Risikosteuerung mit Kreditderivaten unter besonderer - Frankfurt ...

der Diskontfaktor DF[(t i-1 +t i )/2]. Im Gegensatz zum Fee-Leg muss die Zahlung nicht mit der
Überlebenswahrscheinlichkeit p surv (i), sondern mit der Ausfallwahrscheinlichkeit p def (i)
gewichtet werden, da die Ausgleichszahlung nur erfolgt, wenn es zum Default kommt. Als
Letztes ist die Summe aller potentiellen Ausfallzeitpunkte τ bis zum Ende der Laufzeit des
CDS-Kontraktes zu bilden:
(4)
PV
Cont
=
n
∑
N ⋅(1−
R)
⋅ DF
⎡ ti−1
+ ti
⎤
i= 1
⎢ 2 ⎥
⎣ ⎦
= N ⋅(1
− R)
⋅
n
∑
DF
⎡ ti−1
+ ti
⎤
i= 1 ⎢
⎣ 2 ⎥ ⎦
⋅ p
def
⋅(
p
surv
(i)
(i −1)
−
p
surv
(i))
4.3.4 Fairer Default Spread
Der „faire” Default Swap Spread ist definiert als derjenige Spread, bei dem der Marktwert des
CDS genau „Null“ entspricht. Unter den Annahmen eines perfekten Markts wird ein Geschäft
immer gerade so vereinbart, dass es „fair“ ist. Der Marktwert ergibt sich aus der Summe der
Barwerte beider Komponenten des CDS, also dem Fee- und dem Contingent-Leg. In diesem
Zusammenhang ist zu beachten, dass die einzelnen Bestandteile je nachdem, ob die
Zahlungsströme aus Sicht des Sicherungsnehmers oder des Sicherungsgebers betrachtet
werden sollen, mit einem negativen Vorzeichen für Zahlungsausgänge bzw. mit einem
positiven Vorzeichen für Zahlungseingänge versehen werden müssen. Dies ändert jedoch
nichts an der Höhe des fairen Default Spreads. Daraus folgt aus Sicht des
Sicherungsnehmers: 78
(5) 0 = −PV
= −N
⋅ S
CDS
+ N ⋅(1
− R)
⋅
Fee
⎛
⋅⎜
⎜
⎝
n
+ PV
n
∑
Cont
Δi
⋅ DF
⎡ ti−1
+ ti
⎤
i= 1 ⎢
⎣ 2 ⎥ ⎦
⋅(
p
(i) +
surv
Δi
⋅ DF
2
i surv
⎡ ti−1
+ ti
⎤
i= 1
i= 1
⎢
⎣ 2 ⎥ ⎦
∑
DF
⋅ p
n
∑
(i −1)
− p
surv
(i))
⋅(
p
surv
(i −1)
−
p
surv
⎞
(i)) ⎟
⎟
⎠
Durch Auflösen der Formel (5) nach S CDS erhält man den fairen Default Spread:
78 Ohne die in Abschnitt 4.3.2 getroffene Annahme, dass τ in der Mitte einer Periode [t i-1 ,t i ] liegt, wäre die
mathematisch exakte Bewertungsformel (vgl. Schmidt, Wolfgang: Credit Default Swaps: Analyse und
Bewertung. Deutsche Bank, Global Markets Research & Analytics. März 2001. S.15):
0 = −N
⋅ S
CDS
+ N ⋅ (1 − R)
⋅
⎛
⋅ ⎜
⎜
⎝
t
n
∫
t
0
n
∑
Δi
⋅ DF
u
⋅ ( p
surv
⋅ p
(u) − p
(i) +
i surv
i= 1
i=
1 t
DF
surv
n
i
∑∫
(u +
t
i=
1
u − t
Δi
⋅
t − t
du)), mit u
i
i-1
i-1
⋅ DF
u
⋅ ( p
surv
(u) − p
= Ausfallzeitpunkt
surv
⎞
(u + du)) ⎟
⎟
⎠
Frankfurt School of Finance & Management
Working Paper No. 80
31