Lineare Algebra I, Serie 6 1 SA 2010 Prof. Dr. Anand Dessai Lineare ...

Lineare Algebra I, Serie 6 1
SA 2010
Lineare Algebra I, Serie 6
abgeben vor dem 11 November 2010, 16:00
Prof. Dr. Anand Dessai
Notation
Sei K ein Körper und a 0 , a 1 , . . . a n ∈ K. Der Ausdruck
p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n
heisst Polynom auf dem Körper K. Der Grad grad(p) des Polynoms p ist definiert durch
{
max {i ∈ N| a i ≠ 0} , falls p ≠ 0
deg(p) :=
−∞, falls p = 0.
Der K-Vektorraum der Polynome p vom Grad deg(p) ≤ n ist definiert durch
{ ∣ n∑
}
∣∣∣∣
K [x] n
:= a i x i a i ∈ K, für alle i = 1, . . . , n
i=0
mit den Operationen,
p + q :=
n∑
(a i + b i )x i , λ · p :=
i=0
n∑
(λ · a i )x i
∑
für alle Polynome p, q ∈ K [x] n
, p(x) = n a i x i ∑
und q(x) = n b i x i und alle λ ∈ K.
i=0
i=0
i=0
Aufgabe 1. (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass
a) Die Polynome p 0 (x) = 1, p 1 (x) = 3+5x und p 2 (x) = 2x−3x 2 eine Basis des R-Vektorraum
R [x] 2
ist.
b) Seien p 0 , p 1 , . . . , p n beliebige Polynome in K [x] n
mit deg(p i ) = i, für i = 0, . . . , n. Dann
formen p 0 , p 1 , . . . , p n eine Basis von dem K-Vektorraum K [x] n
.
Notation
Die Abbildung 〈·, ·〉 : R 3 ×R 3 → R, 〈v, w〉 := v 1 w 1 +v 2 w 2 +v 3 w 3 für alle v = (v 1 , v 2 , v 3 ) T ∈ R 3 ,
w = (w 1 , w 2 , w 3 ) T ∈ R 3 heisst Skalarprodukt auf R 3 . Wir sagen, dass v senkrecht auf w steht
(v⊥w), wenn 〈v, w〉 = 0. Sei W ⊂ R 3 eine beliebige Teilmenge. Dann heisst
das orthogonale Komplement von W in R 3 .
W ⊥ := { v ∈ R 3∣ ∣ v⊥w für alle w ∈ W
}
Aufgabe 2. (4 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass W ⊥ ein Unter-Vektorraum von R 3 ist.
b) Sei v = (1, 2, 3) T . Finden Sie eine Basis von {v} ⊥ .

Lineare Algebra I, Serie 6 2
Aufgabe 3. (4 Punkte)
Sei C 0 (R, R) der R-Vektorraum der stetigen Funktionen f : R → R. Sei f n : R → R
{
sin(x), falls 2nπ ≤ x ≤ (2n + 1)π
f n (x) :=
, n ∈ N.
0 sonst.
a) Zeichnen Sie den Graph von f n .
b) Zeigen Sie, dass f 0 , . . . , f r linear unabhängig in C 0 (R, R) für alle r ∈ N sind.
c) Zeigen Sie, dass dim C 0 (R, R) = ∞ ist.
Aufgabe 4. (4 Punkte)
a) Sei V ein K-Vektorraum von endlicher Dimension und W ein Unter-Vektorraum von V .
i) Zeigen Sie, dass dim W ≤ dim V
ii) Zeigen Sie, dass (dim W = dim V ) ⇐⇒ (W = V )
b) Sei V ein K-Vektorraum unendlicher Dimension, W ein K-Vektorraum und f : W → V
ein surjektiver Homomorphismus. Zeigen Sie, dass dim W = ∞.