von dem verwendeten Kristallschnitt abhängig ist. Zudem
lässt sich die durch Fertigungsstreuungen bedingte Frequenzstreuung durch das Aufbringen oder
Entfernen von Elektrodenmaterial mittels Sputtern reduzieren. Für die Genauigkeit der Quarze
werden allgemein vier Klassen definiert, die in Tabelle 1.1 aufgeführt sind [16].
Eine genauere Betrachtung der derzeit verwendeten Resonatoren für Automotive-Anwendungen
erfolgt beispielhaft anhand des Infineon TDK5100F-Transmitters. Dieser findet als Low-Power-
434 MHz-ASK/FSK-Transmitter Anwendung in Tire-Pressure-Monitoring-Systemen (TPMS), Remote-Keyless-Entry-Systemen
(RKE) und Remote-Control-Systemen (RC). Zudem ist ein Einsatz
in Alarmsystemen und allgemein in Kommunikationssystemen im Datenblatt angegeben [17]. Als
Frequenzreferenz für den LO benötigt der TDK5100F einen externen Quarz-Resonator mit einer
Resonanzfrequenz von 13, 56 MHz. Infineon empfiehlt den NDK AT-51-Quarz [18]. Dieser hat laut
dem Datenblatt [19] eine Anfangstoleranz von ±50 ppm (relative Frequenzabweichung in parts per

4 1. Einleitung
Tabelle 1.1: Genauigkeitsklassen für Quarz-Resonatoren
Oszillator Typ
Relative Frequenzgenauigkeit
[ ppm]
Crystal Oscillator (XO) 10 - 100
Temperature compensated crystal oscillator (TCXO) 1
Microcomputer compensated crystal oscillator (MCXO) 0,1 - 0,01
Oven controlled crystal oscillator (OCXO) 0,01
million) und eine Temperaturdrift von ±150 ppm (für einen Temperaturbereich von −40 ◦ C bis
125 ◦ C). Die Abmessungen sind mit 10, 1 mm x 4, 65 mm x 5, 08 mm angegeben.
MEM-Resonatoren sind im Vergleich dazu deutlich kleiner, weisen aber wie bereits angeführt
sehr hohe Frequenzschwankungen aufgrund von Prozessstreuungen und Temperaturdrift auf. Für
den Einsatz der MEM-Resonatoren als Frequenzreferenz ist deshalb eine Kompensation der Frequenzstreuung
und der Temperaturdrift erforderlich. Man unterscheidet zwischen aktiven und
passiven Kompensationsansätzen. Als aktive Kompensation werden Verfahren bezeichnet, die die
Frequenz des Resonators direkt oder durch eine Störgröße des Resonators regeln oder steuern. Im
Gegensatz dazu stehen passive Kompensationsansätze, die entweder durch Design, Materialwahl
oder durch einmaliges Verändern der Resonatorparameter nach der Fertigung die Resonanzfrequenz
und deren Temperaturgang einstellen. Da bei passiven Kompensationsmaßnahmen keine
zusätzliche Schaltung benötigt wird, tragen diese im Allgemeinen nicht zum Stromverbrauch des
Systems bei.
Als aktive Kompensationsmaßnahmen sind die aktive Kontrolle der Temperatur des Resonators
[20–22], das elektrostatische Trimmen [9, 23] und der Einsatz einer Phase-Locked-Loop (PLL)
[24] zu nennen. Bei der aktiven Kontrolle der Temperatur wird der Resonator mittels Joule-
Heating auf eine Temperatur geheizt, die oberhalb der gewünschten Betriebstemperatur liegt.
Dies führt vor allem für den Betrieb des Resonators bei niedrigen Temperaturen zu einem sehr
hohen Stromverbrauch. Für einen Betrieb des Resonators bei −40 ◦ C (untere Temperaturschranke
des Automotive-Bereichs) ist durch Heizen eine Temperaturdifferenz von mehr als 165 ◦ C zu
kompensieren. Des Weiteren ist das Verfahren nur bei Resonatoren anwendbar, die einen Gleichstromfluss
durch den Resonator erlauben, die also an mindestens zwei Ankerpunkten aufgehängt
sind. Durch geschickte Wahl der Resonatortemperatur lassen sich mit diesem Verfahren neben
der Temperaturdrift auch Prozessschwankungen kompensieren.
Das elektrostatische Trimmen basiert auf der, durch die elektrostatische Anregung des Resonators
inhärent vorhandenen, Abhängigkeit der Resonanzfrequenz von der angelegten Spannung.
Diese wird oft auch als elektrische Federsteifigkeit bezeichnet und in Abschnitt 2.1 hergeleitet.
Das Verfahren birgt jedoch das Problem, dass sich neben der Resonanzfrequenz auch alle anderen
Resonatorparameter, wie zum Beispiel die Impedanz in Resonanz ändern. Eine ausführliche
Diskussion der Auswirkungen von elektrostatischen Trimmen auf die Resonatorparameter ist bei
Nawaz [9] nachzulesen. Zudem ist dort eine Kompensation mittels zusätzlicher Elektrode gezeigt,
welche den Einfluss auf die Resonatorparameter, ausgenommen der Resonanzfrequenz, minimiert.
Der Trimbereich ist dadurch jedoch in Abhängigkeit der Elektrodenparameter und der maximal
verfügbaren Spannung auf 500 ppm bis 1000 ppm beschränkt.
In derzeit kommerziell erhältlichen programmierbaren MEM-Oszillatoren findet die dritte vorgestellte
aktive Kompensationmethode, der Einsatz einer PLL, Anwendung [25, 26]. Der Aufbau

1.2. Stand der Technik 5
des SiT8002, eines MEM-Resonator-basierten programmierbaren Oszillators, wird von Lutz et al.
[24] näher beschrieben und ist in Abbildung 1.3 schematisch dargestellt. Der Kern der Kompensation
ist eine Fractional-N-PLL mit digital einstellbarem Teiler. Dieser wird durch eine digitale
Temperaturkompensation gesteuert, die die A/D-gewandelten Daten eines Temperatursensors
sowie die Kalibrationsdaten eines nichtflüchtigen Speichers (Nonvolatile Memory - NVM) verarbeitet.
Mittels dieses Kompensationsschemas wird eine Genauigkeit von ±50 ppm für einen
Temperaturbereich von −40 ◦ C bis 85 ◦ C erreicht [25]. Neben dem enormen Schaltungsaufwand
hat dieser Ansatz den Nachteil, dass der Stromverbrauch maximal 22 mA erreicht. Dies ist mehr
als der Gesamtstromverbrauch des TDK5100F, der im Sendemodus maximal 11, 4 mA verbraucht.
Da für den Einsatz der Resonatoren in mobilen Anwendungen wie zum Beispiel dem TPMS ein
geringer Stromverbrauch essentiell ist, darf der Resonator lediglich Ströme im µA-Bereich verbrauchen.
Dies macht den Einsatz passiver Kompensationsansätze nötig.
In der Literatur werden zahlreiche Möglichkeiten der passiven Kompensation von Prozessstreuungen
und des Temperaturgangs diskutiert. Diese werden im Folgenden kurz vorgestellt und in
Unterabschnitt 3.2.3 und 3.3.2 ausführlich diskutiert.
Die Kompensation der Anfangstoleranz aufgrund von Prozessstreuungen erfolgt meist durch
das gezielte Verändern der effektiven Schwingungsmasse des Resonators. Ein vielfach verwendeter
Ansatz ist das Abtragen von Masse mittels Laserstrahlung [14, 27–29]. Dieser zeichnet sich durch
eine vergleichweise hohe mögliche Genauigkeit hin bis zu wenigen ppm aus. Jedoch sind hierfür
bereits bei Resonatoren mit geringen geometrischen Abmessungen, wie beispielsweise dem beidseitig
eingespannten Balken, bis zu achtzig Iterationen des Trimprozesses nötig. Für Resonatoren
mit einer höheren Schwingungsmasse, die für hochgütige Resonatoren benötigt wird, steigt die
Anzahl der nötigen Iterationsschritte deutlich an. Zudem kann das Trimmen nur für jedes Bauelement
einzeln erfolgen. Beide Aspekte sind für die Fertigung von Resonatoren im kommerziellen
Umfang nicht tragbar. Ein weiterer Nachteil besteht aufgrund der Limitierungen hinsichtlich des
Verschlussprozesses. Wird, wie in dieser Arbeit, ein Schichtabscheidungs-basierter Vakuumverschlussprozess
verwendet (vergleiche Abschnitt 4.1), ist ein einfaches Trimmen mittels Laser in
VDD
MEM-Resonator
Oszillator
5MHz
Frac-N-PLL
spread-spectrum
capable
CLK
(1-125MHz)
Prog.
Frequenz
Temperatur-
Sensor
A/D
Digitale Temperatur
Kompensation
GND
Bandgap
& Bias
NVM
I/O
PROG
Abbildung 1.3: Aufbau eines programmierbaren Oszillators mit digitaler Temperatur- und Prozesskompensation
mittels Phase-Locked-Loop

6 1. Einleitung
der Regel nicht möglich.
Anstelle des Abtragens von Masse kann diese auch gezielt hinzugefügt werden. Dazu werden von
verschiedenen Forschergruppen unterschiedliche Ansätze vorgeschlagen. Während Courcimault
und Allen die direkte Abscheidung von Metall und deren Auswirkungen auf die Eigenschaften
des Resonators untersuchen [30], betrachten Enderling et al. [31] und Joachim und Lin [32] Verfahren
zur lokalen Materialabscheidung. Enderling et al. verwenden dabei ein Focused-Ion-Beam
(FIB)-gestütztes Verfahren zur Abscheidung von Platin, während Joachim und Lin durch lokales
resistives Heizen in Silanatmoshpäre Polysilizium abscheiden. Allen Verfahren ist gemein,
dass ein direkter Zugriff auf den Resonator bestehen muss, der, wie bereits beschrieben, bei
Schichtabscheidungs-basierten Verschlussprozessen nicht gegeben ist. Einen weiteren Ansatz zeigen
Chiao und Lin [33]. Mittels Laser wird Material des Vakuumverschlusses abgelöst, welches
sich auf den Resonator abscheidet. Neben der geringen Genauigkeit des Verfahrens (0,5%) ist
anzuführen, dass dieses Verfahren ebenfalls nicht mit dem Verschlussprozess der Resonatoren
kompatibel ist. Ein Kompensationsansatz, der sowohl die Masse als auch die Steifigkeit des Resonators
verändert, wird von Enderling et al. [34] gezeigt. Durch gezielten Gleichstromfluss durch
den Resonator wird eine an den Ankerpunkten abgeschiedene silberdotierte Chalgogenidglassschicht
lokal oxidiert beziehungsweise reduziert. Aufgrund des durch den Resonator fließenden
Silberionenstroms erfolgt die Veränderung von Steifigkeit und Masse. Das Verfahren weist jedoch
mehrere Nachteile auf. Zum einen wird ein Resonator benötigt, durch den ein Gleichstromfluss
möglich ist und der folglich an mindestens zwei Punkten aufgehängt sein muss. Zudem erscheint
die Kontrolle des Trimprozesses aufgrund der von Enderling et al. angegebenen Frequenzänderungen
von mehreren Prozent als kritisch. Neben Verfahren zur Veränderung der Resonatorparameter
nach der Fertigung, kann eine geringere Fertigungssstreuung auch gezielt über das
Design der Resonatoren erfolgen. Liu et al. [35] zeigen einen Ansatz zur Reduktion der Sensitivität
der Resonanzfrequenz hinsichtlich Prozessstreuungen. Dieser Ansatz kann jedoch nicht
auf alle Resonatorgeometrien verallgemeinert werden und ist durch andere Randparameter des
Resonatorentwurfs, wie die Optimierung hinsichtlich der Güte und Resonanzfrequenz, limitiert.
Wie zur Kompensation der Auswirkungen von Prozessstreuungen, werden für die Kompensation
der Temperaturdrift der Resonanzfrequenz verschiedene Konzepte vorgestellt. Da eine
der Hauptquellen der Temperaturdrift das Erweichen des verwendeten Siliziums mit steigender
Temperatur ist (siehe Unterabschnitt 3.3.1), besteht ein naheliegender Ansatz darin, neben Silizium
ein Material zu verwenden, welches mit steigender Temperatur steifer wird. Kim et al.
[36] und Melamud et al. [37] zeigen, dass durch die Ummantelung des Siliziumresonators mit einer
thermisch gewachsenen Siliziumdioxidschicht eine vollständige Kompensation erster Ordnung
und sogar eine Überkompensation erfolgen kann. Der von Kim et al. vorgeschlagene Prozessfluss
ist darüber hinaus zu dem oben bereits aufgeführten Schichtabscheidungs-basierten Vakuumverschlussverfahren
kompatibel. Durch die Oxidation des Resonators wird jedoch der effektive
Abstand zwischen Aktuatorelektrode und Resonator vergrößert. Dies führt zu einer Reduktion
der elektromechanischen Kopplung und folglich zu einem deutlichen Anstieg der Impedanz des
Resonators. Hahtela et al. [38] untersuchen den Einfluss von Dialuminiumtrioxid (Al 2 O 3 ) auf
den Temperaturgang der Resonanzfrequenz eines hochgütigen MEM-Resonators und erreichen
eine Reduktion des Temperaturgangs von 31%. Der Resonator ist dabei, wie bei Kim et al. und
Melamud et al., durch die Kompensationsschicht ummantelt. Dementsprechend treten die gleichen
Probleme wie bei der Ummantelung mit Siliziumdioxid auf. Zudem können bei dem verwendeten
Verfahren zur Abscheidung von Dialuminiumtrioxid Probleme mit der Prozesskompatibilität
hinsichtlich des Vakuumverschlusses auftreten.

1.3. Zielsetzung der Arbeit 7
Einen Ansatz zur Temperaturkompensation mittels Design zeigen sowohl Hsu et al. [39] als auch
Giridhar et al. [40]. Sie entwerfen den Resonator in der Art, dass durch einen Temperaturanstieg
ein Zugstress auf einen der Ankerpunkte und folglich auf den Resonator ausgeübt wird. Dieser
kompensiert das Erweichen des Resonators. Dieser Ansatz schränkt jedoch die Möglichkeiten der
Optimierung des Resonators hinsichtlich anderer Parameter deutlich ein. Zudem ist dieser Ansatz
nicht auf Resonatoren anwendbar, die nur an einem Ankerpunkt fixiert sind. Einen weiteren
Ansatz präsentiert Hsu [41], der auf der Abhängigkeit der Resonanzfrequenz von der angelegten
Spannung basiert. Durch geschickte Materialwahl bei der Fertigung der Aktuatorelektrode vergrößert
sich der Spalt zwischen Elektrode und Resonator mit steigender Temperatur aufgrund
unterschiedlicher thermischer Ausdehnungskoeffizienten. Dies führt zu einer Reduktion der elektrischen
Federsteifigkeit und wirkt dem Erweichen des Resonators entgegen. Dieser Ansatz ist
jedoch nicht für lateral schwingende Resonatoren auf Silicon-on-Insulator (SOI)-Wafern möglich.
Zudem werden neben der Frequenz auch weitere Resonatorparameter verändert. So skaliert die
Impedanz in Serienresonanz proportional zur vierten Potenz des Abstandes.
1.3. Zielsetzung der Arbeit
Der Fokus der Arbeit liegt auf der Frequenzgenauigkeit von Silizium-basierten Resonatoren. Dazu
werden verschiedene Teilaspekte betrachtet. Zunächst sollen die Prozessschritte im Herstellungsprozess
identifiziert werden, die dominant zur prozessstreuungsbedingten Frequenzstreuung
beitragen. Ein vereinfachtes Model, welches die Zusammenhänge zwischen einzelnen Prozessstreuungen
und der Resonanzfrequenz wiedergibt, soll anhand von analytischen Betrachtungen sowie
mittels Finite-Elemente-Methode (FEM)-Simulationen erarbeitet und folgend experimentell verifiziert
werden. Darauf aufbauend sollen Ansätze und Kompensationsmethoden zur Minimierung
der prozessstreuungsbedingten Frequenzstreuung aufgezeigt werden. Diese sollen sowohl zu dem
bereits angesprochenen Fertigungsprozess, im speziellen dem Vakuumverschlussprozess kompatibel
sein, als auch ein gleichzeitiges Trimmen mehrerer Resonatoren ermöglichen.
Analog sollen Betrachtungen bezüglich des Einflusses der Temperatur auf die Resonanzfrequenz
erfolgen. Anhand von analytischen und Simulations-basierten Betrachtungen soll ein Modell für
die Abhängigkeit der Resonanzfrequenz von der Temperatur erstellt und experimentell verifiziert
werden. Darauf basierend soll eine passive Kompensationmethode entwickelt werden, die den
Einfluss der Temperatur auf die Resonanzfrequenz minimiert.
Beide Kompensationsansätze, die für Prozessschwankungen als auch die für die Temperaturdrift,
müssen dabei kompatibel zu dem in Abschnitt 4.1 vorgestellten Fertigungsprozess sein. Ziel
ist es mittels der Kompensationsmaßnahmen eine Restfrequenzstreuung zu erreichen, die den Einsatz
der von Nawaz vorgestellten [9] Bias-Kompensation mittels drei Elektroden erlaubt. Folglich
muss die Frequenzstreuung nach der Fertigung unter Berücksichtigung der Temperaturdrift kleiner
1000 ppm sein.
1.4. Aufbau der Arbeit
Die vorliegende Arbeit setzt sich aus insgesamt sieben Kapiteln zusammen. Auf die Einleitung
folgt eine kurze Einführung zu mikroelektromechanischen Resonatoren. Dabei wird zunächst auf
mechanische Schwingungen, deren elektrostatische Anregungen sowie deren Modellierung in Form
eines elektrischen Ersatzschaltbildes eingegangen. Nach einer kurzen Zusammenstellung der für

8 1. Einleitung
mikroelektromechanische Resonatoren dominanten Verlustmechanismen werden die in der Arbeit
verwendeten Resonatorgeometrien vorgestellt.
In Kapitel 3 folgen theoretische Betrachtungen zu Frequenzgenauigkeit und -stabilität von mikroelektromechanischen
Resonatoren. Dazu werden zunächst die Anforderungen an Resonatoren
für den Einsatz als lokale Frequenzreferenz identifiziert. Es folgt die Betrachtung des Einflusses
von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz der Resonatoren. Diese erfolgt sowohl analytisch
als auch mittels FEM-Simulationen. Nach der Diskussion der in der Literatur vorgestellten
Kompensationsmaßnahmen wird die Möglichkeit der Manipulation der Resonanzfrequenz mittels
lokaler Dotierung diskutiert und mit Simulationsergebnissen unterlegt. Analog zur Betrachtung
der Quellen und Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz erfolgt die Diskussion
des Einflusses der Temperatur auf die Resonanzfrequenz analytisch und mittels Simulation.
Nach der Diskussion der in der Literatur vorgestellten Kompensationsansätze wird das
Embedded-Oxide-Konzept als passive Kompensationsmaßnahme vorgestellt.
In Kapitel 4 werden die für die Herstellung der Resonatoren verwendeten Prozessfolgen sowie
die zur Charakterisierung verwendeten Messaufbauten kurz dargestellt. In diesem Zusammenhang
erfolgt ebenfalls eine Betrachtung der Genauigkeit der verwendeten Messmethode.
Die im Rahmen der Arbeit erarbeiteten Messergebnisse werden in Kapitel 5 vorgestellt. Dabei
wird zunächst statistisch auf die Prozessstreuungen von beidseitig eingespannten Balken und
Wheel-Resonatoren eingegangen. Es folgt die Untersuchung des Einflusses der lokalen Dotierung
auf die Resonanzfrequenz von Wheel-Resonatoren. Als zweiter großer experimenteller Abschnitt
wird die Temperaturabhängigkeit der Resonatoren vorgestellt. Dabei werden wiederum zunächst
unkompensierte Bauelemente betrachtet und ein Vergleich zu Resonatoren gezogen, die mit Hilfe
Embedded-Oxide-Konzepts kompensiert sind.
Die Bewertung der erzielten Messergebnisse erfolgt in Kapitel 6.
In Kapitel 7 werden die Ergebnisse der Arbeit zusammengefasst und es wird ein Ausblick für
weitere Arbeiten gegeben.

2 Grundlagen mikroelektromechanischer
Resonatoren
In den folgenden Abschnitten wird auf die Grundlagen mikroelektromechanischer Resonatoren
eingegangen. Dabei werden zunächst die mechanische Resonanz sowie die elektrische Modellierung
elektrostatisch angeregter Resonatoren behandelt. Anschließend wird kurz auf Verlustmechanismen
von MEM-Resonatoren, und auf die verwendeten Resonatorgeometrien, den einseitig
eingespannten Balken und den Wheel-Resonator, eingegangen.
2.1. Mikromechanische Resonatoren und deren Modellierung
2.1.1. Mechanische Schwingungen
Das Phänomen der mechanischen Resonanz ist die Grundlage der in dieser Arbeit vorgestellten
Resonatoren. Mechanische Schwingungen werden mittels Differentialgleichungen beschrieben.
Neben ihren verallgemeinerten Koordinaten q gehen auch deren zeitliche Ableitungen in die
Bewegungsgleichungen ein [42]. Wird ein linearer Schwinger angenommen, ergibt sich folgendes
Bewegungsgleichungssystem:
M ¨q¨q¨q(t) + D ˙q˙q˙q(t) + Kq(t) = f(t) . (2.1)
Dabei ist f(t) der Vektor der den Resonator anregenden Kräfte, M die Massen-, K die Steifigkeitsund
D die Dämpfungsmatrix. Für ein System mit nur einem Freiheitsgrad lässt sich Gleichung 2.1
auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung reduzieren:
m d2 x
dt 2 + ddx + kx = F (t) . (2.2)
dt
Die Matrizen für Masse, Steifigkeit und Dämpfung sind auf die Skalare m, k und d reduziert. Die
Koordinate x beschreibt die eindimensionale Verschiebung und F (t) die an die Masse angreifende
zeitlich veränderliche Kraft. Löst man die charakteristische Gleichung des nicht angeregten
(F (t) = 0), ungedämpften System (d = 0) ergibt sich die Resonanzkreisfrequenz zu:
ω 0 =
√
k
m
. (2.3)
Im gedämpften Fall ist die Resonanzkreisfrequenz zu kleineren Frequenzen hin verschoben:
ω d = ω 0
√
1 − D 2 . (2.4)
Dabei beschreibt D das Dämpfungsmaß:
D =
d
2mω 0
= dω 0
2k =
d
2 √ km
. (2.5)

10 2. Grundlagen mikroelektromechanischer Resonatoren
Für die weitere Beschreibung des Verhaltens des Schwingers wird Gleichung 2.2 für zwei verschiedene
Erregerfunktionen die Sprungfunktion und die harmonische Anregung gelöst. Wird der
Resonator mit einer Sprungfunktion
F (t) =
{
0 für t < 0
F 0 für t ≥ 0
(2.6)
angeregt, so ergibt sich die Lösung in Abhängigkeit von der Eigenzeit τ = ω 0 t des Resonators zu:
x = F (√ )
0
k + Ce−Dτ cos 1 − D 2 τ − φ 0
. (2.7)
Die partikuläre Lösung F 0 /k bedeutet eine Verschiebung der Gleichgewichtsposition des Resonators,
die homogene Lösung beschreibt für D < 1 eine exponentiell abklingende harmonische
Schwingung, also einen Einschwingvorgang. Da in dieser Arbeit lediglich der stationäre Zustand
des Resonators betrachtet wird, ist in der Folge nur die partikuläre Lösung von Interesse.
Wird der Resonator durch eine harmonische Eingangsfunktion der Frequenz Ω angeregt, so ist
dies gleichbedeutend mit einer harmonischen Bewegung des Aufhängepunktes der Feder (vergleiche
Abbildung 2.1):
x A = x 0 cos (Ωt) . (2.8)
Die partikuläre Lösung ergibt sich zu:
x = x 0 V cos (ητ − ψ) , (2.9)
wobei η das Verhältnis der Anregefrequenz zur Resonanzfrequenz des Resonators ist. Mit ψ wird
der Phasenversatz zwischen Anregung und Schwingung und mit V die Amplitudenvergrößerung
bezeichnet [42]. Aus der Schwingungsgleichung folgt für den Phasenversatz und die Vergrößerungsfunktion:
tan ψ =
2Dη
1 − η 2 und (2.10)
1
V =
. (2.11)
√(1 − η 2 ) 2 + 4Dη 2
2.1.2. Elektrostatische Anregung
Die Anregung von mikromechanischen Resonatoren kann über verschiedene physikalische Prinzipien
wie zum Beispiel das piezoelektrische oder das elektrostatische Wirkprinzip erfolgen. Für
x A
x
k m d
Abbildung 2.1: Gedämpfter Ein-Massen-Schwinger mit Erregung über die Feder

2.1. Mikromechanische Resonatoren und deren Modellierung 11
alle Resonatoren in dieser Arbeit wird zur Anregung die elektrostatische Kopplung verwendet,
dass heißt der Resonator wird durch eine zeitlich veränderliche Spannung u erregt. Im Speziellen
setzt sich die Anregespannung aus einem Gleichspannungsanteil u dc , der auch als Bias-Spannung
bezeichnet wird, und einem Wechselspannungsanteil u ac zusammen. Die elektrostatische Kraft ergibt
sich aus der ersten Ableitung der verrichteten elektrischen Arbeit W nach der Verschiebung
[43]. Setzt man für die Modellierung des Resonators einen luftgefüllten Plattenkondensator der
Kapazität C, der Fläche A und des Plattenabstands g an so ergibt sich die elektrostatische Kraft
zu:
F e = ∂W
∂x = 1 ∂C
u2
2 ∂x = 1 ɛA
2 u2
(g − x) 2 . (2.12)
Diese nichtlineare Gleichung kann für kleine Auslenkungen durch eine Taylor-Reihenentwicklung
um den Entwicklungspunkt x = 0 und mit Abbruch nach dem ersten Entwicklungsglied gut
angenähert werden:
F e ≈ 1 2
ɛA ɛA
u2 + u2
g2 g 3 x . (2.13)
Setzt man Gleichung 2.13 in Gleichung 2.2 erhält man die Bewegungsgleichung für den elektrostatisch
angeregten Schwinger mit einem Freiheitsgrad:
(
1 ɛA
u2
2 g 2 = x
md2 dt 2 + ddx dt + k − u 2 ɛA )
g 3 x . (2.14)
Der erste Entwicklungsterm der Taylorreihe beschreibt eine zusätzliche spannungsabhängige Feder
mit negativem Vorzeichen, weshalb der Effekt auch als Electrical-Spring-Softening oder Electrostatic-Spring-Effect
[44] bezeichnet wird. In den folgenden Betrachtungen wird dieser Term als elektrische
Steifigkeit k e bezeichnet. Da die angelegte Gleichspannung im Betrieb des Resonators
deutlich größer als das Wechselspannungssignal ist, kann die quadratische Abhängigkeit der elektrischen
Steifigkeit von der Eingangsspannung ohne großen Fehler auf eine Abhängigkeit von der
Gleichspannung reduziert werden [45]. Folglich ergibt sich für k e :
k e = u 2 ɛA
dc
g 3 . (2.15)
Diese Reduktion ist für die linke Seite der Gleichung nicht gültig, da eine periodische Kraft zur
Anregung notwendig ist. Durch Ausmultiplizieren des Quadrats der Spannung erhält man drei
Terme mit verschiedenen Anregefrequenzen Ω:
(u dc + û ac sin (ωt)) 2 = u 2 dc + 2û2 1 ac + 2u dc û ac sin (ωt) − 1 2û2 ac cos (2ωt)
} {{ }
} {{ }
} {{ }
Ω=ω
Ω=0
Ω=2ω
. (2.16)
Da für lineare Schwinger das Superpositionsprinzip gilt, können die einzelnen Frequenzanteile
getrennt betrachtet werden [42]. Eine Erregung mit Gleichspannung entspricht der im vorherigen
Abschnitt behandelten Sprungfunktion, die für den stationären Fall in einer Verschiebung der
Gleichgewichtsposition resultiert (vergleiche Gleichung 2.7). Da diese aufgrund der großen Steifigkeit
von Silizium sehr klein gegenüber dem Plattenabstand ist, kann der Gleichspannungsanteil
für die harmonische Betrachtung vernachlässigt werden.
Neben der Anregung bei der gewünschten Frequenz ω ergibt sich durch die quadratische
Abhängigkeit der Spannung ein Term bei doppelter Frequenz. Da das Quadrat der Amplitude der
Wechselspannung in der Regel sehr viel kleiner ist als das Produkt der Gleich- und der Wechselspannungsamplitude
kann dieser vernachlässigt werden, so dass für die weiteren Betrachtungen
lediglich ein Anregeterm bei der Frequenz ω bleibt.

12 2. Grundlagen mikroelektromechanischer Resonatoren
2.1.3. Elektrisches Ersatzmodel
Modelliert man den Schwinger elektrisch als variable Kapazität, so ist der fließende Strom i(t)
gleich der ersten Ableitung des Produkts von Kapazität C und Spannung u nach der Zeit [45]:
i(t) = d (Cu) ≈ udC
dt dt + C du
dt = i m + i e . (2.17)
Der Gesamtstrom setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, wobei mit i e der Stromfluss durch eine
feste Kapazität beschrieben wird. Der Anteil der mechanischen Schwingung an dem fließenden
Strom wird mit i m bezeichnet. Aus diesem lässt sich ein Ausdruck zur Beschreibung des ersten
Ableitung der Verschiebung x nach der Zeit t ermitteln:
dx
dt = dC i m
dx u =
ɛA
(g − x) 2 i m
u
. (2.18)
Da die Verschiebung x klein gegenüber dem Plattenabstand g ist, kann Gleichung 2.18 ohne großen
Fehler vereinfacht werden. Zudem wird ausgenutzt, dass die Gleichspannung deutlich größer als
die Wechselspannung ist. Daraus ergibt sich die reduzierte Gleichung:
dx
dt =
ɛA
g 2 u dc
i m . (2.19)
Setzt man Gleichung 2.19 in Gleichung 2.14 und berücksichtigt die für Gleichung 2.16 getroffenen
Annahmen erhält man nach umstellen:
u ac =
mg4 di m
ɛ 2 A 2 u 2 dc
dt + dg4
ɛ 2 A 2 u 2 i m + (k − k e) g 4 ∫
dc
ɛ 2 A 2 u 2 i m dt . (2.20)
dc
Man erkennt, dass die Beziehung zwischen Spannung und Strom der eines RLC-Serienschwingkreises
entspricht. Nutzt man diese Analogie, so kann man die Werte für Induktivität (L m ), Widerstand
(R m ) und Kapazität (C m ) direkt ablesen (Gleichung 2.21b mit Gleichung 2.21d). Zur vereinfachten
Darstellung wird zusätzlich die elektromechanische Kopplung η (Gleichung 2.21a) eingeführt.
Sie ist ein Maß für die in die mechanische Domäne übertragene elektrostatische Energie:
η = u dc
ɛA
g 2 , (2.21a)
L m =
mg4
ɛ 2 A 2 u 2 dc
= m η 2 , (2.21b)
C m =
ɛ2 A 2 u 2 dc
(k − k e ) g 4 = η2
k − k el
und (2.21c)
R m =
dg4
ɛ 2 A 2 u 2 =
dc
√
km
Qη 2 mit Q: Güte . (2.21d)
Berücksichtigt man darüber hinaus den elektrisch fließenden Strom i e (vergleiche Gleichung 2.17)
ergibt sich das vollständige Ersatzschaltbild des Schwingers (Abbildung 2.2) welches allgemein
auch als Butterworth-van-Dyke (BVD)-Modell bezeichnet wird. Dabei beschreibt C 0 die elektrische
Kapazität des Resonators:
C 0 = ɛA g
. (2.22)

2.2. Verlustmechanismen von mikroelektromechanischen Resonatoren 13
C 0
R m
L m
C m
Abbildung 2.2: Elektrisches Ersatzschaltbild eines gedämpften Ein-Massen-Schwinger
2.2. Verlustmechanismen von mikroelektromechanischen Resonatoren
Verluste haben einen entscheidenden Einfluss auf die Eigenschaften von mikroelektromechanischen
Systemen. So beeinflussen Verluste bei mikroelektromechanischen Resonatoren unter anderem
die Resonanzkreisfrequenz ω (vergleiche Gleichung 2.4) und den Ersatzwiderstand R m
(vergleiche Gleichung 2.21d). Zudem bestimmen Verluste die Frequenzbandbreite der Filtercharakteristik
der Resonatoren. Je geringer die Verluste sind, desto schmallbandiger ist diese Charakteristik.
Als Verlust wird dabei der Transfer von Energie aus der gewünschten Schwingungsmode an
die Umgebung [46] oder in andere Energiereservoirs, die das System ausbildet, [47] bezeichnet.
Ein Maß für die Verluste eines Systems ist die in Gleichung 2.21d bereits angeführte Güte Q. Sie
bezeichnet das Verhältnis zwischen der Schwingungsenergie des Systems E und der pro Schwingungszyklus
dissipierten Energie ∆E [48]:
Q = 2π E
∆E
. (2.23)
Die Gesamtgüte des Systems setzt sich dabei aus den Einzelgüten für die verschiedenen Verlustmechanismen
Q i zusammen [49]:
Q −1 = ∑ i
Q −1
i
. (2.24)
Da mit steigender Resonanzfrequenz, die durch eine Skalierung der Resonatoren zu kleineren
Größen erreicht wird, die Güte von Resonatoren deutlich sinkt, wurden verschiedene mögliche
Verlustmechanismen von verschiedenen Forschergruppen näher untersucht. Dabei wurden drei
potentiell dominante Dämpfungsmechanismen für MEM-Resonatoren identifiziert [50]:
• Fluiddämpfung
• Thermoelastische Verluste
• Ankerverluste
Neben diesen können weitere Verlustmechanismen je nach Resonatorgeometrie und Betriebsbedingungen
auftreten. Bei nanoelektromechanischen Systemen (NEMS), die in der Regel ein größeres
Oberflächen-zu-Volumen-Verhältnis haben als MEMS, treten Verluste an den Oberflächen aufgrund
von Defekten und Kristallimperfektionen auf [49, 51–54].
Zudem treten Verluste bei MEMS innerhalb des Resonatormaterials auf, die unter dem Begriff
interne Reibung zusammengefasst werden. So entstehen bei der Verwendung von polykristallinem

14 2. Grundlagen mikroelektromechanischer Resonatoren
Material Verluste an den Korngrenzen [55]. Bei Betriebstemperaturen im Bereich des absoluten
Nullpunkts wurden zudem Verluste an Kristallfehlern [46, 54, 56] und durch Phonon-Phonon-
Streuung [49, 57] nachgewiesen. Auch thermoelastische Verluste, die in Unterabschnitt 2.2.2 näher
dargestellt sind, werden oftmals der internen Reibung zugeordnet. Zudem können Verluste an den
Grenzen zwischen verschiedenen Materialien entstehen [5]
Für die in dieser Arbeit betrachteten Resonatoren sind Oberflächenverluste nicht von Relevanz.
Im Bezug auf interne Reibung sind für unkompensierte Resonatoren lediglich thermoelastische
Verluste zu berücksichtigen. Werden die Resonatoren mit Hilfe von Embedded-Oxide-Strukturen
temperaturkompensiert (vergleiche Unterabschnitt 3.3.3) müssen zusätzlich Verluste an den Materialgrenzflächen
sowie Verluste innerhalb der amorphen Siliziumdioxidschicht in die Betrachtung
mit einbezogen werden.
2.2.1. Fluiddämpfung
Die Fluiddämpfung ist einer der wichtigsten und deswegen am häufigsten untersuchten Dämpfungsmechanismen
für mikroelektromechanische Bauelemente [50]. Bei der Bewegung eines Resonators
in einem Fluid (zum Beispiel Luft) können prinzipiell zwei Effekte der Wechselwirkung
auftreten:
• Dämpfung (Verluste) durch Energieübertrag an das Fluid
• Frequenzverschiebung durch Kompression des Fluids
Das Auftreten beider Effekte ist dabei vom Druck, den geometrischen Abmessungen des Resonators
und der Resonanzfrequenz abhängig [58]. Ein Frequenz-Verschiebender Effekt tritt in der
Regel bei hohen Frequenzen (> 100 MHz), Drücken nahe Atmosphärendruck und bei sehr kleinen
Spaltabständen (im Bereich einiger zehn nm ) auf. So stellte Veijola eine Frequenzverschiebung
von −32 ppm für einen an Luft betriebenen Disk-Resonator mit einer Resonanzfrequenz von
274 MHz fest. Der Spaltabstand betrug dabei 68 nm [59]. Da die in dieser Arbeit verwendeten
Resonatoren bei deutlich geringeren Resonanzfrequenzen (1 − 15 MHz), bei deutlich geringeren
Drücken (< 1 hPa) und mit größeren Spaltabständen (300 − 400 nm) betrieben werden, erscheint
eine weitere Betrachtung dieses Effekts als nicht erforderlich.
Für die Beschreibung des dämpfenden Anteils werden in der Literatur prinzipiell zwei verschiedene
Ansätze gewählt. Bei Drücken nahe dem Normalluftdruck wird das Gas als Kontinuum
betrachtet und die Dämpfung über die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen beziehungsweise
der Reynolds-Gleichung bestimmt. Für sehr niedrige Drücke hingegen werden die Gasteilchen und
deren Interaktion mit dem Resonator einzeln oder mit statistischen Methoden betrachtet, man
spricht von einem molekularen Ansatz [60]. Auf die Berechnung der Fluiddämpfung soll in diesem
Zusammenhang nicht näher eingegangen werden. Diese ist zum Beispiel bei Bao [48] nachzulesen.
Untersuchungen von Kim et al. [8] zeigen, dass der Einfluss der Fluiddämpfung auf die Güte
von der Resonatorgeometrie und dem Druck abhängig ist. Unterschreitet der Druck eine von der
Resonatorgeometrie abhängige Schwelle, so ist Fluiddämpfung nicht mehr der dominante Verlustmechanismus.
Praktisch folgt daraus für eine hohe Güte die Notwendigkeit des Betriebs der
Resonatoren bei niedrigem Druck. Dieser wird bei den in dieser Arbeit verwendeten Resonatoren
durch den in Abschnitt 4.1 beschriebenen Schichtabscheidungs-basierten Vakuumverschlussprozess
gewährleistet.

2.2. Verlustmechanismen von mikroelektromechanischen Resonatoren 15
2.2.2. Thermoelastische Verluste
Neben Fluiddämpfung spielen thermoelastische Verluste, auch als thermoelastische Dämpfung
(Thermoelastic-Damping - TED) bezeichnet, eine dominante Rolle bei mikroelektromechanischen
Resonatoren. Deren Beschreibung kann entweder über einen festkörperphysikalischen oder einen
thermodynamischen Ansatz erfolgen. Für den festkörperphysikalischen Ansatz wird die Schwingung
als akustische Welle, die sich in einem Festkörper ausbreitet, angenommen. Zudem existiert
ein Bad aus thermisch erregten Phononen. Durch die Anregung der Welle wird der Festkörper
aus dem Gleichgewicht gebracht, was zu einem Spannungsfeld führt. Durch die Wechselwirkung
zwischen dem Spannungsfeld und dem Temperaturfeld der thermischen Phononen, kann Energie
dissipiert werden, so dass sich ein thermisches Gleichgewicht einstellt. Ein Maximum der Wechselwirkung
tritt auf, wenn die mittlere freie Weglänge der thermischen Phononen im Bereich der
Wellenlänge der akustischen Welle liegt [61].
Thermodynamisch betrachtet entsteht durch die Verformung des Resonators, die zur Kompression
mancher Bereiche und zur Dehnung anderer Bereiche des Resonators führt, ein Temperaturgradient.
Dies resultiert in einem irreversiblen Wärmefluss und somit zur Dissipation von Energie.
Diesem Effekt kann eine Relaxationszeitkonstante und folglich eine Relaxationsfrequenz, die von
den Eigenschaften des verwendeten Materials abhängig ist, zugeordnet werden. Es wird zwischen
drei möglichen Fällen für TED unterschieden. Ist die Resonanzfrequenz des Resonators sehr viel
kleiner als die Relaxationsfrequenz, so befindet sich der Resonator faktisch ständig im Gleichgewicht
und es findet kein Energieverlust statt. Ist die Resonanzfrequenz sehr viel größer als die
Relaxationsfrequenz kann aufgrund der geringen Schwingungsdauer keine Relaxation stattfinden.
Der Energieverlust ist ebenfalls minimal. Sind Resonanz- und Relaxationsfrequenz gleich, wird die
Energiedissipation maximal und somit die Güte minimal [61–64]. Aufgrund der Art der Energiedissipation
ist TED vor allem bei Biegungsschwingern wie dem beidseitig eingespannten Balken
dominant. Bei Longitudinalschwingern tritt TED nur in geringem Maße auf [61]. Thermoelastische
Verluste können durch geometrische Maßnahmen verändert werden. So zeigen Candler et al.
[65] dass sich die Güte von beidseitig eingespannten Stimmgabeln durch geschickte Platzierung
von Aussparungen vervierfachen lässt. Dies ist auf eine Veränderung der Relaxationszeitkonstante
durch die Aussparung zurückzuführen.
2.2.3. Ankerverluste
Neben den bereits angeführten Verlustmechanismen Fluiddämpfung und TED erfolgen auch Verluste
über die Aufhängung des Resonators. Durch Biegungen nahe der Ankerpunkte, welche durch
die endliche Ausdehnung der Anker inhärent gegeben sind [66], entstehen Scherkräfte und Momente.
Diese regen elastische Wellen an, die sich durch den Anker in das Substrat ausbreiten [67].
Folglich wird dem Resonator Schwingungsenergie entzogen. Das Substrat kann bei der Betrachtung
als unendlich ausgedehnt gegenüber der Dicke des Resonators angesehen werden, so dass
keine Energie zurück zum Resonator reflektiert wird. Eine Minimierung von Ankerverlusten kann
erfolgen, indem Biegungen nahe der Ankerpunkte und somit die Momente und Scherkräfte am
Anker minimiert werden. Mögliche Designmaßnahmen zur Minimierung der Ankerverluste von
MEM-Resonatoren werden am Beispiel des Wheel-Resonators in Unterabschnitt 2.3.2 vorgestellt
und bei Nawaz ausführlich diskutiert [9].

16 2. Grundlagen mikroelektromechanischer Resonatoren
2.3. Grundlagen der verwendeten Resonatorgeometrien
In der Literatur werden zahlreiche Resonatorgeometrien vorgeschlagen, die hinsichtlich verschiedener
Parameter optimiert sind. Im Rahmen dieser Arbeit werden zwei Resonatorgeometrien
näher betrachtet.
Für den beidseitig eingespannten Balken (Clamped-Clamped-Beam, kurz CC-Beam) lassen
sich genäherte analytische Lösungen für die Steifigkeit und effektive Masse, und somit für die
Resonanzfrequenz angeben. Dies ist für die theoretischen Betrachtungen der Auswirkungen von
Prozessstreuungen auf die Eigenfrequenz, sowie zur Untersuchung der Temperaturabhängigkeit
der Resonanzfrequenz vorteilhaft. Der Wheel-Resonator hingegen ist eine Geometrie, die auf
den praktischen Einsatz als Frequenzreferenz mit hoher Güte bei den üblichen Frequenzen (zum
Beispiel 13 MHz) hin optimiert ist [9].
2.3.1. Der beidseitig eingespannte Balken
Beidseitig eingespannte Balken werden häufig zur Untersuchung von MEM-Resonatoren verwendet,
da sich, wie bereits erwähnt, genäherte analytische Lösungen für die Durchbiegungen sowie für
die Resonanzfrequenzen angeben lassen. Abbildung 2.3(a) und 2.3(b) zeigen die Aufsicht und die
dreidimensionale Ansicht eines CC-Beam. Für die analytische Bestimmung der Resonanzfrequenz
von Balken bei Biegeschwingungen werden in der Literatur zahlreiche Verfahren vorgeschlagen.
Am häufigsten findet dabei die Euler-Bernoulli-Balkentheorie Anwendung, da sie zu einer einfachen
analytischen Lösung führt. Jedoch werden Schubverformung und Rotationsträgheit des
Balkens nicht berücksichtigt, was zu Fehlern bei Balken mit einem geringen Länge-zu-Breite-
Verhältnis führt, so dass andere Balkentheorien wie die von Rayleigh und die von Timoshenko hier
Anwendung finden. Eine ausführliche vergleichende Übersicht der verschiedenen Balkentheorien
sowie deren Herleitung ist bei Han et al. [68] zu finden. Für schlanke Balken mit einem Länge-zu-
Breite-Verhältnis größer als 10 ist der Fehler bei Verwendung der Euler-Bernoulli-Theorie klein
[42]. Da im Rahmen dieser Arbeit lediglich schlanke Balken Anwendung finden, werden im Folgenden
die Ergebnisse der Euler-Bernoulli-Balkentheorie verwendet.
Die Resonanzkreisfrequenz für einen in y-Richtung schwingenden Balken ist gegeben durch:
ω =
√
EI
ρAl 4 a2 . (2.25)
Dabei ist E das Elastizitätsmodul, I das axiale Flächenträgheitsmoment zweiter Ordnung, ρ die
Materialdichte, A die Biegefläche, l die Resonatorlänge und a die Wellenzahl. Letztere hängt
von der Schwingungsmode sowie den Einspannbedingungen der beiden Enden ab. Für die erste
Schwingungsmode eines beidseitig eingespannten Balken ist diese 4, 730 [42]. Für einen rechteckigen
Querschnitt ist die Biegefläche:
A = hw , (2.26)
wobei h die Höhe und w die Breite des Resonators ist. Das axiale Flächeträgheitsmoment für
einen solchen Querschnitt ist durch
I = Aw2
12 = hw3
12
(2.27)
gegeben [69]. Durch Einsetzen von Gleichung 2.26 und 2.27 in Gleichung 2.25, sowie unter Verwendung
der entsprechenden Wellenzahl lässt sich die mechanische Resonanzfrequenz (f m ) der

2.3. Grundlagen der verwendeten Resonatorgeometrien 17
Elektroden
Balken
w
w
l
h
l
Verbindung
zum
Substrat
Anker
(a)
(b)
Abbildung 2.3: Beidseitig eingespannter Balken: (a) Aufsicht, (b) dreidimensionale Ansicht
ersten Schwingungsmode wie folgt angeben:
√
√
(4, 730)2
f m =
2π √ E w
12 ρ l 2 ≈ 1, 0279 E w
ρ l 2 . (2.28)
Neben der Eigenfrequenz ist für die weiteren Betrachtungen die mechanische Steifigkeit k m und
die modale Schwingungsmasse m von Interesse. Diese sind gegeben durch:
k m = 192EI
l 3
= 16Ehw3
l 3 und (2.29)
m = 192ρwlh
a 4 . (2.30)
Wie in Abschnitt 2.1 beschrieben, geht neben der mechanischen Steifigkeit die elektrische Steifigkeit
k e in die Resonanzfrequenz von elektrostatisch angeregten MEM-Resonatoren ein. Unter
Berücksichtigung dieser spannungsabhängigen Steifigkeit ergibt sich die Resonanzfrequenz f des
Balken zu:
f = 1
2π
√
km − k e
m
= a2
2π
√
Ew 2
12ρl 4 − ɛ
u2
192ρwg 3 . (2.31)
In der Praxis werden neben Resonatoren aus einem Material auch Mehrmaterialsysteme betrachtet.
Wird der Resonator beispielsweise in y-Richtung mit einem oder mehreren zusätzlichen
Materialien belegt, ergibt sich die mechanische Resonanzfrequenz allgemein aus [70]:
( ) √ ∫
a
2 √√
w
f m =
E (y − y 0) 2 dy
2π l 4 ∑ N
i=1 (d iρ i )
. (2.32)
Eine vereinfachte Form kann nach Al-Kusheiny und Majlis [71] in Form eines gemittelten Elastizitätsmodul
E t und einer gemittelten Dichte ρ t angegeben werden:
E t =
∑ n
i=1 E id i
∑ n
i=1 d i
und (2.33)

18 2. Grundlagen mikroelektromechanischer Resonatoren
ρ t =
∑ n
i=1 ρ id i
∑ n
i=1 d i
. (2.34)
Dabei bezeichnet d i die Dicke der einzelnen Schichten. Die Resonanzfrequenz ist dann gegeben
durch:
√ ∑n
i=1
f m = 1, 0279 ∑ E id i w
n
i=1 ρ id i l 2 . (2.35)
2.3.2. Der Wheel-Resonator
Für den Einsatz als Frequenzreferenz in lokalen Oszillatoren müssen Resonatoren, wie in der
Einleitung bereits angedeutet, zahlreiche Anforderungen erfüllen. Unter anderem sind eine hohe
Güte sowie ein geringes Phasenrauschen notwendig. Das Phasenrauschen kann einerseits durch
die Steigerung der Güte und andererseits durch die Erhöhung der gespeicherten Schwingungsenergie,
also der Schwingungsmasse, verbessert werden [9]. Um trotz der hohen Schwingungsmasse
Frequenzen im Bereich einiger bis einiger zehn MHz zu erreichen ist zudem eine hohe Steifigkeit
des Resonators notwendig. Der Wheel-Resonator ist auf geringes Phasenrauschen und hohe
Güte optimiert und verfügt über eine hohe Schwingungsmasse und Steifigkeit. Abbildung 2.4
zeigt einen prinzipiellen Aufbau. Die äußere Masse, in der der Hauptteil der Schwingung in Form
einer elastischen longitudinalen Welle erfolgt, ist über acht sogenannte Support-Beams mit dem
Anker verbunden. Dieser verbindet den Resonator nach unten mit dem Substrat und nach oben
mit den Schichten des Vakuumverschlusses. Nahe dem Anker sind zudem Federn realisiert. Diese
minimieren die Biegungen am Anker und somit die Ankerverluste. Die Anregung des Resonators
erfolgt durch die den Resonator umgebende Ringelektrode. Durch diese Anordnung ist aufgrund
der hohen Kapazität eine hohe elektromechanische Kopplung und folglich eine geringe Impedanz
Ringelektrode
Support-Beams
Innere Federn
Anker
Äußere Masse
Abbildung 2.4: Schematische Darstellung des Wheel-Resonator in Draufsicht

2.3. Grundlagen der verwendeten Resonatorgeometrien 19
gegeben. In Resonanz schwingt der Resonator in der xy-Ebene also parallel zur Waferoberfläche.
Eine ausführliche Beschreibung des Aufbaus und der Funktionsweise des Wheel-Resonators ist bei
Nawaz [9] zu finden. Im Gegensatz zu dem im vorherigen Unterabschnitt vorgestellten CC-Beam
lassen sich für die Berechnung der Resonanzfrequenz des Wheel-Resonators aufgrund der komplexen
Geometrie keine analytischen Formeln angeben. Die Bestimmung der Resonanzfrequenzen
erfolgt rein Simulations-basiert mittels Finite-Elemente-Methode.

3 Frequenzgenauigkeit von
mikroelektromechanischen Resonatoren
In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen von Frequenzschwankungen bei MEM-
Resonatoren diskutiert. Zunächst werden dazu die Anforderungen an die Frequenzgenauigkeit
der Resonatoren für den Einsatz als Filter und als Frequenzreferenz in drahtlosen Automotive-
Anwendungen erarbeitet. Anschließend erfolgt die Betrachtung von Prozessstreuungen beim Herstellungsprozess
und deren Auswirkung auf die Resonanzfrequenzen von CC-Beam und Wheel-
Resonator. Es folgt eine Literaturübersicht hinsichtlich möglicher passiver Kompensationsansätze
sowie die Diskussion der Möglichkeit der Frequenzveränderung mittels Dotierung. Analog erfolgt
bei der Betrachtung der Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz zunächst eine Identifikation
der dominanten Quellen, also der temperaturabhängigen Geometrie- und Materialparameter,
sowie deren Auswirkungen auf die Resonanzfrequenz von CC-Beam und Wheel-Resonator. Nach
einer kurzen Literaturübersicht zu Konzepten der passiven Temperaturkompensation von MEM-
Resonatoren, wird der Embedded-Oxide-Ansatz vorgestellt und diskutiert.
3.1. Anforderungen an die Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen
Resonatoren in Filtern und als Frequenzreferenz
Für Kommunikationsanwendungen wie GSM (Global System of Mobile Communication) oder
UMTS (Universal Mobile Telecommunications System) existieren allgemeingültige Spezifikationen.
In diesen sind unter anderem auch die Anforderungen an die Frequenzgenauigkeit der
verwendeten Systeme spezifiziert. Im Gegensatz dazu stehen drahtlose Kommunikationsanwendungen
im Automotive-Bereich. Hier existieren in der Regel keine allgemein gültigen Spezifikationen
für die Kommunikation. Je nach Anwendung, Hersteller und Randbedingungen werden
unterschiedliche Anforderungen an die Frequenzgenauigkeit gestellt. Die Betrachtung im Rahmen
der Arbeit erfolgt aus diesem Grund beispielhaft für die Anwendung als Frequenzreferenz
für den Infineon TDK5100F-Transmitter und als Filter für den TDA523x-Receiver. Beide sind als
Kommunikationschips für Automotive-Anwendungen spezifiziert. Wie bereits in der Einleitung
angeführt empfiehlt Infineon unter anderem den NDK AT-51-Quarz als Frequenzreferenz für den
TDK5100F [18]. Dieser hat laut Datenblatt [19] eine Anfangstoleranz von ±50 ppm. Die Drift
der Resonanzfrequenz mit der Temperatur beträgt für einen Temperaturbereich von −40 ◦ C bis
125 ◦ C ±150 ppm. Daneben werden andere Quarze vorgeschlagen, die eine höhere Genauigkeit
sowohl hinsichtlich der Anfangstoleranz als auch der Temperaturdrift aufweisen. Die Spezifikation
des NDK AT-51 kann somit als Mindestanforderung an die Frequenzgenauigkeit verstanden
werden. Die TDA523x-Receiver verfügen neben einem Quarz als Frequenzreferenz über einen
Intermediate-Frequency (IF) -Filter. Hier wird für die Anwendung der Murata SFELF10M7F
A00-B0, ein keramisches Filter, spezifiziert. Laut Herstellerwebseite [72] hat das Filter bei einer
Center-Frequenz von 10, 7 MHz eine Anfangstoleranz von ±30 kHz. Dies entspricht einer relativen
Frequenzstreuung von etwa ±2800 ppm. Zusätzlich wird für einen Temperaturbereich von

22 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
−20 ◦ C bis 80 ◦ C eine Frequenzstreuung von 30 ppm/ ◦ C spezifiziert. Die Anforderungen sind in
Tabelle 3.1 nochmals zusammengefasst.
3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz
von mikroelektromechnischen Resonatoren und Ansätze zu deren
Kompensation
Bei der Herstellung von Mikrosystemen treten, wie bei allen Herstellungsverfahren, Schwankungen
auf. Diese haben Einfluss auf die Eigenschaften der gefertigten Strukturen, wie zum Beispiel die
Resonanzfrequenz. Bei Schwankungen wird zwischen systematischen oder zufälligen unterschieden
[73]. Als zufällig werden Fehler bezeichnet, die in keinem Zusammenhang mit anderen Streuungen
stehen und nicht abhängig vom Ort ihres Auftretens sind. Zufällige Streuungen werden meist
durch eine Normalverteilung beschrieben. Im Gegensatz dazu stehen systematische Fehler, die
mit anderen Fehlern in Zusammenhang stehen, also korreliert sind.
Zur Beschreibung des Einflusses verschiedener Prozessstreuungen auf einen Bauteilparameter
kann eine Sensitivitätsanalyse durchgeführt werden. Sei Q ein Ausgangsparameter des Bauteils,
zum Beispiel die Resonanzfrequenz und P ein Eingangsparameter, zum Beispiel die Länge des
Resonators. Der funktionale Zusammenhang zwischen Q und P sei allgemein beschrieben durch:
Q = f(P ) . (3.1)
Dann führt eine Störung ∆P der Eingangsgröße P zu einer Störung ∆Q der Ausgangsgröße.
Durch eine Entwicklung erster Ordnung kann ∆Q angenähert werden:
Q + ∆Q = f(P + ∆P ) , (3.2)
∆Q ≈
∂f
∣∂P
∣ ∆P . (3.3)
Dabei sind ∆P und ∆Q meist die Standardabweichungen σ der Größen P und Q. Treten für
verschiedene Eingangsparameter P i zufällige Streuungen auf, so kann die Gesamtvarianz der
Ausgangsgröße σQ 2 durch quadratische Summation der Standardabweichungen der einzelnen Eingangsgrößen,
gewichtet nach deren Sensitivität, erfolgen:
σ 2 Q =
n∑
i=1
( ∂f
∂P i
) 2
σ 2 P i
. (3.4)
Tabelle 3.1: Anforderungen an die Frequenzgenauigkeit für den Einsatz als Filter und Frequenzreferenz
am Beispiel des NDK AT-51 Quarz-Resonator und des Murata
SFELF10M7F A00-B00 keramischen Filter
Filter
Frequenzreferenz
Murata SFELF10M7F A00-B0 NDK AT-51
Resonanzfrequenz 10, 7 MHz 13, 56 MHz
Anfangstoleranz ±2800 ppm ±50 ppm
Temperaturdrift 30 ppm/ ◦ C ±150 ppm

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 23
Werden neben zufälligen Streuungen auch korrelierte Eingangsparameterstreuungen berücksichtigt,
ergibt sich:
σ 2 Q =
n∑
i=1
( ∂f
∂P i
) 2
σ 2 P i
+ 2
n∑
n∑
i=1 j=i+1
ρ ij σ Pi σ Pj
( ∂f
∂P i
) ( ∂f
∂P j
)
Dabei ist ρ ij der Korrelationskoeffizient und wie folgt definiert:
∑ n
k=1
(P i,k − ˜P
)
i
(P j,k − ˜P
)
j
ρ ij = σ2 ij
σ i σ j
=
. (3.5)
∑ (
n
k=1
P i,k − ˜P
) ∑n
i k=1
(P j,k − ˜P
) . (3.6)
j
Dabei sind ˜P i und ˜P j die Mittelwerte der Verteilungen der korrelierten Eingangsparameter P i
und P j . Bei den Fertigungsverfahren der Mikrosystemtechnik treten sowohl korrelierte als auch
unkorrelierte Streuungen auf [74].
Neben der Klassifizierung der Streuungen nach systematisch und zufällig kann eine Klassifikation
auch anhand der Bezugssysteme erfolgen [75]. Dabei wird zwischen vier verschiedenen
Kategorien unterschieden:
• Lot-to-lot: Schwankungen zwischen verschieden Prozesslosen
• Wafer-to-Wafer: Schwankungen zwischen einzelnen Wafern innerhalb eines Loses
• Die-to-Die: Schwankung zwischen verschiedenen Chips auf einem Wafer
• Within-Die: Schwankungen innerhalb eines Chips
Für die folgende Betrachtung der Prozessschwankungen bei MEM-Resonatoren wird der in Abbildung
3.1 dargestellte verallgemeinerte Herstellungsprozess zugrunde gelegt. Ausgehend von einem
SOI-Grundmaterial wird zunächst eine Siliziumdioxidschicht abgeschieden und mittels Lithographie
und Reactive-Ion-Etching (RIE) strukturiert. Diese dient als Hartmaske für den folgenden
Deep-Reactive-Ion-Etching (DRIE)-Schritt, der die von der Hartmaske vorgegebene Bauelementegeometrie
in die Bauelementebene überträgt. Diese Prozessfolge wird in der Folge auch als
Definition der Resonatorgeometrie bezeichnet. Es folgen die Schichtabscheidung von Polysilizium
und ein Plasmaätzschritt ohne Maske. Der so geformte Polysiliziumspacer verkleinert den Abstand
zwischen Anregeelektrode und Resonator und erhöht somit die elektromechanische Kopplung.
Abschließend wird der Resonator mittels nasschemischen Ätzen, vom Substrat freigeätzt.
Für die weiteren Betrachtungen werden zunächst die möglichen Schwankungen der einzelnen
Prozessschritte kurz diskutiert.
3.2.1. Theoretische Betrachtungen der Prozessstreuungen bei der
Halbleiterfertigung
Grundmaterial
Schwankungen können bereits zu Beginn der Prozessierung bei dem verwendeten Grundmaterial
auftreten. In Spezifikationen für Wafer werden dazu neben dem Zielwert eines Parameters
auch obere und untere Schranken angegeben, zwischen welchen der Parameter schwanken kann.
Die typischen, spezifizierten Schwankungen für MEMS-Wafer, wie sie in dieser Arbeit verwendet
werden, werden in der Folge kurz aufgezeigt.

24 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
Abscheidung von SiO 2 für die Hartmaske
Lithographie zur Bauelementedefintion
Strukturierung der Hartmaske mittels RIE
Strukturierung der Bauelementebene mittels DRIE
Grundmaterial
Bauelementegeometrie
Schichtabscheidung Polysilizium
Plasmaätzen Polysilizium ohne Maske
Polysiliziumspacer
Nasschemisches Freiätzen des Resonators
Freigeätzter Resonator
Abbildung 3.1: Schematische Darstellung des allgemeinen Prozessflusses zur Herstellung von
MEM-Resonatoren auf SOI-Substrat
Die verwendeten SOI-Wafer haben eine 10 µm dicke obere monokristalline phosphordotierte
Siliziumschicht, die im Folgenden als Bauelementeebene bezeichnet wird. Die Oberflächenorientierung
weicht mit einer spezifizierten Schwankung von maximal 1 ◦ von der 100-Kristallrichtung
ab. Diese kann direkten Einfluss auf das Elastizitätsmodul haben. Eine Berechnung des Elastizitätsmoduls
kann durch Koordinatentransformation der elastischen Konstanten erfolgen (vergleiche
Anhang). Für kleine Winkeländerungen können ohne großen Fehler genäherte Lösungen
verwendet werden. Abbildung 3.2 zeigt das berechnete Elastizitätsmodul in Abhängigkeit des
Winkels zur 110-Kristallrichtung. Zudem ist das Ergebnis eines quadratischen Fit eingezeichnet.
Das Elastizitätsmodul ergibt sich in Abhängigkeit des Winkels φ, der die Rotation in der
Waferebene bezüglich der 110-Kristallrichtung beschreibt zu:
E(φ) = E 110 − 62, 29 MPa/ ◦ φ 2 . (3.7)
Für eine maximale Schwankung der Orientierung von 1 ◦ ist die absolute Änderung des Elastizitätsmoduls
folglich −62, 29 MPa, die relative etwa -370 ppm.
Neben der Orientierung der Bauelementebene schwankt auch deren Dicke und Dotierstoffkonzentration.
Als untere und obere Grenzen der Dicke werden 8, 5 µm und 11, 5 µm in der Spezifikation
angegeben. Die Dotierstoffkonzentration, die indirekt über den Schichtwiderstand angegeben
wird, bewegt sich zwischen 4, 5 · 10 14 und 4, 5 · 10 15 cm −3 . Die Dicke der Burried-Oxide-Layer, die
mit einem nominellen Wert von 1 µm angegeben ist, schwankt um ±0, 1 µm.
Lithographie
Einer der wichtigsten Schritte bei der Herstellung von mikroelektronischen Schaltungen und Mikrosystemen
ist die Lithographie. Sie ist der elementare Schritt zur Strukturierung von Schichten
und Materialien und somit zur Definition der geometrischen Abmessungen der Bauelemente. Die

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 25
Elastizitätsmodul E [GPa]
169.7
169.69
169.68
169.67
169.66
169.65
169.64
169.63
169.62
Numerische Lösung
Quadratischer Fit
169.61
169.6
−1.5 −1.25 −1 −0.75 −0.5 −0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
Winkel zur 110−Ebene φ [°]
Abbildung 3.2: Elastizitätsmodul von monokristallinem Silizium in Anhängig des Winkels zur
110-Kristallebene
Einzelprozessschritte der Lithographie sind Abbildung 3.3 dargestellt [76]. Zunächst werden die
Halbleiterscheiben belackt. Dies erfolgt meist nach dem Spin-on-Verfahren. Nach einem Prebake,
der den aufgebrachten Lack stabilisiert, wird dieser mit den zu fertigenden Strukturen belichtet.
Im Rahmen der Arbeit wird dabei ein sogenannter i-Line-Stepper verwendet. Nach der Belichtung
folgt ein weiterer Ofenschritt, das Postbake. Abschließend wird der Lack nasschemisch entwickelt,
so dass die belichtete Struktur in der Lacktopographie abgebildet ist.
Im Bezug auf Prozessschwankungen ist jeder Prozessschritt fehlerbehaftet. Prozessschwankungen
können dabei sowohl zufälliger als auch systematischer Natur sein und in unterschiedlichem
Maße zum Gesamtprozessfehler beitragen. Mögliche Fehlerquellen sind beispielsweise Ungleichmäßigkeiten
in der Lackdicke, Schwankungen bei den Backtemperaturen, Schwankungen der
Entwicklerkonzentration, Schwankungen der Belichtungsdosis oder Maskenfehler [77]. Im Rahmen
dieser Arbeit soll nicht näher auf die einzelnen Fehlerquellen der Lithographieprozessschritte, sowie
der darunterliegenden Mechanismen eingegangen werden. Diese können beispielsweise bei
Moreau [78] oder bei Suzuki und Smith [79] nachgelesen werden.
Eine Quantifizierung der Prozessschwankungen erfolgt in der Literatur meist über den sogenannten
3σ-Wert, also das Dreifache der Standardabweichung. Dazu wird die Summe der Lithographieschwankungen
als normalverteilt angenommen. Ein für die Lithographie typischer 3σ-
Wert ist ±10% der im Technologieknoten kleinsten herstellbaren Strukturgröße [77, 79]. Für den
in dieser Arbeit verwendeten 0, 5 µm-Prozess bedeutet dies folglich eine maximale Schwankung
von ± 50 nm.
Belacken Prebake Belichten Postbake Entwickeln
Abbildung 3.3: Schematische Darstellung der einzelnen Prozessschritte der Lithographie

26 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
Ätzprozesse
Für den Übertrag der durch Lithographie erzeugten Lackstrukturen auf das darunterliegende
Material folgt in vielen Fällen ein Ätzschritt. Im Rahmen der Arbeit erfolgen diese durch Trockenätzen.
Daneben existieren nasschemische Ätzverfahren, auf die hier nicht näher eingegangen
werden soll. Das Trockenätzen kann entweder durch reines mechanisches Abtragen von Material
mittels beschleunigter Ionen, zum Beispiel Argon-Ionen, oder durch eine Kombination aus
mechanischem Abtrag mit einer chemischen Ätzreaktion erfolgen. In letzterem Fall spricht man
von Reactive-Ion-Etching (RIE). RIE zeichnet sich in der Regel durch eine hohe Anisotropie, vor
allem im Vergleich zu den meisten nasschemischen Ätzverfahren, aus. Allerdings ist im Vergleich
dazu die Selektivität der Ätzung deutlich geringer [78]. Eine Spezialform des RIE stellt der Deep-
Reactive-Ion-Etching-Prozess dar, der die Ätzung tiefer Gräben mit hohem Aspektverhältnis und
großer Anisotropie ermöglicht. Dies erfolgt durch abwechselndes Ätzen und Passivieren während
des Prozesses. Wird, wie in dieser Arbeit, Silizium mittels DRIE geätzt, so erfolgt der Wechsel
zwischen dem Ätzgas SF 6 und dem polymerbildenden C 4 F 8 . Während die dünne Polymerschicht
während der Ätzphase am Boden der zu ätzenden Gräben durch mechanischen Abtrag schnell
abgetragen wird, bleibt sie an den Seitenrändern der Gräben bestehen. Somit kann kein chemischer
Angriff an den Grabenränder erfolgen. Dies ermöglicht das Ätzen von äußerst anisotropen
Gräben.
Wie bei der Lithographie können bei RIE und DRIE zahlreiche Prozessparameterschwankungen
zu Variationen an den gefertigten Strukturen beitragen. Eine Quelle für Prozessstreuungen
ist dabei das für das Ätzen nötige Plasma, welches zum Beispiel durch eine hochfrequente Wechselspannung
erzeugt wird. Jegliche Inhomogenitäten innerhalb des Plasmas, die aufgrund von
Leistungs-, Frequenz- oder Druckschwankungen auftreten können, führen zu einer veränderten
Ätzrate. Die Ätzrate kann dabei von Scheibe zu Scheibe, aber auch über die Scheibe schwanken
[77]. Im Speziellen führt bei Parallel-Plate-Ätzern die stärkere kapazitive Kopplung an den
Rändern des Plasmas zu einer erhöhten Ätzmittelkonzentration und somit zu einer höheren Ätzrate
am Rand des Wafers. Die entstehende ringartige Verteilung der Ätzung wird oft auch als
Bulls-Eye-Pattern bezeichnet.
Weitere Schwankungen können im Zusammenhang mit der Substrattemperatur entstehen.
Während der Ätzung wird der Wafer gekühlt, da er sich durch den Ionenbeschuss erwärmt. Ist der
Kontakt zwischen Wafer und darunterliegendem Halter nicht an allen Stellen ideal, so kann es zu
unterschiedlichen Wärmeübergangswiderständen und so zu einem Temperaturgradienten über die
Scheibenoberfläche kommen. Dieser führt wiederum zu einer lokal unterschiedlichen Ätzrate [80].
Daneben kann bei der Verwendung einer isolierenden Hartmaske für das Ätzen das sogenannte
Loading auftreten. Da die Ionen, die auch auf der Hartmaske eintreffen, aufgrund der elektrischen
Isolation nicht abfließen können, bildet sich ein Feld aus, das die eintreffenden Ionen bremst und
teils ablenkt. Hierdurch kann vor allem bei schmalen Gräben eine Unterätzung unter die Hartmaske
stattfinden. Je nach Grabenform spricht man von undercutting oder bowing [77]. Ein weiterer
Effekt, der auftreten kann, wenn Strukturen verschiedener geometrischer Abmessung, zum
Beispiel unterschiedlich breite Gräben, geätzt werden, ist das Aspect-Ratio-Dependent-Etching
(ARDE). Dabei werden breitere Gräben schneller geätzt als Schmalere.
Die Gesamtschwankung des Plasmaätzprozesses ist stark von der verwendeten Ätzanlage abhängig.
Während bei einem Röhrenätzer Schwankungen in der geätzten Tiefe von bis zu ±25% (3σ)
auftreten, sind mit einer Parallel-Plate Anordnung eine Stabilität der Ätzergebnisse von ±10%
(3σ) erreichbar [78]. Die Schwankungen in der geätzten Breite sind im Vergleich dazu deutlich
geringer und können mit etwa 1% der zu ätzenden Breite angenommen werden [81].

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 27
Schichtabscheidung
Einen weiteren elementaren Prozessschritt stellt die Abscheidung dar. Im Rahmen der Arbeit werden
mittels Low-Pressure-Chemical-Vapor-Deposition (LPCVD) unter anderem die Siliziumdioxid-
Hartmaske, sowie die Schicht zur Formung des Polysiliziumspacers abgeschieden. Die Abscheiderate
ist dabei maßgeblich vom Druck und Fluss der Prozessgase, sowie der Prozesstemperatur
abhängig. So kann eine Veränderung der Temperatur um 1 ◦ C zu einer um 2,2% veränderten
Abscheiderate führen [77]. Bei der Abscheidung von dotiertem Polysilizium hat zudem der Anteil
der Dotierstoffe an den Prozessgasen einen Einfluss auf die Abscheiderate.
Entsprechend der angeführten Abhängigkeiten führen Schwankungen von Prozessgasfluss und
-druck, sowie Temperaturunterschiede zu Variationen der abgeschiedenen Schichtdicke. Diese
Schwankungen können zum einen zwischen verschiedenen Prozesslosen auftreten. Zudem führen
Schwankungen, die durch den Abscheideanlagenaufbau bedingt sind, zu Wafer-to-Wafer, Die-to-
Die und Within-Die Variationen der Schichtdicke. Allgemein wird eine maximale Schwankung
von ±10% angenommen [81], wobei etwa 5% auf Die-to-Die Variationen entfallen [82].
Neben der Dicke der abgeschiedenen Schicht variieren auch deren mechanische Eigenschaften.
Maier-Schneider zeigt eine ausführliche Studie zum Einfluss der Abscheideparameter auf das Elastizitätsmodul,
die inneren Spannungen und andere mechanische Parameter von mittels LPCVD
abgeschiedenen Polysilizium- und Siliziumnitridschichten. [83]. Das Elastizitätsmodul von Polysilizium
variiert dabei in Abhängigkeit von der Prozessierung und der Schichtdicke zwischen
151 GPa und 169 GPa.
3.2.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz
In den folgenden Abschnitten werden die Auswirkungen der aufgeführten Prozessschwankungen
auf die Resonanzfrequenz näher betrachtet. Dabei werden geometrische Schwankungen als isotrop,
das heißt in alle Richtung gleichartig ausgeprägt, angenommen.
Die Schwankungen anhand des Prozessflusses seien wie folgt definiert:
• Schwankungen der Lithographie zur Geometriedefinition ∆ LT : ±10% der kleinsten fertigbaren
Strukturbreite des Technologieknotens
• Ätzfehler beim RIE der Hartmaske ∆ HM : 1% der zu ätzenden Breite
• Ätzfehler beim DRIE der Geometrie in der Bauelementeebene ∆ T E : 1% der zu ätzenden
Breite
• Schwankung der Schichtdicke bei der Polysiliziumspacerabscheidung ∆ P SD : ±10% der abzuscheidenden
Schichtdicke
• Schwankung beim Plasmaätzen des Polysilziumspacer ∆ P SE : 1% der zu ätzenden Schichtdicke
• Schwankung der Bauelementschichtdicke ∆ DT : ±1, 5 µm für die in der Arbeit verwendeten
Wafer
• Schwankung der Burried-Oxide-Layer-Dicke ∆ BT : ±100 nm für die in der Arbeit verwendeten
Wafer

28 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
• Schwankung der Unterätzung ∆ UE : Stark Ätzzeit- und Materialabhängig und nicht allgemein
spezifizierbar; Für die Arbeit wird eine Schwankung um den Zielwert von ±300 nm
angenommen
• Schwankung des Elastizitätsmodul des Spacer ∆ P SY : Elastizitätsmodul ist je nach Abscheidebedingungen
und Schichtdicke zwischen 151 GPa und 169 GPa
• Schwankung des Elastizitätsmodul Bauelementebene ∆ DY : Bei maximaler Rotation um 1 ◦
62, 3 MPa
Der resultierende geometrische Fehler aufgrund von Lithographie-, Hartmaskenätz- und Bauelementätzschwankungen
lässt sich unter der Annahme der vollständigen Korrelation anhand des
Fehlerfortpflanzungsgesetzes errechnen:
∆ X = ∆ LT + ∆ HM + ∆ T E
2
. (3.8)
∆ X definiert dabei die Schwankung des Spaltes auf jeder Seite. Die Gesamtschwankung des Resonatorspaltes
ist folglich 2∆ X (vergleiche Abbildung 3.4). ∆ X sei dabei so definiert, dass ein
positiver Wert eine Verengung des Spaltes beschreibt.
Analog kann die Gesamtvariation der Polysiliziumspacerdicke ∆ S durch Addition der Schwankungen
bei der Abscheidung und dem folgenden Plasmaätzprozess errechnet werden:
∆ S = ∆ P SD + ∆ P SE . (3.9)
In diesem Zusammenhang wird eine mögliche Anätzung des Spacers an der Oberkante vernachlässigt
und ein rechteckiger Querschnitt für den Spacer angenommen.
Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz von beidseitig
eingespannten Balken
Im Folgenden werden die Auswirkungen der angeführten Prozessschwankungen auf drei verschiedene
beidseitig eingespannte Balken analytisch und mittels FEM-Simulationen näher untersucht.
Bei der analytischen Betrachtung erfolgt zunächst eine Analyse der Balken ohne und in der Folge
mit Polysiliziumspacer. Die geometrischen Abmessungen der drei mittels Simulation untersuchten
Balken (CC01, CC26 und CC27) sind in Tabelle 3.2 zusammengefasst. Als weitere Simulationsparameter
werden eine Bauelementdicke von 10 µm, eine Burried-Oxide-Layer-Dicke von 1 µm
∆ X
∆ LT
∆ HM
∆ T E
realer
Graben
definierter Graben
Abbildung 3.4: Streuung der Grabenbreite ∆ X durch Streuung von Lithographie (∆ LT ), Hartmaskenätzung
(∆ HM ) und Grabenätzung (∆ T E )

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 29
Tabelle 3.2: Länge l und Breite w der drei verschiedenen untersuchten CC-Beams
Länge l [ µm] Breite w [ µm]
CC01 150 4
CC26 200 8
CC27 100 4
und eine Kantenlänge der quadratischen Anker von 20 µm verwendet. Der Anker sei zudem nominell
um 2 µm unterätzt. Abbildung 3.5 zeigt schematisch einen Querschnitt des Aufbaus der
simulierten Struktur im Bereich eines Ankers.
Die analytische Betrachtung des Einflusses der Prozessstreuungen soll zunächst ohne die Berücksichtigung
eines Spacers erfolgen. Die mechanische Resonanzfrequenz f m eines CC-Beam ohne
Spacer ist in Gleichung 2.28 bereits angeführt und hier wiederholt:
f m = 1, 0279
√
E w
ρ l 2 . (3.10)
Anhand einer Sensitivitätsanalyse kann der Einfluss der verschiedenen Resonatorparameter auf
die Resonanzfrequenz ermittelt werden. Dazu werden die partiellen Ableitungen der Resonanzfrequenz
nach den Resonatorparametern gebildet:
∂f m
∂w = f m
w
∂f m
= − 2f m
∂l l
∂f m
∂E = f m
2E
∂f m
∂ρ = −f m
2ρ
, (3.11)
, (3.12)
und (3.13)
. (3.14)
Die Varianz der mechanischen Resonanzfrequenz σf 2 lässt sich folglich in Abhängigkeit der Standardabweichungen
der Breite σ w , der Länge σ l , des Elastizitätsmoduls σ E und der Dichte σ ρ
Siliziumdioxid des Verschlusses
Nitrid des Verschlusses
Anker
Polysiliziumspacer
Burried-Oxide
Substrat
Unterätzung
Abbildung 3.5: Schematische Darstellung des Ankerquerschnitts eines CC-Beams, wie er für die
Finite-Elemente-Methode-Simulation angenommen wird

30 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
errechnen. Aufgrund der getroffenen Annahme, dass geometrische Schwankungen isotrop erfolgen
sollen, müssen die Schwankungen zudem korreliert sein:
σ l = σ w = 2σ x , (3.15)
wobei σ x die Standardabweichung der Prozessstreuungen von Lithographie, Hartmasken- und
Grabenätzung ist. Der Korrelationskoeffizient für σ l und σ w ist -1, das heißt, dass eine Änderung
der geometrischen Abmessungen des CC-Beam, die zu einer größeren Breite führt, eine kürzere
Länge zur Folge hat. Die Varianz der Frequenz ergibt sich zu:
( 1
σf 2 = 4σ2 xfm
2 w 2 + 4 l 2 + 4 )
+ f m
2
wl 4E 2 σ2 E + f m
2
4ρ 2 σ2 ρ . (3.16)
Eine Abschätzung des maximalen Frequenzfehler erfolgt durch das Ersetzen der Standardabweichungen
σ mit der maximalen Abweichung der Einzelparameter ∆ i :
√ ( 1
∆ f = 4∆ 2 X f m
2 w 2 + 4 l 2 + 4 )
+ f m
2
wl 4E 2 ∆2 E + f m
2
4ρ 2 ∆2 ρ . (3.17)
Als nächster Schritt werden die Sensitivität der Resonanzfrequenz hinsichtlich ihrer Eingangsparameter
sowie die Varianz der Frequenz unter Berücksichtigung des Polysiliziumspacers betrachtet.
Die mechanische Resonanzfrequenz eines CC-Beam mit Polysiliziumspacer ist gegeben durch:
f m = 1, 0279
√
E s w + 2E p d p
ρ s w + 2ρ p d p
w + 2d p
(l − 2d p ) 2 . (3.18)
Dabei bezeichnen E s und E p die Elastizitätsmodule von monokristallinem und polykristallinem
Silizium und ρ s und ρ p deren Dichten. Die Breite des Polysiliziumspacers ist mit d p bezeichnet.
Eine Sensitivitätsanalyse nach den Eingangsparametern führt auf Gleichung 3.19 mit Gleichung
3.25:
∂f m
= −2 f m
, (3.19)
∂l l − 2d p
(
)
∂f m
∂w = f 1
E s ρ p d p − E p ρ s d p
m +
, (3.20)
w + 2d p (ρ s w + 2ρ p d p ) (E s w + 2E p d p )
(
)
∂f m
2 4
ρ s E p − ρ p E s
= f m + + w
, (3.21)
∂d p w + 2d p l − 2d p (E s w + 2E p d p ) (ρ s w + 2ρ p d p )
∂f m
= 1 ∂E s 2 f w
m
, (3.22)
E s w + 2E p d p
∂f m
d p
= f m
, (3.23)
∂E p E s w + 2E p d p
∂f m
= − 1 ∂ρ s 2 f w
m
und (3.24)
ρ s w + 2ρ p d p
∂f m
d p
= −f m . (3.25)
∂ρ p ρ s w + 2ρ p d p
Eine Vereinfachung kann erfolgen, wenn die Dichten von monokristallinem und polykristallinem
Silizium als gleich angenommen werden. Zudem werden die Differenz der Elastizitätsmodule,
sowie deren gewichtete Summe, wie folgt abgekürzt:
Ê = E s w + 2E p d p und ∆E = E s − E p . (3.26)

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 31
Damit ergibt sich für Gleichung 3.19 mit Gleichung 3.25:
∂f m
= −2 f m
, (3.27)
∂l l − 2d p
∂f m
∂w = f ( )
m ∆E
1 + d p , (3.28)
w + 2d p Ê
∂f m
= f (
m
2 + 4 w + 2d p
− w ∆Ḙ )
, (3.29)
∂d p w + 2d p l − 2d p E
∂f m
= 1 ∂E s 2 f w
m
Ê
, (3.30)
∂f m d p
= f m
∂E p Ê
und (3.31)
∂f m
∂ρ = −1 f m
2 ρ
. (3.32)
(3.33)
Eine Bewertung der analytischen Modelle erfolgt zunächst anhand eines Vergleichs zu FEM-
Simulationen. Zudem werden in diesem Zusammenhang die für den experimentellen Teil zu erwartenden
Frequenzschwankungen bestimmt.
Zunächst wird der Einfluss von Geometrieschwankungen, bedingt durch Lithographie- und
Ätzprozessschwankungen bei der Strukturierung der Resonatorgrundgeometrie, betrachtet. Die
relative Frequenzschwankung ist gegeben durch:
f r = ∆ f
f m
=
( (
2 1
∆E
+ 1 1 + d p
l − 2d p w + 2d p Ê
))
2∆ X . (3.34)
Abbildung 3.6 zeigt die errechneten Frequenzschwankungen für den CC01 und den CC26 (durchgezogene
Linien). Nach analytischem Ansatz betragen die Schwankungen der Eigenfrequenz für
den CC01, der eine Länge von 150 µm und eine Breite von 4 µm hat, bei einer maximalen Schwankung
der Geometrieabmessung von ±100 nm, ±45000 ppm. Im Vergleich dazu sind die Frequenzabweichungen
für den CC26, der eine vergleichbare Resonanzfrequenz wie der CC01 hat, jedoch
länger (200 µm) und breiter (8 µm) ist, bei gleicher Geometrieschwankung ∆ X kleiner. Bei einer
maximalen Geometrieabweichung von ±100 nm ist die Frequenzschwankung beim CC26 etwa
±25000 ppm. Dieser Trend wird durch die Ergebnisse der FEM-Simulation bestätigt. An die Simulationsergebnisse
erfolgt eine lineare Kurvenanpassung der Form:
y = ax . (3.35)
Ein Vergleich zwischen dem CC01 (blau gestrichelt) und dem CC27 (nicht gezeichnet), die sich
lediglich in ihrer Länge unterscheiden, zeigt nur geringe Unterschiede in den zu erwartenden Frequenzschwankungen.
Die Steigung der Anpassgerade ist beim CC01 mit 424 ppm/nm geringfügig
größer als beim CC27 mit 420 ppm/nm. Die geringe Sensitivität der Resonanzfrequenz hinsichtlich
der Längenänderung ist in Übereinstimmung mit den analytischen Betrachtungen und lässt
sich wie folgt erklären. Aufgrund der im Vergleich zu den Geometrieschwankungen großen Länge
der Resonatoren ist die relative Längenänderung und die damit verbundene Frequenzänderung
klein. Im Gegensatz dazu hat eine Schwankung der Breite der Resonatoren einen deutlich größeren
Einfluss. Wird die Breite der Resonatoren, wie beispielsweise beim CC26, vergrößert, so sinkt
auch die Sensitivität hinsichtlich Geometrieschwankungen. Die lineare Kurvenanpassung an die
Simulationsergebnisse beträgt beim CC26 277 ppm/nm.

32 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
50000
30000
10000
0
−10000
−30000
CC01−Simulation
CC26−Simulation
CC27−Simulation
CC01−Modell
CC26−Modell
Linearer Fit CC01
Linearer Fit CC26
−50000
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
Variation der Geometrieabmessungen ∆ X
[nm]
Abbildung 3.6: Simulierte und analytisch bestimmte relative Frequenzänderung f r aufgrund
von prozessbedingten Variationen der Geometrieabmessungen ∆ X
Der Zusammenhang zwischen ∆ X und f r erscheint anhand der Simulationsergebnisse linear,
der Fehler zwischen den Simulationswerten und dem linearen Fit ist vernachlässigbar. Auch zwischen
den Simulationsergebnissen und dem analytischen Modell sind Unterschiede sichtbar. Der
analytische Ansatz genügt jedoch für eine erste Abschätzung der Frequenzstreuungen aufgrund
von Geometrievariationen.
Als zweite mögliche Quelle für Frequenzstreuungen werden Variationen beim Polysiliziumspacer,
im speziellen Dickenschwankungen und Variationen des Elastizitätsmoduls, genannt.
Die relative Frequenzstreuung aufgrund von Variationen der Spacerdicke ∆ S ist gegeben durch:
f r = ∆ f
f m
=
(
1
2 + 4 w + 2d p
− w ∆Ḙ )
∆ S . (3.36)
w + 2d p l − 2d p E
Abbildung 3.7 zeigt die errechneten Frequenzschwankungen, Simulationsergebnisse und linearen
Kurvenanpassungen. Die Simulationsergebnisse sind dabei für all drei untersuchten Resonatoren
(CC01, CC26, CC27) dargestellt, während die linearen Kurvenanpassungen sowie die analytischen
Modelle nur für den CC01 und den CC26 dargestellt sind. Anhand der Simulationsergebnisse ist
zu erkennen, dass nur ein sehr geringer Unterschied zwischen CC-Beams gleicher Breite, also dem
CC01 und dem CC27, besteht. Im Gegensatz dazu weist der CC26 eine deutlich geringere Sensitivität
der Resonanzfrequenz hinsichtlich Schwankungen der Spacerdicke auf, was wiederum auf
die größere Breite des CC26 und die damit verbundene kleinere relative Breitenänderung zurück
geführt werden kann. Die qualitativen Beobachtungen spiegeln sich in den Steigungen der linearen
Kurvenanpassungen an die Simulationsergebnisse wider. Für den CC01 und CC27 erhält man mit
423, 5 ppm/nm und 417, 3 ppm/nm nur geringfügig unterschiedliche Werte. Die Steigungen sind
dabei gegenüber denen, der Schwankungen der Geometrieabmessungen geringfügig geringer. Dies
kann durch das etwas kleinere Elastizitätsmodul von Polysilizium, im Vergleich zu monokristallinem
Silizium entlang der 110-Kristallrichtung erklärt werden. Die linearen Kurvenanpassungen
für die Schwankungen der Polysiliziumspacerdicke sind für den CC01 und den CC27 akkurat und

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 33
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
15000
10000
5000
0
−5000
−10000
CC01−Simulation
CC26−Simulation
CC27−Simulation
CC01−Modell
CC26−Modell
Linearer Fit CC01
Linearer Fit CC26
−15000
−30 −20 −10 0 10 20 30
Variation der Polysiliziumspacerdicke ∆ s
[nm]
Abbildung 3.7: Simulierte und analytisch bestimmte relative Frequenzänderung f r aufgrund
von prozessbedingten Variationen der Polysiliziumspacerdicke ∆ S
weisen einen geringen Fehler zu den Simulationsergebnissen auf. Im Gegensatz dazu steht die
Kurvenanpassung an den CC26. Hier treten Effekte höherer Ordnung auf, die auf das Vorhandensein
von sogenannten Release-Holes zurückgeführt werden können. Release-Holes sind dabei
Aussparung innerhalb des Resonators, die später einen direkten Zugriff auf das darunterliegende
Siliziumdioxid erlauben und somit ein vereinfachtes Freiätzen des Resonators ermöglichen. Sie
finden bei breiten Resonatorstrukturen, wie beispielsweise dem CC26, aber auch dem Wheel-
Resonator Anwendung. Durch die Release-Holes werden sowohl die Schwingungsmasse als auch
die Steifigkeit, sowie mögliche Schermomente innerhalb des Resonators verändert. Die aus der
Kurvenanpassung extrahierte Steigung ist mit 168, 5 ppm/nm wie erwartet deutlich kleiner als
die des CC01 und des CC27. Ein Vergleich zwischen analytischer Rechnung und Simulationsergebnissen
zeigt, dass anhand der analytischen Betrachtung eine höhere relative Frequenzänderung
für alle untersuchten Resonatoren zu erwarten ist. Betrachtet man beispielsweise eine Schwankung
der Polysiliziumspacerdicke von −30 nm so beträgt die relative Frequenzänderung für den
CC26 anhand der linearen Kurvenanpassung etwa −5000 ppm, während über analytische Rechnung
eine relative Frequenzänderung von −7500 ppm zu erwarten ist. Für eine erste Abschätzung
der Frequenzschwankungen kann dennoch der analytische Ansatz verfolgt werden.
Neben der Polysiliziumspacerdicke kann auch das Elastizitätsmodul der abgeschiedenen Polysiliziumschicht
variieren. In Abbildung 3.8 ist die Abhängigkeit der Resonanzfrequenz vom
Elastizitätsmodul des Spacers dargestellt. Als Referenzwert für die Berechnung der relativen Frequenzänderung
f r dient dabei die Resonanzfrequenz eines Resonators, dessen Polysiliziumspacer
ein Elastizitätsmodul von 169 GPa hat. Wie erwartet reduziert sich die Resonanzfrequenz mit sinkendem
Elastizitätsmodul. Zwischen den Simulationsergebnissen und der analytischen Rechnung
bestehen jedoch deutliche Unterschiede. Die analytische Berechnung der relativen Frequenzänderung
erfolgt dabei wie folgt:
f r = ∆ f
f m
= d p
Ê (E − E 0) , (3.37)

34 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
4000
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
2000
0
−2000
−4000
−6000
CC01−Simulation
−8000
CC26−Simulation
CC27−Simulation
−10000
CC01−Modell
CC26−Modell
−12000
Linearer Fit CC01
Linearer Fit CC26
−14000
150 155 160 165 170 175
Elastizitätsmodul des Polysiliziumspacer E p
[GPa]
Abbildung 3.8: Simulierte und analytisch bestimmte relative Frequenzänderung f r aufgrund
von prozessbedingten Variationen des Elastizitätsmoduls des Polysiliziumspacers
wobei E 0 169 GPa ist. Eine mögliche Erklärung für die deutlichen Unterschiede zwischen analytischer
Rechnung und Simulation besteht darin, dass der Einfluss des Polysiliziumspacers auf
die Resonanzfrequenz lediglich über ein gemitteltes Elastizitätsmodul und eine gemittelte Dichte
wiedergegeben wird. So wird der Einfluss des Polysiliziumspacers leicht unterbewertet und
somit auch der Einfluss eventueller Schwankungen des Spacers auf die Resonanzfrequenz des Resonators.
Festzuhalten bleibt, dass die linearen Kurvenanpassungen an die Simulationsergebnisse
einen nur geringen Fehler aufweisen. Die entsprechenden Sensitivitäten für den CC01, CC26 und
CC27 ergeben sich zu 663, 2 ppm/GPa, 380, 4 ppm/GPa und 642, 8 ppm/GPa. Man erkennt, dass
die Werte für den CC01 und den CC27 wieder sehr nahe beieinander liegen und der Wert für den
CC26 deutlich geringer ist. Dies lässt sich wiederum durch die unterschiedlichen Breiten und somit
unterschiedlichen Verhältnisse zwischen Polysilizium und monokristallinem Silizium erklären.
Aufgrund des geringeren Verhältnisses beim CC26 wirken sich Änderungen an der Polysiliziumschicht
weniger auf das Gesamtverhalten des Resonators aus.
Neben dem Elastizitätsmodul des Polysiliziumspacers kann auch das Elastizitätsmodul des monokristallinen
Resonators aufgrund des anisotrop elastischen Verhaltens von Silizium schwanken.
So führt eine Rotation in der Wafer-Ebene bezüglich der 110-Kristallrichtung zu einer geringfügigen
Veränderung des Elastizitätsmoduls. Abbildung 3.9 zeigt die relative Frequenzänderung aufgrund
einer Rotation bezüglich der 110-Kristallrichtung von maximal 1 ◦ . Die analytische Berechnung
der relativen Frequenzänderung erfolgt dabei in Abhängigkeit des Rotationswinkel φ wie
folgt:
f r = 1 w
2 Ê (E 110 − 62.29MHz/ ◦ φ 2 ) . (3.38)
Betrachtet man zunächst die analytischen Ergebnisse, so sind nur geringe Unterschiede zwischen
dem CC01 und dem CC26 festzustellen. Dabei ist die analytische Lösung des CC01 identisch
zu der des CC27, da die Länge nicht in die Berechnung eingeht. Im Gegensatz zu den analy-

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 35
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
300
200
100
0
−100
−200
CC01− Simulation
CC26−Simulation
CC27−Simulation
CC01/CC27− Modell
CC26−Modell
−300
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Rotation bezüglich der 110−Kristallrichtung φ [°]
Abbildung 3.9: Simulierte und analytisch bestimmte relative Frequenzänderung f r aufgrund
der Rotation des Resonators bezüglich der 110-Kristallrichtung
tischen Lösungen stehen die Simulationsergebnisse. Für den CC01 und den CC27 ergeben sich
im Vergleich zur analytisch Lösung geringere Frequenzänderungen. Dies kann wiederum auf eine
Unterbewertung des Einflusses der Polysiliziumspacer über das gemittelte Elastizitätsmodul und
die gemittelte Dichte erklärt werden. Zudem ist ein kleiner Unterschied zwischen den Ergebnissen
für den CC01 und dem CC27 zu erkennen, was impliziert, dass ein geringer Einfluss der Länge des
Resonators auf die Frequenzänderung vorhanden ist. Ein vollständig anderes Bild ergibt sich für
den CC26. Entgegen erster Erwartungen steigt die Resonanzfrequenz bei einer Rotation von 0, 5 ◦
um etwa 250 ppm an, um bei einer Rotation von 1 ◦ auf etwa −210 ppm zu fallen. Eine mögliche
Erklärung hierfür ist wiederum das Vorhandensein der Release-Holes innerhalb des Resonators.
Im Gegensatz zu den vorherigen Betrachtungen hinsichtlich des Einflusses von Prozessstreuungen
auf die Resonanzfrequenz, die jeweils analytisch und mittels Simulation erfolgt sind, können
die Auswirkungen einer Variation der Burried-Oxide-Layer-Dicke nur mittels Simulation erfolgen,
da diese in den analytischen Formeln zur Berechnung der Resonanzfrequenz unberücksichtigt
bleibt. Die Simulationsergebnisse, sowie die entsprechenden linearen Kurvenanpassungen, die
wiederum der in Gleichung 3.35 gegebenen Form genügen, sind in Abbildung 3.10 dargestellt.
Man erkennt für alle drei dargestellten Resonatoren einen positiven linearen Zusammenhang
zwischen der Burried-Oxide-Layer-Dicke und der Frequenzänderung. Eine dickere Siliziumdioxidschichtdicke
hat folglich eine geringfügig höhere Frequenz zur Folge. Die maximale Sensitivität
ist mit 1, 35 ppm/nm beim CC26 festzustellen, die geringste beim CC01 (0, 418 ppm/nm). Die
Sensitivität des CC27 hinsichtlich einer Variation der Burried-Oxide-Layer-Dicke ist im Vergleich
zum CC01 mit 0, 668 ppm/nm etwas größer. Die Simulationsergebnisse lassen vermuten, dass die
Sensitivität indirekt mit der Länge und direkt mit der Breite der Resonatoren in Zusammenhang
steht. Dies erscheint vernünftig, wenn die Frequenzschwankungen auf Unterschiede in den
Schermomenten zurückgeführt werden. Diese sind, wie in Unterabschnitt 2.3.1 beschrieben, für
schlankere also längere oder schmalere Balken geringer.
Eine weitere Quelle von Variationen ist die Dicke der Bauelementebene. Analog zu den Streuungen
der Burried-Oxide-Layer-Dicke kann die Betrachtung nur mittels Simulation erfolgen. Ab-

36 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
150
100
50
0
−50
−100
CC01−Simulation
CC26−Simulation
CC27−Simulation
Linearer Fit CC01
Linearer Fit CC26
Linearer Fit CC27
−150
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
Variation der burried−oxide−layer Dicke ∆ BT
[nm]
Abbildung 3.10: Simulierte relative Frequenzänderung f r aufgrund der Streuung der Burried-
Oxide-Layer-Dicke ∆ BT
bildung 3.11 zeigt die Simulationsergebnisse für den Einfluss von Bauelementdickenschwankungen
auf die Resonanzfrequenz. Im Gegensatz zu allen vorher betrachtet Prozessstreuungsquellen
scheint der Einfluss von Bauelementebenendickenschwankungen auf die Resonanzfrequenz nicht
systematisch. Die Schwankungen sind für Dickenschwankungen von ±150 nm im Bereich zwischen
−200 ppm und 120 ppm, wobei der CC26 die größten Schwankungen aufweist.
Als letzte mögliche Quelle für Frequenzschwankungen wird eine mögliche Variation der Unterätzung
betrachtet. Aufgrund des verwendeten nasschemischen Ätzvorgangs ist eine Unterätzung
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
150
100
50
0
−50
−100
−150
−200
CC01−Simulation
CC26−Simulation
CC27−Simulation
−250
−150 −100 −50 0 50 100 150
Variation der Bauelementschichtdicke ∆ DT
[nm]
Abbildung 3.11: Simulierte relative Frequenzänderung f r aufgrund der Streuung der Bauelementebenendicke
∆ DT

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 37
des Ankers im Prozess nicht vermeidbar. Diese kann aufgrund von Variationen der Ätzzeit und
der Ätzmittelkonzentration variieren. Abbildung 3.12 zeigt die relative Variation der Resonanzfrequenz
in Abhängigkeit der Unterätzung. Als Referenzfrequenz wird die Eigenfrequenz bei einer
Unterätzung von 2 µm genommen. Es ist für alle drei simulierten CC-Beams erkennbar, dass eine
geringere Unterätzung zu einer höheren Resonanzfrequenz führt. Dabei ist der Einfluss beim
CC26 am deutlichsten ausgeprägt, der eine Sensitivität von −1941 ppm/µm zeigt. Die geringste
Sensitivität weist der CC01 mit −682, 2 ppm/µm auf. Dabei muss angemerkt werden, dass für den
CC01 ein deutlich nichtlinearer Zusammenhang zwischen der Unterätzung und der Resonanzfrequenz
gegeben ist, während dieser beim CC26 und CC27 linear ist. Der Zusammenhang zwischen
der relativen Frequenzänderung und den Abmessungen des Resonators, also Länge und Breite,
stimmt gut mit dem für die Variation der Burried-Oxide-Layer zusammen. Die Schwankungen
wachsen wiederum mit steigender Resonatorbreite oder geringerer Balkenlänge. Auch sind die
Auswirkungen auf die Resonanzfrequenzen gleich. Ist mehr Siliziumdioxid aufgrund einer größeren
Schichtdicke oder aufgrund einer geringeren Unterätzung vorhanden, steigt die Frequenz an.
Im Gegensatz dazu führt ein vermindertes Siliziumdioxidvolumen zu einer reduzierten Frequenz.
Die Sensitivitäten der Resonanzfrequenzen der drei betrachteten CC-Beams hinsichtlich der
verschiedenen untersuchten Prozessschwankungen sind in Tabelle 3.3 zusammengefasst.
Abschließend werden die zu erwartenden Gesamtfrequenzstreuungen betrachtet. Da die Resonatoren
in dieser Arbeit in einer 0, 5 µm-Technologie gefertigt werden, beträgt die maximale
Schwankung der Lithographie, wie in Abschnitt 3.2.1 beschrieben, ±50 nm. Dazu Addieren sich
die Schwankungen des Ätzens bei der Strukturierung der Hartmaske und der Bauelementebene,
so dass sich für die gefertigten Gräben ohne Spacer eine Gesamtschwankung von ±58 nm ergibt.
Dies bedeutet für die Geometrieschwankung ∆ X einen maximalen Wert von ±29 nm. Bei der
Herstellung des Spacers wird eine 200 nm dicke Polysiliziumschicht abgeschieden und rückgeätzt.
Die Schwankung der Spacerdicke kann somit mit ±22 nm angenommen werden. Da die zu erwartenden
Frequenzschwankungen aufgrund von Geometrievariationen ∆ X und Polysiliziumspacerdi-
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
800
600
400
200
0
−200
−400
CC01−Simulation
CC26−Simulation
CC27−Simulation
Linear Fit CC01
Linear Fit CC26
Linear Fit CC27
−600
1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2
Unterätzung des Ankers [µm]
Abbildung 3.12: Simulierte relative Frequenzänderung f r aufgrund der Streuung Unterätzung
des Resonators am Anker

38 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
Tabelle 3.3: Sensitivitäten der Resonanzfrequenz von drei verschiedenen CC-Beams hinsichtlich
verschiedener Prozessstreuungen
CC01 CC26 CC27
∆ X 424, 1 ppm/nm 276, 6 ppm/nm 419, 6 ppm/nm
∆ S 423, 5 ppm/nm 168, 5 ppm/nm 417, 3 ppm/nm
E p 663, 2 ppm/GPa 380, 4 ppm/GPa 642, 8 ppm/GPa
∆ UE −686, 2 ppm/µm −1941 ppm/µm −1362 ppm/µm
ckenschwankungen ∆ S dominant sind, genügt es für eine erste Abschätzung der Frequenzstreuung
diese zu berücksichtigen. Die Betrachtung aller anderen Schwankungen der Prozessparameter und
deren Auswirkung auf die Resonanzfrequenz ist jedoch für die Optimierung des Gesamtprozesses
wichtig. Die Gesamtstreuung der Frequenz aufgrund der beiden oben genannten Effekte lässt sich
durch das Fehlerfortpflanzungsgesetz ermitteln:
∆ f,ges ≈
√
∆ 2 f,X + ∆2 f,S
. (3.39)
Für die einzelnen untersuchten CC-Beams ergeben sich unter Verwendung der entsprechenden
Sensitivitäten:
∆ f,CC01 = √ (424, 1∆ X ) 2 + (423, 5∆ S ) 2 ppm
nm
∆ f,CC26 = √ (276, 6∆ X ) 2 + (168, 5∆ S ) 2 ppm
nm
∆ f,CC27 = √ (419, 6∆ X ) 2 + (417, 3∆ S ) 2 ppm
nm
≈ 30850 ppm , (3.40)
≈ 17670 ppm und (3.41)
≈ 30490 ppm . (3.42)
Neben den Schwankungen der mechanischen Resonanzfrequenz führen Prozessvariationen zu einem
veränderten Einfluss der elektrischen Federsteifigkeit. Wie in Unterabschnitt 2.3.1 bereits
angeführt wird, ist die Resonanzfrequenz eines elektrostatisch angeregten CC-Beam wie folgt
gegeben:
√
f = a2 Ew 2
2π 12ρl 4 − ɛ
u2
192ρwg 3 = √ fm 2 − fe 2 . (3.43)
Dabei ist f e :
a 2 √ ɛ
2π u 192ρwg
. (3.44)
Bildet man nun die partiellen Ableitungen und setzt die Schwankung des Spaltabstandes ∆ g wie
folgt an:
∆ g = −∆ w ≈
√
∆ 2 X + ∆2 S
, (3.45)
so ergibt sich die Schwankung des elektrischen Frequenzanteils zu:
∆ fe = − 1 2 f e
( 1
w − 3 g
) √
∆ 2 X + ∆2 S
. (3.46)

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 39
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
400000
350000
300000
250000
200000
150000
100000
50000
CC01 − 800nm Spalt
CC01 − 600nm Spalt
CC01 − 400nm Spalt
CC26 − 800nm Spalt
CC26 − 600nm Spalt
CC26 − 400nm Spalt
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Variation der Spaltbreite ∆ g
[nm]
Abbildung 3.13: Simulierte relative Frequenzänderung f r des elektrischen Frequenzanteils
Die relative Frequenzänderung f r ergibt sich folglich zu:
f r = ∆ f,e
= − 1 ( 1
f e 2 w − 3 ) √
∆ 2 X
g
+ ∆2 S
. (3.47)
In Abbildung 3.13 sind die errechneten relativen Frequenzänderungen des elektrischen Frequenzanteils
für den CC01 und den CC26 bei drei verschiedenen Spaltabständen dargestellt. Die Variation
des Spaltabstandes durch die beiden vorher erwähnten Prozessblöcke ist zusammengefasst.
Man erkennt dass die Schwankungen des Electrical-Spring-Softening deutlich größer ausgeprägt
sind, als die relativen mechanischen Schwankungen und Werte von mehreren Prozent annehmen
können. Für die Gesamtfrequenz des Resonators spielen diese Schwankungen dennoch eine untergeordnete
Rolle, da der elektrische Frequenzanteil der Resonanzfrequenz selbst nur einige 10 bis
100 ppm an der Resonanzfrequenz hat. Folglich variiert die Gesamtfrequenz selbst nur um wenige
ppm. Die Variation der elektrischen Federsteifigkeit wirkt den Schwankungen der mechanischen
Resonanzfrequenz entgegen und reduziert somit die vorher angeführte Gesamtfrequenzschwankung.
Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz von Wheel-Resonatoren
Im Gegensatz zu den Betrachtungen der Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz
von CC-Beams, kann die Analyse beim Wheel-Resonator ausschließlich mittels FEM-
Simulation erfolgen.
Zunächst wird der Einfluss von Geometrieschwanlungen und folgend Polysiliziumspacerdickenschwankungen
auf die Resonanzfrequenz betrachtet. Die entsprechenden simulierten relativen Frequenzänderung
f r sind wie die entsprechenden linearen Kurvenanpassungen in Abbildung 3.14
dargestellt. Die lineare Kurvenanpassung an die geometrievariationsbedingte Frequenzänderung
stimmt für kleine Variationen gut mit den Simulationsergebnissen überein. Übersteigen die Variationen
±50 nm so sind Unterschiede zwischen Kurvenanpassung und Simulationsergebnissen
deutlich erkennbar, wobei bei positiven Variationen die Frequenzänderung überschätzt und bei

40 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
8000
6000
4000
2000
0
−2000
−4000
−6000
Simulation Geometrievariation
Simulation Spacerdickenvariation
Linearer Fit (Geometrievariation)
Linearer Fit (Spacerdickenvariation)
−8000
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
Variation [nm]
Abbildung 3.14: Relative Frequenzänderung eines Wheel-Resonator aufgrund von Geometrieund
Polysiliziumspacerdickenschwankungen
negativen Variationen unterschätzt wird. Dies deutet auf einen Effekt zweiter Ordnung mit negativem
Koeffizienten hin. Für die im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Geometrieschwankungen
genügt jedoch die Modellierung mittels eines linearen Ansatzes. Die aus der Kurvenanpassung ermittelte
Sensitivität hinsichtlich Geometrieschwankungen ist mit 72, 87 ppm/nm deutlich geringer
als die der CC-Beams. Im Vergleich zum CC26 ist die Sensitivität um den Faktor 3,8 im Vergleich
zum CC01 sogar um den Faktor 5,8 kleiner. Dies kann auf die größeren Abmessungen des
Resonators und die damit verbundene geringere relative Größenänderung zurückgeführt werden.
Die maximal zu erwartende relative Frequenzvariation aufgrund von Geometrieschwankungen ist
mit etwa 4226 ppm bei einer Geometrieschwankung von ±29 nm ebenfalls deutlich geringer im
Vergleich zu den entsprechenden CC-Beams.
Die Sensitivität der Resonanzfrequenz der Resonatoren hinsichtlich einer Schwankung der Polysiliziumspacerdicke
ist im Gegensatz zu den CC-Beams größer als der Einfluss der Geometrieschwankungen.
Mittels Simulation kann gezeigt werden, dass dies auf eine leicht veränderte
Schwingungsmode vor allem im Bereich der Support-Beams zurückzuführen ist. Die Sensitivität
hinsichtlich einer Dickenschwankung ist mit 99, 94 ppm/nm dennoch deutlich geringer, als bei den
betrachteten CC-Beams. Dies ist wiederum auf die unterschiedlichen geometrischen Abmessungen
zurückzuführen. Unter der Annahme einer Spacerdickenschwankung von ±22 nm ergibt sich eine
Frequenzstreuung von etwa ±2200 ppm.
Neben der Variation der Dicke des Polysiliziumspacers kann auch dessen Elastizitätsmodul variieren.
Wie im vorherigen Unterabschnitt werden Werte des Elastizitätsmoduls zwischen 150 GPa
und 175 GPa betrachtet. Die Berechnung der relativen Frequenzänderung erfolgt im Bezug auf die
Resonanzfrequenz bei einem Elastizitätsmodul von 169 GPa. Die Ergebnisse der FEM-Simulationen
sowie die entsprechende lineare Kurvenanpassung sind in Abbildung 3.15 dargestellt. Analog zu
den Ergebnissen für die verschiedenen CC-Beams steigt die Resonanzfrequenz mit steigendem
Elastizitätsmodul an. Dies kann durch die erhöhte Steifigkeit des Systems erklärt werden. Die
Steigung der linearen Kurvenanpassung ist mit 229, 3 ppm/GPa um etwa den Faktor drei kleiner
als bei dem CC01 und CC27, beim CC26 ist der Faktor etwa 1,6.

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 41
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
2000
1000
0
−1000
−2000
−3000
−4000
Simulation
Linearer Fit
−5000
150 155 160 165 170 175
Elastizitätsmodul des Polysiliziumspacer E p
[GPa]
Abbildung 3.15: Relative Frequenzänderung eines Wheel-Resonator aufgrund von Schwankungen
des Elastizitätsmodul des Polysiliziumspacers
Eine weitere Quelle für prozessbedingte Frequenzschwankungen ist die Rotation der Resonatorstruktur
in der Wafer-Ebene. Abbildung 3.16 zeigt die Auswirkungen von Rotationen bis zu 1 ◦
auf die Resonanzfrequenz des Wheel-Resonators. Die Resonanzfrequenz steigt für alle simulierten
Rotationen gegenüber dem Ursprungswert an. Ein direkter funktionaler Zusammenhang zwischen
dem Rotationswinkel und der Frequenzänderung ist nicht erkennbar. Dies steht im Gegensatz zu
den Verhältnissen beim CC01 und CC27. Dies kann auf die komplexe Form der Schwingungsmode
des Wheel-Resonators im Vergleich zu CC-Beams zurückgeführt werden. Ein Maximalwert der relativen
Frequenzverschiebung kann bei einer Rotation der Struktur um 0, 5 ◦ ermittelt werden. Der
150
Relative Freqeunzänderung f r
[ppm]
100
50
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Rotation des Resonators in der 100−Ebene φ [°]
Abbildung 3.16: Relative Frequenzänderung eines Wheel-Resonators aufgrund Rotation

42 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
entsprechende Wert beträgt 150 ppm. Eine weitere mögliche Erklärung für die scheinbar zufällig
verteilten Simulationsergebnisse sind numerische Fehler wie beispielsweise Diskretisierungsfehler
bei den FEM-Simulationen.
Analog zu den Betrachtungen an den beidseitig eingespannten Balken folgt die Untersuchung
des Einflusses von Schwankungen der Burried-Oxide-Layer auf die Resonanzfrequenz. Neben den
Auswirkungen der Unterätzung des Resonators auf dessen Resonanzfrequenz ist die relative Frequenzänderung
aufgrund von Schwankungen der Burried-Oxide-Layer-Dicken in Abbildung 3.17
dargestellt. Für beide Fälle ist kein direkter funktionaler Zusammenhang zwischen den Schwankungen
und der relativen Frequenzänderung erkennbar. Dies kann auf das Design des Resonators
vor allem im Bereich des Ankers zurückgeführt werden. Durch den zentral aufgehängten vollkommen
symmetrischen Aufbau werden eventuelle Schermomente und Scherkräfte am Anker
minimiert. Zusätzlich sorgen die nahe dem Anker platzierten Federn für eine zusätzliche Entkopplung
zwischen der Schwingungsmasse und der Aufhängung des Resonators. Folglich sind die
simulierten relativen Frequenzänderungen vor allem im Vergleich zu den im vorherigen Abschnitt
betrachteten CC-Beams sehr gering. Während die CC-Beams für den betrachteten Bereich relative
Frequenzverschiebungen aufgrund von Variationen der Burried-Oxide-Layer-Dicke von bis
zu ±150 ppm aufweisen, ist die relative Frequenzverschiebung beim Wheel-Resonator lediglich
zwischen −5 ppm und 30 ppm. Ein ähnliches Bild zeigt sich für den Einfluss der Unterätzung. Die
minimalen und maximalen relativen Frequenzänderungen beim Wheel-Resonator sind −40 ppm
und 70 ppm. Im Gegensatz dazu beträgt die relative Frequenzänderung beim CC26 ±600 ppm.
Analog zu den Simulationsergebnissen hinsichtlich der Frequenzänderung aufgrund der Rotation
der Resonatoren können auch hier numerische Fehler bei der Berechnung auftreten.
Abschließend wird der Einfluss von Bauelementdickenschwankungen auf die Frequenz betrachtet.
Die entsprechenden Simulationsergebnisse sowie die lineare Kurvenanpassung sind in Abbildung
3.18 dargestellt. Im Gegensatz zu den untersuchten Balken ist bei dem Wheel-Resonator
ein direkter funktionaler Zusammenhang zwischen Bauelementdicke und Frequenz erkennbar,
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
80
60
40
20
0
−20
−40
Variation der Unterätzung
Variation der burried−oxide−layer Dicke
−300 −200 −100 0 100 200 300
Variation [nm]
Abbildung 3.17: Relative Frequenzänderung eines Wheel-Resonators aufgrund von Unterätzung
und Box-Schwankung

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 43
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
Simulation
Linearer Fit
−20
−150 −100 −50 0 50 100 150
Variation der Bauelementschichtdicke ∆ DT
[nm]
Abbildung 3.18: Relative Frequenzänderung eines Wheel-Resonator aufgrund von Device Layer
wobei die Frequenz mit steigender Bauelementdicke ansteigt. Die Änderungen für eine maximale
Bauelementdickenschwankung von ±150 nm sind mit ±20 ppm jedoch gering. Aus der linearen
Kurvenanpassung kann zudem eine Sensitivität von 0, 1296 ppm/nm ermittelt werden.
Im Gegensatz zu den Betrachtungen bei den eingespannten Balken erfolgt hier keine Untersuchung
des Einflusses von Prozessstreuungen auf das Electrical-Spring-Softening. Es bleibt festzuhalten,
dass aufgrund der sehr großen mechanischen Steifigkeit des Wheel-Resonators der Einfluss
der elektrischen Federsteifigkeit und somit entsprechender prozessbedingter Variationen klein ist.
Abschließend erfolgt eine Abschätzung der maximal zu erwartenden Frequenzstreuungen. Analog
zu den Betrachtungen der CC-Beams werden dafür die relative Frequenzänderung aufgrund
von Geometrieschwankung und Variationen der Polysiliziumspacerdicke berücksichtigt. Als maximale
Geometrieschwankung wird dabei wiederum ein Wert von ±29 nm und als maximale Schwankung
der Polysiliziumspacerdicke ein Wert von ±22 nm zu Grunde gelegt. Es ergibt sich für die
maximale Frequenzschwankung:
∆ f,ges ≈
√
∆ 2 f,X + ∆2 f,S
≈ 6100ppm . (3.48)
3.2.3. Literaturübersicht zu Kompensationsansätzen von Prozessstreuungen
Wie bereits in der Einleitung angeführt, arbeiten verschiedene Forschergruppen an Ansätzen zur
passiven Kompensation von prozessstreuungsbedingten Frequenzvariationen. Diese werden im
Folgenden vorgestellt und diskutiert. Allen Konzepten ist gemein, dass sie auf der Veränderung
der Schwingungsmasse oder der Steifigkeit des Resonators basieren.
Am weitesten verbreitet sind dabei Konzepte, bei denen Masse mittels Laserstrahlung entfernt
wird, was sowohl eine Veränderung der Schwingungsmasse als auch der Resonatorsteifigkeit zur
Folge haben kann. Gallacher et al. untersuchen in diesem Zusammenhang die gezielte Veränderung
der Resonanzfrequenz von einseitig eingespannten Balken (Clamped-Free-Beam - CF-Beam) mittels
Laserstrahlung [27]. Dabei werden die Auswirkungen von Masseabtrag an der Einspannstelle

44 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
sowie am freien Ende des Balkens untersucht. Je nach Einstrahlungsort kann die Resonanzfrequenz
des CF-Beams vergrößert oder verkleinert werden. Dabei führt eine Laserbehandlung am freien
Ende zu einer Frequenzverschiebung von maximal 110 ppm, während ein Masseabtrag an der Einspannstelle
eine relative Frequenzverschiebung von bis zu −590 ppm zur Folge hat. Die Kontrolle
der Frequenzänderung ist jedoch nach Gallacher et al. schwierig. So sind die durch das vorgestellte
Modell vorhergesagten Frequenzverschiebungen bis zu zehnmal größer als die gemessenen.
Abdelmoneum et al. untersuchen die Möglichkeit der Frequenzverschiebung mittels Laser an CC-
Beams und sogenannten Wine-Glas-Resonatoren [28, 29]. In beiden Fällen kann die Eigenfrequenz
der Resonatoren durch gezieltes Entfernen der Masse in beide Richtungen, positiv und negativ,
verändert werden. Durch ein iteratives Trimmen in 14 Schritten wird die Resonanzfrequenz eines
CC-Beam auf 10 ppm genau eingestellt. Als maximale Anzahl an Trimiterationen geben Abdelmoneum
et al. 25 Einstrahlungsschritte an. Wie bei Gallacher et al. können Abdelmoneum et
al. die genaue Frequenzänderung aufgrund des Massenabtrags nicht mittels Modell vorhersagen,
weswegen viele Iterationsschritte zur Kompensation nötig sind. Die Ursache liegt in der von Prozessierung
zu Prozessierung unterschiedlichen inneren Stressverteilung der Resonatoren. Für die
praktische Anwendung schlagen Abdelmoneum et al. vor für jeden Prozesslauf ein neues empirisches
Modell aufzustellen. Dieser Ansatz ist im produktiven Umfeld jedoch nicht geeignet.
Als weiterer Nachteil kann angeführt werden, dass der Masseabtrag symmetrisch erfolgen muss,
da sonst die Güte des Resonators aufgrund von Stressgradienten deutlich reduziert wird. Neben
dem CC-Beam wird, wie bereits erwähnt, der Einsatz für Wine-Glass-Resonatoren untersucht,
die bei einer Frequenz von 195 MHz schwingen. Wie bei den CC-Beams kann die Frequenzverschiebung
aufgrund der Laserstrahlung nicht zuverlässig vorhergesagt werden. Zudem bricht die
Güte nach mehr als vier Trimiterationen um 65% ein. Es bleibt zudem festzuhalten, dass die
beiden untersuchten Resonatoren über kleine geometrische Abmessungen und somit eine geringe
Schwingungsmasse verfügen. Da die in dieser Arbeit verwendeten Wheel-Resonatoren aufgrund
ihrer Optimierung hinsichtlich Güte und Phasenrauschen über eine deutlich größere Schwingungsmasse
verfügen, wären für ein lasergestützes Trimmen weitere Iterationsschritte nötig. Hsu und
Brown untersuchen das Lasertrimmen an Platten-Resonatoren mit größeren geometrischen Abmessungen
(31 µm × 20 µm) [14]. Durch iteratives Trimmen erreichen sie eine Genauigkeit von
2, 6 ppm. Jedoch sind hierfür 75 Masseabtragsschritte notwendig. Dies ist aufgrund des großen
Zeitaufwandes für den produktiven Einsatz ebenfalls kritisch. Zudem ist davon auszugehen, dass
sich die Zahl der nötigen Iterationsschritte bei einer Vergrößerung der Schwingungsmasse weiter
erhöht. Als weiterer Nachteil kann angeführt werden, dass für das Lasertrimmen ein direkter
Zugriff auf den Resonator mittels Laser möglich sein muss. Dementsprechend muss der Kompensationsschritt
vor der Vakuumverkapselung erfolgen oder letztere für das Laserlicht transparent
sein. Beides ist bei einem Schichtabscheidungs-basierten Vakuumverschluss, wie in dieser Arbeit
verwendet, in der Regel nicht gegeben. Das Lasertrimmen ist folglich, falls ein passender
Vakuumverschluss gewählt wird, lediglich für die Feinjustierung der Frequenz der Resonatoren
praktikabel.
Neben dem Entfernen von Resonatormasse kann diese auch gezielt über verschiedene Verfahren
hinzugefügt werden, um eine Frequenzveränderung zu bewirken. Ein trivialer Ansatz wird von
Courcimault und Allen vorgestellt [30]. Diese untersuchen den Einfluss einer direkten ganzflächigen
Abscheidung von verschiedenen Materialien auf Resonatoren mit Gold, Nickel oder Silizium
als Grundmaterial. Im Folgenden werden nur die Ergebnisse einer Abscheidung von Material auf
Silizium-basierten Resonatoren aufgeführt. Als mögliche Abscheidspezies werden Platin, Gold,
Kupfer und Aluminium untersucht. In allen Fällen wird durch die Abscheidung die Resonanz-

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 45
frequenz zu kleineren Werten hin verschoben, wobei der Betrag der Verschiebung mit steigenden
abgeschiedenen Schichtdicken wächst. Die Frequenzänderungen sind bei der Abscheidung von
Gold und Platin am größten. Mittels Abscheidung von Gold kann eine anfängliche Streuung der
Resonatoren von 11% auf 0,04% also 400 ppm reduziert werden. Eine weitere Reduktion scheint
aufgrund der Prozessstreuungen bei der Abscheidung nicht möglich. Zudem kann eine Kompensation
lediglich für einen ganzen Wafer erfolgen. Es können somit die Wafer-to-Wafer Variationen
minimiert werden, während zu erwarten ist, dass die Die-to-Die Variationen aufgrund der Streuungen
bei der Abscheidung ansteigen. Zudem reduziert sich die Güte der Resonatoren durch die
abgeschiedene Metallschicht deutlich von 25000 auf 5000. Des Weiteren ist für die Abscheidung
wiederum ein direkter Zugriff auf den Resonator nötig, der wie bereits angeführt, in der Regel
nicht gegeben ist.
Ein weiteres Konzept zur Abscheidung von Metall zeigen Enderling et al. [31]. Mittels eines
Ionenstrahl (focused-ion-beam - FIB)-gestützten Verfahrens wird lokal Platin auf einem CF-Beam
abgeschieden. Dazu wird der Resonator in der Atmosphäre eines metallorganischen Precursors
(Trimethylplatin) mit einem Galliumionenstrahl bestrahlt. An der Auftreffstelle des Ionenstrahls
auf dem Resonator erfolgt die Zersetzung des metallorganischen Komplexes, wodurch sich Platin
lokal auf der Oberfläche abscheidet. Aufgrund der hohen Dichte von Platin können mit diesem
Verfahren relative Frequenzänderungen von bis zu 16% erzielt werden. Wie in den vorherigen
Fällen muss ein direkter Zugriff auf den Resonator erfolgen können. Zudem wird die Güte durch
die Abscheidung um 50% reduziert.
Ein lasergestütztes Abscheideverfahren wird von Chiao und Lin gezeigt [33]. Der Resonator
wird dabei mittels Waferbonding vakuumverschlossen. Auf der Innenseite des Verschlusswafers
ist dabei das abzuscheidende Material, in den untersuchten Fällen Gold, Iridium oder Aluminium,
aufgebracht. Durch Lasereinstrahlung auf die Metallschicht löst sich diese teilweise vom
Verschlusswafer und schlägt sich auf dem Resonator nieder. Dies hat Frequenzverschiebungen von
bis zu 20% zur Folge. Die Schrittweite ist mit 0,5% allerdings sehr groß. Als weiterer Nachteil
ist anzuführen, dass der Kompensationsansatz nicht kompatibel zu einem Schichtabscheidungsbasierten
Verschlussprozess ist. Des Weiteren erscheint eine genaue Prozesskontrolle schwierig.
Als Nachteil aller drei bisher vorgestellten Schichtabscheidungs-basierten Kompensationsansätze
ist zudem das verwendete Material zu nennen. Im Gegensatz zu monokristallinem Silizium
ist der linear elastische Bereich, in dem das Material reversibel verformt werden kann, bei Metallen
deutlich geringer. Bei erhöhten Stressbelastungen tritt eine plastische Verformung auf. Diese
kann zu einer Drift der Frequenz über die Lebenszeit des Resonators führen. Zudem treten bei
der Verwendung von Metallen Verluste auf, die die Güte des Resonators, wie gezeigt, deutlich
reduzieren.
Einen Prozess zur Kompensation von Frequenzstreuungen aufgrund von Prozessvariationen
mittels lokaler Polysiliziumabscheidung zeigen Joachim und Lin [32]. Der Resonator wird dabei
durch einen Gleichstromfluss mittels Joule-Heating in Silanatmosphäre (SiH 4 ) lokal auf bis zu
800 ◦ erhitzt. An den so entstehenden Hotspots findet eine Zersetzung des Silan und damit eine
Abscheidung von Silizium statt. Maximal kann damit eine Frequenzverschiebung von 2,2% mit
einer Schrittweite von 0,7% erreicht werden. Letztere ist wiederum für den praktischen Einsatz zu
groß. Zudem erfordert das Verfahren einen Resonator, der einen Gleichstromfluss erlaubt, der also
an mindestens zwei Ankerpunkten aufgehängt ist. Zudem kann es durch die lokale Abscheidung zu
Inhomogenitäten im Bereich des Anregespaltes kommen, was eine inhomogene Feldverteilung zur
Folge hat. Bei komplexen Resonatoren können so ungewollt parasitäre Schwingungsmoden, die
eine deutlich geringere Güte als die angestrebte Schwingungsmode haben, angeregt werden. Eine

46 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
weitere Reduktion der Güte ist aufgrund der in den Rasterelektronenmikroskopbildern zu sehenden
schlechten Schichtqualität zu erwarten. Zudem ist wiederum die Möglichkeit eines direkten
Zugriffs auf den Resonator notwendig.
Einen innovativen Kompensationsansatz zeigen Enderling et al. [34]. Eine Silberanode und
eine Aluminiumkathode, die sich an den beiden Ankerpunkten eines CC-Beams befinden, sind
dabei auf dem Resonator über eine mit Silber dotierte Germaniumselenidschicht, die als Feststoffelektrolyt
dient, miteinander verbunden. Durch das Anlegen einer Gleichspannung zwischen
Kathode und Anode erfolgt eine Diffusion von Silberionen hin zur Kathode. Durch die resultierende
Veränderung der Steifigkeit und Masse des Resonators erfolgt eine Frequenzveränderung.
Je nach Stromflusszeit können dabei Frequenzverschiebungen von ±10% erzielt werden. Der Prozess
ist dabei jedoch schlecht kontrollierbar und die Diffusionszeiten von bis zu 35 Minuten pro
Resonator für den praktischen Einsatz nicht tragbar. Des Weiteren bestehen Probleme in der
Prozesskompatibilität zum Vakuumverschluss. Zudem muss wiederum ein Gleichstromfluss durch
den Resonator möglich sein.
Insgesamt bleibt festzuhalten, dass keines der vorgestellten Verfahren für den praktischen Einsatz
geeignet erscheint. Lediglich das Lasertrimmen kann für eine Feinjustierung der Resonatorfrequenz
verwendet werden, falls eine für das Laserlicht transparente Verschlussschicht verwendet
wird.
3.2.4. Lokale Dotierung zur Modifikation der mechanischen Eigenschaften
In diesem Abschnitt wird der Einfluss der Dotierstoffkonzentration auf die Resonanzfrequenz
von Wheel-Resonatoren untersucht. Nach einer Betrachtung zur Veränderung der elastischen
Konstanten mittels Dotieren werden Simulationsergebnisse zur lokalen Dotierung mit Phosphor
gezeigt.
Erste theoretische Betrachtungen zur Veränderung der elastischen Eigenschaften von sogenannten
Multivalley-Halbleitern wie Silizium zeigt Keyes 1961 am Beispiel von Germanium [84].
Dieser stellt fest, dass die elastischen Konstanten über den Deformation-Potential-Effect mit der
Bandstruktur und somit mit der Ladunsgträgerdichte des Halbleiters verknüpft sind. Eine kurze
Beschreibung des Effekts erfolgt hier am Beispiel von n-dotierten Silizium. Durch eine Dehnung
des Kristalls zum Beispiel durch die Ausbreitung einer elastischen Welle werden die lokalen Energieminima
des Leitungsbandes relativ zu einander verschoben. Als Folge werden Elektronen aus
lokalen Minima, deren Energie angehoben wurde, in solche mit geringerer Energie transferiert.
Der Ausgleich endet sobald sich ein Gleichgewicht eingestellt hat. Der Transfer der Elektronen
hat eine Reduktion des Ferminiveaus und somit die Verkleinerung der freien Kristallenergie zur
Folge. Da die elastischen Konstanten differentiell mit der Kristallenergie verknüpft sind, hat
dies auch eine Veränderung der elastischen Konstanten zur Folge [85]. Keyes schlussfolgert, dass
dementsprechend eine Veränderung der Bandstruktur durch n-Dotierung zu einer Verringerung
der elastischen Konstanten führen muss.
Erste experimentelle Untersuchung zum Einfluss von Phosphor auf die elastischen Konstanten
von Silizium werden von Hall gezeigt [85]. Er vergleicht eine im wesentlichen undotierte Siliziumprobe
mit einer degeneriert Phosphor dotierten Probe (Dotierstoffkonzetration: 2 · 10 19 cm −3 ).
Durch das Dotieren werden die elastischen Konstanten C 11 und C 44 reduziert, während C 12 leicht
ansteigt. Die von Hall bei 25 ◦ C bestimmten elastischen Konstanten für eine undotierte und eine
dotierte Probe sind in Tabelle 3.4 zusammengefasst. Diese dienen in den folgenden Simulationen
als Grundlage.
Der Einfluss von p-Dotierung wird am Beispiel von Bor durch Csavinszky und Einspruch [86]

3.2. Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Frequenz und deren Kompensation 47
Tabelle 3.4: Von Hall ermittelte elastische Konstanten für undotiertes und degeneriert Phosphor
dotiertes Silizium bei 25 ◦ C
undotiert dotiert
C 11 [ GPa] 165,64 163,94
C 12 [ GPa] 63,94 64,77
C 44 [ GPa] 79,51 79,19
als auch von Kim et al. [87] untersucht. Csavinszky und Einspruch stellen eine Reduktion der
elastischen Konstante
C ′ = 1 2 (C 11 − C 12 ) (3.49)
mit steigender Dotierstoffkonzentration bei Messungen bei 78K fest. Die maximale Veränderung
wird mit 1, 9 GPa bei einer Dotierstoffkonzentration von 1, 1 · 10 20 cm −3 erreicht. Die Veränderung
der elastischen Konstante C 44 durch Bordotierung wird von Kim et al. numerisch untersucht und
mit den experimentellen Ergebnissen von Fjeldly et al. [88] verglichen. Sowohl die präsentierten
numerischen Berechnungen als auch die Messergebnisse zeigen eine Veränderung von C 44 um bis
zu -5% bei einer Dotierstoffkonzentration von 1, 6×10 20 cm −3 . Eine vollständige Elastizitätsmatrix
für p-dotiertes Silizium ist im Gegensatz zu n-dotiertem Material nicht veröffentlicht.
Die Auswirkungen einer lokalen n-Dotierung auf die Eigenfrequenzen von Wheel-Resonatoren
werden mittels FEM-Simulation untersucht. Dabei werden die von Hall publizierten und in Tabelle
3.4 zusammengefassten Werte zugrunde gelegt. Die Dotierstofftiefe wird für die Simulation zu
4, 5 µm angenommen. Im Rahmen der Simulation werden vier an verschiedenen Stellen dotierte
Resonatoren mit einem undotierten Resonator verglichen. Die vier verschiedenen Dotierlokationen
sind die inneren Federn (im Folgenden bezeichnet als Feder), die Support-Beams (im Folgenden
bezeichnet als Beam), die äußere Schwingungsmasse (im Folgenden bezeichnet als Masse) und
eine Kombination aus allen dreien (im Folgenden bezeichnet als Alles). Die Ergebnisse der Simulationen
sind in Tabelle 3.5 zusammengefasst. Wie erwartet ergibt sich die größte relative
Frequenzverschiebung von etwa −1900 ppm für eine Dotierung an allen drei Lokationen. Die geringste
Verschiebung ist mit −94 ppm bei einer Dotierung der Support-Beams festzustellen.
Im Rahmen der Arbeit wird die Dotierung des Resonators mittels eines zweistufigen Ionenimplanationsprozesses
realisiert. Dabei stehen als Dotierstoffspezies Arsen und Bor zur Verfügung.
Für eine Bordotierung erfolgt zunächst eine Ionenimplantation mit einer Dosis von 1 · 10 16 cm −2
und einer Beschleunigungsenergie von 95 keV . Diese ist gefolgt durch eine Ionenimplantation mit
einer Dosis von 5 · 10 15 cm −2 bei einer Energie von 120 keV . Auf die zwei Ionenimplantationsschritte
folgt ein langer Ausheilschritt bei hohen Temperaturen (1100 ◦ C, 120 min). Die Dosen
Tabelle 3.5: Simulierte relative Frequenzverschiebungen eines Wheel-Resonators aufgrund einer
lokalen n-Dotierung mit Phosphor
Dotierort Frequenzverschiebung [ ppm]
Beam -94
Feder -420
Masse -1615
Alles -1895

48 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
und Beschleunigungsspannungen für eine Arsendotierung sind mit denen der Bordotierung vergleichbar
und in Tabelle 3.6 zusammengefasst. Anhand der angeführten Ionenimplantations- und
Ausheilparameter lässt sich mittels Simulation ein zweidimensionales Dotierstoffprofil errechnen,
welches in Abbildung 3.19 dargestellt ist. Für die Simulation wird dabei die Software ICECREM
verwendet. Weitere Temperatureinwirkungen, die im Rahmen der Herstellung der Resonatoren
zum Beispiel bei dem Abscheideprozessen auftreten, sind in der Simulation nicht berücksichtigt.
Man erkennt, dass die Dotierstoffkonzentration an der Oberfläche sowohl für Bor als auch Arsen
nahe 1 · 10 20 cm −3 liegt. Ein Abfall der Konzentration ist bei Bor ab einer Eindringtiefe von 3 µm
zu erkennen, wobei eine weite Eindiffusion zu erkennen ist. Im Gegensatz dazu ist das Profil bei
der Dotierung mit Arsen deutlich steiler. Bis zu einer Tiefe von etwa 4, 5 µm ist die Dotierstoffkonzentration
nahezu konstant und fällt dann schnell steil ab. Die Unterschiede der Dotierstoffprofile
für Arsen und Bor sind auf die unterschiedlichen Diffusionskonstanten für beide Materialien in
Silizium zurückzuführen.
Tabelle 3.6: Prozessparameter für die Ionenimplantation und das Ausheilen der Wheel-
Resonatoren mit Bor und Arsen
Bor
Arsen
Erster Implantationsschritt 1 · 10 16 cm −2 , 95 keV 2 · 10 16 cm −2 , 80 keV
Zweiter Implantationsschritt 5 · 10 15 cm −2 , 120 keV 1.18 · 10 16 cm −2 , 150 keV
Ausheilen 1100 ◦ C, 120 min 1150 ◦ C, 120 min
10 22 Abstand zur Oberfläche [µm]
Dotierstoffkonzentration [cm −3 ]
10 20
10 18
10 16
10 14
Bor
Arsen
10 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Abbildung 3.19: Simuliertes Dotierstoffprofil für die zweistufige Implantation mit anschließender
Ausheilung für Arsen und Bor

3.3. Temperaturabhängigkeit der Frequenz und deren Kompensation 49
3.3. Die Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz von
mikroelektromechanischen Resonatoren und
Kompensationsansätze
Die mechanischen und elektromechanischen Eigenschaften von MEM-Resonatoren sind unter anderem
von der Temperatur abhängig. So verändert sich beispielsweise die Resonanzfrequenz von
Silizium-basierten MEM-Resonatoren mit steigender Temperatur hin zu kleineren Werten [15]. In
den folgenden Abschnitten werden die einzelnen Quellen der Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz
analytisch am Beispiel des CC-Beam hergeleitet. Des Weiteren werden Ergebnisse
von FEM-Simulationen zur Temperaturabhängigkeit von CC-Beams und Wheel-Resonatoren gezeigt.
Anschließend werden Kompensationsansätze aus der Literatur diskutiert und das Embedded-
Oxide-Konzept vorgestellt.
3.3.1. Quellen der Temperaturabhängigkeit von mikroelektromechanischen
Resonatoren
Temperaturabhängigkeit der Elastizitätsmatrix
Wie im Anhang ausführlich beschrieben wird, sind die elastischen Eigenschaften von monokristallinem
Silizium anisotrop, also richtungsabhängig. So weist das Elastizitätsmodul je nach gewählter
Kristallorientierung Werte zwischen 130 GPa und 189 GPa auf. Die in der Arbeit verwendeten
CC-Beams sind entlang der 110-Kristallrichtung des Siliziums orientiert. Für diese ist das Elastizitätsmodul
gegeben durch:
(
C
2
E 110 = 4 11 + C 11 C 12 − 2C12
2 )
C44
2C 11 C 44 + C11 2 + C 11C 12 − 2C12
2 , (3.50)
wobei C 11 , C 12 und C 44 die drei unabhängigen elastischen Konstanten des Silizium sind. Diese
und somit das Elastizitätsmodul sind von der Temperatur abhängig. Die Temperaturabhängigkeit
des Elastizitätsmoduls für die 110-Kristallrichtung lässt sich in Abhängigkeit der elastischen
Konstanten wie folgt beschreiben:
dE 110
dT = ∂E 110 ∂C 11
∂C 11 ∂T + ∂E 110 ∂C 12
∂C 12 ∂T + ∂E 110 ∂C 44
∂C 44 ∂T
. (3.51)
Für die drei partiellen Ableitungen des Elastizitätsmoduls nach den elastischen Konstanten ergibt
sich:
∂E 110
C 2 (
44 C
2
= 8
11 + 2C 2 )
12
(
∂C 11 2C11 C 44 + C11 2 + C 11C 12 − 2C12) 2 2
≈ 0, 5704 , (3.52)
∂E 110
(C 11 − 4C 12 ) C44 2 = 8
C 11
(
∂C 12 2C11 C 44 + C11 2 + C 11C 12 − 2C12) 2 2
≈ −0, 2391 , (3.53)
(
C
2
= 4
11 + C 11 C 12 − 2C 2 2
12)
(
∂C 44 2C11 C 44 + C11 2 + C 11C 12 − 2C12) 2 2
≈ 1, 1289 . (3.54)
∂E 110
Für die weitere Betrachtung ist es notwenig den funktionalen Zusammenhang zwischen den elastischen
Konstanten und der Temperatur zu beschreiben. Eine gute Näherung der elastischen
Konstante C ij kann über eine quadratische Funktion erfolgen:
(
C ij (T ) = C ij,0 1 + Tc (1)
ij (T − T 0) + Tc (2)
ij (T − T 0) 2) . (3.55)

50 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
Dabei bezeichnen Tc (1)
ij
und Tc (2)
ij
die relativen Temperaturkoeffizienten erster und zweiter Ordnung
der elastischen Konstante und C ij,0 den Wert der Konstante bei der Referenztemperatur
T 0 . Für die Ableitung der elastischen Konstanten nach der Temperatur ergibt sich folglich:
∂C ij
∂T
= C ij,0
(
)
Tc (1)
ij
+ 2Tc (2)
ij (T − T 0)
. (3.56)
Die Werte der Temperaturkoeffizienten erster und zweiter Ordnung der elastischen Konstanten
werden von Bourgeois et al. [89] anhand verschiedener Siliziumresonatoren bestimmt und sind
in Tabelle 3.7 aufgeführt. Dabei werden sowohl niedrig p-dotierte (Bor) und hoch n-dotierte
(Phosphor) Resonatoren betrachtet. Die relative Veränderung der Resonanzfrequenz aufgrund
einer Temperaturänderung bedingt durch die Veränderung des Elastizitätsmoduls lässt sich wie
folgt darstellen:
f r = ∂f
∂T
1
f 0
= 1 (
∂E110
C 11 Tc (1)
11
2E 110 ∂C + ∂E 110
C 11 Tc (1)
12 11 ∂C + ∂E 110
C 44 Tc (1)
44 12 ∂C +
44
(
∂E110
2 (T − T 0 ) C 11 Tc (2)
11
∂C + ∂E 110
C 11 Tc (2)
12 11 ∂C + ∂E ))
110
C 44 Tc (2)
44
12 ∂C 44
= a + b(T − T 0 ) = −32, 3 ppm
◦ C
− 52, 8
ppb
◦ C 2 (T − T 0) .
(3.57)
Die Resonanzfrequenz eines unkompensierten CC-Beam, der entlang der 110-Kristallrichtung des
Siliziums orientiert ist, sinkt folglich um etwa −32, 3 ppm, wenn die Temperatur um 1 ◦ C erhöht
wird.
Thermische Expansion des Resonators
Neben der Veränderung der elastischen Konstanten mit der Temperatur hat eine temperaturbedingte
Veränderung der geometrischen Abmessungen der Resonatoren einen Einfluss auf deren
Eigenfrequenz. Eine eindimensionale Veränderung der Geometrie aufgrund von thermischer Ausdehnung
wird durch den linearen thermischen Ausdehnungskoeffizienten α beschrieben. Dieser ist
wie folgt definiert:
α = 1 x 0
∂x
∂T
, (3.58)
wobei x 0 die geometrische Abmessung bei Referenztemperatur, meist 25 ◦ C ist. Für die Veränderung
der geometrischen Abmessungen im Dreidimensionalen kann ein Volumenausdehnungsko-
Tabelle 3.7: Temperaturkoeffizienten erster und zweiter Ordnung der drei unabhängigen elastischen
Konstanten von monokristallinem Silizium.
Tc (1)
11 Tc (1)
12 Tc (1)
44 Tc (2)
11 Tc (2)
12 Tc (2)
44
[ppm/ ◦ C] [ppm/ ◦ C] [ppm/ ◦ C] [ppb/ ◦ C 2 ] [ppb/ ◦ C 2 ] [ppb/ ◦ C 2 ]
p-dotiert -73,25 -91,59 -60,14 -49,26 -32,70 -51,28
n-dotiert -74,87 -99,46 -57,98 -45,14 -20,59 -53,95

3.3. Temperaturabhängigkeit der Frequenz und deren Kompensation 51
effizient definiert werden. Meist wird dieser als das Dreifache des linearen thermischen Ausdehnungskoeffizienten
angenähert:
α V = 1 V
∂V
∂T
≈ 3α . (3.59)
Der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient von Silizium ist selbst temperaturabhängig und
durch
( (
) )
α(T ) = 3, 275 1 − e −5,88·10−3 (T −124)
+ 5, 548 · 10 −4 T · 10 −6 (3.60)
gegeben.
Für die Änderung der Resonanzfrequenz eines CC-Beam aufgrund von thermischer Expansion
gilt:
df
dT = ∂f ∂w
∂w ∂T + ∂f ∂l
∂l ∂T + ∂f ∂ρ
∂ρ ∂T
= ∂f
∂w w 0α + ∂f
∂l l 0α − ∂f
∂ρ 3ρ 0α ,
(3.61)
wobei w 0 , l 0 und ρ 0 die Breite, die Länge und die Dichte des Resonators bei der Referenztemperatur
sind. Unter Verwendung von Gleichung 3.60 und den entsprechenden im vorherigen Kapitel
bestimmten partiellen Ableitungen ergibt sich für die Änderung der Frequenz mit der Temperatur:
f r = ∂f 1
∂T f = α ( (
)
2 = 1, 6375 1 − e −5,88·10−3 (T −124)
+ 2, 774 · 10 −4 T
≈ 1, 132 ppm
◦ ∣ .
C T =298K
)
· 10 −6
(3.62)
Da die Frequenzänderung aufgrund der thermischen Ausdehnung des Resonators positiv ist, wirkt
sie der Reduktion der Resonanzfrequenz durch das Erweichen des Materials entgegen.
Temperaturbedingter Stress
Einen Einfluss auf die Resonanzfrequenz und deren Temperaturdrift, kann der an den Resonator
anliegende Stress haben. Für die analytische Beschreibung des Einflusses wird das Euler-Bernoulli-
Model für den beidseitig eingespannten Balken erweitert:
√ √
E 2w
f = 1, 027
ρ l 2 1 + 0, 293 l2
w 2 E σ , (3.63)
wobei σ den Stress beschreibt [39]. Man erkennt, dass der Einfluss von Stress direkt mit den
geometrischen Abmessungen, also Länge und Breite des Balkens, zusammenhängt. Folglich sind
die Auswirkungen von betragsmäßig gleichem Stress auf längere und schmalere Balken größer.
Die mathematische Beschreibung des Stresses, der während des Betriebs auf den Resonator wirkt,
kann in der Regel aufgrund der Komplexität des Problems nicht erfolgen. Neben dem Resonator
selbst müssen Stresskomponenten durch den Anker, das Substrat, den Vakuumverschluss,
sowie die Befestigung des Resonator-Chips auf einer Leiterplatte (Printed-Circuit-Board - PCB)
berücksichtigt werden. Melamud et al. [15] untersuchen numerisch und mittels Experiment den
Einfluss von Stress auf die Resonanzfrequenz von CC-Beams. Sie messen dabei Temperaturkoeffizienten
der Resonanzfrequenz erster Ordnung zwischen −31 ppm/ ◦ C und −176 ppm/ ◦ C. Für die

52 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
Betrachtungen in dieser Arbeit kann der Einfluss von Stress aufgrund der unbekannten Stressverteilung
im und am Resonator nicht direkt berechnet werden. Es ist jedoch davon auszugehen, dass
bei den experimentellen Untersuchungen Auswirkungen zu beobachten sein werden. Aufgrund der
oben angegebenen Abhängigkeiten des Einflusses von Stress von den geometrischen Eigenschaften
steht zu erwarten, dass dieser beim CC01 am größten ist. Das Verhältnis der Quadrate von Länge
und Breite ist dort etwa 1400. Das kleinste Verhältnis und damit die geringste zu erwartende
Auswirkung zeigt der CC27 auf. Dort ist das Quadratische Verhältnis von Länge zu Breite 625.
Temperaturabhängigkeit der elektrischen Federsteifigkeit
Durch die thermische Expansion des Resonators erfolgt neben der bereits angeführten Veränderung
der mechanischen Resonanzfrequenz auch eine Drift des elektrischen Frequenzanteils f e . Wie
bereits angeführt ist dieser durch
√
f e = a2 ɛ
2π 192ρwg 3 (3.64)
gegeben. Die Drift kann dann wie folgt beschrieben werden:
∂f e
∂T = ∂f e ∂w
∂w ∂T + ∂f e ∂ρ ∂f e ∂g
∂ρ ∂T ∂g ∂T
. (3.65)
Mit steigender Temperatur wird der Spaltabstand durch die thermische Expansion des Resonators
und der Elektrode kleiner. Hat Letztere eine Breite von d el , dann ist die relative Frequenzänderung
des elektrischen Frequenzanteils durch
∂f e
∂T
gegeben.
1
f e
= α
(
1 + 1 4
w + d el
g
)
≈
(
0, 566 w + d el
g
) ppm
◦ C
(3.66)
Vollständiges analytisches Model der Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz
Ein vollständiges analytisches Model für die Abschätzung der Temperaturdrift der Resonanzfrequenz
eines CC-Beam der entlang der 110-Kristallrichtung orientiert ist, kann durch die Summation
der oben angeführten Einflüsse erfolgen. Der Einfluss der Drift des elektrischen Frequenzanteils,
wird wie bei der Betrachtung des Einflusses von Prozessstreuungen, aufgrund seines geringen
Wertes dabei vernachlässigt:
df 1
dT f = ∂f ∂E
∂E ∂T + ∂f
∂α
≈ −31, 07 ppm
◦ C
∂α
∂T + ∂f
∂σ
∂σ
∂T
− 52, 8
ppb
◦ C 2 (T − 298K) + 1 σ
∂σ
∂T
.
(3.67)
Simulation der Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz
Neben einer analytischen Betrachtung kann die Temperaturdrift mittels FEM-Simulation bestimmt
werden. Dazu werden zunächst Simulationen an den in der Arbeit verwendeten CC-
Beams dem CC01, dem CC26 und dem CC27 durchgeführt. Die Simulationen erfolgen für alle
drei CC-Beams in vier verschiedenen Simulationskonfigurationen. Zunächst wird lediglich das
Elastizitätsmodul und in einem zweiten Schritt nur die thermische Expansion des Resonators mit

3.3. Temperaturabhängigkeit der Frequenz und deren Kompensation 53
Spacer als Quelle für die Temperaturdrift berücksichtigt. Es folgt eine Simulation des Resonators
ohne Spacer und abschließend eine Simulation, bei der neben dem Resonator auch der Anker, das
Substrat, sowie Schichten des Vakuumverschlusses berücksichtigt werden. Die Bestimmung der
Temperaturdrift des Wheel-Resonators erfolgt aufgrund des hohen Simulationsaufwandes lediglich
an einer Struktur, bei dem die Siliziumdioxidschichten des Ankers, sowie des Vakuumverschlusses,
nicht aber das Substrat berücksichtigt werden. Die für die CC-Beams ermittelten Ergebnisse
sind in Tabelle 3.8 zusammengefasst. Es ist anzumerken, dass bei der Simulationen der thermische
Stress innerhalb der Struktur zum Beispiel durch die thermische Ausdehnung berücksichtigt
wird. Stress, der aufgrund der Befestigung des Chips auf die Struktur wirkt, bleibt hingegen
unberücksichtigt.
Die simulierten Werte für die Temperaturdrift aufgrund der thermischen Veränderung des Elastizitätsmoduls
zeigen für den CC01 und den CC27 gleiche, für den CC26 leicht reduzierte Werte.
Insgesamt sind alle drei simulierten Temperaturdriften kleiner als der durch die analytische Rechnung
erwartete Wert von −32, 3 ppm/ ◦ C. Dagegen ist der Einfluss der thermischen Expansion
größer als durch das analytische Model vorhergesagt. Hier treten wiederum für den CC01 und
den CC27 mit 3, 68 ppm/ ◦ C gleiche Werte auf. Die Temperaturdrift für den CC26 ist geringfügig
größer, was auch auf Ungenauigkeiten der Simulation und der Kurvenanpassung zurückgeführt
werden kann. Für die Simulation der Resonatoren ohne Spacer ergeben sich Temperaturdriften
zwischen −25, 91 ppm/ ◦ C und −26, 70 ppm/ ◦ C. Die geringen Unterschiede bei allen drei vorgestellten
Resonatoren deuten darauf hin, dass bei der Betrachtung des Resonators allein die geometrischen
Abmessungen nur einen geringen Einfluss auf die Temperaturdrift haben. Im Gegensatz
dazu stehen die Ergebnisse der Simulationen, bei denen das Substrat und der Vakuumverschluss
mit berücksichtigt werden. Während der CC01 mit −19, 95 ppm/ ◦ C einen deutlichen Einfluss des
Substrats und des Vakuumverschlusses auf die Temperaturdrift der Resonanzfrequenz zeigt, tritt
beim CC27 mit 28, 58 ppm/ ◦ C eine nur geringe Änderung gegenüber Simulationen auf, bei denen
lediglich der Resonator modelliert wird. Die deutliche Reduktion der Temperaturdrift beim
CC01 und beim CC26 kann auf thermischen Stress, der durch das Substrat und den Vakuumverschluss
auf den Resonator ausgeübt wird erklärt werden. Der geringe Einfluss von Stress auf den
Temperaturgang des CC27 kann durch das im Vergleich zum CC01 und CC26 deutlich kleinere
Länge-zu-Breite-Verhältnis erklärt werden.
Die Simulationen am Wheel-Resonator erfolgen, wie bereits angeführt, lediglich unter Berücksichtigung
der Siliziumdioxidschichten des Ankers, nicht aber des Substrats und der anderen
Schichten des Vakuumverschlusses. Hier ergibt sicht ein Temperaturkoeffizient erster Ordnung
der Resonanzfrequenz von −27, 91 ppm/ ◦ C.
Tabelle 3.8: Simulationsergebnisse für die Temperaturdrift von drei verschiedenen CC-Beams
mit vier verschiedenen Simulationskonfigurationen: A) Temperaturdrift aufgrund
des Elastizitätsmoduls, B) Temperaturdrift aufgrund der thermischen Expansion,
C) Resonator ohne Polysiliziumspacer, D) vollständiges Model unter Berücksichtigung
des Substrats und der Schichten des Vakuumverschlusses.
A B C D
CC01 −29, 39 ppm/ ◦ C 3, 68 ppm/ ◦ C −26, 70 ppm/ ◦ C −19, 95 ppm/ ◦ C
CC26 −28, 51 ppm/ ◦ C 3, 71 ppm/ ◦ C −25, 91 ppm/ ◦ C −22, 10 ppm/ ◦ C
CC27 −29, 39 ppm/ ◦ C 3, 68 ppm/ ◦ C −26, 54 ppm/ ◦ C −28, 58 ppm/ ◦ C

54 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
3.3.2. Literaturübersicht zu Kompensationsansätzen des Temperaturgangs
Wie bereits in der Einleitung angedeutet wird, werden in der Literatur verschiedene Ansätze zur
passiven Kompensation der Temperaturdrift der Eigenfrequenz der Resonatoren diskutiert. Da
eine der Hauptquellen für das Sinken der Resonanzfrequenz mit steigender Temperatur, wie im
vorherigen Abschnitt dargestellt, das Erweichen des verwendeten Siliziums ist, liegt der Ansatz
nahe eine Kompensation durch die Kombination von Silizium mit einem Material mit positiven
Temperaturkoeffizienten des Elastizitätsmodul zu erreichen. Ein entsprechender Ansatz wird sowohl
von Kim et al. [36] als auch von Melamud et al. [37] gezeigt. Beide Gruppen erreichen eine
passive Temperaturkompensation durch das Ummanteln des Siliziumresonators mit einer Siliziumdioxidschicht.
Hierzu wird der Resonator nach der Fertigstellung jedoch vor dem verschließen
der Kavität thermisch oxidiert. Kim et al. zeigen Ergebnisse zu den Untersuchungen mit verschiedenen
doppelt eingespannten Stimmgabeln (Double-Ended-Tuning-Forks - DETF). Die Dicke der
Siliziumdioxidschicht ist mit 0, 43 µm fest vorgegeben. Durch die Variation der Breite der Stimmgabeln
werden verschiedene Temperaturkoeffizienten der Eigenfrequenz erreicht. Dabei zeigen
Kim et al. das auch eine Überkompensation, also ein positiver Temperaturkoeffizient möglich
ist. Ein minimaler Temperaturkoeffizient von 0, 20 ppm/ ◦ C wird an einem Resonator mit einer
Breite von 5, 5 µm gezeigt. Das Verhältnis zwischen Siliziumdioxid und Silizium beträgt hier 0,74.
Während der Ansatz, der eine vollständige Kompensation des Temperaturkoeffizienten erster
Ordnung der Resonanzfrequenz ermöglicht, kompatibel zu einem Schichtabscheidungs-basierten
Vakuumverschlussprozess ist, stellt die thermische Oxidation ein Problem hinsichtlich der elektromechanischen
Kopplung dar. Im von Kim et al. gezeigten Beispiel hat die Siliziumdioxidschicht
eine Dicke von 0, 43 µm. Dies bedeutet für den elektrischen Anregespalt eine deutliche Vergrößerung.
Die Problematik verschärft sich, wenn Resonatoren mit einer größeren Schwingungsmasse,
wie beispielsweise der Wheel-Resonator durch Oxidation kompensiert werden sollen. Dort sind
Schichtdicken von mehr als 1 µm zur Kompensation notwendig. Als direkte Folge einer geringeren
elektromechanischen Kopplung steigt der Betrag der Impedanz in Resonanz deutlich an.
Dies führt indirekt über die Verstärkerschaltung zu einem erhöhten Stromverbrauch, sowie zu
einem höheren Phasenrauschen. Beides ist für die in der Arbeit angestrebten Anwendungen nicht
tragbar.
Ein weiterer Ansatz zur Temperaturkompensation, bei dem Silizium mit einem Material mit
positiven Temperaturkoeffizienten des Elastizitätsmodul kombiniert wird, wird von Hahtela et al.
untersucht [38]. Durch die Abscheidung von Dialuminiumtrioxid (Al 2 O 3 ) mittels Atomic-Layer-
Deposition (ALD) wird der Temperaturkoeffizient der Resonanzfrequenz von −35 ppm/ ◦ C auf
−24 ppm/ ◦ C reduziert. Die Schichtdicke der Dialuminiumtrioxid-Schicht ist dabei 632 nm. Neben
der Reduktion des Temperaturkoeffizienten der Resonanzfrequenz stellen Hahtela et al. einen
deutlichen Abfall der Güte ab einer Dialuminiumtrioxid-Schichtdicke von 200 nm fest. Zusätzlich
besteht bei dem vorgeschlagenen Ansatz das Problem, dass der Prozessfluss nicht kompatibel zu
dem in dieser Arbeit verwendeten Verschlussprozess ist.
Ein weiteres Konzept zur Kompensation der Temperaturdrift der Eigenfrequenz wird von Hsu
et al. [39] gezeigt. Die Kompensation erfolgt dabei nicht durch die Kombination des Siliziumresonators
mit einem anderen Material, sondern durch geschicktes Design. Ein CC-Beam ist dabei an
einem Ende über einen Anker fest mit dem Substrat verbunden. Im Gegensatz dazu ist die zweite
Einspannstelle über eine U-förmige Struktur mit dem Substrat verbunden (Abbildung 3.20).
Steigt die Temperatur an, entsteht durch die unterschiedliche Längenänderung der U-Struktur
und des Resonators ein Zugstress innerhalb des Schwingers. Dieser führt zu einer deutlichen Reduktion
des Temperaturkoeffizienten. Anhand eines CC-Beam aus Polysilizium zeigen Hsu et al.

3.3. Temperaturabhängigkeit der Frequenz und deren Kompensation 55
U-Struktur
Resonator
Ankerpunkte
Abbildung 3.20: Von Hsu et al. gezeigter Resonator mit Temperaturkompensation durch
Zugstress
einen Temperaturkoeffizienten von −2, 5 ppm/ ◦ C. Neben der reduzierten Temperaturdrift führt
die U-förmige Aufhängung durch reduzierte Ankerverluste zu einer Steigerung der Güte von etwa
3000 auf 10000. Das Konzept ist allerdings nicht einfach auf andere Resonatoren zu übertragen.
Im Speziellen ist ein direkter Zugstress durch Design bei Resonatoren, die zentral aufgehängt sind,
nicht möglich. Das Konzept ist somit für die in dieser Arbeit verwendeten Resonatoren nicht anwendbar.
Das von Hsu et al. vorgestellte Konzept wird von Giridhar et al. auf Resonatoren auf
SOI-Wafern übertragen [40]. Ausgangspunkt ist wiederum ein CC-Beam der für eine höhere elektrostatische
Kopplung um eine Flügelstruktur mit sogenannten Comb-Drives erweitert ist. Durch
den Zugstress bei steigender Temperatur wird der Temperaturkoeffizient der Resonanzfrequenz
von −29 ppm/ ◦ C auf −1 ppm/ ◦ C reduziert. Für das von Giridhar et al. vorgestellte Konzept
gelten für die Anwendung die gleichen Beschränkungen wie für das Konzept von Hsu et al..
Eine weitere Möglichkeit der Temperaturkompensation eines senkrecht zur Waferoberfläche
schwingenden Polysilizium-CC-Beams wird von Hsu und Nguyen gezeigt [41]. Oberhalb des CC-
Beams ist eine Elektrode aus Metall angebracht. Durch die unterschiedlichen thermischen Ausdehnungskoeffizienten
des Polysilizium-Resonators und der Elektrode verändert sich mit steigender
Temperatur der Spaltabstand zwischen Elektrode und Resonator hin zu größeren Werten.
Dies führt zu einer Reduktion der elektrischen Federsteifigkeit und somit zu einer Erhöhung der
Frequenz (vergleiche Gleichung 2.31). Mit diesem Ansatz kann die Temperaturdrift deutlich auf
0, 24 ppm/ ◦ C reduziert werden. Allerdings ist die Kombination von verschiedenen Materialien
für Elektrode und Resonator nur für senkrecht zur Oberfläche schwingende Resonatoren einfach
möglich. Des Weiteren erscheint die Prozesskontrolle mit diesem Ansatz als sehr schwierig, da
jede abgeschiedene Schicht innere Spannungen aufweist. Diese können bereits bei Raumtemperatur
eine Biegung der Elektrode hin zum oder weg vom Resonator hervorrufen. Dieses Problem
ist vor allem bei sehr schmalen Aktuatorspaltabständen, wie sie für die Reduktion der Impedanz
in Resonanz benötigt werden [9], dominant. Ein weiterer Nachteil ist, dass durch das Verändern
des Aktuatorspaltabstandes neben der Frequenz auch alle anderen elektrischen Parameter beeinflusst
werden. So hat ein größer werdender Anregespalt eine höhere Impedanz des Resonators
aufgrund der reduzierten elektromechanischen Kopplung zur Folge. Berücksichtigt man zusätzlich,
dass die Impedanz eines MEM-Resonators mit steigender Temperatur aufgrund sinkender
mechanischer Steifigkeit und Güte sinkt, ergeben sich mit diesem Ansatz bei hohen Temperaturen
sehr hohe Impedanzen für den Resonator. Dies ist aufgrund des damit verbundenen erhöhten

56 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
Stromverbrauchs, vor allem für mobile Anwendungen nicht praktikabel.
3.3.3. Kompensation des Temperaturgangs mittels Embedded-Oxide-Strukturen
In diesem Abschnitt wird das Embedded-Oxide-Konzept zur Kompensation der Temperaturdrift
der Resonanzfrequenz theoretisch betrachtet. Analog zu den von Kim et al. [36] und Melamud et
al. [37] vorgestellten Konzepten erfolgt die Kompensation durch die Kombination des Siliziumresonators
mit Siliziumdioxid. Um eine Degradation der elektromechanischen Kopplung zu vermeiden
wird der Resonator jedoch nicht mit dem Kompensationsmaterial umschlossen. Das Siliziumdioxid
wird vielmehr in Gräben innerhalb des Resonators gefüllt (vergleiche Abbildung 3.21). Dies
ermöglicht die Kombination von mehreren Materialien im Resonator ohne dabei den Anregespaltabstand
und somit die elektromechanische Kopplung zu verändern. Da an den Grenzflächen
zwischen den einzelnen Materialien in der Regel zusätzliche Verluste auftreten wird zudem ein
Ansatz zur Reduktion der Verluste und somit zu einer Erhöhung der Güte mittels Embedded-
Oxide-Konzept betrachtet.
Wie bereits in Unterabschnitt 3.2.4 mittels Simulation gezeigt, findet der Hauptteil der Schwingung
des Resonators innerhalb der äußeren Masse statt. Um eine effektive Kompensation zu erreichen
wird deshalb der Einfluss von Embedded-Oxide-Strukturen in diesem Bereich untersucht.
Dabei werden Resonatoren mit verschiedenen Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnissen (R s ) betrachtet.
Das Siliziumdioxid ist dabei in Gräben zwischen den Release-Holes angeordnet. Anhand
der Simulationen werden mittels Kurvenanpassung an eine quadratische Funktion der Form
f r = α (T − T 0 ) 2 + β (T − T 0 ) (3.68)
die Temperaturkoeffizienten erster und zweiter Ordnung der Resonanzfrequenz, β und α bestimmt.
Als Referenztemperatur T 0 wird dabei 0 ◦ C verwendet. Die ermittelten Temperaturkoeffizienten
erster Ordnung sind in Abbildung 3.22 für Resonatoren mit unterschiedlichen R s
dargestellt. Wie erwartet reduziert sich die Temperaturdrift mit steigendem Siliziumdioxidanteil
innerhalb der äußeren Masse des Resonators. Eine vollständige Kompensation des Temperaturkoeffizienten
erster Ordnung erscheint bei einem Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnis von
etwa 1,1 möglich. An die für die verschiedenen R s ermittelten Temperaturkoeffizienten erster
Ordnung der Resonanzfrequenz erfolgt zudem eine quadratische Kurvenanpassung. Der Fehler
zwischen der Kurvenanpassung und den Simulationswerten ist gering. Lediglich in Bereichen
mit positiven Temperaturkoeffizienten sind Abweichungen zu erkennen. Dies ist auf eine leichte
Veränderung der Schwingungsmode mit weiter steigendem Siliziumdioxidanteil zurückzuführen.
Elektrode
Resonator
g
Silizium
Siliziumdioxid
Substrat
Abbildung 3.21: Schematische Darstellung eines Resonators im Bereich des Anregespaltes mit
Embedded-Oxide-Strukturen

3.3. Temperaturabhängigkeit der Frequenz und deren Kompensation 57
Temperaturkoeffizient erster Ordnung [ppm/°C]
5
0
−5
−10
−15
−20
−25
Simulationsdaten
Quadratische Kurvenanpassung
0 ppm/°C
−30
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
Verhältnis Siliziumdioxid zu Silizium R s
Abbildung 3.22: Temperaturkoeffizienten erster Ordnung der Resonanzfrequenz für Wheel-
Resonatoren mit verschiedenen Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnissen R s
Der Temperaturkoeffizient erster Ordnung der Resonanzfrequenz kann folglich in Abhängigkeit
des Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnisses angegeben werden:
β = ( −9, 17R 2 s + 34, 11R s − 27, 29 ) ppm
◦ C
. (3.69)
Aus Gleichung 3.69 wird das zur vollständigen Kompensation des Temperaturkoeffizienten erster
Ordnung nötige Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnis zu 1,164 bestimmt. Der für ein R s von
null ermittelte Wert von −27, 29 ppm/ ◦ C stimmt gut mit dem simulierten Temperaturgang eines
unkompensierten Resonators (−27, 91 ppm/ ◦ C) überein. Weitere Simulationen mit festem
Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnis zeigen zudem, dass die Kompensationswirkung unabhängig
von der Position des Siliziumdioxids in der äußeren Schwingungsmasse ist.
Neben den Temperaturkoeffizienten erster Ordnung werden aus den Simulationsdaten auch die
Temperaturkoeffizienten zweiter Ordnung (α) ermittelt. Diese sind in Abbildung 3.23 dargestellt.
Wie der Temperaturkoeffizient erster Ordnung sinkt auch der Temperaturkoeffizient zweiter Ordnung
mit steigender Temperatur. Für einen Resonator mit einem R s von 1,167 ergibt sich ein
Wert von −12, 85 ppb/ ◦ C 2 (ppb - parts per billion). Analog zu der Betrachtung des Temperaturkoeffizienten
erster Ordnung erfolgt für den Temperaturkoeffizienten zweiter Ordnung eine
quadratische Kurvenanpassung an die Simulationswerte:
α = ( −2, 87R 2 s + 7, 65R s − 17, 9 ) ppb
◦ C 2 . (3.70)
Abschließend erfolgt die Betrachtung von drei verschiedenen Wheel-Resonatoren mit einer geringen
relativen Frequenzänderung aufgrund der Temperatur. Diese sind in Abbildung 3.24 dargestellt.
Die Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnisse sind dabei so gewählt, dass alle Resonatoren
einen kleinen positiven Temperaturkoeffizienten erster Ordnung aufweisen. Dieser ist mit
0, 27 ppm/ ◦ C für einen Resonator mit einem R s von 1,168 am kleinsten und für einen Resonator
mit einem R s von 1, 191 mit 0, 50 ppm/ ◦ C am größten. Dennoch zeigt letzterer den kleinsten

58 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
Temperaturkoeffizient zweiter Ordnung [ppb/°C 2 ]
−12.5
−13
−13.5
−14
−14.5
−15
−15.5
−16
−16.5
−17
Simulationsdaten
Quadratische Kurvenanpassung
−17.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
Verhältnis Siliziumdioxid zu Silizium R s
Abbildung 3.23: Temperaturkoeffizienten zweiter Ordnung der Resonanzfrequenz für Wheel-
Resonatoren mit verschiedenen Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnissen R s
Temperaturgang der drei verglichenen Resonatoren auf. Dies kann auf den kleineren Temperaturkoeffizienten
zweiter Ordnung zurückgeführt werden. Dieser beträgt −12, 83 ppb/ ◦ C 2 . Für den
Resonator mit einem R s von 1,191 ergibt sich folglich eine maximale relative Frequenzabweichung
f r von −137 ppm für einen Temperaturbereich von −40 ◦ C bis 125 ◦ C.
Wie bereits zu Anfang des Abschnittes beschrieben, kann das Einfügen von Materialien in
den Resonator zu Verlusten an den Grenzflächen zwischen Resonator und eingebrachtem Material
und somit zu einer Degradation der Güte führen. Eine Reduktion der auftretenden Verluste
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−140
−160
R s
= 1,191
R s
= 1,209
R s
= 1,168
−180
−40 −20 0 20 40 60 80 100 120 140
Temperatur T [°C]
Abbildung 3.24: Relative Frequenzänderung f r in Abhängigkeit der Temperatur T für drei
mittels Embedded-Oxide-Konzept kompensierte Wheel-Resonatoren

3.3. Temperaturabhängigkeit der Frequenz und deren Kompensation 59
kann durch die Optimierung der Abscheideprozesse und somit der Reduktion der Grenzflächenzustände
erfolgen. Im Rahmen der Arbeit wird zusätzlich untersucht, wie sich mittels Embedded-
Oxide-Strukturen die Ankerverluste des Resonators reduzieren lassen. Dazu werden verschiedene
Anordnungen, bei denen Siliziumdioxid im Bereich der inneren Federn in den Resonator eingebaut
ist, untersucht. Abbildung 3.25 zeigt die zwei möglichen Positionen für das Einbringen von
Siliziumdioxid. Zwischen den einzelnen Aussparungen der inneren Federn, die im Folgenden als
Anchor-Cuts bezeichnet werden, sind ringförmig Gräben mit Siliziumdioxid angeordnet. Der Ring
zwischen dem innersten Anchor-Cut und dem mittleren Anchor-Cut wird in der Folge als innen
und der zwischen dem mittleren und dem äußeren Anchor-Cut als außen bezeichnet. Bei den
folgenden Betrachtungen werden dabei drei mögliche Konfigurationen untersucht:
• Siliziumdioxid nur im inneren Ring
• Siliziumdioxid nur im äußeren Ring
• Siliziumdioxid in beiden Ringen
Da eine direkte Simulation der Ankerverluste von komplexen Resonatoren nicht möglich ist, wird
das Verhältnis der kinetischen Energien R E zwischen Resonator und Anker betrachtet. Das heißt,
es wird anhand einer modalen FEM-Simulation zunächst die kinetische Energie des Resonators
E kin,reso und in der Folge die kinetische Energie im Bereich des Ankers E kin,anch bestimmt.
Anhand des Verhältnisses der kinetischen Energien lässt sich eine qualitative Aussage über die
zu erwartenden Ankerverluste treffen:
R E = E kin,reso
E kin,anch
. (3.71)
Insgesamt werden neun verschiedene Konfigurationen untersucht. Als Referenz (mit REF gekennzeichnet)
dient ein Resonator ohne Siliziumdioxidfüllung. Drei Resonatoren haben eine Siliziumdioxidfüllung
im äußeren Ring, mit Dicken von 0, 3 µm, 0, 6 µm und 0, 9 µm. Diese Resonatoren
Position für Oxidring außen
Position für Oxidring innen
Abbildung 3.25: Positionen im Bereich des Ankers des Wheel-Resonators an denen der Einfluss
von ”
embedded oxide“ auf die Resonanzfrequenz sowie das Verhältnis
der kinetischen Energien zwischen Resonator und Anker R E untersucht wird

60 3. Frequenzgenauigkeit von mikroelektromechanischen Resonatoren
werden in der Folge als D1, D2 und D3 bezeichnet. Die Resonatoren D4, D5 und D6 haben
dagegen Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich des inneren Rings. Die Dicken betragen wiederum
0, 3 µm, 0, 6 µm und 0, 9 µm. Zudem werden zwei Resonatoren (D7 und D8) untersucht, die
Embedded-Oxide-Strukturen sowohl im inneren als auch im äußeren Ring haben. Die Dicken des
Embedded-Oxide sind dort 0, 3 µm und 0, 9 µm.
Abbildung 3.26 zeigt die Ergebnisse für die mittels Simulation bestimmten Resonanzfrequenzen,
sowie für das Verhältnis der Kinetischen Energien R E für die neun verschiedenen Resonatoren.
Betrachtet man zunächst den Einfluss von Embedded-Oxide-Strukturen im äußeren Ring,
so stellt man eine Reduktion der Resonanzfrequenz von mehreren 10 kHz fest. Dies kann auf das
geringere Elastizitätsmodul des Siliziumdioxid zurück geführt werden. Das Verhältnis der kinetischen
Energien R E dagegen steigt an, was eine Reduktion der Ankerverluste vermuten lässt.
Das Verhältnis steigt dabei mit steigender Siliziumdioxiddicke an. Im Gegensatz dazu stehen
Resonatoren, die Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich des inneren Rings haben. Die Resonanzfrequenz
bleibt unverändert, wohingegen sich das Verhältnis der kinetischen Energien mit
steigender Siliziumdioxiddicke reduziert. Abschließend werden die Resonatoren betrachtet, bei
denen Siliziumdioxid sowohl am inneren als auch am äußeren Ring eingebaut ist. Im Vergleich
zum Referenzresonator sinkt die Resonanzfrequenz für die beiden untersuchten Resonatoren ab,
wobei eine größere Verschiebung für eine Dicke von 0, 9 µm festzustellen ist. Das Verhältnis der
kinetischen Energien ist anhand der Simulationsergebnisse von der Dicke verwendeten Siliziumdioxidschichten
unabhängig. Im Vergleich zum Referenzresonator haben die Resonatoren D7 und
D8 ein größeres, Im Vergleich zu den Resonatoren D1 mit D3 ein kleineres R E .
Resonanzfrequenz f [MHz]
13.36
13.35
13.34
13.33
13.32
x 10 7
3.8
3.6
3.4
3.2
3
Verhältnis der kinetischen Energien R E
13.31
REF D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 2.8
Abbildung 3.26: Simulierte Resonanzfrequenzen und Verhältnisse der kinetischen Energien für
Resonatoren mit Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich der inneren Federn

4 Experimentelle Vorgehensweise
4.1. Herstellung von mikroelektromechanischen Resonatoren
Die Performanz von MEM-Resonatoren ist von zahlreichen Parametern abhängig. Deren Optimierung
hat Auswirkungen auf den Prozessfluss zur Herstellung. Vor allem die Optimierung der
Güte des Resonators hin zu hohen Werten stellt mehrere Bedingungen an den Prozess. So muss
der Resonator, um Fluiddämpfung zu vermeiden, im Vakuum betrieben werden. Um die Komplexität
des Packaging gering zu halten ist es wünschenswert einen Vakuumverschluss direkt in
die Prozessierung zu integrieren. Einen Einfluss auf die Güte hat auch das verwendete Resonatormaterial.
Bei Polysilizium-basierten Resonatoren entstehen Reibungsverluste an Korngrenzen,
was zu einer geringeren Güte führt. Durch die Verwendung von monokristallinem Silizium werden
diese Reibungsverluste vermieden. Diese Aspekte werden bei dem folgenden Prozessfluss zur
Herstellung der Schwinger berücksichtigt.
Der vorgestellte experimentelle Prozessfluss orientiert sich an den in Abschnitt 3.2 vorgestellten
Herstellungsschritten. Als Technologieknoten wird eine 0, 5 µm-Technologie gewählt. Der Prozessfluss
lässt sich in drei Teile untergliedern:
• Bauelementdefinition
• Vakuumverschluss
• Passivierung und elektrische Kontaktierung
4.1.1. Bauelementdefinition
Ausgangspunkt für die Herstellung der Resonatoren ist ein SOI-Wafer, wie in Abbildung 4.1
dargestellt. Bei den in der Arbeit verwendeten Substraten hat die Bauelementebene, wie in Unterabschnitt
3.2.1 bereits angeführt, eine Dicke von 10 µm, die Siliziumdioxidschicht eine von
1 µm.
Als erster Prozessschritt wird eine 200 nm dicke Siliziumdioxidschicht mittels Low-Pressure-
Chemical-Vapor-Deposition (LPCVD) von Tetraethoxysilan (TEOS) hergestellt. Nach der Strukturierung
dient diese als Hartmaske für die folgende anisotrope Grabenätzung, die mittels DRIE
erfolgt und die Resonatorgeometrie definiert. Zudem werden Isolationsgräben, sowie Release-Holes
geformt. Abbildung 4.2 zeigt einen Querschnitt der Struktur in diesem Prozessstadium.
Für eine gute elektromechanische Kopplung (vergleiche Gleichung 2.21a) ist es nötig den Resonatorspaltabstand,
der nach der Ätzung 800 nm breit ist, zu verringern. Dies erfolgt mittels
eines Polysiliziumspacers: Zunächst wird eine Polysiliziumschicht mit einer Dicke von 200 nm
mittels LPCVD abgeschieden. Es folgt ein anisotroper Ätzschritt mittels RIE ohne Maske, mit
Stopp auf der darunterliegenden TEOS-Schicht. Da der Ätzprozess anisotrop erfolgt, bleibt ein
Polysiliziumspacer an den Seiten der Gräben stehen. Es ist dabei unabdingbar, dass die Polysiliziumschicht
am Boden der Gräben vollständig entfernt wird. Abschließend werden die geätzten
Gräben mittels LPCVD von TEOS gefüllt (vergleiche Abbildung 4.3).

62 4. Experimentelle Vorgehensweise
Siliziumdioxid (SiO 2 )
Bauelementebene (Si)
Substrat (Si)
Silizium
Siliziumdioxid
Abbildung 4.1: Silicon-on-Insulator Grundmaterial für die Herstellung von mikroelektromechanischen
Resonatoren
Isolationsgraben
Auslösegraben
Hartmaske
Silizium
Siliziumdioxid
Resonatorspalt
Abbildung 4.2: Standardprozess: Querschnitt nach der Grabenätzung mit Siliziumdioxid Hartmaske
mittels Deep-Reactive-Ion-Etching
Polysilizium Spacer
Silizium
Siliziumdioxid
Polysilizium
Abbildung 4.3: Standardprozess: Querschnitt nach dem Verfüllen der geätzten Gräben mit Siliziumdioxid

4.1. Herstellung von mikroelektromechanischen Resonatoren 63
4.1.2. Vakuumverschluss
Nach der Geometriedefinition folgt, wie schon zu Begin des Kapitels angesprochen, eine Prozessfolge,
die den Resonator vakuumverschließt. Zunächst folgt die Abscheidung einer 400 − 600 nm
dicken Polysiliziumschicht mittels LPCVD. Diese ist ein Bestandteil der späteren Hohlraumdecke.
Sie wird nasschemisch so strukturiert, dass sie den Resonator und die Isolationsgräben
jeweils vollständig überdeckt. Zudem werden kleine Gräben in die Schicht eingefügt, die später
einen Teil der Ätzkanäle zum Freiätzen des Resonators bilden. Eine dünne abgeschiedene Siliziumdioxidschicht,
wird zusammen mit der darunterliegenden TEOS-Schicht mittels RIE mit
anschließendem HF-Dip strukturiert. Eine Siliziumnitridschicht wird mittels LPCVD abgeschieden
und nasschemisch mit heißer Phosphorsäure strukturiert. Die Siliziumnitridschicht dient als
seitlicher Abschluss des Hohlraums. Zudem werden durch das Einfügen von Gräben in die Siliziumnitridschicht
mit einem Versatz zu den Polysiliziumgräben Ätzkanäle, die den späteren
Verschluss ermöglichen, hergestellt (vergleiche Abbildung 4.4). Der Resonator wird mittels nasschemischer
Ätze freigelegt, es bildet sich ein Hohlraum aus. Dieser wird mittels LPCVD von
Siliziumdioxid verschlossen. Da der Abscheidevorgang bei hohen Temperaturen (∼ 710 ◦ C) und
geringen Prozessdrücken (∼ 1 hPa) erfolgt, ist der Resonator nach dem Abscheidevorgang vakuumverschlossen.
Abschließend wird als Schutz eine dicke Polysiliziumschicht mittels LPCVD
abgeschieden und strukturiert. Abbildung 4.5 zeigt einen Querschnitt des Resonators nach diesem
Prozessschritt.
4.1.3. Passivierung und elektrische Kontaktierung
Nach dem Vakuumverschluss des Hohlraums wird eine 3 µm dicke Borphosphorsilikatglass (BPSG)-
Schicht mittels Athmospheric-Pressure-Chemical-Vapor-Deposition (APCVD) abgeschieden. Die
Planarisierung erfolgt durch Rapid-Thermal-Processing (RTP) und anschließendem chemischmechanischem
Polieren (CMP). Kontaktlöcher werden anisotrop geätzt und mit Titannitrid
(TiN), Titan (Ti) und Wolfram (W) verfüllt. Abschließend werden die Leiterbahnen und Kontaktpads
aus Aluminium (Al) hergestellt. Abbildung 4.6 zeigt den Querschnitt des fertig gestellten
Resonators.
Optional können weitere Abscheide- und Strukturierungsschritte zur Passivierung oder für eine
zweite Metalllage erfolgen.
Siliziumnitridverschluss
Ätzkanal
Silizium
Siliziumdioxid
Polysilizium
Siliziumnitrid
Abbildung 4.4: Standardprozess: Querschnitt nach dem Strukturieren der Siliziumnitridschicht
für den Verschluss und der Formung der Ätzkanäle

64 4. Experimentelle Vorgehensweise
Hohlraum
Silizium
Siliziumdioxid
Polysilizium
Siliziumnitrid
Abbildung 4.5: Standardprozess: Querschnitt nach dem Freiätzen des Resonators und Vakuumverschließen
des Hohlraums
4.2. Der Oxide-Fill-Prozess zur Herstellung von
Embedded-Oxide-Strukturen
Für verschiedene Anwendungen ist es notwendig mehrere Materialien als Resonatorgrundmaterial
zu kombinieren. So erfolgt die passive Temperaturkompensation, die in Unterabschnitt 3.3.3 vorgestellt
wird, durch die Kombination von Silizium mit Siliziumdioxid als Resonatormaterial. Da
Siliziumdioxid in dem vorgestellten Standardprozess als Opferschicht dient, muss die Prozessfolge
modifiziert werden. Der hier beschriebene Prozess zeigt eine Möglichkeit zur Integration von Siliziumdioxid
in den Resonator auf. Während die Prozessblöcke Vakuumverschluss und Passivierung
und elektrische Kontaktierung mit dem Standardprozess übereinstimmen, ist der Prozessblock
Bauelementedefinition modifiziert.
Ausgangspunkt für die Prozessierung ist ein SOI-Wafer (vergleiche Abbildung 4.1). Analog
zum Standardprozess wird zunächst eine Hartmaske aus Siliziumdioxid hergestellt. Die nachfolgende
Grabenätzung mittels DRIE definiert neben der Resonatorgeometrie, den Isolations- und
Auslösegräben auch Gräben für den Einschluss von Siliziumdioxid in den Resonator (siehe Abbildung
4.7). Es folgt die Abscheidung einer 200 nm dicken Polysiliziumschicht mittels LPCVD.
Aus dieser werden zum einen die Spacer zur Reduktion des Resonatorspaltabstandes hergestellt.
Zum Anderen dient sie als Schutzschicht gegen eine Anätzung des Siliziumdioxideinschlusses
Resonator
Elektroden
Isolation
Silizium
Siliziumdioxid
Polysilizium
Siliziumnitrid
BPSG
TiN/ Ti/ W
Aluminium
Abbildung 4.6: Standardprozess: Querschnitt des fertig prozessierten Resonators mit einer Metallebene

4.2. Der Oxide-Fill-Prozess zur Herstellung von Embedded-Oxide-Strukturen 65
Isolationsgraben
Späterer Oxidgraben
Hartmaske
Silizium
Siliziumdioxid
Resonatorspalt
Abbildung 4.7: Oxide-Fill-Prozess: Querschnitt nach der Grabenätzung mit Siliziumdioxid
Hartmaske mittels deep reactive ion etching
während des Freiätzens des Resonators von unten. Eine konforme Schichtabscheidung am Boden
der Gräben ist deshalb zwingend erforderlich. Des Weiteren verbindet die Polysiliziumschicht die
beiden durch den Graben getrennten Resonatorhälften elektrisch. Nach der Polysiliziumabscheidung
werden die geätzten Gräben durch einen LPCVD TEOS Prozessschritt mit Siliziumdioxid
verfüllt. Ein CMP-Schritt mit Stopp auf Polysilizium planarisiert die Oberfläche und sorgt für
einen definierten Abschluss der Siliziumdioxidgräben nach oben. (Abbildung 4.8). Auf die planarisierte
Oberfläche wird eine dicke Polysiliziumschicht (400 nm) mittels LPCVD abgeschieden. Die
Strukturierung der Schicht erfolgt nasschemisch und formt einen Verschluss des Silziumdioxidgrabens
nach oben, während der Anregespalt, die Isolationsgräben und Release-Holes freigelegt
werden. Aus diesen wird das Siliziumdioxid nasschemisch entfernt. Es folgt eine anisotrope Ätzung
von Polysilizium ohne Maske mit Stopp auf der Siliziumdioxid-Hartmaske. Analog zum Standardprozess
werden hierdurch die Polysiliziumspacer hergestellt. Abbildung 4.9 zeigt den Querschnitt
nach den beschriebenen Prozessschritten. Abschließend werden die Gräben, analog zum Standardprozess,
mittels LPCVD von TEOS verfüllt. Die Prozessfolgen für den Vakuumverschluss,
die Passivierung und die elektrische Kontaktierung entsprechen, wie zu Beginn des Abschnitts
bereits angesprochen, denen des Standardprozesses.
Silizium
Siliziumdioxid
Polysilizium
Abbildung 4.8: Oxide-Fill-Prozess: Querschnitt nach dem Verfüllen der geätzten Gräben mit
Siliziumdioxid

66 4. Experimentelle Vorgehensweise
Verbleibendes
Siliziumdioxid
Schutzschicht
Polysilizium
Schutzschicht
Silizium
Siliziumdioxid
Polysilizium
Spacer
Abbildung 4.9: Oxide-Fill-Prozess: Querschnitt nach anisotropen Ätzen zur Herstellung der
Polysilizium Spacer
4.3. Messaufbau zur Charakterisierung mikroelektromechanischer
Resonatoren
Messaufbau
Die elektrische Charakterisierung von mikroelektromechanischen Resonatoren kann über verschiedene
Messverfahren erfolgen. Am weitesten verbreitet ist die Charakterisierung von Resonatoren
mittels eines Netzwerkanalysators. Aus den gemessenen Daten für die Transmission und die Reflexion
kann auf die elektrischen Ersatzparameter des Resonators zurückgerechnet werden. Zu
den Stärken der Messung mit einem Netzwerkanalysator zählen die hohe Messgeschwindigkeit,
sowie der große Frequenzbereich, der mit den Geräten abgedeckt werden kann.
Im Rahmen der Arbeit wird jedoch auf die Messung mit einem Impedanzanalysator (Agilent
4294A Impedance-Analyzer) zurückgegriffen. Diese Vorgehensweise bietet gegenüber der Charakterisierung
mittels Netzwerkanalysator zahlreiche Vorteile:
• Die minimalen und die maximalen Impedanzwerte lassen sich ohne Umformung direkt aus
der Messung ablesen.
• Die Messgenauigkeit für sehr geringe und sehr hohe Impedanzwerte ist bei der Impedanzmessung
besser.
• Die Impedanzmessung kann ohne Anpassung auch für sehr hohe Impedanzen, wie sie bei
MEM-Resonatoren typisch sind, erfolgen.
• Eine vollständige Kompensation von externen parasitären Elementen ist möglich.
Die Charakterisierung der Resonatoren erfolgt mit dem in Abbildung 4.10 dargestellten Messaufbau.
Die vier Anschlüsse des Agilent 4294A sind auf zwei Nadeln geführt, wobei der ”
high voltage“
mit dem ”
high current“ Port und der ”
low voltage“ mit dem ”
low current“ Port kurzgeschlossen
ist. Die Kontaktierung des Bauelements erfolgt über Kelvin-Nadeln. Die Charakterisierung erfolgt
dabei on-Wafer, das heißt die Resonatoren werden direkt auf der Halbleiterscheibe ohne vorherige
Vereinzelung gemessen. Über den treibenden ( ”
high“) Port, der mit der Aktuatorelektrode des
Resonators verbunden ist, wird die mit einer Wechselspannung überlagerte Gleichspannung angelegt.
Der 4294A Impedance-Analyzer erlaubt dabei das Anlegen einer Spannung von maximal

4.3. Messaufbau zur Charakterisierung mikroelektromechanischer Resonatoren 67
Agilent 4294A
low
high
Abbildung 4.10: Messaufbau zur Charakterisierung von MEM-Resonatoren
40V über eine geräteinterne Spannungsquelle. Als zweite Elektrode des Messaufbaus dient der
Resonator selbst.
Parasitäre Elemente und Bestimmung der Güte
Bei der Charakterisierung der Bauelemente müssen die parasitären Effekte der Zuleitungen und
Nadeln berücksichtigt werden. Abbildung 4.11 zeigt das vollständige Schaltbild des nicht kompensierten
Messaufbaus. Die Zuleitungsparasitäten, die durch die konzentrierten Bauelemente R c ,
L c , G c und C c modelliert sind, lassen sich für den Betrieb mittels Kalibrierung eliminieren. Im
Gegensatz dazu stehen die parasitären Elemente des Resonators selbst. Über die Schichten des
Vakuumverschlusses und über das Siliziumsubstrat erfolgt eine parasitäre kapazitive Kopplung
zwischen der Anregeelektrode und dem Resonator selbst. Diese können bei der Messung nicht
direkt von der statischen Kapazität des Anregespaltes des Resonators C 0 unterschieden werden.
In den praktischen Betrachtungen wird deshalb mit C 0 die Summe aus statischer Kapazität des
Resonators und den parasitären Kapazitäten über Vakuumverschluss und Substrat bezeichnet.
Die Bestimmung der Güte des Resonators in Serienresonanz erfolgt wie von Nawaz [9] beschrieben
über die 3dB-Leistungsbandbreite. Das heißt, es werden die beiden Frequenzen (f H , f L ) nahe
der Serienresonanz f s bestimmt, bei denen der Betrag der Impedanz um den Faktor √ 2 größer
R c L c
G c C c
L m
R m
R p
C m
C 0
C p
Messaufbau
Resonator
Abbildung 4.11: Vollständiges Ersatzschaltbild des Resonators bei der Charakterisierung

68 4. Experimentelle Vorgehensweise
ist, als in Serienresonanz:
|Z|
∣ = √ 2 |Z|
∣
fH ,f L fs
. (4.1)
Aus dem Quotienten der Resonanzfrequenz und der Differenz der beiden ermittelten Frequenzen
f L und f H lässt sich die Güte bestimmen:
Q =
Messgenauigkeit
f s
f H − f L
. (4.2)
Wie alle Messungen so ist auch die Impedanzmessung zur Charakterisierung der Resonatoren
fehlerbehaftet. Als mögliche Fehler wurden die folgenden Quellen identifiziert:
• Direkter Messfehler der Frequenz und Impedanz durch begrenzte Messgenauigkeit
• Direkter Messfehler der Frequenz durch begrenzte Auflösung der Messung
• Fehler durch Temperaturschwankungen
• Fehler durch Schwankungen der Bias-Spannung
Die Messgenauigkeit des 4294A hinsichtlich der Frequenz ist von Agilent mit 1mHz spezifiziert. Da
die Resonatoren Resonanzfrequenzen im Bereich einiger MHz besitzen, ist dieser Fehler praktisch
vernachlässigbar. Auch ein Fehler in der Impedanzbestimmung hat keinen direkten Einfluss auf
die Bestimmung der Resonanzfrequenz, da der Gradient des Betrages der Impedanz nahe der
Serienresonanz bei hochgütigen Resonatoren sehr hoch ist. Ein deutlicher Messfehler kann durch
die begrenzte Auflösung der Messung entstehen. Bei der Charakterisierung von Bauelementen
mittels des Agilent 4294A können maximal 801 Messpunkte spezifiziert werden. In Abhängigkeit
des Messbereichs f span kann der maximale Frequenzfehler f err berechnet werden:
f err = 1 f span
2 801
. (4.3)
In Tabelle 4.1 sind die Messbereiche, sowie die resultierenden Frequenzfehler für die verschiedenen
im Rahmen der Arbeit charakterisierten Bauelemente aufgeführt.
Ein weiterer Frequenzfehler kann aufgrund der Temperatur auftreten. Für die Charakterisierung
ist der Wafer auf einem kühl- beziehungsweise heizbaren Chuck befestigt. Dieser kann die
Tabelle 4.1: Ungefähre Resonanzfrequenz f s , Messbereiche f span , absoluter f err und relativer
Frequenzfehler f err,r aufgrund der begrenzten Auflösung der Messung für die verschiedenen
in der Arbeit charakterisierten Resonatoren
f s [ M H z] f span [ k H z] f err [H z] f err,r [ ppm]
CC01 1,6 10 6,24 4,03
CC26 1,8 10 6,24 3,57
CC27 3,5 10 6,24 1,78
13MHz Wheel 13,2 5 3,12 0,24

4.3. Messaufbau zur Charakterisierung mikroelektromechanischer Resonatoren 69
Temperatur auf 0, 1 ◦ C genau regeln. Zudem ist eine maximale Drift der Temperatur über die
Fläche des Chuck von 0, 8 ◦ C spezifiziert. Es ergibt sich folglich ein maximaler Gesamtfehler
der Temperatur von 0, 9 ◦ C. Dieser kann, wie in Unterabschnitt 3.3.1 beschrieben, Einfluss auf
die Resonanzfrequenz haben. Nimmt man eine maximale temperaturbedingte Frequenzdrift von
−30 ppm/ ◦ C und eine symmetrische Verteilung des Temperaturfehlers um den Zielwert an, so ist
der temperaturbedingte Fehler maximal 13.5 ppm.
Ein weitere Fehler kann aufgrund von Schwankungen der Bias-Spannungen auftreten. Wie in
Abschnitt 2.1 beschrieben ist die Resonanzfrequenz der Resonatoren bei elektrostatischer Anregung
von dem angelegten Gleichspannungsanteil abhängig. Somit führen Schwankungen der
Bias-Spannung direkt zu einem Fehler in der Frequenz. Im Gegensatz zu den bereits betrachteten
Fehlern kann hier aber keine allgemeine Betrachtung erfolgen, da die elektrische Federsteifigkeit
verschiedener Resonatorgeometrien unterschiedlich ist. Ein Spannungsfehler von wenigen mV hat
jedoch für die in er Arbeit verwendeten CC-Beams lediglich einen Frequenzfehler von 5 − 10 ppm
zur Folge.

5 Messergebnisse
5.1. Untersuchungen zu Prozessstreuungen und deren Kompensation
5.1.1. Frequenzstreuung von unkompensierten mikroelektromechanischen
Resonatoren
Im Rahmen der experimentellen Untersuchungen werden zunächst die Schwankungen der Resonanzfrequenz
aufgrund von Prozessstreuungen betrachtet. Zunächst wird dabei auf die Variation
der Resonanzfrequenz bei beidseitig eingespannten Balken und später auf Frequenzschwankungen
des Wheel-Resonators eingegangen. Die Messungen erfolgen an fünf Wafer desselben Loses.
Der Prozessfluss ist für alle fünf Scheiben fast identisch und unterscheidet sich lediglich in einen
Ausheilschritt vor der Lithographie zur Geometriedefinition. Die ersten beiden Wafer (#1 und
#2) werden für 30 Minuten bei 1000 ◦ C, die Wafer #3 und #4 bei 1100 ◦ C und Wafer #5 bei
1150 ◦ C jeweils für 120 Minuten ausgeheilt. Der Ausheilvorgang findet in allen Fällen in inerter
Atmosphäre statt.
Bei der Charakterisierung werden sowohl die statischen Kapazitäten als auch die Resonanzfrequenzen
der Resonatoren bestimmt. Die Messung der Impedanzkurven für die Bestimmung der
Resonanzfrequenzen erfolgt bei drei verschiedenen Bias-Spannungen. Dadurch lässt sich mittels
Kurvenanpassung die mechanische Resonanzfrequenz der Resonatoren bestimmen.
Für die Betrachtung der Variationen über die Wafer ist es notwendig ein Koordinatensystem
für den Ort des Resonators auf dem Wafer zu definieren. Das in der Arbeit verwendete Koordinatensystem
ist in Abbildung 5.1 dargestellt. Der Wafer ist in 8 x- und 11 y-Segmente unterteilt.
Relativ zum Notch ist die Zählrichtung für die x-Koordinate von rechts nach links und für die
y-Koordinate von oben nach unten, wobei mit zwei der erste vollständige Chip in y-Richtung auf
der Scheibe bezeichnet ist. Ein Koordinaten-Tupel bezeichnet dabei jeweils den Ort des entsprechenden
Chips der alle Resonatoren und sonstigen Bauelemente des Maskensatzes beinhaltet. Bei
der Charakterisierung der CC-Beams werden 50, bei der Charakterisierung des Wheel-Resonators
49 Resonatoren pro Wafer gemessen.
Der beidseitig eingespannte Balken
Für die Untersuchung der Frequenzschwankungen der CC-Beams werden zunächst die Variationen
des CC27 auf allen fünf Wafern vergleichend betrachtet, Anschließend erfolgt eine ausführliche
Untersuchung der Variationen der statischen Kapazität und der mechanischen Resonanzfrequenz
des CC27 auf den Wafern #1 und #4. Die Schwankungen des CC01 und des CC26 werden
beispielhaft anhand der Messergebnisse auf Wafer #4 diskutiert.
Abbildung 5.2 zeigt die Verteilung der mechanischen Resonanzfrequenzen des CC27 auf allen
fünf Scheiben mittels eines Box-Plots. Die ermittelten Resonanzfrequenzen liegen zwischen
3, 62 MHz und 3, 72 MHz. Alle Wafer zeigen eine vergleichbare Streuung der Resonanzfrequenzen,
die im Bereich von 25000 ppm liegt. Lediglich auf Wafer #2 treten mit etwa 19000 ppm etwas
geringere Schwankungen auf. Die rot gekennzeichneten arithmetischen Mittelwerte der Resonanz-

72 5. Messergebnisse
y-Koordniate
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Notch
8
7
6 5 4 3
x-Koordinate
2
1
Abbildung 5.1: Aufteilung des Wafers nach x- und y-Koordinaten
frequenz schwanken zwischen den einzelnen Wafern von 3, 667 MHz bis 3, 686 MHz. Die für die
einzelnen Scheiben ermittelten mittleren, maximalen und minimalen Resonanzfrequenzen sind
nach der ausführlichen Betrachtung der Variationen des CC27 auf den Wafern #1 und #4 in
Tabelle 5.1 aufgeführt. Zudem sind in der Tabelle die Standardabweichungen sowie die absoluten
und relativen Spannweiten der Eigenfrequenzen des CC27 für die einzelnen Wafer zu finden. Bildet
man das arithmetische Mittel der mittleren Resonanzfrequenzen über die fünf charakterisierten
Wafer so ergibt sich ein Wert von 3, 676 MHz. Dieser ist etwas geringer als die mittels analytischer
Rechnung ermittelte Resonanzfrequenz. Unter der Annahme eines Polysiliziumspacers der
Dicke 200 nm und einem Elastizitätsmodul von 169 GPa ist diese unter Berücksichtigung des
3.72
Resonanzfrequenz f [MHz]
3.7
3.68
3.66
3.64
3.62
1 2 3 4 5
Wafer Nummer
Abbildung 5.2: Box-Plot der Verteilung der mechanischen Resonanzfrequenz des CC27 auf den
Wafern #1 bis #5

5.1. Untersuchungen zu Prozessstreuungen und deren Kompensation 73
Mask-Sizing 3, 883 MHz. Die kleinere gemessene Resonanzfrequenz deutet darauf hin, dass das
Elastizitätsmodul der abgeschiedenen Polysiliziumschicht kleiner als 169 GPa ist. Dies stimmt
mit den Untersuchungen von Maier-Schneider überein, der für Polysiliziumschichten dieser Dicken
deutlich geringere Elastizitätsmodule bestimmt hat [83]. Da neben dem Elastizitätsmodul
auch weitere Resonatorparameter, wie beispielsweise die Dicke des Polysiliziumspacers schwanken
können, ist eine direkte Berechnung des Elastizitätsmoduls der abgeschiedenen Schicht aus den
Messwerten nicht möglich.
Die Gesamtschwankung der Frequenz über alle Scheiben, das heißt die Differenz zwischen der
kleinsten und größten gemessenen Resonanzfrequenz im Verhältnis zum arithmetischen Mittel
über alle Scheiben beträgt etwa 29000 ppm. Dieser Wert ist kleiner als aufgrund der Berechnungen
in Unterabschnitt 3.2.2 erwartet wird. Nimmt man an, dass die Schwankungen der Resonanzfrequenz
lediglich auf Variationen der Geometrie basieren, lässt sich ein ∆ X von ±34, 6 nm
abschätzen. Dies entspricht einer Streuung der Lithographie zur Grabendefinition und der darauf
folgenden Strukturierung von ±69, 2 nm. Dieser Wert ist ebenfalls geringer als bei den theoretischen
Betrachtungen angenommen wird.
Eine genauere Betrachtung der Prozessstreuungen und deren Auswirkungen auf die Resonanzfrequenz
und die statische Kapazität erfolgt zunächst anhand des Wafer #1. Abbildung 5.3 zeigt
die gemessene statische Kapazität C 0 zwischen dem Resonator und der Aktuatorelektrode für
den CC27. Die Kapazität besteht, wie in Abschnitt 4.3 bereits beschreiben, aus einer Parallelschaltung
der statischen Kapazität des Anregespaltes mit den parasitären Kapazitäten. Diese
entstehen durch die kapazitive Kopplung zwischen Elektrode und Resonator über das Substrat,
die Isolationsspalte und die Schichten des Vakuumverschlusses. Die gemessenen Kapazitätswerte
10
62
y−Koordinate
9
8
7
6
5
4
61
60
59
58
Statische Kapazität C 0
[fF]
3
57
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
Abbildung 5.3: Wafermap der Verteilung der Statischen Kapazität C 0 des CC27 auf Wafer #1

74 5. Messergebnisse
zeigen eine radiale Verteilung und liegen im Bereich zwischen 56 fF und 62 fF . In der Wafermitte
werden dabei höhere Werte der Kapazität gemessen, was dort auf einen geringeren Spaltabstand
hindeutet. Die gemessenen Kapazitätswerte sind deutlich höher als die durch analytische Rechnung
bestimmten Werte. Letztere liegen bei einem angenommenen Spaltabstand von 400 nm bei
22 fF . Eine direkte Berechnung des Spaltabstandes kann aufgrund der Parasitäten nicht erfolgen.
Nimmt man jedoch die parasitären Kapazitäten für alle CC27 auf einem Wafer als gleich an und
setzt für den Anregespalt eine nominelle Breite von 400 nm an, so kann aus der Differenz zwischen
maximaler und minimaler gemessener statischer Kapazität eine Schwankung der Spaltbreite von
etwa ±53 nm abgeschätzt werden.
Neben der Streuung der statischen Kapazität wird die Verteilung der mechanischen Resonanz
über den Wafer betrachtet. Abbildung 5.4 zeigt die relative Frequenzänderung der mechanischen
Resonanzfrequenz im Bezug auf deren arithmetischen Mittelwert für den CC27 auf Wafer #1.
Wie die Schwankungen der statischen Kapazität ist auch die Streuung der mechanischen Resonanzfrequenz
radial verteilt. Die Resonanzfrequenzen sind dabei in der Wafermitte am höchsten
und fallen zum Rand des Wafers hin ab. Dies bestätigt die Annahme eines geringeren Spaltabstandes
in der Mitte des Wafers wie er bei der Diskussion der Ergebnisse der statischen Kapazität
des CC27 angeführt wird. Ein kleinerer Spaltabstand kann auf positive Geometrieschwankungen
zurückgeführt werden. Anhand der Ergebnisse der FEM-Simulationen in Unterabschnitt 3.2.2
bewirken diese eine Verschiebung der Resonanzfrequenz hin zu höheren Werten. Das arithmetische
Mittel der mechanischen Resonanzfrequenz ist mit 3, 686 MHz geringfügig größer als der
arithmetische Mittelwert über alle fünf Wafer. Die relative Streuung der mechanischen Resonanzfrequenz
ist 25290 ppm. Vergleicht man diesen Wert mit den in Unterabschnitt 3.2.2 gezeigten
y−Koordinate
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
10000
5000
0
−5000
−10000
Relativer Frequenzunterschied zum Mittelwert f r
[ppm]
Abbildung 5.4: Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des Mittelwerts
f r des CC27 auf Wafer #1

5.1. Untersuchungen zu Prozessstreuungen und deren Kompensation 75
Ergebnissen der FEM-Simulationen und nimmt lediglich eine Änderung der Geometrie aufgrund
von Prozessstreuungen an, so kann ∆ X zu 60, 4 nm bestimmt werden, was eine Lithographie- und
Strukturierungsschwankung von ±60, 4 nm bedeutet. Dieser Wert ist im Vergleich zu den aus den
Kapazitätsmessungen abgeschätzten Spaltvariationen etwas größer, jedoch kleiner als aufgrund
der Ergebnisse der analytischen Berechnungen und der FEM-Simulationen erwartet wird.
Die Variationen der statische Kapazität und der mechanischen Resonanzfrequenz des CC27
werden auch auf Wafer #4 untersucht. Abbildung 5.5 zeigt die entsprechende Verteilung der
gemessenen statischen Kapazitäten des CC27. Wie auf Wafer #1 erkennt man eine kontinuierliche
Verteilung der statischen Kapazität. Diese ist im Gegensatz zu Wafer #1 auf Wafer #4 nicht radial
ausgeprägt. Die höchsten Kapazitäten sind im Bereich niedriger x-Koordinaten und großer y-
Koordinaten, also im Bereich des Notch, zu finden. Die absoluten Werte der statischen Kapazität
sind mit Werten zwischen 58, 25 fF und 62, 75 fF im Vergleich zu den Resonatoren auf Wafer
#1 geringfügig größer. Die Differenz zwischen maximalem und minimalem Kapazitätswert ist
dagegen geringer. Aus der maximalen und minimalen Kapazität lässt sich wiederum unter der
Annahme, dass die parasitären Kapazitäten für alle CC27 auf dem Wafer den gleichen Betrag
haben, die Variation des Abstandes abschätzen. Es ergibt sich bei einem nominellen Spalt von
400 nm eine Variation des Spaltbreite von ±40 nm. Dieser Wert ist im Vergleich zu den auf Wafer
#1 anhand der statischen Kapazität ermittelten Schwankungen um etwa ±13 nm geringer.
Neben der Variation der statischen Kapazität wird die Variation der mechanischen Resonanzfrequenz
betrachtet. In Abbildung 5.6 ist die relative Frequenzvariation in Bezug auf das arithmetische
Mittel für den CC27 auf Wafer # 4 dargestellt. Man erkennt wie bei der statischen
Kapazität eine Drift der Resonanzfrequenz von hohen zu niedrigen y-Koordinaten. Dabei werden
nahe dem Notch die höchsten Resonanzfrequenzen gemessen. Das arithmetische Mittel der Reso-
y−Koordinate
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
62.5
62
61.5
61
60.5
60
59.5
59
58.5
Statische Kapazität C 0
[fF]
Abbildung 5.5: Wafermap der Verteilung der statischen Kapazität C 0 des CC27 auf Wafer #4

76 5. Messergebnisse
y−Koordinate
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
10000
5000
0
−5000
−10000
Relativer Frequenzunterschied zum Mittelwert f r
[ppm]
Abbildung 5.6: Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des Mittelwerts
f r des CC27 auf Wafer #4
nanzfrequenz ist mit 3, 676 MHz um etwa 10 kHz kleiner als auf Wafer #1. Die relative Variation
der Resonanzfrequenz ist mit 24995 ppm nahezu gleich. Wie für die CC27 auf Wafer #1 kann für
die Resonatoren auf Wafer #4 eine Abschätzung der Geometrievariation erfolgen, wenn diese als
einzige Prozessstreuung angenommen wird. Es ergibt sich ein Wert für ∆ X von 59, 6 nm.
Im Gegensatz zu Wafer #1 werden auf Wafer #4 neben dem CC27 auch der CC01 und der
CC26 charakterisiert. Abbildung 5.7 zeigt eine Wafermap der Verteilung der statischen Kapazität
des CC01. Im Vergleich zum CC27 werden aufgrund der größeren Länge des CC01 größere
Kapazitätswerte gemessen. Diese liegen zwischen 72, 5 fF und 80, 5 fF . Die anhand der analytischen
Rechnung erwarteten Kapazitätswerte sind, wie beim CC27 auch, deutlich geringer. Unter
Annahme eines Spaltabstandes von 400 nm ergibt die analytische Rechnung für den CC01 einen
Tabelle 5.1: Mittelwerte, Standardabweichungen, Minima, Maxima, absolute und relative
Spannweite der Resonanzfrequenzen des CC27 auf den Wafern #1 bis #5
Wafer 1 Wafer 2 Wafer 3 Wafer 4 Wafer 5
Mittelwert [MHz] 3,6860878 3,6824121 3,6666376 3,6761330 3,6711259
Standardabweichung [kHz] 24,950 18,9894 21,324420 20,8884 23,8480
Minimum [MHz] 3,6334441 3,6441373 3,6199860 3,6256147 3,6267748
Maximum [MHz] 3,7266643 3,7141640 3,7093112 3,7174951 3,7219108
Spannweite absolut [kHz] 93,2201 70,0267 89,3252 91,8834 95,1360
Spannweite relativ [ppm] 25290 19017 24362 24995 25915

5.1. Untersuchungen zu Prozessstreuungen und deren Kompensation 77
y−Koordinate
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
80
79
78
77
76
75
74
73
Statische Kapazität C 0
[fF]
Abbildung 5.7: Wafermap der Verteilung der Statischen Kapazität C 0 des CC01 auf Wafer #4
Kapazitätswert von 33 fF . Der Betrag der parasitären Kapazitäten, also die Differenz zwischen
gemessenen und analytisch bestimmten Kapazitätswerten ist im Vergleich zum CC27 größer. Dies
kann auf die größeren parasitären Kapazitäten aufgrund der größeren Elektrodengrundfläche und
den somit größeren Kapazitäten zwischen Elektrode und Substrat beziehungsweise Elektrode und
Vakuumverschluss zurückgeführt werden. Die Verteilung der statischen Kapazität des CC01 zeigt
dabei über den Wafer einen mit der Verteilung des CC27 vergleichbaren Verlauf. Wiederum sind
die Kapazitätswerte nahe dem Notch, also bei hohen y-Koordinaten größer und fallen zu hohen
x- und kleinen y-Koordinaten hin ab. Aus den maximalen und minimalen Kapazitätswerten kann
die Variation des Spaltes zu ±40 nm abgeschätzt werden. Dies entspricht dem Wert der für den
CC27 ermittelt wird.
Abbildung 5.8 zeigt die Verteilung relativen Frequenzvariationen der mechanischen Resonanzfrequenz
des CC01 auf Wafer #4. Die Verteilung ist wie in den bisher betrachteten Fällen kontinuierlich
und lässt sich mit der der Resonanzfrequenz des CC27 auf demselben Wafer vergleichen.
Der arithmetische Mittelwert der mechanischen Resonanzfrequenz des CC01 beträgt 1, 683 MHz.
Die absolute Spannweite der Frequenz beträgt 51, 97 kHz, was einer relativen Frequenzvariation
von 30880 ppm entspricht. Dieser Wert ist deutlich größer als die Variation des CC27 auf demselben
Wafer und entspricht in etwa dem Wert der aufgrund der theoretischen Betrachtungen
erwartet wird. Aus der Differenz zwischen maximaler und minimaler mechanischer Resonanzfrequenz
wird die maximale Geometrievariation ∆ X ermittelt. Dabei wird wiederum vorausgesetzt,
dass die Variation der geometrischen Abmessungen aufgrund von Lithographie- und Strukturierungsschwankungen
die einzige Quelle für Frequenzvariationen ist. Die Geometrievariation ist mit
72 nm deutlich größer als beim CC27. Die große Spannweite ist auf einzelne Resonatoren mit einer

78 5. Messergebnisse
y−Koordinate
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
10000
5000
0
−5000
−10000
−15000
Relativer Frequenzunterschied zum Mittelwert f r
[ppm]
Abbildung 5.8: Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des Mittelwerts
f r des CC01 auf Wafer #4
besonders hohen Resonanzfrequenz zurückzuführen. Eine ausführliche Betrachtung dazu ist am
Ende des Unterabschnittes zu finden.
Als dritte CC-Beam Variante wird der CC26 betrachtet. Dabei wird wiederum auf die Streuungen
der statischen Kapazität und der mechanischen Resonanzfrequenz eingegangen. Die Untersuchungen
finden an Wafer #4 statt. Abbildung 5.9 zeigt eine Wafermap der gemessenen
Kapazitätswerte des CC26 auf Wafer #4. Aufgrund der im Vergleich zum CC01 und CC26 größeren
Länge werden beim CC26 höhere Kapazitätswerte gemessen. Der minimale Kapazitätswert ist
84 fF der maximale 92 fF . Die Verteilung der Kapazitätswerte über den Wafer ist mit denen des
CC01 und des CC27 auf demselben Wafer vergleichbar. Die höchsten Kapazitätswerte finden sich
wiederum im Bereich nahe dem Notch. Aus der Differenz zwischen maximaler und minimaler Kapazität
lässt sich die Variation der Anregespaltbreite zu ±40 nm abschätzen. Dieser Wert stimmt
gut mit den bereits gezeigten Abschätzungen der Spaltvariationen anhand der statischen Kapazitäten
des CC01 und CC27 überein. Bei der Abschätzung der Spaltvariation werden wie in den
vorangegangenen Abschätzungen die parasitären Kapazitäten für alle CC26 auf demselben Wafer
als gleich angenommen. Die nominelle Spaltbreite beträgt wiederum 400 nm. Betrachtet man die
Werte für die parasitären Kapazitäten für den CC26 so sind diese im Vergleich zum CC01 und
CC27 größer. Dies ist wiederum auf die größere Elektrodengrundfläche und die demnach erhöhte
kapazitive Kopplung der Elektrode zum Substrat und den Schichten des Vakuumverschlusses
zurückzuführen.
Neben der Schwankung der statischen Kapazität des CC26 wird die relative Variation der
mechanischen Resonanzfrequenz betrachtet. Abbildung 5.10 zeigt die entsprechende Verteilung
für den CC26 auf Wafer #4. Die Verteilung weist eine weitgehende Übereinstimmung mit den

5.1. Untersuchungen zu Prozessstreuungen und deren Kompensation 79
y−Koordinate
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
92
91
90
89
88
87
86
85
84
Statische Kapazität C 0
[fF]
Abbildung 5.9: Wafermap der Verteilung der Statischen Kapazität C 0 des CC26 auf Wafer #4
Verteilungen der Resonanzfrequenzen des CC01 und CC27 auf Wafer #4 auf. Zudem ist eine
Übereinstimmung zur Verteilung der statischen Kapazität zu erkennen. Wie bei den vorher betrachteten
Resonatoren sind die Maxima der mechanische Resonanzfrequenz nahe dem Notch zu
finden. Hin zu kleinen y-Koordinaten ist ein deutlicher Abfall der Resonanzfrequenz zu erkennen.
Die relative Spannweite der mechanischen Resonanzfrequenz beträgt 16370 ppm. Dies ist deutlich
geringer als beim CC01 und CC26. Dieses Ergebnis ist in guter Übereinstimmung mit den anhand
der Simulationsergebnisse erwarteten Gegebenheiten. Der arithmetische Mittelwert der Eigenfrequenz
beträgt 1, 743 MHz und ist damit, wie erwartet, etwas größer als der des CC01. Bei der
Abschätzung der Geometrievariation anhand der Spannweite der Resonanzfrequenzen ergibt sich
ein Wert von 59, 2 nm. Die Differenz zu der anhand der Resonanzfrequenzen des CC01 ermittelten
Geometrievariation ist mit 0, 4 nm vernachlässigbar klein.
Abschließend werden die Streuungen der Resonanzfrequenz für alle drei CC-Beams auf Wafer
#4 vergleichend betrachtet. Abbildung 5.11 zeigt die relativen Frequenzvariationen des CC01,
CC26 und CC27. Die Resonanzfrequenzwerte sind dabei aufsteigend nach deren Größe sortiert.
Betrachtet man zunächst die Resonanzfrequenzen des CC26 so erkennt man, dass ein Großteil
der Resonanzfrequenzen eine maximale Streuung von ±5500 ppm aufweist. Lediglich ein Wert hat
eine deutlich geringere Resonanzfrequenz. Legt man eine relative Spannweite von 11000 ppm für
die Abschätzung der Variation der Geometrie zugrunde ergibt sich ein ∆ X von 39, 8 nm, was in
sehr guter Übereinstimmung mit der Abschätzung anhand der statischen Kapazität ist. Im Vergleich
dazu ist die Verteilung der relativen Resonanzfrequenzen beim CC01 und CC27 deutlich
größer. Eine einfache Reduktion wie beim CC26, kann deshalb hier nicht erfolgen. Man erkennt
jedoch dass die zwei größten für den CC01 gemessenen Resonanzfrequenzen einen deutlichen

80 5. Messergebnisse
y−Koordinate
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
5000
0
−5000
−10000
Relativer Frequenzunterschied zum Mittelwert f r
[ppm]
Abbildung 5.10: Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des
Mittelwerts f r des CC26 auf Wafer #4
Abstand von mehr als 5000 ppm zu den sonstigen gemessenen Resonanzfrequenzen aufweisen.
Dies erklärt die für den CC01 bestimmte große relative Spannweite. Betrachtet man diese beiden
Messwerte als Ausreißer ist die Variation der Resonanzfrequenz für den CC01 und den CC27 nahezu
gleich. Dies stimmt mit den Vorhersagen anhand der analytischen und simulationsgestützten
Betrachtungen überein. Den beiden Ausreißern können Koordinaten-Tupel nahe dem Waferrand
Relative Frequenzvariation f r
[ppm]
20000
15000
10000
5000
0
−5000
−10000
−15000
CC01
CC26
CC27
−20000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Laufende Nummer
Abbildung 5.11: Relative Variation der Resonanzfrequenzen der drei untersuchten CC-Beams,
CC01, CC26 und CC27 auf Wafer #4 sortiert nach Größe

5.1. Untersuchungen zu Prozessstreuungen und deren Kompensation 81
zugeordnet werden.
Wheel-Resonatoren
Auf die Untersuchung der Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die statische Kapazität und
die mechanische Resonanzfrequenz von CC-Beams erfolgt nun die gleiche Betrachtung für Wheel-
Resonatoren.
Zunächst wird auf die Verteilung der Resonanzfrequenzen der Resonatoren auf fünf Wafern
desselben Loses eingegangen. Die Wafer sind dabei dieselben die für die Untersuchungen an den
CC-Beams verwendet werden. Abbildung 5.12 zeigt einen Box-Plot der Verteilung der mechanischen
Resonanzfrequenzen des Wheel-Resonators auf den verschiedenen Scheiben. Die dargestellten
Eigenfrequenzen liegen in einem Frequenzbereich von 13, 139 MHz und 13, 266 MHz. Die
absolute Spannweite der Resonanzfrequenz ist folglich 127 kHz. Unter Verwendung des Mittelwerts
der Resonanzfrequenzen über alle Wafer, welcher 13, 201 MHz beträgt, ergibt sich eine relative
Spannweite von 9611 ppm. Dies ist deutlich größer als anhand der FEM-Simulationsergebnisse
zu erwarten ist und wird später in der Arbeit ausführlich diskutiert. Im Gegensatz zum CC27
sind zudem Unterschiede in den Spannweiten zwischen den einzelnen Wafern erkennbar. Wafer
#1 weist mit 8747 ppm ein Maximum und Wafer #4 mit 5522 ppm ein Minimum der relativen
Spannweite der mechanischen Resonanzfrequenz auf. Die Wheel-Resonatoren auf Wafer #3 und
Wafer #5 weisen mit 5857 ppm und 5967 ppm ähnliche Spannweiten wie die Resonatoren auf Wafer
#4 auf. Die relative Spannweite der Wheel-Resonatoren auf Wafer #2 ist mit 6660 ppm etwas
größer als aufgrund der Simulationsergebnisse erwartet wird. Die Unterschiede in den Spannweiten
spiegeln sich auch in den ermittelten Standardabweichungen der Verteilung wieder. Während
die Verteilung der Wheel-Resonatoren auf Wafer #1 eine Standardabweichung von 29, 76 kHz
hat ist diese für Wheel-Resonatoren auf Wafer #4 mit 19, 93 kHz um fast 10 kHz kleiner. Die
arithmetischen Mittelwerte der Eigenfrequenzen liegen zwischen 13, 187 MHz und 13, 219 MHz,
wobei der minimale Wert für Wafer #3 und der maximale Wert für Wafer #1 ermittelt wird.
13.26
Resonanzfrequenz f [MHz]
13.24
13.22
13.2
13.18
13.16
13.14
1 2 3 4 5
Wafer Nummer
Abbildung 5.12: Box-Plot der Verteilung der mechanischen Resonanzfrequenz des Wheel-
Resonator auf den Wafern #1 bis #5

82 5. Messergebnisse
Die aus den Messungen und Verteilungen ermittelten Werte für das arithmetischen Mittel der
Resonanzfrequenz, die Standardabweichungen, Minima, Maxima und die absoluten und relativen
Spannweiten sind in Tabelle 5.2 zusammengefasst.
Eine genauere Betrachtung der Schwankungen des Wheel-Resonator erfolgt zunächst anhand
der statischen Kapazitäten der Wheel-Resonatoren auf Wafer #1. Abbildung 5.13 zeigt die entsprechende
Wafermap der Verteilung der statischen Kapazitäten des Wheel-Resonator auf Wafer
#1. Wie die Verteilung der statischen Kapazität des CC27 auf Wafer #1 zeigt die Verteilung
der statischen Kapazität des Wheel-Resonators einen radialen Verlauf. Relativ zum CC27 ist die
Verteilung jedoch leicht verschoben. Dies hat zwei Ursachen. Da die auf dem Wafer gefertigten
Chips aufgrund der vielen verschiedenen enthaltenen Resonatoren vergleichsweise groß und die
CC-Beams und Wheel-Resonatoren nicht direkt nebeneinander angeordnet sind ist ein deutlicher
Positionsoffset vorhanden. Des Weiteren erfolgt die Charakterisierung der Wheel-Resonatoren
aufgrund messtechnischer Gegebenheiten teilweise an anderen Chips als die der CC-Beams. So
werden mehrere Wheel-Resonatoren mit einer y-Koordinate von 11 charakterisiert, während CC-
Beams an dieser Position bei der Messung unberücksichtigt bleiben.
Die gemessenen Kapazitätswerte für den Wheel-Resonator liegen in einem Bereich von 390 fF
und 460 fF und sind damit deutlich größer als der analytisch bestimmte Kapazitätswert des Anregespaltes.
Dieser beträgt bei einem Spaltabstand von 400 nm etwa 170 fF . Anhand der Wafermap
ist zu erkennen, dass die gemessenen Kapazitätswerte in der Mitte des Wafers höher sind und
zum Rand hin abfallen. Ein besonders starker Abfall der Kapazität ist dabei für Resonatoren mit
kleinen x- und y-Koordinaten erkennbar. Die Verteilung der Kapazitätswerte lässt, wie bereits
bei den Untersuchungen am CC27, darauf schließen, das die Breite des Anregespaltes in der Wa-
y−Koordinate
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
460
450
440
430
420
410
400
390
Statische Kapazität C 0
[fF]
Abbildung 5.13: Wafermap der Verteilung der Statischen Kapazität C 0 des Wheel-Resonator
auf Wafer #1

5.1. Untersuchungen zu Prozessstreuungen und deren Kompensation 83
fermitte kleiner als am Waferrand ist. Aus der Spannweite der statischen Kapazität kann unter
der Annahme, dass die parasitären Kapazitäten für alle gleichartigen Resonatoren auf einem Wafer
denselben Betrag haben, eine Variation des Spaltabstandes von ±91 nm abgeschätzt werden.
Dieser Wert ist deutlich größer als der anhand der statischen Kapazitäten des CC27 abgeschätzte
Wert.
Neben der statischen Kapazität wird auch für den Wheel-Resonator die Verteilung der mechanischen
Resonanzfrequenz betrachtet. Diese ist in Abbildung 5.14 mittels einer Wafermap dargestellt.
Es ist wiederum eine radiale Verteilung, wie bei den Resonanzfrequenzen des CC27 auf
Wafer #1, zu erkennen. Der arithmetische Mittelwert der Resonanzfrequenz ist mit 13, 219 MHz
um etwa 18 kHz größer als das arithmetische Mittel der Resonanzfrequenz über alle untersuchten
Wafer. Die bereits angesprochene Spannweite ist mit 8747 ppm deutlich höher als aufgrund der
theoretischen Betrachtungen zu erwarten ist. Eine direkte Abschätzung der Geometrievariation
und der Schwankung der Polyiliziumspacerdicke kann aufgrund der deutlich unterschiedlichen
Sensitivitäten der Resonanzfrequenz bezüglich dieser beiden Variationen nicht erfolgen. Betrachtet
man jedoch eine reine Variation der Dicke des Polysiliziumspacers als obere und eine reine
Geometrievariation als untere Schranke so liegen die Variationen des Spaltabstandes zwischen
±120 nm und ±87, 5 nm.
Abschließend werden die Auswirkungen von Prozessstreuungen auf den Wheel-Resonator auf
Wafer #4 betrachtet. Zunächst wird wie in den vorangegangenen Abschnitten auf die statische
Kapazität eingegangen.
Eine Wafermap, die die Verteilung der Werte der statischen Kapazität der Wheel-Resonatoren
auf Wafer #4 zeigt, ist in Abbildung 5.15 dargestellt. Die Verteilung ist mit der der Wheel-
y−Koordinate
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
3000
2000
1000
0
−1000
−2000
−3000
−4000
−5000
Relativer Frequenzunterschied zum Mittelwert f r
[ppm]
Abbildung 5.14: Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des
Mittelwerts f r des Wheel-Resonator auf Wafer #1

84 5. Messergebnisse
y−Koordinate
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
420
415
410
405
400
395
390
385
380
375
Statische Kapazität C 0
[fF]
Abbildung 5.15: Wafermap der Verteilung der Statischen Kapazität C 0 des Wheel-Resonator
auf Wafer #4
Resonatoren auf Wafer #1 vergleichbar, jedoch sind die gemessenen minimalen und maximalen
Kapazitäten unterschiedlich. Der minimale Kapazitätswert ist mit 375 fF um etwa 15 fF und
der maximale Kapazitätswert mit 420 fF um etwa 40 fF kleiner als die entsprechenden Kapazitätswerte
der Wheel-Resonatoren auf Wafer #1. Die kleineren Kapazitätswerte können zwei
mögliche Ursachen haben. Einerseits kann der Spaltabstand der Resonatoren auf Wafer #4 geringfügig
größer sein, was zu einer reduzierten Kapazität führt. Andererseits hat eine mögliche
Reduktion der parasitären Kapazitäten ein Absinken der Gesamtkapazität zur Folge. Aus der
Spannweite der Verteilung der statischen Kapazität lässt sich eine Variation des Spaltabstandes
von ±52 nm abschätzen. Im Vergleich zu den am Wheel-Resonator abgeschätzten Variationen der
Spaltbreite auf Wafer #1 ist dieser Wert deutlich geringer, im Vergleich zu den Abschätzungen
für den CC26 und den CC27 auf Wafer #4 jedoch deutlich größer.
Darüber hinaus erfolgt eine Betrachtung der Resonanzfrequenzen der Wheel-Resonatoren auf
Wafer #4. Die Verteilung dieser ist in Abbildung 5.16 dargestellt. Es zeigt sich wiederum eine
verschobene radiale Verteilung, die weitgehend mit der der statischen Kapazität der Wheel-
Resonatoren auf Wafer # 4 übereinstimmt. Der arithmetische Mittelwert der Resonanzfrequenz
ist mit 13, 203 MHz um etwa 2 kHz größer als das arithmetische Mittel der Resonanzfrequenz über
alle Scheiben. Die relative Spannweite ist mit 5522 ppm im Vergleich zur Spannweite der Resonanzfrequenz
der Wheel-Resonatoren auf Wafer #1 deutlich geringer. Anhand der Spannweite
und unter Verwendung der Sensitivitäten der Resonanzfrequenz hinsichtlich Geometrievariation
und Dickenschwankungen des Polysiliziumspacers lassen sich mit ±72, 77 nm eine obere und
mit ±55, 25 nm eine untere Schranke für die Variationen der Spaltbreite abschätzen. Dies ist im
Vergleich zu den Abschätzungen für den Wheel-Resonator auf Wafer #1 deutlich geringer, im

5.1. Untersuchungen zu Prozessstreuungen und deren Kompensation 85
y−Koordinate
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x−Koordinate
1500
1000
500
0
−500
−1000
−1500
−2000
−2500
−3000
−3500
Relativer Frequenzunterschied zum Mittelwert f r
[ppm]
Abbildung 5.16: Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des
Mittelwerts f r des Wheel-Resonator auf Wafer #4
Vergleich zu den Ergebnissen der CC-Beams auf Wafer #4 jedoch deutlich größer.
5.1.2. Der Einfluß lokaler Dotierung auf die Resonanzfrequenz von
Wheel-Resonatoren
Im Folgenden werden die Untersuchungsergebnisse zu den Auswirkungen einer lokalen Ionenimplantation
auf die Resonanzfrequenz von Wheel-Resonatoren dargestellt. Die verwendeten Resonatoren
sind dabei hinsichtlich Design und Prozessierung gleich und unterscheiden sich nur in der
Dotierung mit entweder Bor oder Arsen. Um eine höhere Vergleichbarkeit zwischen den Resonatoren
zu erreichen sind diese bei gleicher Dotierspezies auf demselben Wafer direkt nebeneinander
angeordnet. Um Prozessstreuungen als möglichen Grund für eventuelle Frequenzunterschiede
Tabelle 5.2: Mittelwerte, Standabweichungen, Minima, Maxima, absolute und relative Spannweite
der Resonanzfrequenzen des Wheel-Resonators auf den Wafern #1 bis #5
Wafer 1 Wafer 2 Wafer 3 Wafer 4 Wafer 5
Mittelwert [MHz] 13,21903 13,20359 13,18783 13,20281 13,19266
Standardabweichung [kHz] 29,761 24,665 21,160 19,929 22,219
Minimum [MHz] 13,149984 13,16295 13,14067 13,15395 13,13874
Maximum [MHz] 13,26561 13,25088 13,21791 13,22686 13,21746
Spannweite absolut [kHz] 115,630 87,929 77,241 72,906 78,724
Spannweite relativ [ppm] 8747 6660 5857 5522 5967

86 5. Messergebnisse
zwischen den Resonatoren auszuschließen, werden zunächst fünf identische nicht dotierte direkt
nebeneinander auf dem Wafer platzierte Resonatoren charakterisiert. Die gemessenen Resonanzfrequenzen
zeigen eine maximale relative Frequenzvariation von 20 ppm.
Zunächst werden die Ergebnisse zu den Auswirkungen einer Dotierung mit Bor präsentiert und
diskutiert. Die zweistufige Ionenimplantation und der anschließende Ausheilvorgang erfolgen mit
den in Unterabschnitt 3.2.4 angeführten Parametern. Diese sind hier nochmals wiederholt. Der
erste Inonenimplantationsschritt erfolgt mit einer Dosis von 1 · 10 16 cm −2 und einer Beschleunigungsenergie
von 95 keV , die zweite mit einer Dosis von 5 · 10 15 cm −2 und einer Beschleunigungsernergie
von 120 keV . Auf die beiden Ionenimplantationsschritte folgt ein Ausheilvorgang
bei 1100 ◦ C für 120 Minuten. Abbildung 5.17 zeigt den Betrag der Impedanz in Abhängigkeit der
Frequenz für fünf Wheel-Resonatoren. Einer der Resonatoren ist als Referenz undotiert, während
vier an verschiedenen Stellen lokal dotiert sind. Die einzelnen Lokalitäten, die dotiert werden,
sind in Unterabschnitt 3.2.4 bereits angeführt und werden hier nochmals wiederholt:
• Im Bereich der Support Beams - in der Folge als Beam bezeichnet
• Im Bereich der Inneren Federn - in der Folge als Feder bezeichnet
• Im Bereich der äußeren Schwingungsmasse - in der Folge als Masse bezeichnet
• In allen drei vorher angeführten Bereichen - in der Folge als Alles bezeichnet
Das Dotieren mit Bor hat für alle Resonatoren eine positive Frequenzverschiebung zur Folge.
Diese ist bei Beam-dotierten Resonatoren mit 328 ppm am geringsten und bei Alles-dotierten
Resonatoren mit 2348 ppm am größten. Feder- und Masse-dotierte Resonatoren liegen mit einer
relativen Frequenzänderung von 878 ppm und 1735 ppm dazwischen. Aus den Messergebnissen
wird neben der Resonanzfrequenz die Güte der Resonatoren ermittelt. Diese liegt für alle Resonatoren
im Bereich von 70000. Eine systematische Variation der Güte aufgrund der Dotierung ist
Betrag der Impedanz |Z| [Ω]
10 4
Undotiert
Beam
Feder
Masse
Alles
10
5 Frequenz f [MHz]
13.205 13.21 13.215 13.22 13.225 13.23 13.235 13.24 13.245 13.25
Abbildung 5.17: Betrag der Impedanz über die Frequenz für vier verschieden mit Bor dotierte
und einen undotierten Wheel-Resonator bei einer Temperatur von 15 ◦ C und
einer Bias-Spannung von 40V

5.2. Untersuchungen zur Temperaturdrift und derer Kompensation 87
nicht erkennbar. Die Werte für die Güten sowie die Resonanzfrequenzen der Resonatoren sind in
Tabelle 5.3 zusammengefasst.
Neben der Dotierung der Resonatoren mit Bor wird der Einfluss von Arsen auf die elastischen
Eigenschaften und somit die Eigenfrequenz der Resonatoren untersucht. Die Parameter
für die zweistufige Ionenimplantation, sowie den folgenden Ausheilschritt sind bereits in Unterabschnitt
3.2.4 angeführt und hier nochmals wiederholt. Die Implantationsdosen sind 1, 2·10 16 cm −2
und 1, 18 · 10 16 cm −2 , die Beschleunigungsenergien sind 80 keV und 150 keV . Die anschließende
Ausheilung erfolgt bei 1150 ◦ C für 120 Minuten. Die Messkurven für den Betrag der Impedanz
über die Frequenz sind in Abbildung 5.18 dargestellt. Im Gegensatz zu Bor bewirkt eine Dotierung
mit Arsen eine relative Frequenzänderung hin zu kleineren Werten. Die Frequenzänderung
ist wie bei der Dotierung mit Bor bei Beam-dotierten Resonatoren am geringsten und bei Allesdotierten
Resonatoren am größten. Die dazugehörigen Verschiebungen der Resonanzfrequenz sind
−111 ppm und −2595 ppm. Eine Bestimmung der Güte zeigt wie bei der Dotierung mit Bor keine
systematische Abhängigkeit von der Dotierung. Im Vergleich zu den vorherigen Güten sind diese
etwas geringer. Auf mögliche Ursachen für die geringere Güte wird im Rahmen der Bewertung
der Messergebnisse in Kapitel 6 näher eingegangen.
5.2. Untersuchungen zur Temperaturdrift und derer Kompensation
Neben der experimentellen Betrachtung der Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz
von MEM-Resonatoren und der Kompensation dieser mittels Dotieren erfolgt die
Untersuchung der Temperaturdrift der Resonanzfrequenz der Schwinger. Dabei werden zunächst
wiederum drei verschiedene CC-Beams und anschließend der Wheel-Resonator betrachtet.
Betrag der Impedanz |Z| [Ω]
10 4
Undotiert
Beam
Feder
Masse
Alles
10
5 Frequenz f [MHz]
13.155 13.16 13.165 13.17 13.175 13.18 13.185 13.19 13.195 13.2 13.205
Abbildung 5.18: Betrag der Impedanz über die Frequenz für vier verschieden mit Arsen dotierte
und einen undotierten Wheel-Resonator bei einer Temperatur von 15 ◦ C und
einer Bias-Spannung von 40V

88 5. Messergebnisse
Tabelle 5.3: Resonanzfrequenz (f 0 ), Güte(Q) und relative Frequenzverschiebung im Bezug auf
einen undotierten Resonator (f r ) bei einer Temperatur von 15 ◦ C und einer Bias-
Spannung von 40V
Mit Bor dotierte Resonatoren Mit Arsen dotierte Resonatoren
f 0 [MHz] f r [ppm] Q f 0 [MHz] f r [ppm] Q
undotiert 13.2162 73018 13.2023 68053
Beam 13.2205 328 75546 13.2008 -111 70217
Feder 13.2278 878 70735 13.1956 -509 70189
Masse 13.2391 1735 73144 13.1775 -1882 67925
Alles 13.2472 2348 70464 13.1680 -2595 72352
5.2.1. Temperaturgang von unkompensierten Resonatoren
Der beidseitig eingespannte Balken
Die experimentelle Betrachtung des Temperaturgangs von unkompensierten CC-Beams erfolgt
analog zu der Betrachtung der Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz
anhand des CC01, CC26 und CC27. Abbildung 5.19 zeigt die gemessenen Resonanzfrequenzen
der drei CC-Beams, sowie quadratische Kurvenanpassungen der Form
f r = α (T − T 0 ) 2 + β (T − T 0 ) (5.1)
an die Messwerte. Dabei bezeichnet T 0 die Referenztemperatur, die in diesem Fall 15 ◦ C beträgt
und β und α die Temperaturkoeffizienten erster und zweiter Ordnung. Die Charakterisierung
der Resonatoren erfolgt in einem Temperaturbereich von 15 ◦ C bis 125 ◦ C in 10 ◦ C-
Temperaturschritten.
2000
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
0
−2000
−4000
−6000
−8000
−10000
−12000 CC01
−14000 CC26
CC27
−16000 Linearer Fit CC26
−18000
Linearer Fit CC27
Linearer Fit CC01
−20000
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
Temperatur T [°C]
Abbildung 5.19: Gemessene Resonanzfrequenzen des CC01, CC26 und CC27 im Temperaturbereich
von 15 ◦ C bis 125 ◦ C und lineare Kurvenanpassungen an die Messwerte

5.2. Untersuchungen zur Temperaturdrift und derer Kompensation 89
Den größten Temperaturgang weist der CC01 auf. Die Resonanzfrequenz sinkt aufgrund der
Temperaturerhöhung um 115 ◦ C um etwa 20000 ppm. Der Temperaturgang zeigt dabei ein deutlich
nichtlineares Verhalten. Dies spiegelt sich auch in den extrahierten Temperaturkoeffizienten
wider. Der Temperaturkoeffizient erster Ordnung ist für den CC01 mit −6, 64 ppm/ ◦ C deutlich
geringer als aufgrund der analytischen Betrachtungen sowie der Simulationsergebnisse zu erwarten
ist. Im Gegensatz dazu ist der Temperaturkoeffizient zweiter Ordnung mit 1542 ppb/ ◦ C 2 etwa
um den Faktor 30 größer als aufgrund des analytischen Models erwartet wird.
Auch für den CC26 zeigt sich ein deutlich nichtlineares Verhalten. Die Temperaturkoeffizienten
erster und zweiter Ordnung β und α haben die Werte −4, 88 ppm/ ◦ C und −700 ppb/ ◦ C 2 , was für
den oben genannten Temperaturbereich zu einer Gesamttemperaturdrift der Resonanzfrequenz
von etwa −8000 ppm führt.
Lediglich der Temperaturkoeffizienten erster Ordnung der Resonanzfrequenz des CC27 liegt
mit −27, 53 ppm/ ◦ C im aufgrund der Simulationsergebnisse zu erwartenden Bereich. Der Temperaturkoeffizient
zweiter Ordnung ist mit −340 ppb/ ◦ C 2 jedoch ebenfalls höher als erwartet.
Betrachtet man den Temperaturgang der Resonanzfrequenz für die CC-Beams unter dem Gesichtpunkt
der geometrischen Abmessungen erkennt man, dass ein größeres Länge-zu-Breite-
Verhältnis, wie es der CC01 im Vergleich zum CC26 und CC27 aufweist, zu einer größeren Frequenzänderung
aufgrund der Temperatur führt. Des Weiteren ist festzustellen, dass mit dem CC27
der CC-Beam mit der kürzesten Länge und Breite den geringsten Temperaturgang aufweist.
Wheel-Resonatoren
Neben den drei beidseitig eingespannten Balken wird der Temperaturgang der Resonanzfrequenz
eines unkompensierten Wheel-Resonators betrachtet. Die Ergebnisse der Messungen, die wiederum
in einem Temperaturbereich von 15 ◦ C bis 125 ◦ C in 10 ◦ C-Temperaturschritten erfolgt,
sind ebenso wie die quadratische Kurvenanpassung an die Messwerte in Abbildung 5.20 dargestellt.
Im Gegensatz zu den untersuchten CC-Beams ist eine deutliche lineare Abhängigkeit der
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
0
−500
−1000
−1500
−2000
−2500
−3000
Gemessene Resonanzfrequenzen
Quadratische Kurvenanpassung
−3500
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Temperatur T [°C]
Abbildung 5.20: Gemessene Resonanzfrequenzen des Wheel-Resonator im Temperaturbereich
von 15 ◦ C bis 125 ◦ C und lineare Kurvenanpassung an die Messwerte

90 5. Messergebnisse
Resonanzfrequenz von der Temperatur erkennbar. Dies spiegelt sich in den extrahierten Temperaturkoeffizienten
wider. Der Temperaturkoeffizient erster Ordnung β ist mit −26, 57 ppm/ ◦ C nur
geringfügig kleiner als der anhand der FEM-Simulationen erwartete Wert von −27, 91 ppm/ ◦ C.
Der Temperaturkoeffizient zweiter Ordnung β nimmt mit 19, 85 ppb/ ◦ C 2 einen nur geringen Wert
an, der deutlich kleiner als der im anayltischen Modell anegegebene Wert von −52, 8 ppb/ ◦ C 2 ist.
Die Gesamttemperaturdirft innerhalb des gemessenen Temperaturbereiches ist 3165 ppm. Für die
Betrachtung des später anvisierten Temperaturbereiches kann eine Abschätzung der Temperaturdrift
anhand der extrahierten Temperaturkoeffizienten der Resonanzfrequenz erfolgen. Für einen
Temperaturbereich von −40 ppm bis +125 ppm ergibt sich hier ein Wert von etwa 4500 ppm.
5.2.2. Wheel-Resonatoren mit Embedded-Oxide-Strukturen
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der experimentellen Untersuchungen an mittels Siliziumdioxid
temperaturkompensierten Resonatoren dargestellt.
Untersuchung auf Aufladungseffekte
Bei der Verwendung verschiedener Materialien kann es zu Aufladungseffekten an den Grenzflächen
kommen. Zudem können bei der Abscheidung von Dielektrika zusätzlich Ladungen innerhalb des
Isolators generiert werden. Da diese die elektrischen Eigenschaften der Resonatoren verändern
sind diese zu minimieren. So kann zum Beispiel die angelegte Gleichspannung durch eventuelle
Ladungen partiell kompensiert oder erhöht werden. Um mögliche Ladungen innerhalb der
mit Siliziumdioxid gefüllten Resonatoren zu untersuchen, werden die Resonatoren bei insgesamt
vier verschiedenen Gleichspannungen charakterisiert, wobei sich jeweils zwei Spannungen lediglich
durch das Vorzeichen unterscheiden. Da die aus der Spannung resultierende elektrostatische
Kraft quadratisch von der angelegten Spannung abhängig ist, darf im Fall keiner Ladung kein
Unterschied zwischen den Impedanzkurven zwischen zwei Messungen mit betragsmäßig gleicher
Bias-Spannung aber mit unterschiedlichem Vorzeichen bestehen. Abbildung 5.21 zeigt die gemessenen
Betragsimpedanzkurven für Bias-Spannungen von 35V und −35V beziehungsweise 40V und
−40V . Man erkennt dass zwischen den Messkurven für betragsmäßig gleiche Bias-Spannungen
lediglich ein sehr geringer Unterschied besteht. Dies lässt auf eine sehr geringe Anzahl an Ladungen
im Dielektrikum, sowie an dessen Grenzfläche schließen. Weitere hier nicht im Einzelnen
dargestellte Messungen, bei denen die Resonatoren von niedrigen zu hohen und anschließend von
hohen zu niedrigen Frequenzen hin charakterisiert werden, zeigen keine Hysterese. Dies bestätigt
das Ergebnis der hier dargestellten Messung hinsichtlich der Konzentration der Ladung.
Oberflächenanalytische Untersuchung mittels Rasterelektronenmikroskop
Vor der weiteren elektrischen Charakterisierung der mittels Embedded-Oxide-Strukturen kompensierten
Resonatoren erfolgt eine oberflächenanalytische Untersuchung mittels Rasterelektronenmikroskop
(REM). In Abbildung 5.22 ist ein Wheel-Resonator zu zwei verschiedenen Prozesszeitpunkten
in Aufsicht dargestellt. Abbildung 5.22(a) zeigt den Resonator nach der Geometriedefinition
im Bereich der Support-Beams und der äußeren Schwingungsmasse. Neben der
Grundgeometrie und den Release-Holes erkennt man deutlich die Gräben der späteren Embedded-
Oxide-Strukturen. Diese werden, wie bereits in Abschnitt 4.2 erläutert, zu einem späteren Prozesszeitpunkt
mit Siliziumdioxid verfüllt. Abbildung 5.22(b) zeigt den Resonator nach der Strukturierung
des Polysiliziumspacers. Zu diesem Prozesszeitpunkt ist der aus Polysilizium bestehende
Verschluss der Gräben sowohl nach unten als auch noch oben bereits fertig gestellt. Auf der

5.2. Untersuchungen zur Temperaturdrift und derer Kompensation 91
Betrag der Impedanz |Z| [kΩ]
50
40
30
20
u DC
= 35V
u DC
= −35V
u DC
= 40V
u DC
= −40V
10
12.702 12.7025 12.703 12.7035 12.704 12.7045 12.705 12.7055 12.706 12.7065 12.707
Frequenz f [MHz]
Abbildung 5.21: Betrag der Impedanz über die Frequenz im Bereich der Resonanzfrequenz für
mittels Embedded-Oxide-Konzept kompensierte Wheel-Resonatoren bei Bias-
Spannungen mit verschiedenen Beträgen und Polaritäten
REM-Aufnahme sind deutlich die strukturierten Polysiliziumverschlüsse, sowie die dazwischen
liegenden Release-Holes zu erkennen. Ein direkter Zugriff auf die Release-Holes ist für die folgende
Prozessierung zwingend erforderlich. Besteht kein direkter Zugriff ist ein späteres Freiätzen
Gräben für Embedded-Oxide
(a)
Polysiliziumverschluss
(b)
Abbildung 5.22: Rasterleketronenmikroskop-Aufnahmen des Wheel-Resonators zu verschiedenen
Zeitpunkten im Herstellungsprozess: (a) Nach der Ätzung der Gräben zur
Geometriedefiniton und für Embedded-Oxide, (b) nach der Strukturierung des
Polysiliziumspacer

92 5. Messergebnisse
des Resonators vom Substrat nicht möglich.
Im Folgenden wird auf mehrere Rasterelektronenmikroskopaufnahmen, die einen Querschnitt
des Resonators im Bereich der äußeren Masse zeigen, eingegangen. Alle Querschnitte wurden für
die Aufnahmen mittels FIB präpariert. Zudem erfolgt an allen Proben eine sogenannte Dekorationsätze,
die die verschiedenen Schichten unter dem Rasterelektronenmikroskop besser sichtbar
macht.
Abbildung 5.23 zeigt einen vollständigen Querschnitt des Wheel-Resonators mit Embedded-
Oxide-Strukturen im Bereich der äußeren Masse und der Anregeelektrode. Innerhalb des Resonators
sind deutlich die mit Siliziumdioxid verfüllten Gräben des Embedded-Oxide erkennbar.
Die Siliziumdioxidfüllung weist dabei kleine Hohlräume, sogenannte Voids auf. Auf diese wird bei
später dargestellten Querschnitten näher eingegangen. Neben den Resonatoren ist die ringförmige
Aktuatorelektrode erkennbar. Der Spalt zwischen Elektrode und Resonator (Anregespalt), also
der Graben links der Elektrode ist wie konzipiert deutlich schmaler als der Isolationsgraben rechts
der Elektrode, der diese von der umliegenden Bauelementebene isoliert.
Zwei weitere REM-Aufnahmen des Querschnitts des Resonators im Bereich der äußeren Masse
sind in Abbildung 5.24 dargestellt. Dabei zeigt Abbildung 5.24(a) eine Nahaufnahme von
drei vollständigen Embedded-Oxide-Strukturen verschiedener Breite und Abbildung 5.24(b) zwei
Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich des unteren Polysiliziumverschlusses. In beiden Bildern
ist die Schichtfolge innerhalb der Embedded-Oxide-Strukturen klar erkennbar, wobei eine Kennzeichnung
der Schichten in Abbildung 5.24(b) erfolgt. An das monokristalline Silizium des Resonators
schließt sich eine etwa 280 nm dicke Polysiliziumschicht an. Darauf folgt die zur Kompensation
der Temperaturdrift abgeschiedene Siliziumdioxidschicht. Diese hat im Fall des schmaleren
Spaltes eine Dicke von 150 nm und im Fall des breiteren Spaltes eine Dicke von 425 nm. Folglich
ist die Gesamtsiliziumdioxiddicke eines schmalen Spaltes 300 nm und die eines breiten Spaltes
850 nm. In Abbildung 5.24(a) sind zudem deutlich die Voids innerhalb der Embedded-Oxide-
Struktur zu erkennen. Diese sind bei den gezeigten breiteren Spalten stärker ausgeprägt, als bei
den schmaleren Gräben. Man erkennt zudem die leicht konkave Form der geätzten Gräben, die
durch die abgeschiedenen Schichten deutlich verstärkt wird. Die konkave Form des geätzten Spal-
Embedded-Oxide
Aktuatorelektrode
Abbildung 5.23: Rasterelektronenmikroskopaufnahme eines Querschnitts durch einen Wheel-
Resonator mit Embedded-Oxide-Strukturen

5.2. Untersuchungen zur Temperaturdrift und derer Kompensation 93
Polysiliziumverschluss
Siliziumdioxid
Polysilizium
Embedded-Oxide
(a)
Polysiliziumverschluss
(b)
Abbildung 5.24: Rasterleketronenmikroskop-Aufnahmen zweier Querschnitte eines Wheel-
Resonators mit Embedded-Oxide-Strukturen (a) Übersicht über mehrere
Gräben (b) Nahaufnahme des Bodenbereichs der Gräben
tes ist ebenso wie ein Zusammenwachsen der abgeschiedenen Schicht am oberen Rand der Gräben
die Ursache für die Ausbildung der Voids.
Ein entscheidender Punkt für die Herstellung der Embedded-Oxide-Strukturen ist die Formung
der Verschlüsse der mit Siliziumdioxid gefüllten Gräben nach oben und unten. Der obere Polysiliziumverschluss
ist in Abbildung 5.24(a) zu sehen. Dieser bildet sich wie erwartet T-förmig
aus (vergleiche Abschnitt 4.2). Die T-förmige Struktur entsteht nach der nasschemischen Entfernung
der für die Strukturierung der Gräben verwendeten Siliziumdioxid-Hartmaske. Zwischen
den beiden Polysiliziumschichten des oberen Verschlusses (vergleiche Abschnitt 4.2) ist ein leichter
Übergang zu erkennen. Die obere Polysiliziumschicht ist ausreichend dick und dicht um das
Siliziumdioxid der Embedded-Oxide-Strukturen vor einer Anätzung während des Freiätzens des
Resonators zu schützen. In Abbildung 5.24(b) ist der Boden der Embedded-Oxide-Struktur zu
sehen. Man erkennt den unteren Verschluss der Gräben mittels Polysilizium. Diese Schicht ist
wie der obere Polysiliziumverschluss ausreichend dick und dicht um ein Anätzen der Siliziumdioxidfüllung
von unten während des Freiätzens des Resonators zu verhindern.
Elektrische Charakterisierung von Wheel-Resonatoren mit Embedded-Oxide-Strukturen
Im Folgenden wird auf die weiteren Ergebnisse der elektrischen Charakterisierung der mit Hilfe
des Embedded-Oxide-Konzept kompensierten Resonatoren eingegangen. Dabei liegt der Fokus
zunächst auf dem Einfluss von Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich der inneren Federn auf
die Güte des Resonators. Darauf folgend werden die Ergebnisse zur Temperaturkompensation
von Wheel-Resonatoren mittels Embedded-Oxide-Konzept diskutiert.
Abbildung 5.25 zeigt die gemessenen Resonanzfrequenzen und Güten für die in Unterabschnitt
3.3.3 vorgestellten Resonatoren. Die Positionen und Dicken der Embedded-Oxide-Strukturen
sind hier nochmals kurz aufgeführt. Die Resonatoren D1 bis D3 haben Embedded-Oxide-Strukturen
mit Dicken von 0, 3 µm, 0, 6 µm und 0, 9 µm im äußeren Ring, während die Resonatoren D4, D5
und D6 Embedded-Oxide-Strukturen mit diesen Dicken im inneren Ring haben. Bei den Resonatoren
D7 und D8 sind beide Ringe mit Embedded-Oxide-Strukturen versehen. Die Dicken
betragen 0, 3 µm und 0, 9 µm.

94 5. Messergebnisse
13.2
70000
Resonanzfrequenz f [MHz]
13.15
13.1
60000
50000
Güte Q
13.05
40000
REF D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8
Abbildung 5.25: Resonanzfrequenzen und Güten von Wheel-Resonatoren mit Embedded-
Oxide-Strukturen im Bereich der inneren Federn
Betrachtet man zunächst die Resonanzfrequenzen der Resonatoren so stimmt der qualitative
Verlauf der gemessenen Werte gut mit den Ergebnissen der Simulationen überein. Wird in den
äußeren Ring Siliziumdioxid eingebracht sinkt die Resonanzfrequenz in Abhängigkeit der Siliziumdioxidschichtdicke.
Im Gegensatz zu den theoretischen Betrachtungen ist jedoch kein kontinuierlicher
Verlauf sondern vielmehr ein Sprung der Resonanzfrequenz zwischen dem Referenzresonator
und dem Resonator D1 zu erkennen. Dies kann auf das Vorhandensein von Voids zurück geführt
werden. Man erkennt zudem, dass die Resonanzfrequenzen etwas geringer ausfallen als aufgrund
der Simulation erwartet wird. Befinden sich Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich des inneren
Rings (D4-D6), so ist der Einfluss auf die Resonanzfrequenz der Resonatoren geringer. Das leichte
Absinken lässt sich wiederum durch das Vorhandensein von Voids erklären. Werden Embedded-
Oxide-Strukturen in beiden Ringen realisiert (D7-D8) reduzieren sich die Resonanzfrequenzen,
jedoch nicht so stark wie bei den Resonatoren D1 bis D3. Neben der Resonanzfrequenz wird die
Veränderung der Güte durch die Embedded-Oxide-Strukturen betrachtet. Die Güten der Resonatoren
D1 bis D3 sind mit Werten zwischen 53600 und 56400 um 12,2% bis 17,9% größer als die
des Referenzresonator. Werden wie bei den Resonatoren D3 bis D6 Embedded-Oxide-Strukturen
im Bereich des inneren Rings platziert, so sinkt die Güte der Resonatoren um etwa 10%. Die
Güte ist dabei nahezu unabhängig von der Dicke der eingebrachten Siliziumdioxidschicht. Dies
steht im Gegensatz zu den Simulationsergebnissen. Anhand dieser ist für einen Resonator mit
einer nur 0, 3 µm dicken Siliziumdioxidschicht nahezu keine Veränderung der Güte zu erwarten.
Dagegen ist das weitere Absinken der Güte direkt proportional zu den Dicken der verwendeten
Siliziumdioxidfüllung. Die Resonatoren D7 und D8 haben im Vergleich zum Referenzresonator,
aber auch im Vergleich zu allen anderen untersuchten Resonatoren eine deutlich erhöhte Güte.
Diese ist von der Schichtdicke des verwendeten Siliziumdioxids unabhängig und liegt mit 63500
um etwa 32,9% über der des Referenzresonators.
Neben den Resonanzfrequenzen und Güten werden für die Resonatoren auch die Temperaturkoeffizienten
erster und zweiter Ordnung der Resonanzfrequenz bestimmt. Die Temperaturkoeffizienten
erster Ordnung liegen dabei in einem Bereich zwischen −26, 5 ppm/ ◦ C und −25, 6 ppm/ ◦ C.

5.2. Untersuchungen zur Temperaturdrift und derer Kompensation 95
Dies ist eine nur sehr geringer Veränderung gegenüber dem Temperaturkoeffizienten erster Ordnung
der Resonanzfrequenz eines unkompensierten Wheel-Resonators. Für die Resonatoren D1
bis D3 ist im Gegensatz zu den restlichen untersuchten Resonatoren eine Korrelation zwischen
der Siliziumdioxidschichtdicke und dem Temperaturkoeffizienten erster Ordnung zu erkennen.
Die entsprechenden Temperaturkoeffizienten der Resonatoren D1 bis D3 sind −26, 1 ppm/ ◦ C,
−25, 9 ppm/ ◦ C und −25, 6 ppm/ ◦ C. Der Temperaturkoeffizient erster Ordnung sinkt folglich mit
steigender Dicke der Siliziumdioxidschicht.
Neben Resonatoren die Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich der inneren Federn haben, werden
Resonatoren mit Embedded-Oxide-Strukturen in der äußeren Schwingungsmasse untersucht.
Wie in Unterabschnitt 3.3.3 bereits beschrieben ist das Ziel die Kompensation der Temperaturdrift
der Resonanzfrequenz. Fokus der weiter vorgestellten Untersuchungen ist jedoch nicht die
vollständige Kompensation eines Wheel-Resonators, sondern vielmehr eine Machbarkeitsanalyse
des Embedded-Oxide-Konzept. Insgesamt werden fünf verschiedene Resonatoren untersucht. Die
Resonatoren TC1 bis TC4 unterscheiden sich in den Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnissen R s
in der äußeren Schwingungsmasse. Die einzelnen R s betragen 0, 139 , 0, 181, 0, 226 und 0, 277.
Der Resonator TC5 hat dasselbe Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnis wie der TC4, jedoch sind
zusätzlich Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich der inneren Feder angebracht, die denen des
D8 entsprechen.
Zunächst werden die gemessenen Resonanzfrequenzen der Resonatoren betrachtet. Diese sind
Abbildung 5.26 dargestellt. Zwischen der Resonanzfrequenz des Referenzresonators und der des
TC1 ist ein Sprung der Resonanzfrequenz erkennbar. Angesichts des deutlichen geringeren Elastizitätsmoduls
von Siliziumdioxid im Vergleich zu Silizium und dem Verhältnis von Siliziumdioxid
zu Silizium im TC1 ist dies plausibel. Die Resonanzfrequenz sinkt in der Folge mit steigendem
R s weiter ab. Die niedrigste Resonanzfrequenz wird am TC5 gemessen. Die Differenz der Resonanzfrequenzen
des TC5 und des TC4 entspricht in etwa der Differenz der Resonanzfrequenzen
des D8 und des Referenzresonators. Folglich kann das weitere Absinken der Resonanzfrequenz des
13.2
60000
Resonanzfrequenz f [MHz]
13
40000
12.8
20000
12.6
REF TC1 TC2 TC3 TC4 TC5 0
Güte Q
Abbildung 5.26: Resonanzfrequenzen und Güten von mittels Embedded-Oxide-Konzept temperaturkompensierten
Wheel-Resonatoren

96 5. Messergebnisse
TC5 im Vergleich zum TC4 auf die Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich der inneren Feder
zurückgeführt werden.
Neben den Resonanzfrequenzen wird wiederum die Güte der Resonatoren betrachtet (siehe
Abbildung 5.26). Diese fällt durch das Einbringen von Siliziumdioxid in die äußere Schwingungsmasse
deutlich gegenüber der des Referenzresonators auf etwa 18563 ab. Mit steigendem R s
fällt die Güte weiter bis auf 12320. Der Abfall der Güte kann zum einen durch Verluste an den
Grenzflächen zwischen den einzelnen Schichten der Embedded-Oxide-Struktur und zum anderen
durch Verluste innerhalb der Siliziumdioxidschicht erklärt werden. Diese ist im Gegensatz zum
verwendeten Resonatormaterial amorph, was im Vergleich zu monokristallinem Material zu einer
Erhöhung der Verluste führt. Letzteres erklärt auch die Abhängigkeit der Güte von der verwendeten
Siliziumdioxidschichtdicke. Des Weiteren können Voids innerhalb der Siliziumdioxidschicht
eine Rolle bei der Degradation der Güte spielen. Im Vergleich zum TC4 zeigt der TC5 eine
Erhöhung der Güte um über 100 % auf etwa 25200. Die Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich
der inneren Federn wirken folglich der Degradation der Güte entgegen.
Abschließend werden die Temperaturkoeffizienten erster und zweiter Ordnung aus den temperaturabhängigen
Messungen bestimmt. Die Messungen erfolgen wie bei der Charakterisierung
der unkompensierten Resonatoren in einem Temperaturbereich von 15 ◦ C bis 125 ◦ C in 10 ◦ C-
Temperaturschritten. Die Temperaturkoeffizienten der Resonanzfrequenz werden anhand einer
quadratischen Kurvenanpassung an die Messwerte bestimmt. Die ermittelten Temperaturkoeffizienten
sind zusammen mit den analytisch bestimmten Werten (vergleiche Unterabschnitt 3.3.3)
in Tabelle 5.4. zusammengefasst. Betrachtet man zunächst die Temperaturkoeffizienten erster
Ordnung, so erkennt man, dass der Betrag der gemessenen Temperaturkoeffizienten um etwa
3 ppm/ ◦ C kleiner als der durch die Simulation erwartete Wert ist. Den dem Betrag nach kleinsten
Temperaturkoeffizienten erster Ordnung für einen Resonator mit Embedded-Oxide-Strukturen
nur in der äußeren Schwingungsmasse hat erwartungsgemäß der TC4 mit −15, 55 ppm/ ◦ C. Durch
Einbringen von Siliziumdioxid im Bereich der Inneren Federn kann der Betrag des Temperaturkoeffizienten
erster Ordnung nochmals um 0, 55 ppm/ ◦ C gesenkt werde. Während der Verlauf des
Temperaturkoeffizienten erster Ordnung der Resonanzfrequenz (β) mit den Simulationsergebnissen
in guter Übereinstimmung ist und lediglich einen Offset von etwa 3 ppm/ ◦ C aufweist, zeigen
sich beim Temperaturkoeffizient zweiter Ordnung (α) deutliche Unterschiede. Anstelle der erwarteten
kontinuierlichen Reduktion von α mit steigendem Siliziumdioxidanteil, schwanken die experimentell
bestimmten Werte zwischen −13, 89 ppb/ ◦ C 2 und −21, 11 ppb/ ◦ C 2 ohne erkennbaren
funktionalen Zusammenhang.
Tabelle 5.4: Ermittelte Temperaturkoeffizienten der Resonanzfrequenz erster (β) und zweiter
Ordnung (α) für fünf mittels Embedded-Oxide-Konzept kompensierte Wheel-
Resonatoren
TC1 TC2 TC3 TC4 TC5
R s 0,139 0,181 0,226 0,277 0,277
α sim [ppb/ ◦ C 2 ] -16,89 -16,60 -16,31 -16,00
β sim [ppm/ ◦ C] -22,73 -21,42 -20,05 -18,55
α [ppb/ ◦ C 2 ] -18,13 -13,89 -21,11 -15,75 -15,25
β [ppm/ ◦ C] -19,75 -18,07 -16,21 -15,55 -15,00

5.2. Untersuchungen zur Temperaturdrift und derer Kompensation 97
5.2.3. Die Auswirkungen lokaler Dotierung auf die Temperaturdrift der
Resonanzfrequenz
Abschließend wird der Einfluss einer lokalen Dotierung auf die Temperaturdrift der Resonanzfrequenz
von Wheel-Resonatoren experimentell untersucht. Analog zu den Betrachtungen in Unterabschnitt
5.1.2 wird wiederum eine Dotierung mit Bor oder Arsen untersucht. Die lokale Dotierung
erfolgt an Beam, Feder, Masse oder an allen drei Lokationen. Zum Vergleich wird zudem ein nicht
dotierter Resonator charakterisiert. Alle fünf Resonatoren sind für eine bessere Vergleichbarkeit
auf einer Scheibe und direkt nebeneinander angeordnet. Die Messung findet in einem Bereich von
15 ◦ C bis 125 ◦ C in 10 ◦ C-Schritten und bei einer Bias-Spannung von 40V statt.
Abbildung 5.27 zeigt die aus den Messungen ermittelten Resonanzfrequenzen in Abhängigkeit
der Temperatur für die vier mit Bor dotierten und einen undotierten Wheel-Resonator. Man
erkennt, dass die Temperaturdrift durch ein Dotieren mit Bor leicht erhöht wird. Der größte
Effekt ist für einen an allen drei Lokationen dotierten Resonator erkennbar. Für den besseren
Vergleich erfolgen an die Messpunkte quadratische Kurvenanpassungen der Form:
f r = α (T − T 0 ) 2 + β (T − T 0 ) , (5.2)
wobei β und α die Temperaturkoeffizienten der Eigenfrequenz erster und zweiter Ordnung, T
die Temperatur und T 0 die Referenztemperatur sind. Letztere ist in diesem Fall 15 ◦ C. Die extrahierten
Temperaturkoeffizienten sind in Tabelle 5.5 aufgeführt. Für einen undotierten Wheel-
Resonator ergibt sich ein linearer Temperaturkoeffizient von −23, 81 ppm/ ◦ C. Dieser Wert ist dem
Betrag nach um etwa 3 ppm/ ◦ C kleiner als der des in Abschnitt 5.2.1 charakterisierten unkompensierten
Wheel-Resonators. Der Temperaturkoeffizient erster Ordnung ist bei einem an drei Lokationen
dotierten Wheel-Resonator −27, 13 ppm/ ◦ C. Das Dotieren hat folglich eine Vergrößerung
des Temperaturkoeffizienten um 3, 32 ppm/ ◦ C zur Folge. Die linearen Temperaturkoeffizienten für
die am Beam, an den Federn und an der Masse dotierten Resonatoren liegen mit −24, 01 ppm/ ◦ C,
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
0
−500
−1000
−1500
−2000
−2500
−3000
Undotiert
Beam
Feder
Masse
Alles
−3500
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Temperatur T [°C]
Abbildung 5.27: Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz von vier lokal mit Bor dotierten
und einem undotierten Wheel-Resonator für einen Temperaturbereich von
15 ◦ C bis 125 ◦ C bei einer Bias-Spannung von 40V

98 5. Messergebnisse
Tabelle 5.5: Ermittelte Temperaturkoeffizienten der Resonanzfrequenz erster (β) und zweiter
Ordnung (α) für vier mit Bor dotierte und einen undotierten Wheel-Resonator
Undotiert Beam Feder Masse Alles
α [ppb/ ◦ C 2 ] -24,1 -24,2 -23,5 -21,3 -20,0
β [ppm/ ◦ C] -23,8114 -24,0097 -24,5592 -26,1853 -27,1328
−24, 56 ppm/ ◦ C und −26, 19 ppm/ ◦ C dazwischen. Im Gegensatz zu den Temperaturkoeffizienten
erster Ordnung, sinken die Temperaturkoeffizienten zweiter Ordnung durch ein Dotieren mit Bor.
Der Unterschied zwischen einem undotierten und einem an allen drei Lokationen dotierten Resonator
liegt hier bei 4, 1 ppb/ ◦ C 2 was einer Reduktion des Temperaturkoeffizienten zweiter Ordnung
um etwa 17% entspricht.
Analog zu den Betrachtungen hinsichtlich der Dotierung mit Bor erfolgt die Betrachtung der
Auswirkungen einer lokalen Dotierung mit Arsen. Die in Abhängigkeit der Temperatur gemessenen
Resonanzfrequenzen sind in Abbildung 5.28 dargestellt. Im Gegensatz zu einer Dotierung
mit Bor führt eine Dotierung mit Arsen zu einer leichten Reduktion der Temperaturdrift der
Resonanzfrequenz. Die aus quadratischen Kurvenanpassungen extrahierten linearen und quadratischen
Temperaturkoeffizienten der Eigenfrequenz zeigen zwischen einem undotierten und einem
an allen drei Lokationen dotierten Resonator eine Differenz in der Temperaturdrift von lediglich
1, 45 ppm/ ◦ C. Die Temperaturdrift eines nichtdotierten Resonators ist mit 22, 52 ppm/ ◦ C etwa
1, 3 ppm/ ◦ C geringer im Vergleich zu undotierten Resonatoren auf der Scheibe mit Bor dotierten
Resonatoren. Wie bei der Dotierung mit Bor sind zudem die Temperaturkoeffizienten der
Resonanzfrequenz zweiter Ordnung durch die Dotierung mit Arsen reduziert. Der Unterschied
zwischen einem undotierten und einem an allen drei Lokalitäten dotierten Wheel-Resonator beträgt
etwa 16%. Die ermittelten Temperaturkoeffizienten erster und zweiter Ordnung sind in
Relative Frequenzänderung f r
[ppm]
0
−500
−1000
−1500
−2000
−2500
Undotiert
Beam
Feder
Masse
Alles
−3000
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Temperatur T [°C]
Abbildung 5.28: Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz von vier lokal mit Bor dotierten
und einem undotierten Wheel-Resonator für einen Temperaturbereich von
15 ◦ C bis 125 ◦ C bei einer Bias-Spannung von 40V

5.2. Untersuchungen zur Temperaturdrift und derer Kompensation 99
Tabelle 5.6 nochmals zusammengefasst.
Tabelle 5.6: Ermittelte Temperaturkoeffizienten der Resonanzfrequenz erster (β) und zweiter
Ordnung (α) für vier mit Arsen dotierte und einen undotierten Wheel-Resonator
Undotiert Beam Feder Masse Alles
α [ppm/ ◦ C 2 ] -0,0272 -0,0263 -0,0261 -0,0241 -0,0228
β [ppm/ ◦ C] -22,5271 -22,4543 -22,1794 -21,5174 -21,0739

6 Bewertung
Im Folgenden werden die im Rahmen der Arbeit erzielten und im vorherigen Kapitel vorgestellten
Ergebnisse bewertet. Zunächst wird auf die Frequenzvariationen aufgrund von Prozessstreuungen
eingegangen.
Die experimentellen Untersuchungen an CC-Beams zeigen für alle untersuchten Wafer und Geometrieabmessungen
kleinere Frequenzvariationen, als aufgrund der theoretischen Betrachtungen
erwartet wird. Zudem sind die aus den Verteilungen der statischen Kapazität und der mechanischen
Resonanzfrequenz abgeschätzten Spaltvariationen geringer als angenommen. In diesem
Zusammenhang ist anzumerken, dass die anhand der minimalen und maximalen Kapazitätswerte
abgeschätzten Spaltvariationen für alle untersuchten Resonatoren kleiner als die durch die
Spannweite der Resonanzfrequenzen abgeschätzten Variationen sind. Allerdings wird für die Bestimmung
der Spaltvariationen anhand der Differenz zwischen minimalem und maximalem Kapazitätswert
ein nomineller Wert von 400 nm vorgegeben um den die Spaltbreite variieren soll. Ist der
mittlere Spaltabstand größer, so sind auch die anhand der Kapazitätsdifferenz ermittelten Schwankungen
größer. Dennoch zeigen die Ergebnisse, dass das in Unterabschnitt 3.2.2 hergeleitete Model,
welches die maximalen Streuungen der Geometriedefinition und Polysiliziumspacer-Formung
berücksichtigt, für eine Worst-Case-Abschätzung geeignet ist. Sollen präzisere Vorhersagen der
Prozessvariationen erfolgen, erscheint es sinnvoll anstatt der aus Literaturstellen angenommenen
Streuungen für die Lithographie, die Schichtabscheidung und das Plasmaätzen, Werte die anhand
von gefertigten Prozesskontrollmonitoren (process control monitor - PCM) extrahiert werden, zu
verwenden. Eine Analyse kann zum Beispiel mittels elektrischer Linienbreitenmessung oder mit
Hilfe eines Rasterelektronenmikroskop erfolgen.
Die gemessenen Spannweiten der Frequenzvariationen der Wheel-Resonatoren auf Wafer #3
mit Wafer #5 sind, wie die aus den Resonanzfrequenzen und statischen Kapazitäten ermittelten
Spaltvariationen, ebenfalls kleiner als aufgrund der theoretischen Betrachtungen angenommen
wird. Im Gegensatz dazu weisen die Wheel-Resonatoren auf den Wafern #1 und #2 teils deutlich
größere Frequenzstreuungen auf. Betrachtet man die Prozessfolgen zur Herstellung der Wafer so
unterscheiden sich diese lediglich in einem Ausheilschritt vor der Lithographie zur Geometriedefinition.
Während die Resonatoren auf Wafer #1 und Wafer #2 bei 1000 ◦ C für 30 Minuten
ausgeheilt werden, sind die Ausheiltemperaturen für die restlichen Wafer höher und die Ausheilzeiten
länger. Bei den Wafern #3 und #4 erfolgt das Ausheilen bei 1100 ◦ C, bei Wafer #5 bei
1150 ◦ C. Die Ausheilzeit ist in beiden Fällen 120 Minuten. Nimmt man zunächst an, dass aufgrund
der Verwendung von SOI-Wafern inhärent sowohl Stress als auch ein Stressgradient innerhalb der
Bauelementebene vorhanden sind, lassen sich die Unterschiede bei den Frequenzvariationen zwischen
den einzelnen Wafern wie folgt erklären. Der interne Stress sowie der Stressgradient führen
für die Wheel-Resonatoren zu einer Aufweitung der Spannweite der Resonanzfrequenz, wohingegen
bei den CC-Beams eine Reduktion dieser festzustellen ist. Werden die Resonatoren für einen
längeren Zeitraum bei hohen Temperaturen ausgeheilt, so reduzieren sich sowohl Stress als auch
Stressgradient. Als Folge dessen weisen die Wheel-Resonatoren auf den Wafern #3 mit #5 geringere
Spannweiten der Resonanzfrequenz auf, als die Wheel-Resonatoren auf den Wafer #1 und

102 6. Bewertung
#2. Die Unterschiede zwischen Wafer #1 und Wafer #2 können auf einen First-Wafer-Effekt,
wie er beispielsweise bei Abscheidungen auftreten kann, zurück geführt werden. Im Gegensatz zu
den Wheel-Resonatoren sind die Spannweiten der Resonanzfrequenz von CC-Beams unter dem
Einfluss von Stress kleiner. Dies erklärt die reduzierte Spannweite, die bei der Charakterisierung
des CC27 auf Wafer #2 festgestellt wird. Die Spannweitenreduktion aufgrund von Stress für
den Wafer #1 wird durch den First-Wafer-Effekt kompensiert, so dass keine Veränderung der
Spannweite im Vergleich zu den Wafern #3 mit #5 erkennbar ist.
Ein weiterer Beleg für Stress innerhalb der Bauelementebene zeigt sich bei der temperaturabhängigen
Charakterisierung der Wheel-Resonatoren. Vergleicht man die Temperaturkoeffizienten
erster Ordnung der Resonanzfrequenz, so zeigt sich ein Zusammenhang zwischen diesen
und einem eventuellen vorherigen Ausheilschritt. Ein unkompensierter Wheel-Resonator, an dem
kein Ausheilschritt vor der Lithographie zur Bauelementedefinition erfolgt ist, hat ein β von
−26, 57 ppm/ ◦ C. Erfolgt vor der Lithographie zur Bauelementedefinition ein Ausheilschritt bei
einer Temperatur von 1100 ◦ C beziehungsweise 1150 ◦ C jeweils für 120 Minuten, so reduziert sich
der Temperaturkoeffizient auf −23, 81 ppm/ ◦ C beziehungsweise −22, 52 ppm/ ◦ C.
Neben den extrahierten Temperaturkoeffizienten deuten auch die aus den Messungen extrahierten
Güten auf eine Veränderung des Stresses innerhalb des Resonators hin. Ein Resonator
ohne zusätzlichen Ausheilschritt hat wie in Unterabschnitt 5.2.2 gezeigt eine Güte von etwa 45000
wohingegen die Güte von ausgeheilten Resonatoren (Unterabschnitt 5.2.3) mit etwa 70000 um
etwa 55% höher ist.
Zusammenfassend lassen sich die Unterschiede der Frequenzvariationen des CC27 und des
Wheel-Resonators zwischen den einzelnen prozessierten Wafern wie folgt beschreiben. Unterschiedliche
Ausheilvorgänge verändern die Stressverteilung innerhalb der Resonatoren. Dies führt
bei Wheel-Resonatoren zu einer Erhöhung der Frequenzvariationen, beim CC27 hingegen zu einer
Reduktion dieser auf Wafer #1 und Wafer #2. Durch einen First-Wafer-Effekt werden die
Frequenzvariationen des Wheel-Resonators verstärkt. Beim CC27 wird die durch den unterschiedlichen
Ausheilvorgang kleinere Frequenzvariation der Wafer #1 und #2 auf Wafer #1 vergrößert
so dass sich Frequenzvariationen ergeben, die mit denen des CC27 auf den Wafern #3 mit #5
vergleichbar sind.
Für die passive Kompensation der Frequenzvariationen aufgrund von Prozessstreuungen wird
das Dotieren mittels Bor und Arsen untersucht. Die durch das Dotieren mit Arsen erzielten Frequenzänderungen
sind etwas größer als aufgrund der Simulationsergebnisse erwartet wird. Dies
kann zum einen mit den Annahmen für das Dotierstoffprofil, zum anderen mit den für die Simulation
verwendeten Elastizitätskonstanten zusammenhängen. Im Bezug auf das Dotierstoffprofil
wird angenommen, dass ein abrupter Übergang von hoch- zu niedrig- dotiertem Bereich in einer
Tiefe von 4, 5 µm erfolgt. Ein solcher abrupter Übergang ist aus physikalischer Sicht nicht
möglich, weswegen sich ein Übergangsbereich ausbildet, der in der FEM-Simulation nicht berücksichtigt
wird. Zudem kann die Tiefe des Übergangs variieren, da bei deren Berechnung folgende
Temperaturschritte, wie beispielsweise Abscheidungen, nicht berücksichtigt wurden. Für die
FEM-Simulationen werden zudem die Elastizitätskonstanten verwendet, die Hall für mit Phosphor
dotiertes Silizium ermittelt hat. Hier können geringe Unterschiede zu einer Dotierung mit
Arsen gegeben seien. Die Frequenzänderung durch die Ionenimplantation von Bor ist dem Betrag
nach mit der durch eine Arsen Dotierung vergleichbar, jedoch werden die Resonanzfrequenzen zu
größeren Werten hin verschoben. Sowohl bei den Ionenimplantationen von Bor als auch denen
von Arsen sind die kleinsten Frequenzänderung bei einem Dotieren der Wheel-Resonatoren im
Bereich der Beams und die größten Änderungen bei einem Dotieren das die äußere Masse mit

103
einschließt gegeben. Dies stimmt gut mit den theoretischen Überlegungen überein. Da der Hauptteil
der Schwingung in Resonanz in Form einer Longitudinalwelle innerhalb der äußeren Masse
stattfindet, hat eine Veränderung der elastischen Konstanten in diesem Bereich den größten Einfluss
auf die Resonanzfrequenz. Ein systematischer Einfluss auf die Güte der Resonatoren durch
das Dotieren ist für beide Dotierstoffspezies nicht erkennbar. Dies lässt den Schluss zu, dass die
Frequenzänderung aufgrund einer Änderung der elastischen Konstanten erfolgt und nicht durch
den durch die Fremdatome erzeugten Stress.
Der Einfluss der Dotierung auf den Temperaturgang der Resonanzfrequenz ist klein. Die Ionenimplantation
mit Bor hat eine Erhöhung der Temperaturabhängigkeit von 3, 32 ppm/ ◦ C und eine
Dotierung mit Arsen eine Reduktion dieser um 1, 3 ppm/ ◦ C zur Folge. Anhand der Ergebnisse
wird festgestellt, dass sich lokales Dotieren zu einer deutlichen Reduktion der Frequenzvariationen
aufgrund von Prozessstreuungen eignet. Werden beispielsweise die Bereiche des Wafers die
eine deutlich positive Verschiebung der Resonanzfrequenz zeigen mit Arsen und Bereiche des
Wafers die eine deutlich negative Frequenzverschiebung zeigen mit Bor dotiert so lässt sich die
Gesamtvariation der Resonanzfrequenz deutlich minimieren. Ein Vorteil dieses Ansatzes tritt zu
Tage wenn für die Kompensation der Temperaturabhängigkeit der Resonatoren dass ebenfalls
in dieser Arbeit vorgestellte Embedded-Oxide-Konzept verwendet wird. Tritt bei der Geometriedefinition
beispielsweise eine dem Vorzeichen nach positive Prozessschwankung (∆ x ) auf, so hat
diese eine Verschiebung der Resonanzfrequenz zu höheren Werten zur Folge. Da die Gräben
der Embedded-Oxide-Struktur bei denselben Prozessschritten definiert werden, wie die übrigen
Gräben der Geometrie des Resonators, folgt aus der Prozessschwankung auch eine kleineres
Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnis, was die Kompensation des Temperaturgangs der Resonanzfrequenz
beeinträchtigt. Wird für die Kompensation der Auswirkungen der Prozessstreuungen auf
die Resonanzfrequenz die Ionenimplantation mittels Arsen verwendet, so wird durch diese auch
der Temperaturgang der Resonanzfrequenz reduziert, was den Auswirkungen des verminderten
Siliziumdioxidanteils entgegen wirkt.
Neben den Auswirkungen von Prozessstreuungen auf die Resonanzfrequenz der Resonatoren
wird deren Temperaturgang untersucht. Während bei Wheel-Resonatoren der Temperaturkoeffizient
erster Ordnung der Resonanzfrequenz mit −26, 57 ppm/ ◦ C sich nur geringfügig von dem
mittels FEM-Simulation ermittelten Wert unterscheidet, sind bei den Temperaturkoeffizienten der
Resonanzfrequenz bei den CC-Beams deutliche Unterschiede zwischen Simulation und Messung
sichtbar. In diesem Zusammenhang muss auch berücksichtigt werden, dass die mittels Simulation
ermittelten Temperaturkoeffizienten der Resonanzfrequenz je nach Simulationsbedingungen
sich teils deutlich unterscheiden. Wird das Substrat beim CC01, der eine Länge von 150 µm und
eine Breite von 4 µm hat, bei der Simulation mit berücksichtigt so ist der ermittelte Temperaturkoeffizient
erster Ordnung der Resonanzfrequenz dem Betrag nach deutlich kleiner als der
des Resonators allein. Beim CC27, der eine Länge von 100 µm und eine Breite von 4 µm hat,
sind diese Unterschiede in dieser Ausprägung nicht sichtbar. Die durch Simulation ermittelten
Temperaturkoeffizienten zweiter Ordnung sind für alle simulierten CC-Beams klein. Dies steht im
Gegensatz zu den experimentellen Untersuchungen. Dort sind vor allem für den CC01 aber auch
für den CC26 deutliche quadratische Abhängigkeiten der Resonanzfrequenz von der Temperatur
erkennbar. Betrachtet man unter Berücksichtigung geometrischen Abmessungen der Resonatoren
die in Unterabschnitt 3.3.1 angegeben analytische Näherung für den Einfluss von Stress auf die
Resonanzfrequenz von CC-Beams, erkennt man das thermischer Stress für die quadratische Ausprägung
der Temperaturabhängigkeit verantwortlich sein kann, wenn die Abhängigkeit des Stress
von der Temperatur selbst eine quadratische Form aufweist.

104 6. Bewertung
Für die Kompensation des Temperaturgangs der Resonanzfrequenz wird im Rahmen der Arbeit
das Embedded-Oxide-Konzept vorgestellt und mittels Oxide-Fill-Prozess entsprechende Resonatoren
praktisch realisiert. Aufnahmen mit dem Rasterelektronenmikroskop zeigen, dass die
zur Kompensation abgeschiedene Siliziumdioxidschicht deutlich ausgeprägte Voids aufweist. Dies
führt zu einer Reduktion des Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnis. Dennoch sind die anhand
der Messwerte extrahierten Temperaturkoeffizienten erster Ordnung der Resonanzfrequenz dem
Betrag nach um etwa 3 ppm/ ◦ C kleiner, als aufgrund der Simulationsergebnisse erwartet wird.
Dies kann auf die für die Simulation verwendeten Materialdaten zurückgeführt werden. Zur Beschreibung
der Abhängigkeit des Elastizitätsmodul von Siliziumdioxid werden die von McSkimin
für fused silica ermittelten Werte verwendet [90]. Da sowohl die Materialeigenschaften als
auch deren Temperaturabhängigkeit von abgeschiedenen Schichten von den Abscheidebedingungen
abhängen, können hier bei der Beschreibung Fehler auftreten. Aufgrund der Voids innerhalb
der gefertigten Strukturen ist jedoch eine einfache Extraktion der Eigenschaften des abgeschiedenen
Siliziumdioxid aus den Messwerten nicht möglich. Die Messergebisse zeigen jedoch dass der
Temperaturkoeffizient des Elastizitätsmoduls von Siliziumdioxid größer ist, als für die Simulation
angenommen wird. Folglich ist das Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnis das für einen minimalen
Temperaturgang der Resonanzfrequenz benötigt wird kleiner, als der in Unterabschnitt 3.3.3
ermittelte Wert von 1,19. Dies stimmt gut mit den Untersuchungen von Kim et al. überein [36]
die ein deutlich geringeres Verhältnis von Siliziumdioxid zu Silizium für die Temperaturkompensation
von DETFs ermittelt haben. Anhand der Rasterelektronenmikroskopaufnahmen kann
sichergestellt werden, dass der Verschluss der Embedded-Oxide-Struktur sowohl oben als auch
unten erfolgreich ist. Es findet kein Ätzangriff an das eingeschlossene Siliziumdioxid während des
Freiätzens des Resonators statt. Mittels Simulation wird zudem gezeigt dass für einen Wheel-
Resonator eine minimale Variation der Resonanzfrequenz mit der Temperatur von −137 ppm für
einen Temperaturbereich von −40 ◦ C bis 125 ◦ C erreicht werden kann.
Weitere theoretische und experimentelle Untersuchungen zeigen dass mittels Embedded-Oxide-
Konzept die Güte der Wheel-Resonatoren deutlich beeinflusst wird. So führen Embedded-Oxide-
Strukturen innerhalb der äußeren Schwingungsmasse zu einer Degradation der Güte auf einen
Wert von etwa 12000. Durch den gezielten Einbau von Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich
der inneren Federn können die Güten von kompensierten und nicht kompensierten Resonatoren
erhöht werden. Im Fall von nicht kompensierten Resonatoren ist eine Erhöhung von etwa 33% und
bei temperaturkompensierten Resonatoren sogar eine Verdoppelung der Güte möglich. Die experimentellen
Ergebnisse sowie die Daten der Simulation lassen darauf schließen, dass die Erhöhung
der Güte durch eine Reduktion der Ankerverluste erzielt wird.
Abschließend ist zu bemerken, dass anhand der erzielten Ergebnisse beide vorgestellten Kompensationsansätze
für Resonatoren in mobilen Kraftfahrzeuganwendungen geeignet sind und eine
Frequenzgenauigkeit besser als 1000 ppm möglich ist.

7 Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wird die Frequenzgenauigkeit von Silizium-basierten mikroelektromechanischen
Resonatoren untersucht. In diesem Zusammenhang werden Frequenzvariationen
aufgrund von Fertigungsstreuungen und die Drift der Resonanzfrequenz mit der Temperatur
betrachtet. Zudem werden zwei passive Kompensationsmethoden für die beiden Quellen der Frequenzvariationen
theoretisch erörtert und experimentell evaluiert.
Analytische Betrachtungen an beidseitig eingespannten Balken und Finite-Elemente-Methode-
Simulationen an Wheel-Resonatoren und beidseitig eingespannten Balken zeigen, dass die Hauptquellen
der Frequenzvariation aufgrund von Prozessstreuungen die Formung der Resonatorgeometrie
mittels Lithographie und Ätzen sowie das Prozessmodul zur Herstellung der Polysiliziumspacer
sind. Daneben kann eine Variation des Elastizitätsmoduls des Polysiliziumspacers einen
bedeutenden Einfluss auf die Resonanzfrequenz der Resonatoren haben. Zudem werden als weitere
mögliche Quellen für Frequenzvariationen die Rotation des Resonators in der Wafer-Ebene,
die Variation der Unterätzung des Resonators sowie die Variationen der Dicken der Bauelementebene
und der Burried-Oxide-Layer untersucht. Anhand von linearen Kurvenanpassungen an
die Simulationsergebnisse wird ein vereinfachtes Modell zur Abschätzung der maximal zu erwartenden
Frequenzstreuungen erstellt. Das Modell berücksichtigt die bereits genannten Variationen
der Geometrieherstellung und der Polysiliziumspacerdicke. Die Modellbildung erfolgt für drei
beidseitig eingespannte Balken mit unterschiedlichen geometrischen Abmessungen und für den
Wheel-Resonator. Für die drei untersuchten beidseitig eingespannten Balken liegen die Spannweiten
der Resonanzfrequenzverteilung abhängig von den Resonatorabmessungen in einem Bereich
von 19000 ppm bis 34000 ppm. Die für den Wheel-Resonator zu erwartende maximale Frequenzvariation
ist mit 6500 ppm deutlich geringer. Experimentelle Untersuchungen an fünf Wafern
desselben Loses bestätigen die Modelle. Es zeigt sich jedoch vor allem anhand der Messungen an
Wheel-Resonatoren, dass Stress auf den Wafern einen deutlichen Einfluss auf die Spannweite der
Resonanzfrequenzverteilung haben. Durch einen Ausheilvorgang bei Temperaturen von 1100 ◦ C
und einer Ausheilzeit von 120 Minuten werden Stress und Stressgradienten reduziert und somit die
Frequenzvariationen minimiert. Zudem hat der Ausheilvorgang einen kleineren Temperaturgang
der Resonanzfrequenz und eine höhere Güte von maximal 75000 zur Folge.
Für die Kompensation der Frequenzvariationen durch Prozessstreuungen wird die lokale Dotierung
der Wheel-Resonatoren mit Bor und Arsen mittels Ionenimplantation untersucht. Eine
lokale Dotierung mit Bor hat je nach Ort der Dotierung relative Frequenzverschiebungen von
328 ppm, 878 ppm, 1735 ppm und 2348 ppm zur Folge. Die größten relativen Frequenzänderungen
ergeben sich, wenn eine Dotierung auch im Bereich der äußeren Masse des Wheel-Resonators
erfolgt. Im Gegensatz zum Dotieren mit Bor führt eine Dotierung mit Arsen zu einer Reduktion
der Resonanzfrequenzen. Die entsprechenden relativen Frequenzverschiebungen sind −111 ppm,
−509 ppm, −1882 ppm und 2595 ppm. In beiden Fällen ist kein systematischer Einfluss des Dotierens
auf die Güte der Resonatoren erkennbar. Neben der Resonanzfrequenz wird durch das Dotieren
auch deren Temperaturabhängigkeit verändert. Wird Bor als Dotierstoff verwendet, so erhöht

106 7. Zusammenfassung und Ausblick
sich der Temperaturkoeffizient erster Ordnung der Resonanzfrequenz betragsmäßig um maximal
3, 32 ppm/ ◦ C, wohingegen ein Dotieren mit Arsen eine maximale Reduktion von 1, 3 ppm/ ◦ C zur
Folge hat.
Als zweite Quelle für Frequenzschwankungen wird die Temperaturdrift der Resonanzfrequenz
theoretisch und experimentell untersucht. Als Hauptquelle für das Absinken der Resonanzfrequenz
mit steigender Temperatur wird das Erweichen des Siliziums identifiziert. Anhand von
Kurvenanpassungen an die Ergebnisse von Finite-Elemente-Methode-Simulationen ergibt sich
für den Wheel-Resonator ein Temperaturkoeffizient erster Ordnung von −27, 91 ppm/ ◦ C. Die für
die verschiedenen beidseitig eingespannten Balken mittels Simulation bestimmten Temperaturkoeffizienten
sind je nach geometrischer Abmessung teils stark von den Simulationsbedingungen
abhängig. So reduziert sich der Temperaturkoeffizient für einen 150 µm langen und 4 µm breiten
beidseitig eingespannten Balken deutlich, wenn das Substrat bei der Simulation berücksichtigt
wird. Im Gegensatz dazu hat das Substrat auf einen Resonator mit einer Länge von 100 µm bei
gleicher Breite praktisch keinen Einfluss. Die mittels Simulation ermittelten Temperaturkoeffizienten
erster Ordnung der Resonanzfrequenz liegen für die untersuchten beidseitig eingespannten
Balken zwischen −19, 95 ppm/ ◦ C und −28, 58 ppm/ ◦ C. Anhand von analytischen Rechnungen
wird ein Wert von −31, 07 ppm/ ◦ C ermittelt. Experimentelle Untersuchungen zeigen eine starke
quadratische Abhängigkeit der Resonanzfrequenz des 150 µm langen und 4 µm breiten, beidseitig
eingespannten Balken von der Temperatur. Im Gegensatz dazu ist die Temperaturabhängigkeit
eines 100 µm langen, beidseitig eingespannten Balken deutlich linearer. Der Temperaturkoeffizient
erster Ordnung der Resonanzfrequenz dieses Balkens beträgt −27, 53 ppm/ ◦ C. Die quadratische
Abhängigkeit des Temperaturgangs kann auf thermischen und inneren Stress zurückgeführt
werden. In weiteren Untersuchungen wird der Temperaturkoeffizient erster Ordnung für
den Wheel-Resonator ermittelt. Je nach Prozessierung der Resonatoren liegen die Werte zwischen
−26, 57 ppm/ ◦ C und −22, 52 ppm/ ◦ C. Dabei zeigen Resonatoren, die vor der Geometriedefinition
bei Temperaturen von 1100 ◦ C beziehungsweise 1150 ◦ C für zwei Stunden ausgeheilt werden,
den deutlich kleineren Temperaturkoeffizienten. Die unterschiedlichen Temperaturkoeffizienten
können wiederum auf inneren Stress zurückgeführt werden.
Für die Kompensation der Temperaturdrift der Resonanzfrequenz werden das Embedded-
Oxide-Konzept sowie der Oxide-Fill-Prozess zu dessen Realisierung vorgestellt. Dabei wird in
Gräben innerhalb des Resonators Siliziumdioxid eingebracht. Da Siliziumdioxid mit steigender
Temperatur steifer wird, findet eine Kompensation des Erweichens von Silizium statt. Zum Schutz
der Kompensationsschicht während der weiteren Prozessierung wird die Siliziumdioxidschicht mit
einer Polysiliziumschutzschicht ummantelt. Simulationen zeigen, dass bei einem Siliziumdioxidzu-Silizium-Verhältnis
von 1,19 in der äußeren Schwingungsmasse des Wheel-Resonators eine
temperaturbedingte Frequenzvariation von −137 ppm für einen Temperaturbereich von −40 ◦ C
bis 125 ◦ C erreicht werden kann. Anhand von Rasterelektronenmikroskopaufnahmen sind innerhalb
der Siliziumdioxidschicht deutliche Voids zu erkennen. Der Verschluss der Kompensationsschicht
nach oben und unten hingegen ist dicht. Die elektrischen Messungen an kompensierten
Resonatoren zeigen, dass keine Aufladungseffekte innerhalb des Resonators auftreten. Die aus
den elektrischen Messungen extrahierten Temperaturkoeffizienten erster Ordnung der Resonanzfrequenz
sind trotz der Voids kleiner als erwartet. Dies kann auf nicht akkurate Materialdaten,
die für die Simulationen verwendet werden, zurückgeführt werden. Anhand der Ergebnisse ist zu
erwarten, dass eine maximale Kompensation des Temperaturgangs der Resonanzfrequenz bereits
mit einem kleineren Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnis als mittels der Simulationen ermittelt
wird, erfolgen kann.

107
Ausblick
Ausgehend von dieser Arbeit sollten weitere Anstrengungen zur Reduktion des Frequenzvariationen
sowie der Optimierung der vorgeschlagenen Kompensationsmethoden erfolgen.
So sollte untersucht werden, inwieweit sich die prozessbedingten Frequenzschwankungen durch
die Verwendung einer genaueren Lithographietechnologie minimieren lassen. Anhand der Ergebnisse
dieser Arbeit steht zu erwarten, dass durch die Verwendung einer 90 nm-Technologie die
Frequenzschwankungen aufgrund der Lithographie auf weniger als ein Fünftel reduziert werden
können. Des Weiteren erscheint es sinnvoll Prozessfolgen zu entwickeln, die ohne den Einsatz
eines Polysiliziumspacers auskommen. Damit würde eine der Hauptquellen der prozessbedingten
Frequenzvariationen eliminiert.
Des Weiteren sollten über die Arbeit hinausgehende Untersuchungen hinsichtlich des Einflusses
des Ausheilens auf die Frequenzvariation, den Temperaturgang und die Güte der Resonatoren
erfolgen.
Hinsichtlich der Veränderung der Frequenz mittels Dotieren ist es sinnvoll weitere Dotierstoffspezies,
wie beispielsweise Phosphor, sowie unterschiedliche Ionenimplantationsdosen zu untersuchen.
Zudem sollte das Verständnis der Veränderung der elastischen Konstanten mittels Bor
durch theoretische und experimentelle Untersuchungen gestärkt werden.
Hinsichtlich der Kompensation des Temperaturgangs der Resonatoren mittels des Embedded-
Oxide-Konzepts sollten weitere Optimierungen an den verwendeten Prozessfolgen erfolgen. So
könnte die Bildung von Voids innerhalb der Siliziumdioxidschicht durch eine veränderte Grabenform
und durch die Verwendung eines mehrstufigen Prozesses reduziert werden. Erfolgt die
Grabenätzung in der Form, dass anstatt einer leicht konkaven Form eine leichte Trichterform entsteht,
verringert sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Graben oben zuwächst bevor er vollständig
mit Siliziumdioxid gefüllt ist. Zudem kann das Anfüllen in einem zweistufigen Prozess erfolgen.
Auf eine erste Abscheidung von Siliziumdioxid, die den Graben oben verschließt, folgt ein Ätzschritt,
der diesen oben wieder öffnet. Eine zweite Siliziumdioxidschicht füllt den Graben dann
vollständig ohne die Ausbildung von Voids. Mit diesem Prozess sollte in der Folge auch ein maximal
temperaturkompensierter Resonator gefertigt werden.
Abschließend sollten Resonatoren gefertigt werden, bei denen beide in dieser Arbeit vorgeschlagenen
Kompensationsmaßnahmen kombiniert werden, um eventuelle unerwünschte Wechselwirkungen
auszuschließen.

A Verwendete Abkürzungen
Abkürzung
ALD
APCVD
ARDE
Bedeutung
Atomic-Layer-Deposition
Atmospheric-Pressure-Chemical-Vapor-Deposition
Aspect-Ratio-Dependent-Etching
ASIC Anwendungsschaltkreis, englisch: Application-Specific-Integrated-
Circuit
BAW
BPSG
CAGR
CC-Beam
CF-Beam
CMP
DETF
DRIE
FEM
FIB
GSM
IF
LO
MCXO
LPCVD
MEMS
NEMS
Bulk-Acoustic-Wave
Borphsophorsilikatglass
Kumulierte durchschnittliche Wachstumsrate, englisch: Cummulated-
Average-Growth-Rate
Beidseitig eingespannter Balken, englisch: Clamped-Clamped-Beam
Einseitig eingespannter Balken, englisch: Clamped-Free-Beam
Chemisch-mechanisches Polieren
Beidseitig eingespannte Stimmgabel, englisch: Double-Ended-Tuning-
Fork
Deep-Reactive-Ion-Etching
Finite-Elemente-Methode
Fokussierter Ionenstrahl, englisch: Focused-Ion-Beam
Global system of mobile communication
Zwischenfrequenz, englisch: Intermediate-Frequency
Lokaler Oszillator
Microcomputer compensated crystal oscillator
Low-Pressure-Chemical-Vapor-Deposition
Mikroelektromechanisches System, englisch: Microelectromechanical
System
Nanoelektromechanisches System, englisch: Nanoelectromechanical
System

110 A. Verwendete Abkürzungen
Abkürzung
NVM
OCXO
PCB
PCM
PLL
ppb
ppm
RC
REM
Bedeutung
Nichtflüchtiger Speicher, englisch: Nonvolatile Memory
Oven controlled crystal oscillator
Leiterplatte, englisch: Printed-Circuit-Board
Prozesskontrollmonitor, englisch: Proces-Control-Monitor
Phase-Locked-Loop
parts per billion
parts per million
Remote Control
Rasterelektronenmikroskop
RF-MEMS Mikroelektromechanisches System für Hochfrequenzanwendungen,
englisch: Radio-Frequency-Microelectromechanical-System
RIE
RKE
RTP
SAW
SiP
SoC
SOI
TCXO
TED
TEOS
TPMS
UMTS
XO
Reactive-Ion-Etching
Remote-Keyless-Entry
Rapid-Thermal-Processing
Surface-Acoustic-Wave
System-in-Package
System-on-Chip
Silicon-on-Insulator (Wafer)
Temperature compensated crystal oscillator
Thermoelastische Verluste, englisch: Thermoelastic-Damping
Tetraethoxysilan
Tire-Pressure-Monitoring-System
Universal Mobile Communications System
Crystal oscillator

B Die mechanischen und thermischen
Eigenschaften der verwendeten Materialien
B.1. Die Elastizität von monokristallinem Silizium
Der Zusammenhang zwischen der Dehnung σ und dem Stress ɛ bei der Verformung eines Körpers
ist im linear elastischen Bereich durch das Hooke’sche Gesetz gegeben:
σ = Eɛ . (B.1)
Dabei sind σ und ɛ Tensoren zweiter Ordnung und E der Elastizitätstensor vierter Ordnung.
Durch Symmetriebetrachtungen lässt sich E auf eine 6 × 6-Matrix reduzieren. Es gilt:
E (ij)(kl) = C (mn) . (B.2)
C mn sind dabei die einzelnen Elemente der Elastizitätsmatrix C. Da monokristallines Silizium
über ein kubisches Kristallgitter in Diamantform verfügt lassen sich die Elemente der Elastizitätsmatrix
auf die drei unabhängigen elastischen Konstanten C 11 , C 12 und C 44 reduzieren. Die
Elastizitätsmatrix von Silizium ist dann wie folgt gegeben:
⎛
⎞
C 11 C 12 C 12 0 0 0
C 12 C 11 C 12 0 0 0
C 12 C 12 C 11 0 0 0
C =
0 0 0 C 44 0 0
⎜ 0 0 0 0 C
⎝
44 0 ⎟
⎠
0 0 0 0 0 C 44
. (B.3)
Aus der Elastizitätsmatrix geht hervor, dass das elastische Verhalten von monokristallinem Silizium
anisotrop, also richtungsabhängig ist. Das Elastizitätsmodul E, welches den Zusammenhang
zwischen Dehnung und Stress im einachsigen Fall beschreibt ist folglich von der gewählten Kristallrichtung
abhängig. Für die drei Hauptkristallrichtungen des Silizium < 100 >, < 111 > und
nimmt E Werte von 130 GPa,169 GPa und 189 GPa an. Das Elastizitätsmodul entlang der
Kristallrichtung ist gegeben durch:
(
C
2
E 110 = 4 11 + C 11 C 12 − 2C12
2 )
C44
2C 11 C 44 + C11 2 + C 11C 12 − 2C12
2
. (B.4)

112 B. Die mechanischen und thermischen Eigenschaften der verwendeten Materialien
B.2. Die für die Simulationen verwendeten mechanischen und
thermischen Eigenschaften der Resonatormaterialien
Im Folgenden werden die für die Simulationen und analytischen Berechnungen verwendeten Materialdaten
sowie die entsprechenden Literaturstellen tabellarisch aufgeführt.
Silizium
[89]
Polysilizium
[83, 91]
Siliziumdioxid
[90, 92, 93]
Siliziumnitrid
[83, 92, 94]
Elastizitätsmodul
[ GPa]
C 11 : 165,64
C 12 : 63,94
C 44 : 79,51
169 72,9 250
Querdehnungszahl 0,23 0,5 0,25
Temperaturkoeffizient
des Elastizitätsmodul
[ ppm/ ◦ C]
T c 11 : -73,25
T c 12 : -91,59
T c 44 : -60,14
-75 185
Linearer thermischer
Ausdehnungskoeffizient
[ ppm/ ◦ C]
2,6 2,6 0,5 3,3
Dichte [g cm −3 ] 2,329 2,330 2,203 2,900

C Liste der eigenen Publikationen
C.1. Konferenzen
SCHOEN, F. ; NAWAZ, M. ; BEVER, T. ; GRUENBERGER, R. ; RABERG, W. ; WEBER, W.
; WINKLER, W. ; WEIGEL, R. : Temperature Compensation in Silicon-Based Microelectromechanical
Resonators. In: Technical Digest of the IEEE International Conference on Microelectromechanical
Systems, 2009, S. 884-887
C.2. Zeitschriftenbeiträge
SCHOEN, F. ; NAWAZ, M. ; BEVER, T. ; FISCHER, G. ; GRUENBERGER, R. ; RABERG, W.
; WEBER, W. ; WINKLER, W. ; WEIGEL, R. : The influence of local doping on the resonant
frequency of MEMS Resonators and its temperature dependency. Submitted to the Journal of
Micromechanics and Microengineering
C.3. Patentanmeldungen
RABERG, W.; SCHOEN F. ; WINKLER B. :Integrated Binary Phase Shift keying with silicon
MEMS resonators; US Patent Application 11/863,534; 28.09.2007
RABERG, W.; SCHOEN F. ; WINKLER B. :Integrierte binäre Phasenumtastung mit Silizium-
Mems-Resonatoren; DE Patentanmeldung DE102008048457A1; 23.09.2008
RABERG, W.; SCHOEN F. ; WEBER, W. ; WINKLER B. : MEMS Devices and Methods of
Manufacture Thereof; US Patent Application 12/013,174; 11.01.2008
LOENDORF, M. ; SCHOEN, F. : SILICON MEMS RESONATORS; US Patent Application
12/131,145 (noch nicht offengelegt); 02.06.2008
SCHOEN, F. : MEMS Substrates, Devices, and Methods of Manufactur Thereof; US Patent
Application 12/173,537 (noch nicht offengelegt); 15.07.2008
GRUENBERGER, R. ; NAWAZ, M. ; SCHOEN, F. ; WINKLER, B. : PASSIVE TEMPERA-
TURE COMPENSATION OF SILICON MEMS DEVICES; US Patent Application 12/187,443
(noch nicht offengelegt); 07.08.2008
LOEHNDORF, M. ; RABERG, W. ; SCHOEN, F. : SILICON MEMS RESONATOR DEVICES
AND METHODS; US Patent Application 12/193,780 (noch nicht offengelegt); 19.08.2008
LOEHNDORF, M. ; SCHOEN, F. ; THEUSS, H. : WAFER LEVEL PACKAGED MEMS IN-
TEGRATED CIRCUIT; US Patent Application 12/234,406 (noch nicht offengelegt); 19.09.2008

114 C. Liste der eigenen Publikationen
NAWAZ, M. ; SCHOEN, F. ; WINKLER, B. : MEMS RESONATOR DEVICES; US Patent
Application 12/354,029 (noch nicht offengelegt); 15.01.2009
NAWAZ, M. ; SARAROIU, M. ; SCHOEN, F. : MEMS DEVICE; US Patent Application 12/474,368
(noch nicht offengelegt); 29.05.2009

Literaturverzeichnis
[1] Rebeiz, G. M.: RF Mems: Theory, Design, and Technology. Bd. 1. Hoboken, New Jersey :
Wiley & Sons, 2003. – ISBN 978–0471201694
[2] Yole Developpment: Status of the MEMS industry - 2008 edition. http://www.yole.fr.
Version: 2008
[3] Nguyen, C. T.-C.: MEMS Technologies for Communications. In: Technical Proceedings of
the 2003 Nanotechnology Conference and Trade Show Bd. 2, 2003, S. 23–27
[4] Nguyen, C. T. C.: Micromachined Devices for Wireless Communications. In: Proceedings
of the IEEE 8 (1998), Nr. 8, S. 1756–1768
[5] Nguyen, C. T.: MEMS Technology for Timing and Frequency Control. In: IEEE Transactions
on Ultrasonics Ferroelectrics and Frequency Control 54 (2007), Nr. 2, S. 251
[6] Varadan, V. K. ; Vinoy, K. J. ; Jose, K. A.: RF MEMS and Their Applications. Bd. 1.
Chichester : John Wiley & Sons Ltd, 2003. – ISBN 978–0470843086
[7] Hsu, W.T.: Vibrating RF MEMS for Timing and Frequency References. In: IEEE MTT-S
International Microwave Symposium Digest, 2006, S. 672–675
[8] Kim, B. ; Jha, C.M. ; White, T. ; Candler, R.N. ; Hopcroft, M. ; Agarwal, M. ;
Park, K.K. ; Melamud, R. ; Chandorkar, S. ; Kenny, T.W.: Temperature Dependence
of Quality Factor in MEMS Resonators. In: Technical Digest of the IEEE International
Conference on Micro Electro Mechanical Systems, 2006, S. 590–593
[9] Nawaz, M.: A Low Impedance Wheel Resonator for Low Voltage & Low Power Applications,
Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg, Diss., 2009
[10] Wang, J. ; Butler, J. E. ; Feygelson, T. ; Nguyen, C. T. C.: 1.51-GHz nanocrystalline
diamond micromechanical disk resonator with material-mismatched isolating support. In:
Technical Digest of the IEEE International Conference on Micro Electro Mechanical Systems,
2004, S. 641–644
[11] Kaajakari, V. ; Mattila, T. ; Oja, A. ; Kiihamaki, J. ; Seppa, H.: Square-extensional
mode single-crystal silicon micromechanical resonator for low-phase-noise oscillator applications.
In: IEEE Electron Device Letters 25 (2004), Nr. 4, S. 173–175
[12] Hsu, W. T.: Reliability of Silicon Resonator Oscillators. In: Proceedings International IEEE
Frequency Control Symposium and Exposition, 2006, S. 389–392
[13] Kim, B. ; Candler, R. N. ; Hopcroft, M. A. ; Agarwal, M. ; Park, W.-T. ; Kenny,
T. W.: Frequency stability of wafer-scale film encapsulated silicon based MEMS resonators.
In: Sensors and Actuators A: Physical 136 (2007), Nr. 1, S. 125–131

116 Literaturverzeichnis
[14] Hsu, W. T. ; Brown, A. R.: Frequency Trimming for MEMS Resonator Oscillators. In:
Proceedings of the IEEE International Frequency Control Symposium, 2007 Joint with the
21st European Frequency and Time Forum, 2007, S. 1088–1091
[15] Melamud, R. ; Hopcroft, M. ; Jha, C. ; Kim, B. ; Chandorkar, S. ; Candler, R. N.
; Kenny, R. T. W.: Effects of stress on the temperature coefficient of frequency in double
clamped resonators. In: Technical Digest of the IEEE International Conference on Solid-
State Sensors, Actuators and Microsystems, 2005, S. 392–395
[16] Vig, J. R.: Quartz Crystal Resonators and Oscillators. http://www.ieee-uffc.org/
frequency_control/teaching.asp. Version: 2008
[17] Infineon Technologies AG: Datenblatt TDK5100F. htttp://www.infineon.com/
sensors. Version: 1.2 - 2008
[18] Infineon Technologies AG: NDK Crystal Recommendation for Remote Keyless Entry
(RKE). http://www.infineon.com/sensors. Version: 2008
[19] NDK - Nihon dempa Kyogo co Ltd: Datenblatt: AT-51 / AT-51AD / AT-51CD /
AT-51CD2. http://www.ndk.com/en/
[20] Hopcroft, M. ; Melamud, R. ; Candler, R.N. ; Park, W.T. ; Kim, B. ; Yama, G. ;
Partridge, A. ; Lutz, M. ; Kenny, T.W.: Active temperature compensation for micromachined
resonators. In: Technical Digest of the Solid-State Sensor, Actuator and Microsystems
Workshop, 2004, S. 6–10
[21] Hopcroft, M. A.: Temperature-Stabilized silicon resonators for frequency references, Stanford
University, Diss., 2007
[22] Hopcroft, M. A. ; Lee, H. K. ; Kim, B. ; Melamud, R. ; Chandorkar, S. ; Agarwal,
M. ; Jha, C. M. ; Salvia, J. ; Bahl, G. ; Mehta, H. ; Kenny, T. W.: A High-Stability
MEMS Frequency Reference. In: Technical Digest of the IEEE International Conference on
Solid-State Sensors, Actuators and Microsystems, 2007, S. 1307–1309
[23] Ho, G.K. ; Sundaresan, K. ; Pourkamali, S. ; Ayazi, F.: Temperature-compensated
IBAR reference oscillators. In: Technical digest of the IEEE International Conference on
Micro Electro Mechanical Systems, 2006, S. 910–913
[24] Lutz, M. ; Partridge, A. ; Gupta, P. ; Buchan, N. ; Klaassen, E. ; McDonald,
J. ; Petersen, K.: MEMS Oscillators for High Volume Commercial Applications. In:
Technical Digest of the IEEE International Conference on Solid-State Sensors, Actuators
and Microsystems, 2007, S. 49–52
[25] SiTime Corporation: Datenblatt SiT8002 Programmable Oscillator. http://www.sitime.
com. Version: 1.02 - 2008. – Rev1.02
[26] Discera Systems, Inc: Datenblatt MOS2-S2. http://www.discera.com. Version: 2008
[27] Gallacher, B. J. ; Hedley, J. ; Burdess, J. S. ; Harris, A. J.: Frequency Tuning of
Silicon Micromechanical Cantilevers by Laser Ablation. In: Technical Proceedings of the 2003
Nanotechnology Conference and Trade Show Bd. 1, 2003, S. 478–481

Literaturverzeichnis 117
[28] Abdelmoneum, M. A. ; Demirci, M. M. ; Lin, Y. W. ; Nguyen, C. T. C.: Locationdependent
frequency tuning of vibrating micromechanical resonators via laser trimming. In:
Proceedings of the IEEE International Frequency Control Symposium and Exposition, 2004,
S. 272–279
[29] Abdelmoneum, M. A. ; Demirci, M. M. ; Li, S. S. ; Nguyen, C. T. C.: Post-fabrication
laser trimming of micromechanical filters. In: Technical Digest of the IEEE International
Electron Devices Meeting, 2004, S. 39–42
[30] Courcimault, C. G. ; Allen, M. G.: High-Q mechanical tuning of MEMS resonators
using a metal deposition-annealing technique. In: Technical Digest of the IEEE International
Conference on Solid-State Sensors, Actuators and Microsystems, 2005, S. 875–878
[31] Enderling, S. ; Hedley, J. ; Jiang, L. ; Cheung, R. ; Zorman, C. ; Mehregany, M.
; Walton, A.J.: Characterization of frequency tuning using focused ion beam platinum
deposition. In: Journal of Micromechanics and Microengineering 17 (2007), Nr. 2, S. 213
[32] Joachim, D. ; Lin, L.: Characterization of selective polysilicon deposition for MEMS resonator
tuning. In: Journal of Microelectromechanical Systems 12 (2003), Nr. 2, S. 193–200. –
ISSN 1057–7157
[33] Chiao, M. ; Lin, L.: Post-packaging frequency tuning of microresonators by pulsed laser
deposition. In: Journal of Micromechanics and Microengineering 14 (2004), Nr. 12, S. 1742–
1747
[34] Enderling, S. ; Brown, C. L. ; Balakrishnan, M. ; Hedley, J. ; Stevenson, J. T. M. ;
Bond, S. ; Dunare, C. C. ; Harris, A. J. ; Burdess, J. S. ; Mitkova, M. ; Kozicki, M. N.
; Walton, A. J.: Integration of a novel electrochemical tuning scheme with MEMS surface
micromachined resonators. In: Technical Digest of the IEEE International Conference on
Micro Electro Mechanical Systems, 2005, S. 159–162
[35] Liu, R. ; Paden, B. ; Turner, K.: MEMS resonators that are robust to process-induced
feature width variations. In: Journal of Microelectromechanical Systems 11 (2002), Nr. 5, S.
505–511
[36] Kim, B. ; Melamud, R. ; Hopcroft, S. A. M. A.and Chandorkar C. M. A.and Chandorkar
; Bahl, G. ; Messana, M. ; Candler, R. N. ; Yama, G. ; Kenny, T.: Si-SiO2 Composite
MEMS Resonators in CMOS Compatible Wafer-scale Thin-Film Encapsulation. In: Proceedings
of the IEEE International Frequency Control Symposium, 2007 Joint with the 21st
European Frequency and Time Forum, 2007, S. 1214–1219
[37] Melamud, R. ; Kim, B. ; Hopcroft, M.A. ; Chandorkar, S. ; Agarwal, M. ; Jha, C. M. ;
Kenny, T. W.: Composite flexural-mode resonator with controllable turnover temperature.
In: Technical Digest of the IEEE International Conference on Micro Electro Mechanical
Systems, 2007, S. 199–202
[38] Hahtela, O. ; Sievilä, P. ; Chekurov, N. ; Tittonen, I.: Atomic layer deposited aluminia
(Al 2 O 3 ) thin films on a high-Q mechanical silicon oscillator. In: Journal of Micormechanics
and Microengineering 17 (2007), S. 737–742

118 Literaturverzeichnis
[39] Hsu, W.T. ; Clark, JR ; Nguyen, C.T.C.: Mechanically temperature-compensated flexuralmode
micromechanicalresonators. In: Technical Digest of the IEEE International Electron
Devices Meeting, 2000, S. 399–402
[40] Giridhar, A. ; Verjus, F. ; Marty, F. ; Bosseboeuf, A. ; Bourouina, T.: Electrostatically
- driven Resonator on SOI with improved temperature stability. In: Proceedings of the
Symposium on Design, Test, Integration and Packaging of MEMS & MOEMS, 2006
[41] Hsu, W.T. ; Nguyen, C.T.C.: Stiffness-compensated temperature-insensitive micromechanicalresonators.
In: Technical Digest of the IEEE International Conference on Micro Electro
Mechanical Systems, 2002, S. 731–734
[42] Magnus, K. ; Popp, K. ; Sextro, W.: Schwingungen. 7. Auflage. Vieweg + Teubner
Verlag, Wiesbaden, 2008. – ISBN 3–519–52301–9
[43] Wen, F. ; Li, W. ; Huang, Q. A. ; Rong, H.: Large-signal lumped-parameter macromodels
for the equivalent circuit representation of electromechanical transducers. In: Journal of
Micromechanics and Microengineering 14 (2004), Nr. 4, S. 452–461
[44] Tay, F. E. H. ; Kumaran, R. ; Chua, B. L. ; Logeeswaran, V. J.: Electrostatic spring
effect on the dynamic performance of microresonators. In: Proceedings of the International
Conference on Modeling and Simulation of Microsystems Bd. 27, 2000, S. 29
[45] Ahn, Y. ; Guckel, H. ; Zook, J. D.: Capacitive microbeam resonator design. In: Journal
of Micromechanics and Microengineering 11 (2001), Nr. 1, S. 70–80
[46] Mohanty, P. ; Harrington, D. A. ; Ekinci, K. L. ; Yang, Y. T. ; Murphy, M. J. ;
Roukes, M. L.: Intrinsic dissipation in high-frequency micromechanical resonators. In:
Physical Review B 66 (2002), Nr. 8, S. 85416
[47] Lifshitz, R.: Phonon-mediated dissipation in micro-and nano-mechanical systems. In:
Physica B: Physics of Condensed Matter 316 (2002), Nr. 317, S. 397–399
[48] Bao, M.: Analysis and Design Principles of MEMS Devices. Elsevier B.V., 2005. – ISBN
978–0–444–51616–9
[49] Liu, X. ; Vignola, J . F. ; Simpson, H. J. ; Lemon, B. R. ; Houston, B. H. ; Photiadis,
D. M.: A loss mechanism study of a very high Q silicon micromechanical oscillator. In:
Journal of Applied Physics 97 (2005), Nr. 2, S. 023524
[50] Candler, R. N. ; Li, H. ; Lutz, M. ; Park, W. T. ; Partridge, A. ; Yama, G. ; Kenny,
T. W.: Investigation of energy loss mechanisms in micromechanical resonators. In: Technical
Digest of the IEEE International Conference on Solid-State Sensors, Actuators and
Microsystems, 2003, S. 332–335
[51] Henry, J. A. ; Wang, Y. ; Hines, M. A.: Controlling energy dissipation and stability
of micromechanical silicon resonators with self-assembled monolayers. In: Applied Physics
Letters 84 (2004), Nr. 10, S. 1765–1767
[52] Mihailovich, R. E. ; MacDonald, N. C.: Dissipation measurements of vacuum-operated
single-crystal silicon microresonators. In: Sensors and Actuators A: Physical 50 (1995), Nr.
3, S. 199–207

Literaturverzeichnis 119
[53] Yang, J. ; Ono, T. ; Esashi, M.: Energy dissipation in submicrometer thick single-crystal
silicon cantilever. In: Journal of Microelectromechanical Systems 11 (2002), Nr. 6, S. 775–783
[54] Zolfagharkhani, G. ; Gaidarzhy, A. ; Shim, S. B. ; Badzey, R. L. ; Mohanty, P.:
Quantum friction in nanomechanical oscillators at millikelvin temperatures. In: Physical
Review B 72 (2005), Nr. 22, S. 224101
[55] Brotz, J.: Damping in CMOS-MEMS resonators, Carnegie Mellon University, Diplomarbeit,
2004
[56] Harrington, D. A. ; Mohanty, P. ; Roukes, M. L.: Energy dissipation in suspended
micromechanical resonators at low temperatures. In: Physica B: Physics of Condensed Matter
284 (2000), S. 2145–2146
[57] Ahn, K. H. ; Mohanty, P.: Quantum Friction of Micromechanical Resonators at Low
Temperatures. In: Physical Review Letters 90 (2003), Nr. 8, S. 85504–1–4
[58] Mehner, J. ; Kurth, S. ; Billep, D. ; Kaufmann, C. ; Kehr, K. ; Dotzel, W.: Simulation
of gas damping in microstructures with nontrivialgeometries. In: Proceedings of the
Inetrnational Workshop on Micro Electro Mechanical Systems, 1998, S. 172–177
[59] Veijola, T.: Quality Factor and Resonance Frequency Shift Due to Air in RF MEMS Radial
Disk Resonators. In: Technical Digest of the IEEE International Conference on Solid-State
Sensors, Actuators and Microsystems, 2007, S. 643–646
[60] Hutcherson, S. ; Ye, W.: On the squeeze-film damping of micro-resonators in the freemolecule
regime. In: Journal of Micromechanics and Microengineering 14 (2004), Nr. 12, S.
1726–1733
[61] Lifshitz, R. ; Roukes, M. L.: Thermoelastic damping in micro-and nanomechanical systems.
In: Physical Review B 61 (2000), Nr. 8, S. 5600–5609
[62] Zener, C.: Internal friction in solids: theory and experimental demonstration. In: Phys. Rev
52 (1937), S. 230–235
[63] Zener, C.: Internal Friction in Solids II. General Theory of Thermoelastic Internal Friction.
In: Physical Review 53 (1938), Nr. 1, S. 90–99
[64] Zener, C. ; Otis, W. ; Nuckolls, R.: Internal Friction in Solids III. Experimental Demonstration
of Thermoelastic Internal Friction. In: Physical Review 53 (1938), Nr. 1, S.
100–101
[65] Candler, R. N. ; Duwel, A. ; Varghese, M. ; Chandorkar, S. A. ; Hopcroft, M. A.
; Park, W. T. ; Kim, B. ; Yama, G. ; Partrige, A. ; Lutz, M. ; Kenny, T. W.: Impact
of geometry on thermoelastic dissipation in micromechanical resonant beams. In: Journal of
Microelectromechanical Systems 15 (2006), Nr. 4, S. 927–934
[66] Bindel, D. S. ; Quevy, E. ; Koyama, T. ; Govindjee, S. ; Demmel, J. W. ; Howe,
R. T.: Anchor loss simulation in resonators. In: Technical Digest of the IEEE International
Conference on Micro Electro Mechanical Systems, 2005, S. 133–136

120 Literaturverzeichnis
[67] Hao, Z. ; Erbil, A. ; Ayazi, F.: An analytical model for support loss in micromachined
beam resonators with in-plane flexural vibrations. In: Sensors and Actuators A: Physical
109 (2003), Nr. 1-2, S. 156–164
[68] Han, S. M. ; Benaroya, H. ; Wei, T.: Dynamics of transversely vibrating beams using four
engineering theories. In: Journal of Sound and Vibration 225 (1999), Nr. 5, S. 935–988
[69] Martorell, J. V.: Monolithic CMOS-MEMS Resonant beams for ultrsensitive mass detection,
Universitat Autonoma de Barcelona, Diss., 2008
[70] Sandberg, R. ; Svendsen, W. ; Molhave, K. ; Boisen, A.: Temperature and pressure
dependence of resonance in multi-layer microcantilevers. In: Journal of Micromechanics and
Microengineering 15 (2005), Nr. 8, S. 1454
[71] Al-Khusheiny, M. ; Majlis, B. Y.: Designing and Modeling MEMS Resonator in VHF
Range. In: Proceedings of the International Conference on Microelectronics, 2006, S. 256–259
[72] Murata Manufacturing Co Ltd: Firmenwebseite. http://www.murata.com.
Version: 2009
[73] Chandrakasan, A. ; Bowhill, W. J. ; Fox, F. ; Chandrakasan, A. (Hrsg.) ; Bowhill,
W. J. (Hrsg.) ; Fox, F. (Hrsg.): Design of High Performance Microprocessor Circuits. Wiley-
IEEE Press, 2000. – ISBN 978–0–7803–6001–3
[74] Reda, S. ; Nassif, S. R.: Analyzing the impact of process variations on parametric measurements:
Novel models and applications. In: Proceedings of the Design, Automation & Test
in Europe Conference & Exhibition, 2009, S. 375–380
[75] Cho, C. ; Kim, D. D. ; Kim, J. ; Plouchart, J. O. ; Lim, D. ; Cho, S. ; Trzcinski, R.:
Decomposition and Analysis of Process Variability Using Constrained Principal Component
Analysis. In: IEEE Transactions on Semiconductor Manufacturing 21 (2008), Nr. 1, S. 55–62
[76] Zhang, Q. ; Tang, C. ; Hsieh, T. ; Maccrae, N. ; Singh, B. ; Poolla, K. ; Spanos,
C. J.: Comprehensive CD uniformity control across lithography and etch. In: Proceedings of
SPIE Bd. 5752, 2005, S. 692–701
[77] Doering, R. ; Nishi, Y.: Handbook of Semiconductor manufacturing Technology. 2nd
Edition. CRC Press Taylor & Francis Group, 2008. – ISBN 978–1–57444–675–3
[78] Moreau, W. M.: Semiconductor Lithography. Plenum Press New York, 1988. – ISBN
0–306–42185–2
[79] Suzuki, K ; Smith, B. W. ; Suzuki, K. (Hrsg.) ; B.W. smith (Hrsg.): Microlithography
Science and Technology. 2nd Edition. CRC Press, Taylor & Francis group, 2007. – ISBN
978–0–8247–9024–0
[80] Zhang, C. ; Xu, G. ; Jiang, Q.: Characterization of the squeeze film damping effect on the
quality factor of a microbeam resonator. In: Journal of Micromechanics and Microengineering
14 (2004), Nr. 10, S. 1302–1306
[81] Kolb, S.: Persönliches Gespräch. 2009

Literaturverzeichnis 121
[82] Boning, D. ; Chung, J.: Statistical metrology: Understanding spatial variation in semiconductor
manufacturing. In: Technical digest of the SPIE Symposium On Microelectronic
Manufacturing Yield, Reliability, and Failure Analysis, 1996
[83] Maier-Schneider, D.: LPCVD-Polysilizium in der Mikromechanik: Bestimmung der elastischen
Eigenschaften, Technische Universität Berlin, Diss., 1995
[84] Keyes, R. W.: The Electronic Contribution to the Elastic Properties of Germanium. In:
IBM Journal of Research and Development 5 (1961), Nr. 4, S. 266
[85] Hall, J. J.: Electronic effects in the elastic constants of n-type silicon. In: Physical Review
161 (1967), Nr. 3, S. 756–761
[86] Csavinszky, P. ; Einspruch, N. G.: Effect of Doping on the Elastic Constants of Silicon.
In: Physical Review 132 (1963), Nr. 6, S. 2434–2440
[87] Kim, C. K. ; Cardona, M. ; Rodriguez, S.: Effect of free carriers on the elastic constants
of p-type silicon and germanium. In: Physical Review B 13 (1976), Nr. 12, S. 5429–5441
[88] Fjeldly, T. ; Ceideira, F. ; Cardona, M.: Elastic constants and Raman frequencies of
heavily doped Si under uniaxial stress. In: Solid State Communications 12 (1973), Nr. 6, S.
553–556
[89] Bourgeois, C. ; Steinsland, E. ; Blanc, N. ; Rooij, N. F.: Design of resonators for the
determination of the temperaturecoefficients of elastic constants of monocrystalline silicon.
In: Proceedings of the IEEE International Frequency Control Symposium, 1997, S. 791–799
[90] McSkimin, H. J.: Measurement of Elastic Constants at Low Temperatures by Means of
Ultrasonic Waves–Data for Silicon and Germanium Single Crystals, and for Fused Silica. In:
Journal of Applied Physics 24 (1953), Nr. 8, S. 988–997
[91] Atre, A. ; Boedo, S.: Effect of thermophysical property variations on surface micromachined
polysilicon beam flexure actuators. In: Technical Proceedings of the 2004 Nanotechnology
Conference and Trade Show, 2004, S. 263–266
[92] Tarraf, A. ; Daleiden, J. ; Irmer, S. ; Prasai, D. ; Hillmer, H.: Stress investigation
of PECVD dielectric layers for advanced optical MEMS. In: Journal of Micromechanics and
Microengineering 14 (2004), Nr. 3, S. 317–323
[93] Carlotti, G. ; Doucet, L. ; Dupeux, M.: Elastic properties of silicon dioxide films
deposited by chemical vapour deposition from tetraethylorthosilicate. In: Thin Solid Films
296 (1997), Nr. 1-2, S. 102–105
[94] Walmsley, B. A. ; Liu, Y. ; Hu, X. Z. ; Bush, M. B. ; Winchester, K. J. ; Martyniuk,
M. ; Dell, J. M. ; Faraone, L.: Effects of deposition temperature on the mechanical and
physical properties of silicon nitride thin films. In: Journal of Applied Physics 98 (2005), Nr.
4, S. 044904–044904

Abbildungsverzeichnis
1.1. Von Yole Developpment prognostizierte Markentwicklung im Bereich mikroelektromechanischer
Bauelemente für den Zeitraum 2006 bis 2012 . . . . . . . . . . . 2
1.2. Von Yole Developpment prognostiziertes kumuliertes durchschnittliches Wachstum
(CAGR) des MEMS Marktes von 2006 bis 2012 gegliedert nach Bauelementkategorien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Aufbau eines programmierbaren Oszillators mit digitaler Temperatur- und Prozesskompensation
mittels Phase-Locked-Loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1. Gedämpfter Ein-Massen-Schwinger mit Erregung über die Feder . . . . . . . . . . 10
2.2. Elektrisches Ersatzschaltbild eines gedämpften Ein-Massen-Schwinger . . . . . . . 13
2.3. Beidseitig eingespannter Balken: (a) Aufsicht, (b) dreidimensionale Ansicht . . . . 17
2.4. Schematische Darstellung des Wheel-Resonator in Draufsicht . . . . . . . . . . . . 18
3.1. Schematische Darstellung des allgemeinen Prozessflusses zur Herstellung von MEM-
Resonatoren auf SOI-Substrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Elastizitätsmodul von monokristallinem Silizium in Anhängig des Winkels zur 110-
Kristallebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3. Schematische Darstellung der einzelnen Prozessschritte der Lithographie . . . . . 25
3.4. Streuung der Grabenbreite ∆ X durch Streuung von Lithographie (∆ LT ), Hartmaskenätzung
(∆ HM ) und Grabenätzung (∆ T E ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5. Schematische Darstellung des Ankerquerschnitts eines CC-Beams, wie er für die
Finite-Elemente-Methode-Simulation angenommen wird . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6. Simulierte und analytisch bestimmte relative Frequenzänderung f r aufgrund von
prozessbedingten Variationen der Geometrieabmessungen ∆ X . . . . . . . . . . . 32
3.7. Simulierte und analytisch bestimmte relative Frequenzänderung f r aufgrund von
prozessbedingten Variationen der Polysiliziumspacerdicke ∆ S . . . . . . . . . . . . 33
3.8. Simulierte und analytisch bestimmte relative Frequenzänderung f r aufgrund von
prozessbedingten Variationen des Elastizitätsmoduls des Polysiliziumspacers . . . 34
3.9. Simulierte und analytisch bestimmte relative Frequenzänderung f r aufgrund der
Rotation des Resonators bezüglich der 110-Kristallrichtung . . . . . . . . . . . . . 35
3.10. Simulierte relative Frequenzänderung f r aufgrund der Streuung der Burried-Oxide-
Layer-Dicke ∆ BT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.11. Simulierte relative Frequenzänderung f r aufgrund der Streuung der Bauelementebenendicke
∆ DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.12. Simulierte relative Frequenzänderung f r aufgrund der Streuung Unterätzung des
Resonators am Anker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.13. Simulierte relative Frequenzänderung f r des elektrischen Frequenzanteils . . . . . 39
3.14. Relative Frequenzänderung eines Wheel-Resonator aufgrund von Geometrie- und
Polysiliziumspacerdickenschwankungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

124 Abbildungsverzeichnis
3.15. Relative Frequenzänderung eines Wheel-Resonator aufgrund von Schwankungen
des Elastizitätsmodul des Polysiliziumspacers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.16. Relative Frequenzänderung eines Wheel-Resonators aufgrund Rotation . . . . . . 41
3.17. Relative Frequenzänderung eines Wheel-Resonators aufgrund von Unterätzung und
Box-Schwankung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.18. Relative Frequenzänderung eines Wheel-Resonator aufgrund von Device Layer . . 43
3.19. Simuliertes Dotierstoffprofil für die zweistufige Implantation mit anschließender
Ausheilung für Arsen und Bor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.20. Von Hsu et al. gezeigter Resonator mit Temperaturkompensation durch Zugstress 55
3.21. Schematische Darstellung eines Resonators im Bereich des Anregespaltes mit Embedded-
Oxide-Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.22. Temperaturkoeffizienten erster Ordnung der Resonanzfrequenz für Wheel-Resonatoren
mit verschiedenen Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnissen R s . . . . . . . . . . . 57
3.23. Temperaturkoeffizienten zweiter Ordnung der Resonanzfrequenz für Wheel-Resonatoren
mit verschiedenen Siliziumdioxid-zu-Silizium-Verhältnissen R s . . . . . . . . . . . 58
3.24. Relative Frequenzänderung f r in Abhängigkeit der Temperatur T für drei mittels
Embedded-Oxide-Konzept kompensierte Wheel-Resonatoren . . . . . . . . . . . . 58
3.25. Positionen im Bereich des Ankers des Wheel-Resonators an denen der Einfluss von
embedded oxide“ auf die Resonanzfrequenz sowie das Verhältnis der kinetischen
”
Energien zwischen Resonator und Anker R E untersucht wird . . . . . . . . . . . . 59
3.26. Simulierte Resonanzfrequenzen und Verhältnisse der kinetischen Energien für Resonatoren
mit Embedded-Oxide-Strukturen im Bereich der inneren Federn . . . . 60
4.1. Silicon-on-Insulator Grundmaterial für die Herstellung von mikroelektromechanischen
Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2. Standardprozess: Querschnitt nach der Grabenätzung mit Siliziumdioxid Hartmaske
mittels Deep-Reactive-Ion-Etching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3. Standardprozess: Querschnitt nach dem Verfüllen der geätzten Gräben mit Siliziumdioxid
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4. Standardprozess: Querschnitt nach dem Strukturieren der Siliziumnitridschicht für
den Verschluss und der Formung der Ätzkanäle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5. Standardprozess: Querschnitt nach dem Freiätzen des Resonators und Vakuumverschließen
des Hohlraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6. Standardprozess: Querschnitt des fertig prozessierten Resonators mit einer Metallebene
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7. Oxide-Fill-Prozess: Querschnitt nach der Grabenätzung mit Siliziumdioxid Hartmaske
mittels deep reactive ion etching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.8. Oxide-Fill-Prozess: Querschnitt nach dem Verfüllen der geätzten Gräben mit Siliziumdioxid
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.9. Oxide-Fill-Prozess: Querschnitt nach anisotropen Ätzen zur Herstellung der Polysilizium
Spacer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.10. Messaufbau zur Charakterisierung von MEM-Resonatoren . . . . . . . . . . . . . 67
4.11. Vollständiges Ersatzschaltbild des Resonators bei der Charakterisierung . . . . . . 67
5.1. Aufteilung des Wafers nach x- und y-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2. Box-Plot der Verteilung der mechanischen Resonanzfrequenz des CC27 auf den
Wafern #1 bis #5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Abbildungsverzeichnis 125
5.3. Wafermap der Verteilung der Statischen Kapazität C 0 des CC27 auf Wafer #1 . . 73
5.4. Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des Mittelwerts
f r des CC27 auf Wafer #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5. Wafermap der Verteilung der statischen Kapazität C 0 des CC27 auf Wafer #4 . . 75
5.6. Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des Mittelwerts
f r des CC27 auf Wafer #4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.7. Wafermap der Verteilung der Statischen Kapazität C 0 des CC01 auf Wafer #4 . . 77
5.8. Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des Mittelwerts
f r des CC01 auf Wafer #4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.9. Wafermap der Verteilung der Statischen Kapazität C 0 des CC26 auf Wafer #4 . . 79
5.10. Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des Mittelwerts
f r des CC26 auf Wafer #4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.11. Relative Variation der Resonanzfrequenzen der drei untersuchten CC-Beams, CC01,
CC26 und CC27 auf Wafer #4 sortiert nach Größe . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.12. Box-Plot der Verteilung der mechanischen Resonanzfrequenz des Wheel-Resonator
auf den Wafern #1 bis #5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.13. Wafermap der Verteilung der Statischen Kapazität C 0 des Wheel-Resonator auf
Wafer #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.14. Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des Mittelwerts
f r des Wheel-Resonator auf Wafer #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.15. Wafermap der Verteilung der Statischen Kapazität C 0 des Wheel-Resonator auf
Wafer #4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.16. Wafermap der Verteilung der relativen Frequenzverschiebung bezüglich des Mittelwerts
f r des Wheel-Resonator auf Wafer #4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.17. Betrag der Impedanz über die Frequenz für vier verschieden mit Bor dotierte und
einen undotierten Wheel-Resonator bei einer Temperatur von 15 ◦ C und einer Bias-
Spannung von 40V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.18. Betrag der Impedanz über die Frequenz für vier verschieden mit Arsen dotierte
und einen undotierten Wheel-Resonator bei einer Temperatur von 15 ◦ C und einer
Bias-Spannung von 40V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.19. Gemessene Resonanzfrequenzen des CC01, CC26 und CC27 im Temperaturbereich
von 15 ◦ C bis 125 ◦ C und lineare Kurvenanpassungen an die Messwerte . . . . . . 88
5.20. Gemessene Resonanzfrequenzen des Wheel-Resonator im Temperaturbereich von
15 ◦ C bis 125 ◦ C und lineare Kurvenanpassung an die Messwerte . . . . . . . . . . 89
5.21. Betrag der Impedanz über die Frequenz im Bereich der Resonanzfrequenz für mittels
Embedded-Oxide-Konzept kompensierte Wheel-Resonatoren bei Bias-Spannungen
mit verschiedenen Beträgen und Polaritäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.22. Rasterleketronenmikroskop-Aufnahmen des Wheel-Resonators zu verschiedenen Zeitpunkten
im Herstellungsprozess: (a) Nach der Ätzung der Gräben zur Geometriedefiniton
und für Embedded-Oxide, (b) nach der Strukturierung des Polysiliziumspacer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.23. Rasterelektronenmikroskopaufnahme eines Querschnitts durch einen Wheel-Resonator
mit Embedded-Oxide-Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.24. Rasterleketronenmikroskop-Aufnahmen zweier Querschnitte eines Wheel-Resonators
mit Embedded-Oxide-Strukturen (a) Übersicht über mehrere Gräben (b) Nahaufnahme
des Bodenbereichs der Gräben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

126 Abbildungsverzeichnis
5.25. Resonanzfrequenzen und Güten von Wheel-Resonatoren mit Embedded-Oxide-
Strukturen im Bereich der inneren Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.26. Resonanzfrequenzen und Güten von mittels Embedded-Oxide-Konzept temperaturkompensierten
Wheel-Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.27. Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz von vier lokal mit Bor dotierten
und einem undotierten Wheel-Resonator für einen Temperaturbereich von 15 ◦ C
bis 125 ◦ C bei einer Bias-Spannung von 40V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.28. Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz von vier lokal mit Bor dotierten
und einem undotierten Wheel-Resonator für einen Temperaturbereich von 15 ◦ C
bis 125 ◦ C bei einer Bias-Spannung von 40V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Tabellenverzeichnis
1.1. Genauigkeitsklassen für Quarz-Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1. Anforderungen an die Frequenzgenauigkeit für den Einsatz als Filter und Frequenzreferenz
am Beispiel des NDK AT-51 Quarz-Resonator und des Murata SFELF10M7F
A00-B00 keramischen Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Länge l und Breite w der drei verschiedenen untersuchten CC-Beams . . . . . . . . 29
3.3. Sensitivitäten der Resonanzfrequenz von drei verschiedenen CC-Beams hinsichtlich
verschiedener Prozessstreuungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4. Von Hall ermittelte elastische Konstanten für undotiertes und degeneriert Phosphor
dotiertes Silizium bei 25 ◦ C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5. Simulierte relative Frequenzverschiebungen eines Wheel-Resonators aufgrund einer
lokalen n-Dotierung mit Phosphor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6. Prozessparameter für die Ionenimplantation und das Ausheilen der Wheel-Resonatoren
mit Bor und Arsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7. Temperaturkoeffizienten erster und zweiter Ordnung der drei unabhängigen elastischen
Konstanten von monokristallinem Silizium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.8. Simulationsergebnisse für die Temperaturdrift von drei verschiedenen CC-Beams
mit vier verschiedenen Simulationskonfigurationen: A) Temperaturdrift aufgrund
des Elastizitätsmoduls, B) Temperaturdrift aufgrund der thermischen Expansion,
C) Resonator ohne Polysiliziumspacer, D) vollständiges Model unter Berücksichtigung
des Substrats und der Schichten des Vakuumverschlusses. . . . . . . . . . . . 53
4.1. Ungefähre Resonanzfrequenz f s , Messbereiche f span , absoluter f err und relativer
Frequenzfehler f err,r aufgrund der begrenzten Auflösung der Messung für die verschiedenen
in der Arbeit charakterisierten Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1. Mittelwerte, Standardabweichungen, Minima, Maxima, absolute und relative Spannweite
der Resonanzfrequenzen des CC27 auf den Wafern #1 bis #5 . . . . . . . . . 76
5.2. Mittelwerte, Standabweichungen, Minima, Maxima, absolute und relative Spannweite
der Resonanzfrequenzen des Wheel-Resonators auf den Wafern #1 bis #5 . . 85
5.3. Resonanzfrequenz (f 0 ), Güte(Q) und relative Frequenzverschiebung im Bezug auf
einen undotierten Resonator (f r ) bei einer Temperatur von 15 ◦ C und einer Bias-
Spannung von 40V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4. Ermittelte Temperaturkoeffizienten der Resonanzfrequenz erster (β) und zweiter
Ordnung (α) für fünf mittels Embedded-Oxide-Konzept kompensierte Wheel-
Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5. Ermittelte Temperaturkoeffizienten der Resonanzfrequenz erster (β) und zweiter
Ordnung (α) für vier mit Bor dotierte und einen undotierten Wheel-Resonator . . 98
5.6. Ermittelte Temperaturkoeffizienten der Resonanzfrequenz erster (β) und zweiter
Ordnung (α) für vier mit Arsen dotierte und einen undotierten Wheel-Resonator . 99