Spektralanalyse der Sonnenfleckenaktivität

Numerische Mathematik II
– Spektralanalyse mit der DFT –
Andreas Rieder
UNIVERSITÄT KARLSRUHE (TH)
Institut für Wissenschaftliches Rechnen
und Mathematische Modellbildung
und
Institut für Angewandte und
Numerische Mathematik
c○Andreas Rieder, Numerische Mathematik II, Wintersemester 07/08 – p.1/5

Sonnenflecken-Relativzahl (Wolfsche Relativzahl)
Sonnenflecken treten zyklisch auf. Ungefähr alle 11 Jahre erreicht die Sonnenfleckenaktiviät
ihr Maximum. Dies wollen wir mit der DFT bestätigen.
Die Sonnenfleckenintesität eines Jahres wird durch die Sonnenflecken-
Relativzahl (Wolfsche Relativzahl) gemessen. Astronomen haben diese Zahl
seit fast 300 Jahren tabelliert.
200
Wolfsche Relativzahl (Sonnenfleckenintensitaet)
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000
Wolfsche Relativzahl von 1700 bis 1987
c○Andreas Rieder, Numerische Mathematik II, Wintersemester 07/08 – p.2/5

Periodogramm I
Der Vektor f ∈ C 288 beinhalte die gemessenen 288 Werte:
f k : Wolfsche Zahl des Jahres 1700 + k, k = 0, . . .,287.
Da wir nur an Schwingungen (periodische Vorgänge) interessiert sind, transformieren
wir f so, daß der neue Vektor einen verschwindenen Mittelwert hat:
Setzte
f 0 j = f j − 1
288
∑287
k=0
f k , d.h.
∑287
k=0
f 0 k = 0 bzw. (D 288 f 0 ) 0 = 0.
150
Wolfsche Relativzahl mit Mittelwert 0
100
50
0
−50
1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000
c○Andreas Rieder, Numerische Mathematik II, Wintersemester 07/08 – p.3/5

Periodogramm II
Unter dem Periodogramm von f 0 verstehen wir die Werte |(D 288 f 0 ) k | 2 aufgetragen
gegen die Indizes k = 0, . . .,287. Wegen
w k = w 288−k , was |(D 288 f 0 ) k | = |(D 288 f 0 ) 288−k | impliziert,
genügt es, für k nur die Werte {0, 1, 2, . . ., 144} zu betrachten. Das Peridogramm
hat ein ausgeprägtes globales Maximum bei k = 26, d.h. die Schwingung
w 26 ∈ C 288 ist dominant in f 0 bzw. in f:
n−1
∑
f 0 = (D n f 0 ) k w k
= 1 n
k=0
n−1
∑
〈f 0 , w k 〉 C nw k ,
k=0
‖D n f‖ C
n = ‖f‖ C n.
x 10 6
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Periodogramm
20 40 60 80 100 120 140
c○Andreas Rieder, Numerische Mathematik II, Wintersemester 07/08 – p.4/5

Interpretation
Zur Interpretation des Periodogramms betrachten wir w k ∈ C n genauer:
(w k ) j = p k (t j ) mit p k (t) = cos(2πk t) − i sin(2πk t) und t j = j/n.
Also ist w k eine diskrete Version der Funktion p k über dem Zeitintervall [0, 1].
Die Periode von p k ist 1 k , d.h. p k bzw. w k vollzieht k Perioden (Schwingungen)
in einer Zeiteinheit.
In unserer konkreten Situation bedeutet dies: w 26 vollzieht 26 Schwingungen
im Zeitraum von 288 Jahren, also hat eine Schwingung die Periode 288
26 Jahre.
Die dominante Schwingung in der Wolfschen Relativzahl wiederholt sich
ungefähr alle 11 Jahre.
c○Andreas Rieder, Numerische Mathematik II, Wintersemester 07/08 – p.5/5