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LB 2: Grenzwert - Musterlösungen
Beispiel.: Gebrochenrationale Funktion
Definitionsbereich: D f
= R \ {− 1;1 }
2
x + 2x − 3
(x) =
x −1
f
2
An den Stellen x 1
= 1 und = −1
existieren keine Funktionswerte
x 2
Wie verhalten sich die Funktionswerte in der Umgebung von x 1
= 1 und = −1
???
1. Untersuchung der Funktionswerte in der Umgebung von x 1 = 1
links von 1 x < 1
rechts von 1 x > 1
f (0,9) = 2,05
f (1,1) = 1,95
f (0,99) =
f (0,999) =
2,005
2,0005
f (1,01) = 1,995
f (1,001) = 1,9995
Je näher die x-Werte bei x = 1 liegen, um so näher liegen die Funktionswerte bei f (x) = 2
Diesen Funktionswert nennt man Grenzwert der Funktion an der Stelle x = 1.
Definition 1: Für den Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle
(gespochen: Limes (Grenzwert) von f(x) für x gegen a)
2
x + 2x − 3
Für unser Beispiel können wir also schreiben: lim = 2
2
x→1
x −1
x
2. Untersuchung der Funktionswerte in der Umgebung von 2 = −1
x 2
x = a schreibt man lim f(x)
a
links von − 1 x < −1
rechts von − 1 x > −1
f(
− 1,1) = −19
f ( − 0,9) = 21
f(
− 1,01) = −199
f(
− 1,001) = −1999
Nähern sich die x-Werte von links dem Wert
x = −1, um so kleiner werden die Funktionswerte.
Diesen Funktionswert nennt man linksseitigen
Grenzwert der Funktion an der Stelle x = −1.
f ( − 0,99) = 201
x→
.
f ( − 0,999) = 2001
Nähern sich die x-Werte von rechts dem Wert
x = −1, um so größer werden die Funktionswerte.
Diesen Funktionswert nennt man rechtsseitigen
Grenzwert der Funktion an der Stelle x = −1.
Definition 2: Für den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle
man lim f(x)
bzw. lim f(x)
.
x→a
x < a
x→a
x > a
2
x + 2x − 3
Für unser Beispiel können wir also schreiben: lim = −∞ bzw.
2
x→−1
x −1
x −1
x = a schreibt
Da " −∞ " und " ∞ " keine Werte sind, mit denen man rechnen kann, nennt man sie uneigentliche Werte.
Definition 3: Die Grenzwerte " −∞ " und " ∞ " nennt man uneigentliche Grenzwerte.
Definition 4: Stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle
so spricht man nur vom Grenzwert der Funktion f(x) an der Stelle x = a .
x = a überein,
Also: Wenn lim f(x)
= lim f(x)
x →a
x < a
x →a
x > a
lim f(x)
= lim f(x)
x →a
x < a
x →a
x > a
= ) lim
a
f(x
x→
© Meinelt 2007-07-16

LB 2: Grenzwert - Musterlösungen
Berechnung von Grenzwerten
Grenzwertsätze:
1
1. a) lim = −∞
x→0
x
x < 0
1
b) lim = ∞
x→0
x
x > 0
1
2. lim = 0
x→±∞
x
3. lim ( k ⋅ f(x) ) = k ⋅ lim f(x)
mit k ∈ R
x → a
x→a
4. lim ( f(x) ± g(x) ) = lim f(x) ± lim g(x
x → a
→ a x→a
5. a) ( f(x) • g(x) )
lim
x → a
x
)
= lim f(x) • lim g(x
a a
)
b)
x → x→
f(x) lim f(x)
x→a
lim =
x→a
g(x) lim g(x)
Beispiele:
2
2
3x + 1
1) lim (2x − 3x + 4) = 18
7
1+
x
2) lim = −
3 3) lim = ∞
2x + 3
4) lim =
x→−2
x → 2 1−
2x
x→11−
x
→−
x 2
x 1 −1
x + 1 0
Problem: lim =
→−
x 2 ?!
x 1 −1
0
Satz: Führt die Berechnung des Grenzwertes einer Funktion f(x) an der Stelle x = a auf einen
unbestimmten Ausdruck der Form "0:0", so gilt:
u(x) (x − a) ⋅uR(x)
uR(x)
lim = lim
= lim ; mit ( x − a)
Linearfaktor und u R
(x)
und v R
(x)
Restpolynome
x→a
v(x) x→a
(x − a) ⋅ v (x) x→a
v (x)
x + 1 x + 1 1
lim =
= =
2 lim
lim
x→−1
x −1
x→−1(x
+ 1) ⋅(x
−1)
x→−1
x −1
R
R
1
−
2
2
x − x − 6 (x + 2) ⋅(x
− 3) x − 3
Beispiel: lim =
= =
2 lim
lim
x→−2
x + x − 2 x→−2
(x + 2) ⋅(x
−1)
x→−2
x −1
Verhalten im Unendlichen:
Ausklammern der höchsten Potenz im Zähler und Nenner:
2
2
1
1
3x + 1 x ( 3 + )
2
3 +
Bsp. 1)
=
x
2
=
x 3
lim 2 lim 2
lim
x→∞
+ − x→∞
4 1
+ − x→∞
1
5x 4x 1 x 5
5 +
4 5
−
Bsp. 2)
Bsp. 3)
5
3
x < 1
x→a
=
( )
x
x
2
x
x
2
2 5 4
5 4
x ( 7 − ) ( − + )
x
+
2
7
=
( x
x
x
2
− − ) ⋅ ( − − ) =
3
lim
2 1
x→−∞
2 1
x 1
x
x
x
3
x
x
3
4 2 4
2 4
x ( 5 +
2
+
4
) x ⋅ ( 5 + + )
=
=
( x x
x
2 4
− − ) →−∞
2 1
( x
3
lim
2 1
x 1
x −
x
−
3
)
2
7x − 5x + 4
lim =
3 2 lim
0
→−∞ x − 2x −1
x →−∞
x 1
4 2
5x + 2x + 4
lim
= lim
− 2x −1
3 2
x→−∞
x
x→−∞
1
x
x
3
x
−∞
x > −1
− ∞
© Meinelt 2007-07-16