Fraktale Dimension und gebrochene Brownsche Bewegung

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(&)

* $+
• von Benoît Mandelbrot (1975) geprägter
Begriff
• lat. fractus: gebrochen, von frangere:
brechen, in Stücke zerbrechen
• Gebilde mit hohem Grad von
Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit
• jeder noch so kleine Teil einer Punktmenge
besitzt strukturelle Details
)(&)

,
Farnblatt
Romanesco
Wolkenfeld
Nautilus-Muschel
-(&)

.
Peano-Gosper-Kurve
Heighway-Drachen
Mandelbrot-Menge
Julia-Menge
/(&)

#0
• Vermessung der Küstenlänge
Großbritanniens
• geht auf Mandelbrot zurück
• Länge abhängig vom gewählten Maßstab:
Maßabstände
500 km
100 km
54 km
17 km
Küstenlänge
2600 km
3800 km
5770 km
8640 km
• Küstenlänge strebt bei kleinerwerdenden
Abständen gegen unendlich
1(&)

#0
• Frage nach Länge (Fläche, Volumen) falsch
bzw. schlecht gestellt
• bei derartiger Komplexität: übliche
Messbegriffe verlieren ihren Sinn
• Messung des Komplexitätsgrades:
Betrachten Verhältnis von Länge (Fläche,
Volumen) zu immer kleineren Maßstäben
2(&)

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• kein einfacher Begriff
• um 1900: Hauptproblem in der Mathematik
= Klärung des Begriffes der Dimension
• seither Situation eher verschlimmert
• heute etwa 10 Dimensionsbegriffe:
– z.B. topologische, Hausdorff-, fraktale,
Selbstähnlichkeits-, Box-, Kapazitäts-,
Informations-, Euklidische Dimension
• Bedeutung und Übereinstimmung
situationsabhängig
• Beschränkung auf wichtige:
Selbstähnlichkeits-, Box-, Hausdorff-
Dimension
3(&)

• Definition Selbstähnlichkeit:
– Struktur heißt selbstähnlich, wenn sie in beliebig
kleine Teile zerlegt werden kann, von denen jeder
eine kleine Kopie der ganzen Struktur ist
– hervorgegangen durch Ähnlichkeitstransformation
• Erzeugung durch Iterierte
Funktionensysteme
(&)

0
• Koch-Kurve
• Kochsche Schneeflocke
(&)

0
• Sierpinski-Dreieck
• Sierpinski-Teppich
&(&)

!
• nicht jede selbstähnliche Struktur ist ein Fraktal
• Eigenschaft von selbstähnlichen Strukturen:
Beziehung Verkleinerungsfaktor s (Skalierungsfaktor)
und Anzahl der verkleinerten Teile a
• Potenzgesetz-Verknüpfung:
a
=
1
s
D
D S
⇔
S
=
log a
log(1 s)
• Beispiele:
– Strecke: D S
= 1
– Quadrat: D S
= 2
– Würfel: D S
= 3
– Koch-Kurve: D S
= log 4/log 3 = 1.2619...
)(&)

"!
• beseitigt Problem bei nicht selbstähnlichen oder sehr
unregelmäßigen Fraktalen
• lässt sich auf jede Struktur in der Ebene anwenden
• Verfahren:
1) über Struktur wird ein regelmäßiges Gitternetz mit
Maschenweite s gelegt
2) Zählen der Gittermaschen (engl.: boxes), welche von
der Struktur geschnitten werden
• ergibt Zahl N(s), abhängig von s
• Eintragen der Werte in ein doppellogarithmisches
log(N(s)) – log(1/s)-Diagramm
• Anpassen der Werte an eine Gerade
• dann ist D B gleich dem Anstieg dieser Geraden
-(&)

"!
Beispiel: Farnblatt
/(&)

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• in der Praxis Halbierung der Maschenbreite
üblich
• Berechnungsvorschrift:
D
B
=
lim log
k→∞
k
N(1
2
N(1
2
2 k
)
)
N(s) – Anzahl der geschnittenen Flächen
k - Iterationsschritt
+ 1
4(&)

"!
• Eigenschaften:
– in vielen Fällen D B = D S (aber nicht allgemein
gültig)
– D B in der Ebene nie größer als 2
– Selbstüberschneidungen der Struktur werden
nicht doppelt gezählt
• Vorteile:
– einfache und automatische Berechenbarkeit
– kann für Formen mit und ohne Selbstähnlichkeit
verwendet werden
– leicht erweiterbar auf höherdimensionale Räume
1(&)

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• theoretisch von großer Bedeutung
• für praktische Zwecke aber ungeeignet, da
schwierig zu berechnen und schwer
abschätzbar
• Gegensatz zur Box-Dimension:
Überdeckung von abzählbar vielen
Kreisscheiben vom Durchmesser < s
• man kann zeigen: ex. D B ex. D H und es
gilt D H D B
2(&)

#0
Dimension der Küstenlinie Großbritanniens
D
B
=
log 283−
log194
log32 − log 24
≈
2.45 − 2.29
1.51−1.38
≈1.31
( ≈1.2)
3(&)

• auch Brownsche Molekularbewegung
• nach dem schottischen Botaniker Robert
Brown benannte thermisch getriebene
Eigenbewegung von Teilchen
• Versuch: Rußpartikel
erfahren in einem
Wassertropfen
unregelmäßige,
zuckende Bewegungen
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• Erklärung: Anstoß von umgebenden
Wassermolekülen
(&)

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• mathematische Eigenschaften:
– Gesamtverschiebung nach Zeit t ist im
Durchschnitt 0
– Stichproben der Verschiebung nach
Zeitintervallen t ergeben Glockenkurve
• Verschiebung nach der Zeit t =
Zufallsvariable mit Gaußverteilung X(t)
• Erzeugung Gaußscher / normalverteilter
Zufallszahlen z.B. durch Box-Muller-
Methode
&(&)

05
• Variante 1: Aufsummierung unabhängiger,
normierter Gaußscher Zufallsvariablen
• Variante 2: Mittelpunktverschiebung
• Algorithmus:
1) Schritt 0: wähle Starthöhenwerte X(0) und X(1)
2) Schritt k: je zwei aufeinanderfolgende Punkte
werden linear interpoliert und der Mittelpunkt um
D k verschoben
3) wiederhole 2)
für alle Punkte
!"#$"#$
)(&)

05
• Skalierung beachten!
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• D k ist Gaußsche Zufallszahl mit Faktor s(k),
wobei
1
s ( 1) = , s(
n + 1) = s(
n)
2
• Vorteil zu Variante 1: leichte
Verallgemeinerung auf mehrere
Raumdimensionen
1
2
-(&)

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• engl.: fractional Brownian motion
• bei falscher Skalierung: Aussehen der
Kurve ändert sich
falsch
falsch
richtig
• gesucht: in vertikale Richtung
skaleninvariante Kurve für gegebenen
Skalierungsfaktor (zwischen 1 und 2)
/(&)

• Verallgemeinerung durch Einführung des
Hurst-Exponenten H:
0 ...... stark zerklüftet
0.5 ... Brownsche Bewegung
1 ...... sehr glatt
• Gebrochene Brownsche Bewegung
• Änderungen an s(k):
!"#$"#$
s(1,
H )
=
1−
2
(2H
−2)
,
s(
n + 1, H )
=
s(
n,
H )
1
2
H
• Dimension: D B = 2 – H
4(&)

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• Erzeugung fraktaler Oberflächen
• Dreieck als Ausgangsfläche
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• Algorithmus (nach Carpenter):
1) wähle Startdreieck mit zufälligen Höhenpunkten
2) interpoliere alle drei Seiten nach 1-dim.
Verfahren und entsprechendem Faktor s(k,H)
3) wiederhole 2) für alle neu entstandenen
Teildreiecke
1(&)

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• Quadrat als Ausgangsfläche
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• Diamond-Square-Algorithmus:
1) Wähle Startquadrat mit beliebigen Höhenwerten
2) Interpoliere die Eckpunkte zu neuem Mittelpunkt
(ähnlich 1-dim. Verfahren) [rot]
3) Interpoliere mit je zwei benachbarten neuen
Mittelpunkten und zwei benachbarten alten
Punkten [grün]
4) Wiederhole 2) und 3) mit allen neu entstandenen
Quadraten
2(&)

!"#$"#$
'$%
• Verfeinerungen für realistischere
Landschaften:
– Hinzufügen eines „Rauschens“ zur Brownschen
Oberfläche
– Täler glatter, Berge rauher machen
– Normalverteilung durch schiefe Zufallsverteilung
ersetzen
&3(&)

0
!"#$"#$
&(&)

.
• Erzeugung von Küstenlinien:
1) wähle grobes Startpolygon
(per Hand oder zufällig)
2) für jede Randlinie: 1-dim.
Mittelpunktverschiebung
3) wiederhole 2) für jede
neuentstandene Randlinie
• Mängel:
– Selbstüberschneidungen der Grenzkurve
– keine Inseln in Küstennähe
• Alternative:
1) erzeuge fraktale Landschaft
!"#$"#$
2) schneide auf beliebiger Höhe mit Ebene
3) Schnittpolygon = fraktale Küstenlinie
&(&)

* %$
• Zweidimensional:
– Erzeugen einer fraktalen Landschaft
– Zuordnung eines Farbtons zu jedem Höhenwert
(blau ... hellblau ... weiß)
• Dreidimensional:
– Ausgangsform ist Würfel
– Jeder Punkt innerhalb des Würfels erhält numerischen
Wert
– Interpretation als Temperatur, Druck,
Wasserdampfdichte, etc.
• Vierdimensional:
!"#$"#$
– Wolken in der Zeit ebenfalls fraktal
– Darstellung von Bewegungsabläufen von 3D-Wolken
mit 4-dimensionalen Fraktalen
&&(&)

0
!"#$"#$
&)(&)

% !
'56
• Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D.: Bausteine
des Chaos - Fraktale. Klett-Cotta/Springer, Berlin /
Stuttgart 1992
• Encarnação, José; Straßer, Wolfgang; Klein,
Reinhard: Graphische Datenverarbeitung Bd.2. 4.
Aufl., R. Oldenbourg Verlag, München 1996.
• Foley, James D.; van Dam, Andries; Feiner, Steven
K.; Hughes, John F.: Computer Graphics. Principles
and Practice. 2nd ed., Addison-Wesley, Reading
1990.
• W. Kurth, Vorlesungsskript Computergrafik WS
2002/03:
– http://www-gs.informatik.tu-cottbus.de/~wwwgs/cg2_v10a.pdf
– http://www-gs.informatik.tu-cottbus.de/~wwwgs/cg2_v10b.pdf

7$56
% !
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Fern02.jpg/800px-Fern02.jpg
http://www.mannheimer-schulen.de/lilo/static/unterricht/gfs/fraktale-Dateien/image047.png
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Cirrocumulus_to_Altocumulus.JPG
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg
http://mathforum.org/advanced/robertd/peano-gosper.gif
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/6/69/Fractal_dragon_curve.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Mandelbrot_set_with_coloured_environment.png
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Julia_set_%28highres_01%29.jpg
http://www.math.vt.edu/people/hoggard/FracGeom/pics/crude.GIF
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ed/Koch_curve_%28L-system_construction%29.jpg (*)
http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/KochSnowflakeMotif_800.gif (*)
http://www.scientificweb.com/testreport/mathbench4/snowflake.jpg
http://neu.fhbb.ch/01/03/0/msteiner/Interessen/Fraktale/Bilder/SierpinskiDreieck.jpg (*)
http://neu.fhbb.ch/01/03/0/msteiner/Interessen/Fraktale/Bilder/SierpinskiTeppich.jpg (*)
http://www.wzw.tum.de/ane/dimensions/fernbox.gif
http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_95/journal/vol4/ykl/report.br1
http://www.gameprogrammer.com/fractal/dsa.gif (*)
http://www.stevecarter.com/art/art7.jpg
http://www.oisyn.nl/pics/d3dlandscape1.jpg
http://cjain.free.fr/plages.jpg
http://www.maxon.net/pages/dyn_files/dyn_htx/htx/148/00148_00148_1_l.jpg
http://www.terradreams.de/All/Bilder/ForceMajeure800.jpg
___________________
(*) Abbildung wurde bearbeitet