Lesch-Skript
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Scriptum zur P1-Vorlesung<br />
theoretischer Teil<br />
Prof. Dr. Harald <strong>Lesch</strong> 1<br />
Universitäts-Sternwarte München<br />
LMU<br />
geTEX-t von<br />
Johannes Büttner 2<br />
1 lesch@usm.uni-muenchen.de<br />
2 Johannes.Buettner@gmx.de
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Einleitung 1<br />
1.1 Das Verhältnis Theorie – Experiment . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.2 Der Rand der physikalischen Erkenntnis . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.2.1 Vereinheitlichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.3 Wirklichkeit und naturwissenschaftliche Erkenntnis . . . . . . . 4<br />
1.4 Das Verhältnis Physik – Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
2 Vektoren 7<br />
2.1 Physikalische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2.2 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.3 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.3.1 Vektoren in einer Ebene – Vektorkomponenten . . . . . 11<br />
2.3.2 Skalarprodukt zweier Vektoren – inneres Produkt . . . . 13<br />
2.3.3 Vektorrechnung im Dreidimensionalen . . . . . . . . . . 15<br />
2.3.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.3.5 Determinanten-Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
2.3.6 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.3.7 Division von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
2.4 Differentiation und Integration von Vektoren . . . . . . . . . 22<br />
2.4.1 Differentiation einer skalaren Funktion einer Veränderlichen 23<br />
2.4.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter . . . 23<br />
3 Kinematik eines Massenpunktes 27<br />
3.1 Bahnkurve eines Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
3.2 Änderung der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.3 Bogenlänge einer Kurve S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.4 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor . . . . . . . . 29<br />
3.4.1 Krümmung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.4.2 Krümmung und Krümmungsradius . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.5 Integration von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.5.1 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.5.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
3.5.3 Komponenten und Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
i
ii<br />
INHALTSVERZEICHNIS<br />
4 Koordinatensysteme und was dazugehört 41<br />
4.1 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
4.1.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
4.1.2 Darstellung eines Vektors in Polarkoordinaten . . . . . . 42<br />
4.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.2.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.2.2 Koordinatenflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.2.3 Koordinatenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.2.4 Linien- Flächen- und Volumenelemente . . . . . . . . . . 47<br />
4.2.5 Useful Stuff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
4.3 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4.3.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4.3.2 Koordinatenflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4.3.3 Koordinatenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
4.3.4 Flächen-, Linien- und Volumenelement . . . . . . . . . . 49<br />
4.3.5 Useful Stuff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
5 Skalar- und Vektorfelder 51<br />
5.1 Motivation und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
5.1.1 Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
5.1.2 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
5.1.3 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
5.2 Spezielle Vektorfelder aus der Physik . . . . . . . . . . . . . 53<br />
5.2.1 Homogenes Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
5.2.2 Kugelsymmetrisches Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
5.3 Linien- oder Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
5.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
5.4 Konservative Kräfte und Gradienten . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
5.4.1 Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
5.4.2 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
5.4.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
5.5 Das totale Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.5.1 Gradient eines skalaren Feldes . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.5.2 Rechenregeln für Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
5.5.3 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
5.5.4 Kurvenintegral eines konservativen Kraftfeldes . . . . . . 65<br />
5.5.5 Die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
5.6 Zusammenfassung: konservative Kraftfelder . . . . . . . . . . 67<br />
5.6.1 Physikalische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
5.7 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern . . . . . . . . . . 74<br />
5.7.1 Die Divergenz – Quellen und Senken . . . . . . . . . . . 74<br />
5.7.2 Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br />
5.7.3 Mehr Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
5.7.4 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
INHALTSVERZEICHNIS<br />
iii<br />
5.7.5 Spezielle Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
5.7.6 Laplace- und Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 81<br />
5.7.7 Differentialoperatoren und verschiedene Koordinatensysteme<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
5.8 Oberflächen- und Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
5.8.1 Das Oberflächenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
5.8.2 Das Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
5.9 Integralsätze von Gauss und Stokes . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
5.9.1 Gausscher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
5.9.2 Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
6 Mechanik in bewegten Bezugssystemen 99<br />
6.1 Inertialsysteme, Galilei-Transformationen . . . . . . . . . . . 100<br />
6.1.1 Probleme der Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
6.1.2 Beziehungen zwischen Bezugssystemen . . . . . . . . . . 102<br />
6.1.3 Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
6.2 Foucaultsches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
6.3 Das Foucault-Pendel am Nordpol . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
6.4 Sanfte mathematische Hinführung . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
6.5 Scheinkräfte in rotierenden Systemen . . . . . . . . . . . . . 108<br />
6.5.1 Rotation eines (v ′ , y ′ , z ′ ) Koordinatensystems um den<br />
Ursprung des Inertialsystems (x, y, z) . . . . . . . . . . . 108<br />
6.5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
6.5.3 Formulierung der Newtonschen Gleichungen in rotierenden<br />
Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
6.6 Beliebig gegeneinander bewegte Systeme . . . . . . . . . . . 113<br />
6.6.1 Der freie Fall auf der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
6.6.2 Methode der Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . 116<br />
6.6.3 Exakte Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
6.6.4 Das Foucaultsche Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
6.7 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br />
6.7.1 Gaussche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
6.7.2 Exponentialfunktion einer komplexen Zahl . . . . . . . . 126<br />
6.7.3 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129<br />
7 Hydrodynamik 131<br />
7.1 Ruhende Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . 131<br />
7.1.1 Gestalt von Flüssigkeitsoberflächen . . . . . . . . . . . . 132<br />
7.1.2 Der Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
7.1.3 Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134<br />
7.1.4 Druckarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br />
7.1.5 Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br />
7.1.6 Kommunizierende Röhren . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br />
7.1.7 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
iv<br />
INHALTSVERZEICHNIS<br />
7.1.8 Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br />
7.1.9 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137<br />
7.1.10 Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
7.2 Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br />
7.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br />
7.2.2 Die Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142<br />
7.2.3 Laminare Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144<br />
7.2.4 Allgemeines zur Reibung in Flüssigkeiten . . . . . . . . . 146<br />
7.2.5 Kräfte in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />
7.2.6 Laminare Strömung durch ein Rohr . . . . . . . . . . . . 148<br />
7.2.7 Laminare Strömungen um Kugeln – Stokes-Gesetz . . . 152<br />
7.2.8 Strömungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153<br />
7.2.9 Wirbel und Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157<br />
8 Relativitätstheorie 161<br />
8.1 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161<br />
8.2 Das Michelson-Morley-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . 162<br />
8.3 Die Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167<br />
8.4 Zeitdehnung – Dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171<br />
8.5 Die Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172<br />
8.6 Uhrzeitsynchronisation und Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . 174<br />
8.7 Der relativistische Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . 174<br />
8.8 Das Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176<br />
8.9 Geschwindigkeitstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179<br />
8.10 Relativistischer Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180<br />
8.11 Relativistische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180<br />
8.12 Nützliche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Auch die Besteigung des<br />
höchsten Berges beginnt mit<br />
dem ersten Schritt.<br />
Laotse<br />
Kapitel 1<br />
Einleitung<br />
1.1 Das Verhältnis Theorie – Experiment<br />
Experiment ←→ Theorie<br />
Induktion Deduktion<br />
Experiment 2<br />
neu Groesse/<br />
Ordnung<br />
Experiment 1<br />
Gesetzmaessigkeit<br />
(Induktion)<br />
Gesetzmaessigkeit<br />
(Induktion)<br />
Hypothese<br />
Theorie 1<br />
Thoerie 2<br />
Die naturwissenschaftliche Methodik wurde von Bacon (∼ 1200) und Galilei<br />
(∼ 1560) begründet. Der wissenschaftliche Ablauf ist folgender:<br />
Theorie Hypothese, die widerspruchsfrei eine Klasse von Experimenten erklärt.<br />
Der Gültigkeitsbereich entspricht dieser Klasse von Experimenten.<br />
1
2 KAPITEL 1. EINLEITUNG<br />
Betrachtung anderer Klassen kleiner, grösser, genauer,. . . . Dadurch kann<br />
es nötig werden, die erste Theorie zu erweitern.<br />
Neue Theorie Sie umfasst frühere. Die früheren Theorien sind Spezialfälle<br />
der Neuen.<br />
Eine Theorie ist also nicht “falsch”, sondern nur beschränkt gültig, nämlich<br />
genau solange, wie sie nicht im Gegensatz zur Beobachtung steht. Das Experiment<br />
ist also der letzte Prüfstein oder die letzte Instanz.<br />
Beispiel Mechanik:<br />
Die menschliche Erfahrungswelt umfasst folgende Grössen:<br />
- Entfernung ∼ 1Meter<br />
- Masse ∼ 1Kilogramm<br />
- Geschwindigkeit ∼ 1 Meter<br />
Sekunde<br />
Eine Erweiterung in andere Grössenordnungen erfordert neue<br />
Theorien<br />
1. Mikrokosmos mit Grössen um ∼ 10 −10 Meter (∼ 1 Å), also<br />
den Grössen im Bereich eines Atoms oder eines Atomkerns<br />
und damit mit Massen, beispielsweise vom Elektron von<br />
∼ 10 −30 kg. Die Erweiterung ist die Quantenmechanik, mit<br />
den beiden Hauptaussagen:<br />
– nicht beliebige Teilbarkeit physikalischer Grössen<br />
– Existenz einer charakteristischen Naturkonstante,<br />
(Arbeit × Zeit); dem Wirkungsquantum ¯h ≃ 10 −34 Jsec<br />
2. Hohe Geschwindigkeiten, mit der Erweiterung durch die<br />
spezielle Relativitätstheorie und der Lichtgeschwindigkeit<br />
als obere feste Grenze für Geschwindigkeiten mit c ≃ 3 ·<br />
10 8 m s .<br />
3. Makrokosmos mit folgenden Grössenordnungen<br />
– Sonnenmasse 10 30 kg<br />
– Lichtjahr ≃ 10 16 m<br />
– Gravitationskonstante G ≃ 6 · 10 −11 m 3 s −2 kg −1<br />
Die Erweiterung hier ist die allgemeine Relativitätstheorie.
1.2. DER RAND DER PHYSIKALISCHEN ERKENNTNIS 3<br />
1.2 Der Rand der physikalischen Erkenntnis<br />
Aufgrund von theoretischen Überlegungen kam Max Planck (1906) zu der<br />
Erkenntnis, dass unterhalb der folgenden Grössenordnungen keine Beobachtungen<br />
mehr möglich sind.<br />
Planck-Länge l P =<br />
Planck-Zeit t P =<br />
Planck-Masse m P =<br />
( ) 1<br />
G¯h 2<br />
c<br />
∼ 10 −35 m<br />
3<br />
( ) 1<br />
G¯h 2 ∼ 5 · 10 −44 sec<br />
c 5<br />
( c¯h<br />
G<br />
) 1<br />
2 ∼ 10 −8 kg<br />
Die Quantengravitation beschreibt die Grenze unseres Wissens.<br />
1.2.1 Vereinheitlichung<br />
Spezielle Rela−<br />
tivitaetstheorie<br />
Gravitationstheorie<br />
Klassische<br />
Mechanik<br />
Quantenmechanik<br />
Supergravitation<br />
Quantenfeldthorie<br />
Theorie von Allem<br />
Die Anschaulichkeit ist eine Frage der Gewöhnung. Eine erweiterte Anschauung<br />
ist zu entwickeln.
4 KAPITEL 1. EINLEITUNG<br />
1.3 Wirklichkeit und naturwissenschaftliche Erkenntnis<br />
Die Parabel vom Fischforscher<br />
– Von Sir A. Eddington, The philosophy of science 1939<br />
Ein Fischer wirft Netze aus und prüft den Fang. Daraus leitet er folgende<br />
Grundgesetze ab (Theorie):<br />
1. Alle Fische sind grösser als fünf Zentimeter<br />
2. Alle Fische haben Kiemen<br />
Der Kritiker (Metaphysiker) sagt:<br />
“Dass alle Fische grösser als fünf Zentimeter sind ist kein Grundgesetz, sondern<br />
durch die Netzgrösse bestimmt.”<br />
Dagegen sagt der Fischer:<br />
“Was ich in meinem Netz nicht fangen kann, ist kein Fisch und damit auch<br />
nicht Objekt meiner Forschung.”<br />
Der Metaphysiker nimmt eine “eigentliche”<br />
Wirklichkeit an, über die<br />
er aber keine scharfen Aussagen machen<br />
kann.<br />
Der Fischer/Physiker betrachtet Projektionen<br />
der Wirklichkeit, über die<br />
er objektive Aussagen machen kann.<br />
– Und er kann natürlich sein Netz verfeinern.
1.4. DAS VERHÄLTNIS PHYSIK – MATHEMATIK 5<br />
Eigentliche Wirklichkeit<br />
? ? ?<br />
"Stab"<br />
"Fisch"<br />
"Elektron"<br />
"Netze"<br />
des Physikers<br />
Naturwissen−<br />
schaftliches<br />
Abbild der<br />
Wirklichkeit<br />
("Projektion")<br />
?<br />
"Objektive"<br />
Wirklichkeit<br />
("Modell")<br />
Mathematische<br />
Strukturen<br />
1.4 Das Verhältnis Physik – Mathematik<br />
• Die Mathematik ist die “Sprache” der Physik:<br />
Sie ist notwendig, eine Theorie mathematisch korrekt formulieren zu<br />
können, also<br />
– möglichst allgemein<br />
– kompakt<br />
– elegant<br />
• Physik ist nicht Mathematik!<br />
Die Mathematik hat eine eigene Fragestellung, die logische Struktur,<br />
deshalb fehlt das Experiment als Teil der Methodik.
6 KAPITEL 1. EINLEITUNG<br />
• Die Beweisführung ist in der Physik oft weniger streng<br />
Physikalische Objekte verhalten sich meist wohldefiniert; aber eine mathematisch<br />
“korrekte” Beweisführung ist im Prinzip möglich und unter<br />
Umständen wichtig.<br />
• Die Physik hat durch neuere, laxere Begriffsbildungen oft mathematische<br />
Begriffsbildungen gefördert.<br />
Problem der Physik<br />
Mathematische Methoden müssen bekannt sein und verwendet werden,<br />
bevor sie in einer Mathematik-Vorlesung begründet werden.
¡<br />
Alles sollte so einfach wie<br />
möglich gemacht werden,<br />
aber nicht einfacher.<br />
A. Einstein<br />
Kapitel 2<br />
Vektoren<br />
2.1 Physikalische Beispiele<br />
• Beschreibung eines Massenpunktes (MP) in Raum und Zeit relativ zu<br />
einem Bezugspunkt, auch Kinematik genannt.<br />
<br />
<br />
<br />
⃗r<br />
Ortsvektor<br />
¥§ <br />
⃗r(t)<br />
Bahnkurve<br />
£¥¤§¦©¨ ¢<br />
0<br />
Der Ortsvektor gibt die Richtung und den Abstand relativ zu einem<br />
Bezugspunkt an. Die mittlere Geschwindigkeit ist definiert als<br />
⃗v = ⃗r 2 − ⃗r 1<br />
= ∆⃗r<br />
t 2 − t 1 ∆t<br />
Hinweis:<br />
Die Bahnkurve mit der Geschwindigkeit ist ein klassisches<br />
Konzept. Es ist nicht mehr im Mikrokosmos gültig.<br />
7
8 KAPITEL 2. VEKTOREN<br />
Die Anwendung finden Vektoren bei<br />
⃗a Beschleunigung<br />
⃗p Impuls<br />
⃗F Kraft<br />
⃗M Drehmoment<br />
• Hydrodynamik strömender Flüssikeiten.<br />
Rohr<br />
Fluessigkeit<br />
⃗v(⃗r, t) Vektorfeld<br />
Die Anwendung:<br />
⃗E elektrisches Feld<br />
⃗B Magnetische Flussdichte<br />
2.2 Vektoralgebra<br />
Skalare<br />
Die Grösse wird nur durch eine Zahl charakterisiert, beispielsweise:<br />
• Masse M<br />
• Ladung Q<br />
• Temperatur T<br />
Vektoren<br />
Viele physikalische Grössen sind aber nicht nur durch eine Zahl, sondern<br />
auch durch ihre Richtung bestimmt: Geschwindigkeit, Kraft, Impuls, Beschleunigung.<br />
. . Die Grösse von Vektoren ist durch Betrag und Richtung<br />
gegeben.<br />
Die Darstellung erfolgt durch einen Pfeil:<br />
⃗a Deutsche Konvention<br />
a Angelsächsische Nomenklatur<br />
a Buchdruck<br />
• Betrag oder Länge von ⃗a, ist ein Skalar, laut Def. immer positiv.<br />
|⃗a|<br />
• Die Richtung wird durch den Einheitsvektor, einen Vektor der Länge<br />
Eins angegeben
¡<br />
2.3. VEKTORRECHNUNG 9<br />
• Darstellung<br />
â = ⃗a<br />
|⃗a|<br />
⃗a = |⃗a|â<br />
• Gleichheit<br />
Zwei Vektoren ⃗ A und ⃗ B sind gleich ( ⃗ A = ⃗ B), wenn Betrag | ⃗ A| = | ⃗ B|<br />
und Richtung  ↑↑ ˆB übereinstimmen. Sie sind ebenfalls gleich, wenn<br />
sie durch Parallelverschiebung ineinander überführbar sind.<br />
£ ¢<br />
 ↑↑ ˆB<br />
 ↓↑ ˆB<br />
parallele Vektoren und<br />
antiparallele Vektoren.<br />
• Bemerkung<br />
Bei einer physikalisch-technischen Grösse gehört zur vollständigen Beschreibung<br />
noch die Angabe der Maßeinheit! Das heißt also, daß sich<br />
der Betrag eines physikalischen Vektors aus Betrag mal Maßeinheit<br />
ergibt:<br />
Kraft<br />
2.3 Vektorrechnung<br />
⃗F 1<br />
| ⃗F 1 | = 100N · ˆ⃗ F1<br />
1. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar<br />
⃗B = λ · ⃗A<br />
| B| ⃗ = λ · | A| ⃗<br />
λ > 0 B ⃗ ↑↑ A ⃗<br />
λ < 0 B ⃗ ↓↑ A ⃗<br />
λ = 0 0 · ⃗A = ⃗0 Nullvektor<br />
Ein Skalar multipliziert mit einem Vektor ergibt also wieder einen<br />
Vektor.<br />
2. Addition von Vektoren<br />
Zwei Kräfte ⃗ F 1 und ⃗ F 2 greifen an einem Massenpunkt an. Die resultierende<br />
Kraft ist ⃗ F R .<br />
⃗A + ( ⃗ B + ⃗ C) = ( ⃗ A + ⃗ B) + ⃗ C<br />
Assoziativität
!<br />
<br />
# "<br />
$<br />
−<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
, +<br />
. -<br />
10 KAPITEL 2. VEKTOREN<br />
¡£¢ ¤ ¥§¦<br />
Parallelogramm<br />
Zwei Vektoren werden also addiert, indem<br />
ein Vektor parallel zu sich selber verschoben<br />
wird, bis sein Anfangspunkt in den<br />
Endpunkt des zweiten Vektors fällt.<br />
© ¨<br />
Es gilt für den Summenvektor:<br />
⃗S = ⃗ A + ⃗ B<br />
⃗S = ⃗ B + ⃗ A<br />
Kommutativität<br />
<br />
Interessant:<br />
Wenn das Vektorpolygon geschlossen ist, dann ist der Summenvektor<br />
der Nullvektor. Physikalisch bedeutet das, dass sich alle Kräfte gegenseitig<br />
aufheben; auf den Körper wirkt keine resultierende Kraft.<br />
3. Subtraktion von Vektoren<br />
Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Für den Differenzvektor<br />
gilt: ⃗ D = ⃗ A − ⃗ B ist der Summenvektor aus ⃗ A und − ⃗ B. − ⃗ B ist<br />
der antiparallele Vektor zu ⃗ B:<br />
<br />
<br />
$ ')( $ %&<br />
⃗D ist die Summe aus ⃗ A und dem Gegenvektor von ⃗ B:<br />
⃗D = ⃗ A − ⃗ B = ⃗ A + (− ⃗ B)<br />
4. Konstruktion der Differenz ⃗ A − ⃗ B = ⃗ D<br />
(a) ⃗ B wird in der Richtung umgekehrt: − ⃗ B<br />
(b) − ⃗ B wird parallel zu sich selbst verschoben, bis sein Anfangspunkt<br />
in den Endpunkt von ⃗ A fällt.<br />
(c) Der vom Anfangspunkt von ⃗ A zum Endpunkt von − ⃗ B gerichtete<br />
Vektor ist ⃗ D = ⃗ A − ⃗ B
¡<br />
<br />
2.3. VEKTORRECHNUNG 11<br />
5. Parallelogrammregel<br />
⃗S = A ⃗ + B ⃗ Summe<br />
⃗D = A ⃗ − B ⃗ Differenz<br />
£ ¢<br />
Beispiel:<br />
¤¦¥<br />
Schwerpunktsvektor für<br />
N Massenpunkte.<br />
<br />
§©¨<br />
<br />
• Für N = 2 Massenpunkte gilt:<br />
⃗R := m 1 ⃗r 1 +m 2 ⃗r 2<br />
m 1 +m 2<br />
= 1 2 (⃗r 1 + ⃗r 2 ), wenn m 1 = m 2 !<br />
⃗R liegt immer auf der Verbindungslinie von m 1 und m 2 :<br />
[<br />
]<br />
⃗R = 1<br />
m 1 +m 2<br />
(m 1 + m 2 − m 2 )⃗r 1 + m 2 ⃗r 2 = ⃗r 1 + m 2<br />
M (⃗r 2 − ⃗r 1 )<br />
• Für N Körper gilt dann:<br />
N∑<br />
⃗R =<br />
m i ⃗r i<br />
i=1<br />
N∑<br />
m i<br />
i=1<br />
= 1 M<br />
N∑<br />
m i ⃗r i<br />
i=1<br />
2.3.1 Vektoren in einer Ebene – Vektorkomponenten<br />
y<br />
x<br />
Definition 1 (Koordinatensystem)<br />
Zwei aufeinander senkrecht stehende<br />
Einheitsvektoren ⃗e x und ⃗e y ≡<br />
orthonormale Basisvektoren.
¡<br />
12 KAPITEL 2. VEKTOREN<br />
y<br />
§©¨ ¦<br />
Beispiel:<br />
Vektor ⃗ A, im Nullpunkt beginnend läßt sich<br />
darstellen als:<br />
x<br />
⃗A = ⃗ A x + ⃗ A y<br />
£¥¤ ¢<br />
Dabei sind ⃗ A x und ⃗ A y die Vektorkomponenten von ⃗ A.<br />
⃗A x = A x ⃗e x Ay ⃗ = A y ⃗e y<br />
}<br />
⃗A x ∧ ⃗e x<br />
sind kollinear<br />
⃗A y ∧ ⃗e y<br />
⃗A = A ⃗ x + A ⃗ y = A x ⃗e x + A y ⃗e y<br />
( )<br />
Ax<br />
⃗A =<br />
Spaltenvektor<br />
A y<br />
⃗A = (A x , A y ) Zeilenvektor<br />
Die Vektorkoordinaten sind positiv, wenn die Projektion von ⃗A auf die entsprechende<br />
Koordinatenachse in die positive Richtung dieser Achse zeigt.<br />
Ansonsten sind sie negativ.<br />
Komponentendarstellung spezieller Vektoren<br />
• Ortsvektor<br />
y<br />
y<br />
x<br />
P(x,y)<br />
y<br />
⃗r(P ) = x ⃗e x +y ⃗e y =<br />
(<br />
x<br />
y)<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
• Basisvektoren<br />
(<br />
1<br />
⃗e x = 1 ⃗e x + 0 ⃗e y =<br />
0)<br />
(<br />
0<br />
⃗e y = 0 ⃗e x + 1 ⃗e y =<br />
1)
¢ ¡<br />
<br />
2.3. VEKTORRECHNUNG 13<br />
• Nullvektor<br />
⃗0 = 0 ⃗e x + 0 ⃗e y =<br />
(<br />
0<br />
0)<br />
Betrag eines Vektors:<br />
y<br />
√<br />
| A| ⃗ 2 2<br />
= A = ⃗A x + Ay ⃗<br />
¤¦¥ £<br />
¨¦© §<br />
x<br />
Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn ihre Vektorkoordinaten übereinstimmen:<br />
⃗A = ⃗ B ⇐⇒ A x = B x ∧ A y = B y<br />
λ ⃗ A = λ<br />
(<br />
Ax<br />
A y<br />
)<br />
=<br />
( )<br />
λAx<br />
λA y<br />
( ) ( ) ( )<br />
⃗A ± B ⃗ Ax Bx Ax ± B x<br />
= ± =<br />
A y B y A y ± B y<br />
2.3.2 Skalarprodukt zweier Vektoren – inneres Produkt<br />
MP<br />
<br />
Beispiel:<br />
Arbeit einer Kraft beim Verschieben<br />
einer Masse in Richtung des Weges.<br />
<br />
W = ⃗ F · ⃗s<br />
⃗A · ⃗B =<br />
| A| ⃗ · | B| ⃗ · cos φ =<br />
AB cos φ<br />
0≤φ≤180 ◦<br />
⃗A · ⃗A = | ⃗ A| 2<br />
Projektion von ⃗ A auf ⃗ B beziehungsweise umgekehrt, das heißt Komponente<br />
von ⃗ A in Richtung ⃗ B. Das Skalarprodukt ist eine skalare Größe (inneres
14 KAPITEL 2. VEKTOREN<br />
Produkt). φ ist stets der kleinere Winkel, den ⃗ A und ⃗ B bilden.<br />
Rechengesetze<br />
⃗A · ⃗B = B ⃗ · ⃗A Kommutativität<br />
⃗A · ( B ⃗ + C) ⃗ = A ⃗ · ⃗B + A ⃗ · ⃗C Distributivität<br />
Achtung!<br />
Die Assoziativität gilt nicht: ( A ⃗ · ⃗B) · ⃗C ≠ A ⃗ · ( B ⃗ · ⃗C)<br />
⃗A · ⃗B = 0 mit | A| ⃗ ≠ 0 und | B| ⃗ ≠ 0 genau dann, wenn φ = π 2 , 3 2π, · · ·:<br />
Orthogonalität<br />
⃗A · ⃗B = 0 =⇒ ⃗ A⊥ ⃗ B<br />
Für die Einheitsvektoren bedeutet dies:<br />
⃗e x · ⃗e y = 0<br />
⃗e x · ⃗e x = ⃗e x 2 = 1<br />
⃗e y · ⃗e y = ⃗e y 2 = 1<br />
und ausformuliert für zwei beliebige Vektoren eines orthogonalen Koordinatensystems:<br />
⃗A · ⃗B = (A x ⃗e x + A y ⃗e y ) · (B x ⃗e x + B y ⃗e y )<br />
= A x B x ( ⃗e x · ⃗e x ) + A x B y ( ⃗e x · ⃗e y )<br />
+ A y B x ( ⃗e y · ⃗e x ) + A y B y ( ⃗e y · ⃗e y )<br />
= A x B x + A y B y<br />
⃗A · ⃗B = A x B x + A y B y<br />
⃗A · ⃗B =<br />
(<br />
Ax<br />
B y<br />
)<br />
·<br />
(<br />
Bx<br />
B y<br />
)<br />
= A x B x + A y B y<br />
⃗A · ⃗B = | ⃗ A| · | ⃗ B| · cos Φ = A x B x + A y B y<br />
Winkel zwischen zwei Vektoren<br />
cos φ =<br />
⃗ A· ⃗B<br />
| ⃗ A|·| ⃗ B| = A xB x+A yB y<br />
(<br />
φ = arccos<br />
√<br />
A 2 x +A 2 y·√B 2 x +B2 y<br />
⃗A· ⃗B<br />
| ⃗ A|| ⃗ B|<br />
)
© ¨<br />
2.3. VEKTORRECHNUNG 15<br />
⃗A · ⃗B > 0 =⇒ φ < 90 ◦<br />
⃗A · ⃗B = 0 =⇒ φ = 90 ◦<br />
⃗A · ⃗B < 0 =⇒ φ > 90 ◦<br />
2.3.3 Vektorrechnung im Dreidimensionalen<br />
Die Welt ist 3-D!<br />
z<br />
<br />
P<br />
y<br />
¥§¦ ¤<br />
¡£¢<br />
x<br />
Zerlegung eines Vektors in drei Komponenten:<br />
⃗A = ⃗ A x + ⃗ A y + ⃗ A z<br />
⃗A x = A x ⃗e x<br />
⃗A y = A y ⃗e y<br />
⃗A z = A z ⃗e z<br />
⃗A = A x ⃗e x + A y ⃗e y + A z ⃗e z<br />
⎛ ⎞<br />
A x<br />
⎜ ⎟<br />
⃗A = ⎝ A y ⎠<br />
A z<br />
Vektorkomponenten<br />
Spaltenvektor<br />
Ortsvektor<br />
⃗e x =<br />
⃗r(P ) = −→<br />
0P = x ⃗e x + y ⃗e y + z ⃗e z =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ⃗e y =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x<br />
y<br />
z<br />
⎟<br />
⎠ ⃗e z =<br />
Der Betrag eines Vektors ist dann im Dreidimensionalen:<br />
| A| ⃗ √<br />
= A 2 x + A2 y + A2 z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
16 KAPITEL 2. VEKTOREN<br />
Multiplikation mit einem Skalar<br />
⎛<br />
λA ⃗ ⎜<br />
= λ ⎝<br />
Normierung eines Vektors<br />
A x<br />
A y<br />
A z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
λA x<br />
λA y<br />
λA z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
A<br />
⃗e A =<br />
⃗ | A| ⃗<br />
⃗A ± ⃗ B =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
A x<br />
A y<br />
A z<br />
Einheitsvektor in Richtung ⃗ A<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ± ⎝<br />
B x<br />
B y<br />
B z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
A x ± B x<br />
A y ± B y<br />
A z ± B z<br />
Skalarprodukt im Dreidimensionalen<br />
Beachte: ⃗e x · ⃗e y = ⃗e x · ⃗e z = ⃗e y · ⃗e z = 0!<br />
Für eine orthonormierte Basis bedeutet das: Die Basisvektoren stehen senkrecht<br />
aufeinander!<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⇒<br />
Das Skalarprodukt der Einheitsvektoren verschwindet.<br />
Sonst berechnet man das Skalarprodukt wie folgt:<br />
⃗A · ⃗B =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
A x<br />
A y<br />
A z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ·<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
B x<br />
B y<br />
B z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = A x B x + A y B y + A z B z<br />
Richtungswinkel zwischen Vektor und Koordinatenachse<br />
cos α = A x<br />
| ⃗ A| , cos β = A y<br />
| ⃗ A| , cos γ = A z<br />
| ⃗ A|<br />
Zwischen den einzelnen Richtungswinkeln besteht folgender<br />
Zusammenhang:<br />
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1<br />
A x = | A| ⃗ cos α<br />
A y = | A| ⃗ cos β<br />
A z = | A| ⃗ cos γ
©<br />
¨<br />
¡<br />
£ ¢<br />
2.3. VEKTORRECHNUNG 17<br />
Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor<br />
¥§¦ ¤<br />
Der durch die Projektion erhaltene Vektor<br />
⃗ B A ist<br />
| B ⃗ A | = | B| ⃗ · cos φ<br />
⃗A · ⃗B = | A| ⃗ · | B| ⃗ · cos φ = | A| ⃗ · | B ⃗ A |<br />
| ⃗ B A | = | ⃗ B| cos φ = ⃗ A · ⃗B<br />
| ⃗ A|<br />
⃗B A hat also die gleiche Richtung wie A. ⃗ Die Komponente von B ⃗ in Richtung<br />
von A ⃗ ist dann<br />
⃗B A = | B ⃗ A | · ⃗e A = | B ⃗ A | · ⃗e A = | B ⃗ ⃗A<br />
A |<br />
| A| ⃗ = | B ⃗ A |<br />
| A| ⃗ · ⃗A<br />
(<br />
⃗B A =<br />
)<br />
⃗A· ⃗B<br />
| A| ⃗ 2<br />
· ⃗A<br />
2.3.4 Vektorprodukt<br />
Drehmoment ⃗ M, Drehimpuls ⃗ L, Lorentz-Kraft (Kraft auf stromdurchfloßenen<br />
Leiter), usw. lassen sich kaum ohne Vektorprodukt darstellen.<br />
⃗C = ⃗ A × ⃗ B<br />
| ⃗C| = | ⃗A| · | ⃗B| · sin φ<br />
0 ◦ ≤φ≤180 ◦<br />
⃗C ist orthogonal zu ⃗ A und zu ⃗ B. Das heißt, hier kommt die Rechte-Hand-<br />
Regel zum Einsatz! ⃗ A, ⃗ B und ⃗ C spannen ein rechtshändiges Dreibein auf.
18 KAPITEL 2. VEKTOREN<br />
Das Vektorprodukt ist eine vektorielle Größe; es heißt auch äusseres Produkt.<br />
Der Betrag des Vektorproduktes entspricht gleich der von ⃗ A und ⃗ B<br />
aufgespannten Fläche und steht senkrecht auf dieser.<br />
Rechenregeln<br />
⃗A × ( B ⃗ + C) ⃗ = A ⃗ × B ⃗ + A ⃗ × C ⃗ Distributivität<br />
( A ⃗ + B) ⃗ × C ⃗ = A ⃗ × C ⃗ + B ⃗ × C ⃗ dito<br />
⃗A × B ⃗ = −( B ⃗ × A) ⃗ Anti-Kommutativität<br />
λ( A ⃗ × B) ⃗ = (λA) ⃗ × B ⃗ = A ⃗ × (λB)<br />
⃗<br />
Zu beachten:<br />
⃗A × ⃗ B = ⃗0 für | ⃗ A| ≠ 0 und | ⃗ B| ≠ 0 gilt, wenn φ = 0, π, 2π, . . .<br />
⇐⇒ ⃗ A oder ⃗ B parallel oder antiparallel. Insbesondere ist:<br />
⃗A × ⃗ A = ⃗0<br />
( ⃗ A × ⃗ B) × ⃗ C<br />
} {{ }<br />
⊥ ⃗ C<br />
≠ ⃗ A × ( ⃗ B × ⃗ C)<br />
} {{ }<br />
Das Vektorprodukt ist eine potentielle Falle: Es ist nicht assoziativ!<br />
⊥ ⃗ A<br />
1. Berechnung eines Vektorproduktes aus Komponenten<br />
⃗A × ⃗ B = (A x ⃗e x + A y ⃗e y + A z ⃗e z ) × (B x ⃗e x + B y ⃗e y + B z ⃗e z )<br />
= A x B x ( ⃗e x × ⃗e x ) +A x B y ( ⃗e x × ⃗e y ) +A x B z ( ⃗e x × ⃗e z )<br />
} {{ } } {{ } } {{ }<br />
0<br />
⃗e z − ⃗e y<br />
= (A y B z − A z B y ) ⃗e x + (A z B x − A x B z ) ⃗e y + (A x B y − A y B x )⃗e z<br />
⃗A × ⃗ B =<br />
Definition des Vektorproduktes!<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
A x<br />
A y<br />
A z<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ × ⎝<br />
B x<br />
B y<br />
B z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
A y B z − A z B y<br />
⎟<br />
A z B x − A x B z ⎠<br />
A x B y − A y B x<br />
2. Anwendungsbeispiele des Vektorprodukts<br />
• Drehmoment (Moment einer Kraft)
¤<br />
<br />
<br />
2.3. VEKTORRECHNUNG 19<br />
0<br />
¦¨§ ¥ © ¥ ¥<br />
P<br />
¢<br />
£<br />
¡<br />
Wir betrachten einen starren<br />
Körper in Form einer Kreisscheibe,<br />
der um seine Symmetrieachse<br />
drehbar gelagert ist.<br />
Eine im Punkt P angreifende, in der Scheibenebene liegende Kraft<br />
⃗F erzeugt ein Drehmoment ⃗ M, das als Vektorprodukt aus dem<br />
Ortsvektor ⃗r und der Kraft ⃗ F :<br />
| ⃗ M| = |⃗r × ⃗ F | = |⃗r| · | ⃗ F | · sin φ<br />
⃗M liegt in der Drehachse und ist so definiert, daß die drei Vektoren<br />
ein Rechtsystem bilden. Die Wirkung von ⃗ M ist die einer<br />
Drehung um die Achse.<br />
• Bewegung von Ladungen im Magnetfeld (Lorentz-Kraft)<br />
Bewegt sich ein geladenes Teilchen der Ladung q mit der Geschwindigkeit<br />
⃗v durch ein homogenes Magnetfeld mit der magnetischen<br />
Flußdichte ⃗ B, so erfährt es die Kraft<br />
⃗F L = q(⃗v × ⃗ B)<br />
Dies ist die sogenannte Lorentz-Kraft.<br />
⃗F L ist sowohl senkrecht zur Bewegungsrichtung des Teilchens, als<br />
auch senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes gerichtet. Mit der<br />
Ladung q = −e eines Elektrons (e ist Elementarladung) ist ⃗ F L :<br />
Spezielle Einschusswinkel:<br />
⃗F L = −e(⃗v × ⃗ B)<br />
- ⃗v ↑↑ B ⃗ =⇒ F ⃗ L = −e (⃗v × B) ⃗ = ⃗0<br />
} {{ }<br />
0<br />
<br />
Das Teilchen fliegt also ungehindert<br />
entlang des Magnetfeldes, sogenannte<br />
Translation.<br />
- ⃗v ⊥ ⃗ B<br />
<br />
⃗F L wirkt als Zentralkraft und<br />
zwingt das Teilchen auf eine Kreisbahn.
¡<br />
20 KAPITEL 2. VEKTOREN<br />
- Für alle Winkel (0 ◦ < α < 180 ◦ , α ≠ 90 ◦ ) setzt sich die Bewegung<br />
zusammen aus<br />
£<br />
¢<br />
1. Translation<br />
2. Kreisbahn oder Spiralbahn<br />
2.3.5 Determinanten-Schreibweise<br />
Definition 2 (Matrix) Unter einer reellen Matrix vom Typ (m,n) versteht<br />
man ein aus m · n reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema mit m<br />
waagerecht angeordneten Zeilen und n senkrecht angeordneten Spalten.<br />
Beispiel:<br />
⎛<br />
A =<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
A 11 A 12 . . . A 1n<br />
A 21 A 22 . . . A 2n<br />
.<br />
. . .. ⎟ ← Zeilen<br />
. ⎠<br />
A m1 . . . . . . A mn<br />
↑<br />
Spalten<br />
Definition 3 (Rang) Der Rang einer Matrix ist m × n.<br />
Die Elemente der Matrix sind A ij .<br />
Eine Besonderheit ist die quadratische Matrix mit m = n.<br />
Spezielle Operationen<br />
• Determinante einer quadratischen (2 × 2) Matrix<br />
( )<br />
∣<br />
A11 A Det<br />
12<br />
A<br />
= 11 A ∣∣∣∣ 12<br />
= A<br />
A 21 A 22 ∣ A 21 A 11 A 22 − A 12 A 21<br />
22<br />
• Determinante einer (3 × 3)-Matrix<br />
A 11 A 12 A 13 A 11 A 12<br />
A 21 A 22 A 23 A 21 A 22<br />
A 31 A 32 A 33 A 31 A 32<br />
↓<br />
= A 11 A 22 A 33 + A 12 A 23 A 31 + A 13 A 21 A 32<br />
−A 13 A 22 A 31 − A 11 A 23 A 32 − A 12 A 21 A 33
¡<br />
<br />
¥ ¤<br />
§ ¦<br />
<br />
<br />
2.3. VEKTORRECHNUNG 21<br />
Und durch Umordnen erhält man:<br />
A 11 (A 22 A 33 −A 23 A 32 )−A 12 (A 21 A 33 −A 23 A 31 )+A 13 (A 21 A 32 −A 22 A 31 )<br />
Dies entspricht der Entwicklung nach Unterdeterminanten und führt<br />
zur nachfolgenden Darstellung des Vektorproduktes.<br />
• Darstellung des Vektorproduktes<br />
⃗A × ⃗ B =<br />
⃗e 1 ⃗e 2 ⃗e 3<br />
A 1 A 2 A 3<br />
B 1 B 2 B 3<br />
= A 2 A 3<br />
B 2 B 3<br />
· ⃗e 1 − A 1 A 3<br />
B 1 B 3<br />
· ⃗e 2 − A 1 A 2<br />
B 1 B 2<br />
· ⃗e 3<br />
Bemerkung<br />
Merke<br />
Skalarprodukt → parallele Komponenten<br />
Vektorprodukt → senkrechte Komponenten<br />
1. Das Vektorprodukt ist kein normaler Vektor. Dies wird klar, sobald<br />
sein Verhalten bei Spiegelung am Ursprung betrachtet wird:<br />
¡£¢<br />
Ein normaler Vektor ändert sein<br />
Vorzeichen:<br />
⃗A = − ⃗ A<br />
Das Kreuzprodukt hingegen nicht:<br />
<br />
⃗C = ( ⃗ A × ⃗ B)<br />
= ⃗ A × ⃗ B = (− ⃗ A) × (− ⃗ B) = ⃗ C<br />
¨© © <br />
Das Vektorprodukt ist ein sogenannter<br />
Axialvektor.<br />
2. Das Vektorprodukt kann nur im R 3 als Vektor dargestellt werden (genauer<br />
als Axialvektor), nicht in anderen Dimensionen.<br />
2.3.6 Spatprodukt<br />
<br />
H
22 KAPITEL 2. VEKTOREN<br />
Das Spatprodukt ist ein gemischtes Produkt aus Skalar- und Vektorprodukt:<br />
V = ⃗ A · ( ⃗ B × ⃗ C) = | ⃗ A| · | ⃗ B × ⃗ C| · cos ϕ<br />
Dabei ist V das Volumen des aufgespannten Körpers, das sogenannte Parallelepiped<br />
oder auch nur Spat. Es ist zyklisch vertauschbar:<br />
V = ⃗ A · ( ⃗ B × ⃗ C) = ⃗ B · ( ⃗ C × ⃗ A) = ⃗ C · ( ⃗ A × ⃗ B) = − ⃗ B · ( ⃗ A × ⃗ C) = . . .<br />
Ist das Volumen Null, so folgt, dass mindestens zwei Vektoren parallel oder<br />
antiparallel sind.<br />
2.3.7 Division von Vektoren<br />
Es ist nicht sinnvoll eine Division zu definieren, wie der Vergleich zwischen<br />
Sklaren und Vektoren zeigt:<br />
• Skalare<br />
A · B = 1 ⇒ B = 1 A = A−1<br />
d.h. A −1 AC = C<br />
• Vektoren<br />
⃗A · ⃗B = 1 ist nicht eindeutig wegen der Nicht-Assoziativität und ausserdem<br />
auch nicht weiter interessant.<br />
2.4 Differentiation und Integration von Vektoren<br />
In vielen physikalischen Problemen muss die Veränderung von vektoriellen<br />
Größen berechnet werden, deshalb. . .
2.4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION VON VEKTOREN 23<br />
2.4.1 Differentiation einer skalaren Funktion einer Veränderlichen<br />
y<br />
¢¡<br />
x<br />
Die mittlere Steigung ist:<br />
£¥¤§¦¨£<br />
x<br />
m = ∆f<br />
∆x<br />
Ẉeiterhin ist sie Ableitung oder auch Tangentensteigung, falls sie definiert<br />
ist, d.h. die Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist:<br />
∆f df<br />
lim =:<br />
∆x→0 ∆x dx = f ′ (x)<br />
Die Differenzierbarkeit wird in der Physik meistens<br />
implizit angenommen, man sollte sie jedoch im Auge behalten.<br />
2.4.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter<br />
Sei ⃗ A(t) ein zeitabhängiger Vektor (i.a. ist ⃗ A(s), wobei s der Parameter<br />
ist). Die Ableitung ist in Analogie zur Ableitung von skalaren Funktionen<br />
definiert:<br />
∆ ⃗ A = ⃗ A(t 2 ) − ⃗ A(t 1 )<br />
©<br />
<br />
<br />
∆A<br />
lim<br />
⃗<br />
∆t→0 ∆t =: d A ⃗<br />
dt = ˙⃗ A<br />
Ableitung von Produkten<br />
⃗B(t) = λ(t) · ⃗A(t)<br />
∆ ⃗ B<br />
∆t<br />
= (λ + ∆λ)(A + ∆A) − λ ⃗ A<br />
∆t
24 KAPITEL 2. VEKTOREN<br />
∆B<br />
lim<br />
⃗<br />
∆t→0 ∆t<br />
= λ∆ A ⃗ + ∆λA ⃗ + ∆λ∆A<br />
⃗<br />
∆t<br />
⎡<br />
= lim λ∆ A ⃗<br />
∆t→0 ∆t + lim ⃗A ∆λ<br />
∆t→0 ∆t + ⎢<br />
⎣ lim<br />
∆t→0<br />
∆λ∆A<br />
⃗<br />
} ∆t {{ }<br />
→0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Beispiele:<br />
Produktregel<br />
˙⃗B = λ ˙⃗ A + ˙λ A ⃗<br />
d<br />
dt ( A ⃗ · ⃗B) = ˙⃗ A · B ⃗ + A ⃗ · ˙⃗B<br />
d<br />
dt ( A ⃗ × B) ⃗ = ˙⃗ A × B ⃗ + A ⃗ × ˙⃗B<br />
1. Klassische Physik<br />
Die Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses<br />
⃗F = d⃗p<br />
dt<br />
Und der Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit<br />
⃗p = m · ⃗v<br />
⃗F = d dt (m⃗v) = ṁ⃗v + m ˙⃗v = ṁ⃗v + m⃗a<br />
˙⃗v = ⃗a ist die Beschleunigung.<br />
Bei zeitlich konstanter Masse ist ṁ = 0 und es ergibt sich:<br />
⃗F = m · ⃗a (Newton)<br />
Später wichtig:<br />
Bei relativistischen Teilchen und natürlich auch bei Raketen ist ṁ ≠ 0!<br />
2. Berechnung einer Bogenlänge<br />
y<br />
2R<br />
⃗r(t) = R<br />
(<br />
t − sin t<br />
1 − cos t<br />
)<br />
¢¡<br />
Wie lang ist der Bogen?<br />
2Pi Rx<br />
˙⃗r(t) = R<br />
(<br />
1 − cos t<br />
sin t<br />
)<br />
0 ≤ t ≤ 2π
2.4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION VON VEKTOREN 25<br />
√<br />
|˙⃗r| = R (1 − cos t) 2 + sin 2 t<br />
√<br />
= R 1 − 2 cos t + cos 2 t + sin 2 t<br />
} {{ }<br />
1<br />
= R √ 2 − 2 cos t<br />
√<br />
= R 2(1 − cos t)<br />
√ ( ) t<br />
= R 2 · 2 sin 2 2<br />
( ) t<br />
= 2 · R sin<br />
2<br />
Die Integration von 0 bis 2π ergibt dann die Länge des Bogens:<br />
S =<br />
∫2π<br />
0<br />
|˙⃗r|dt = 2R<br />
= 2R<br />
∫2π<br />
0<br />
sin<br />
( t<br />
2)<br />
dt<br />
[ ( )] t 2π<br />
−2 cos<br />
2<br />
[<br />
= −4R cos t ] 2π<br />
2 0<br />
= −4R(cos π − cos 0)<br />
= −4R(−1 − 1) = 8R<br />
0<br />
3. Elektron im Magnetfeld<br />
z<br />
¡ ¢ £<br />
y<br />
x<br />
x(t) = R cos(ωt)<br />
y(t) = R sin(ωt)<br />
z(t) = ct<br />
R,ω,c=const.<br />
Insgesamt ergibt sich also für die Bewegung des Elektrons im Magnet-
26 KAPITEL 2. VEKTOREN<br />
feld folgende Bewegungsgleichung:<br />
⃗r(t) = R cos(ωt) ⃗e x + R sin(ωt) ⃗e y + ct · ⃗e z<br />
Wie lang ist die Bogenlänge eines vollen Umlaufs?<br />
|˙⃗r(t)| =<br />
=<br />
√<br />
[−Rω sin(ωt)] 2 + [Rω cos(ωt)] 2 + c 2<br />
√<br />
R 2 ω 2 [sin 2 (ωt) + cos 2 (ωt)] +c<br />
} {{ }<br />
2 = √ R 2 ω 2 + c 2<br />
1<br />
Die Bogenlänge ergibt sich dann durch Integration zwischen 0 und<br />
P = 2π ω<br />
, einer vollen Periode:<br />
S =<br />
2π<br />
∫ω<br />
0<br />
|˙⃗r|dt =<br />
2π<br />
∫ω<br />
0<br />
√<br />
R 2 ω 2 + c 2 dt<br />
2π<br />
= √ ∫ω<br />
R 2 ω 2 + c 2 dt<br />
0<br />
= √ R 2 ω 2 + c 2 · t| 2π ω<br />
0 = 2π√ R 2 ω 2 + c 2<br />
ω
Die Natur hat die Gabe, sich nach<br />
vielfältigen Bedingungen äußerer<br />
Einfüsse zu bequemen und doch eine<br />
gewisse errungene Selbstständigkeit<br />
nicht aufzugeben.<br />
Goethe<br />
Kapitel 3<br />
Kinematik eines<br />
Massenpunktes<br />
Wir betrachten die Bewegung von Massenpunkten unter dem Einfluß äusserer<br />
Kräfte, die durch die Massenpunktbewegung aber nicht verändert werden.<br />
Dies ist die Kinematik.<br />
3.1 Bahnkurve eines Massenpunktes<br />
Mittlere Geschwindigkeit:<br />
$%&(' #<br />
" !<br />
¨<br />
¡£¢¥¤§¦<br />
©¥§<br />
Oder allgemeiner formuliert:<br />
<br />
⃗v = ∆⃗r<br />
∆t<br />
Momentane Geschwindigkeit in<br />
Richtung der Tangente:<br />
∆⃗r<br />
⃗v(t) = lim<br />
∆t→0 ∆t = d⃗r<br />
dt = ˙⃗r<br />
˙⃗r = ẋ(t) ⃗e x + ẏ(t) ⃗e y Ebene Kurve<br />
˙⃗r = ẋ(t) ⃗e x + ẏ(t) ⃗e y + ż(t)⃗e z Raumkurve<br />
Dies sind Tangentenvektoren!<br />
Anmerkung des TEXers: Diese Einheitsvektoren sind zeitunabhängig, denn<br />
27
28 KAPITEL 3. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES<br />
=0<br />
˙⃗r = ẋ⃗e x + x˙⃗e<br />
}{{} x + . . .. Jedoch Vorsicht später bei anderen Koordinatensystemen,<br />
dort können die Einheitsvektoren zwar nicht zeitabhängig sein, wohl<br />
aber ortsabhängig und deshalb ändern sie sich mitunter, nämlich wenn sich<br />
ein Teilchen in einem derartigen Koordinatensystem bewegt.<br />
3.2 Änderung der Geschwindigkeit<br />
Ein Maß für die Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung a:<br />
• Mittlere Beschleunigung<br />
∆⃗v<br />
∆t<br />
=<br />
⃗v(t + ∆t) − ⃗v(t)<br />
∆t<br />
= ⃗a<br />
• Momentane Beschleunigung<br />
∆⃗v<br />
⃗a(t) = lim<br />
∆t→0 ∆t = d⃗v<br />
dt = ˙⃗v = ¨⃗r = d2 ⃗r<br />
dt 2<br />
3.3 Bogenlänge einer Kurve S<br />
y<br />
<br />
s<br />
P<br />
"!$# <br />
y(t)<br />
<br />
x<br />
¢¡¤£¦¥¨§©<br />
¢¤<br />
∫<br />
S = t 2<br />
|˙⃗r|dt = t √<br />
∫2<br />
x ˙ 2 + y ˙2<br />
dt<br />
t 1 t 1<br />
∫<br />
S = t 2<br />
|˙⃗r|dt = t √<br />
∫2<br />
x ˙ 2 + y ˙2<br />
+ z ˙2<br />
dt<br />
t 1 t 1<br />
Ebene Kurve<br />
Raumkurve
§ ¦<br />
¥ ¤<br />
3.4. TANGENTEN- UND HAUPTNORMALENEINHEITSVEKTOR 29<br />
3.4 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor<br />
¢<br />
¡<br />
£<br />
Bahn−<br />
kurve<br />
Definition 4 (Tangenteneinheitsvektor)<br />
⃗T =<br />
˙⃗r<br />
|˙⃗r|<br />
Für die Definition des Hauptnormaleneinheitsvektors ist etwas Vorarbeit<br />
nötig:<br />
d<br />
dt (⃗ T · ⃗T ) = d⃗ T<br />
T<br />
dt ⃗ + T ⃗ d⃗ T<br />
dt = d dt (1) = 0<br />
Mit der Kommutativität des Skalarproduktes folgt:<br />
dT<br />
⃗<br />
dt · ⃗T + T ⃗ · d⃗ (<br />
T<br />
dt = 2 ⃗T d⃗ )<br />
T<br />
= 0<br />
dt<br />
⇒ ⃗ T · d⃗ T<br />
dt = ⃗ T · ˙⃗ T = 0<br />
⇒ d⃗ T<br />
dt = ˙⃗ T<br />
steht senkrecht auf ⃗ T<br />
Definition 5 (Hauptnormaleneinheitsvektor)<br />
⃗N =<br />
˙⃗T<br />
| ˙⃗ T |<br />
3.4.1 Krümmung einer Kurve<br />
Natürliche Darstellung einer Kurve mit Bogenlänge S als Kurvenparameter:<br />
⃗r = ⃗r(s) Ortsvektor<br />
⃗T = T ⃗ (s) = d⃗r<br />
ds<br />
Tangenteneinheitsvektor
© ¨<br />
<br />
<br />
<br />
# <br />
30 KAPITEL 3. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES<br />
Kurve<br />
s<br />
P<br />
Der Tangenteneinheitsvektor ändert<br />
sich im allgemeinen von Kurvenpunkt<br />
zu Kurvenpunkt; eine Ausnahme<br />
bildet die Gerade. Ihr Tangenteneinheitsvektor<br />
besitzt in jedem<br />
Punkt die gleiche Richtung.<br />
¡£¢¥¤§¦<br />
Für Geraden gilt also:<br />
d ⃗ T<br />
ds = ˙⃗ T (s) = 0<br />
Bei einer beliebigen Raumkurve ist d ⃗ T<br />
ds = ˙⃗ T (s) die Änderung des Tangenteneinheitsvektors<br />
⃗ T längs der Kurve in positiver Richtung bei Fortschreiten<br />
um ds:<br />
d ⃗ T = ˙⃗ T ds<br />
3.4.2 Krümmung und Krümmungsradius<br />
¥ "! <br />
Kurve<br />
s<br />
%'&)(+*-,/. $ 0 132 4<br />
$<br />
<br />
687:9
3.4. TANGENTEN- UND HAUPTNORMALENEINHEITSVEKTOR 31<br />
Definition 7 (Krümmungsradius)<br />
ϱ = 1 χ = 1<br />
∣T ⃗ (s) ∣<br />
¡£¢¥¤§¦©¨<br />
Der Vektor d T ⃗<br />
ds<br />
weist in Richtung des Hauptnormalenvektors<br />
N, ⃗ seine Länge ist die<br />
Krümmung:<br />
P<br />
d ⃗ T<br />
ds = ˙⃗ T (s) = χ ⃗ N<br />
Wichtige Beispiele für Kurven mit konstanter Krümmung:<br />
Gerade x = 0<br />
Kreis x = const = 1 r<br />
r: Radius des Kreises<br />
Rechtskrümmung: x < 0 ⃗ T dreht sich im UZS<br />
Linkskrümmung: x > 0 ⃗ T dreht sich gegen UZS<br />
UZS ist eine Abkürzung für Uhrzeigersinn<br />
Beispiele:<br />
1. Zerlegung von Geschwindigkeit und Beschleunigung in Tangential- und<br />
Normalenkomponenten.<br />
Ein Massenpunkt bewege sich auf einer Bahnkurve mit einem zeitabhängigen<br />
Ortsvektor ⃗r = ⃗r(t); das heißt also ⃗v = ˙⃗r und ⃗a = ˙⃗v = ¨⃗r in<br />
Tangential- und Vektorkomponenten.<br />
Gesucht sind ⃗v = v T<br />
⃗ T + vN ⃗ N und ⃗a = aT ⃗ T + aN ⃗ N.<br />
Der Geschwindigkeitsvektor ⃗v = ˙⃗r liegt bekanntlich in Richtung der<br />
Kurventangente:<br />
⃗v = v ⃗T =<br />
√<br />
ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2<br />
⃗T<br />
} {{ }<br />
=|⃗v|=v= dszeitabhängiger<br />
Geschw.-Betrag dt
¥ ¤<br />
<br />
¡<br />
£ ¢<br />
32 KAPITEL 3. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES<br />
P<br />
Kurve<br />
0<br />
⃗v hat nur eine Tangentialkomponente:<br />
v T = v<br />
v N = 0<br />
Der Beschleunigungsvektor ergibt sich über die Differentiation von<br />
⃗v = v ⃗ T nach der Zeit t:<br />
⃗a = d⃗v<br />
dt<br />
= d dt (v ⃗ T )<br />
Ferner ist:<br />
= dv T<br />
dt ⃗ + v d⃗ T<br />
dt<br />
= ˙v ⃗ T + v d⃗ T<br />
dt<br />
dT<br />
⃗ ( )<br />
dT<br />
dt = ⃗ ds (<br />
ds dt = χN<br />
⃗ )<br />
v = χNv ⃗ = v N<br />
ϱ ⃗<br />
Für die Umformung haben wir folgende Zusammenhänge verwendet:<br />
d ⃗ T<br />
ds = χ ⃗ N<br />
ds<br />
dt = v<br />
χ = 1 ϱ<br />
Für die Beschleunigung ergibt sich:<br />
(<br />
⃗a = ˙v T ⃗ v<br />
+ v ⃗N = ˙v T<br />
ϱ)<br />
⃗ + v2<br />
N<br />
ϱ ⃗<br />
Bahn−<br />
kurve<br />
Also sind die einzelnen Komponenten der Beschleunigung:<br />
§©¨ ¦<br />
a T = ˙v Tangentialbeschleunigung<br />
a N = v2<br />
ϱ<br />
Zentripetalbeschleunigung<br />
<br />
<br />
<br />
2. Gleichförmige Kreisbewegung<br />
˙v = 0 d.h. v = const ⇒ a T = 0
¡<br />
3.5. INTEGRATION VON VEKTOREN 33<br />
Die Normalkomponente a N = v2<br />
r<br />
ist stets auf den Kreismittelpunkt<br />
gerichtet und ändert dauernd die Richtung der Geschwindigkeit,<br />
nicht deren Betrag!<br />
y<br />
£<br />
¤<br />
¢<br />
P<br />
Mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω<br />
ist v = ωr und die Beschleunigung ergibt<br />
sich:<br />
x<br />
⃗a = a N<br />
⃗ N =<br />
v 2<br />
r<br />
⃗ N = − v2<br />
r<br />
⃗r<br />
r = − v2<br />
r 2 ⃗r<br />
= −(ωr)2<br />
r<br />
⃗c = −ω 2 ⃗r<br />
2<br />
3.5 Integration von Vektoren<br />
Bisher:<br />
Bahn ⃗r(t) gegeben → ⃗v(t),⃗a(t) durch Differentiation<br />
Jetzt geht’s an das inverse Problem:<br />
⃗v(t) oder ⃗a(t) sind gegeben, berechne die Bahn ⃗r(t) durch Integration<br />
3.5.1 Integrale<br />
Das Integral ist die Fäche unter einer Kurve. Man unterscheidet bestimmte<br />
und unbestimmte Integrale:<br />
• Bestimmtes Integral:<br />
f(x)<br />
• Unbestimmtes Integral:<br />
a<br />
b x<br />
∫b<br />
I = f(x) dx<br />
a
34 KAPITEL 3. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES<br />
y<br />
a a(t) t x<br />
f(x)<br />
∫x<br />
I(x) = f(t) dt<br />
a<br />
Das unbestimmte Integral repräsentiert den Flächeninhalt zwischen der Funktion<br />
y = f(t) und der t-Achse im Intervall a ≤ t ≤ x in Abhängigkeit der<br />
oberen Grenze x.<br />
3.5.2 Stammfunktion<br />
Gegeben sei f(x) =<br />
dF (x)<br />
dx<br />
; bestimme F (x).<br />
F (x 1 ) = F (x 0 ) + f(x 0 )∆x<br />
F(x)<br />
Für den Grenzwert ∆x → 0<br />
wird dies zu:<br />
x<br />
∫ x<br />
F (x) = F (x 0 ) + f(x ′ ) dx ′<br />
x 0<br />
£¥¤ ¢¡<br />
Die Stammfunktion ist F (x), der Anfangswert F (x 0 ). Analog gilt dies für<br />
Vektorfunktionen (hier: ⃗g(s)):<br />
∫<br />
⃗I = s 1<br />
s 0<br />
⃗g(s) ds<br />
bestimmtes Integral<br />
⃗F (s) = s ∫<br />
s 0<br />
⃗g(s ′ ) ds ′ + ⃗ F (s 0 ) Stammfunktion<br />
Berechnung von Bahnkurven<br />
1. Geschwindigkeit ⃗v(t) = d⃗r<br />
dt gegeben<br />
∫ t<br />
⃗r(t) = ⃗r(t 0 ) + v(t ′ ) dt ′<br />
t 0<br />
⃗r(t 0 ) ist ein gegebener Anfangswert zur Zeit t 0
3.5. INTEGRATION VON VEKTOREN 35<br />
2. Beschleunigung ⃗a(t) = d⃗v<br />
dt<br />
gegeben<br />
2<br />
⇒ zweimaliges Integrieren, das heißt bestimmen der Stammfunktion<br />
dt = d2 ⃗r<br />
∫ t<br />
⃗v(t) = ⃗v(t 0 ) + a(t ′ ) dt ′<br />
t 0<br />
∫t<br />
⃗r(t) = ⃗r(t 0 ) + ⃗v(t 0 ) dt ′<br />
t 0<br />
} {{ }<br />
⃗v(t 0 )(t−t 0 )<br />
∫t ′<br />
t 0<br />
∫t<br />
+<br />
a(t ′′ )dt ′′ dt ′<br />
t 0<br />
} {{ }<br />
i.a. kompliziert<br />
3. Spezielle Beispiele<br />
• Konstante Geschwindigkeit<br />
<br />
¢¡¤£¦¥¨§<br />
⃗v(t) = const = ⃗v 0<br />
⇒ ⃗r(t) = ⃗r(t 0 ) + ⃗v 0 (t − t 0 )<br />
©<br />
Es ergibt sich eine geradlinige Bahn. Die Bewegung heißt “gleichförmige<br />
Bewegung”.<br />
• Bewegung mit konstanter Beschleunigung<br />
⃗a(t) = const = ⃗a 0<br />
⃗v(t) = ⃗v(t 0 )<br />
} {{ }<br />
⃗v 0<br />
+⃗a 0 (t − t 0 )<br />
⃗r(t) = ⃗r(t 0 )<br />
} {{ }<br />
∫ t<br />
+⃗v 0 (t − t 0 ) +<br />
⃗r 0<br />
t 0<br />
⃗a 0 (t ′ − t 0 ) dt ′<br />
} {{ }<br />
⃗a 0<br />
1<br />
2 (t−t 0) 2<br />
Vereinfacht ergibt sich also folgende allgemeine Gleichung:<br />
⃗r(t) = ⃗r 0 + ⃗v 0 (t − t 0 ) + ⃗a 0<br />
2 (t − t 0) 2
36 KAPITEL 3. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES<br />
¤<br />
¥§¦<br />
¨<br />
©<br />
¡£¢<br />
Parabelbahn<br />
(Wurfbahn)<br />
3.5.3 Komponenten und Koordinaten<br />
⃗A = A 1 ⃗e 1 + A 2 ⃗e 2 + A 3 ⃗e 3<br />
Anforderungen an geeignete Koordinatensysteme<br />
1. Orthonormal<br />
Das heißt sie müssen rechtwinklig und normiert<br />
sein. Schön zur Darstellung dieser<br />
Eigenschaften ist das Kroneckersymbol:<br />
{<br />
1 i = j<br />
⃗e i · ⃗e j = δ ij :=<br />
0 i ≠ j<br />
<br />
<br />
<br />
2. Rechtshändig<br />
⃗e 1 × ⃗e 2 = ⃗e 3<br />
⃗e 2 × ⃗e 3 = ⃗e 1<br />
⃗e 3 × ⃗e 1 = ⃗e 2<br />
!"<br />
Die Vektoren müssen also zyklisch vertauschbar sein.<br />
Allgemein gibt es zwei Möglichkeiten für Koordinatensysteme:
3.5. INTEGRATION VON VEKTOREN 37<br />
• Kartesische Koordinaten<br />
{⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 } = {⃗e x , ⃗e y , ⃗e z }<br />
konstant im R 3<br />
• Krummlinige Koordinaten<br />
{⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 }<br />
ortsabhängig, aber<br />
orthonormal<br />
Komponentendarstellung von Vektoroperationen In orthonormalen<br />
Koordinatensystemen lassen sich Vektoren zerlegen:<br />
3∑<br />
⃗A = A 1 ⃗e 1 + A 2 ⃗e 2 + A 3 ⃗e 3 = A i ⃗e i<br />
i=1<br />
Zu beachten:<br />
⃗A ist darstellungsfrei und A i ist basisabhängig. Außerdem gilt:<br />
⃗e i · ⃗e j = δ ij und A j = ⃗e j · ⃗A = ∣A<br />
⃗ ∣ cos α i<br />
cos α i heißt Richtungscosinus.<br />
Die folgenden Komponentendarstellungen gelten für jedes orthonormale Koordinatensystem,<br />
das heißt auch für krummlinige, wenn Vektoren am gleichen<br />
Aufpunkt genommen werden! Sei im weiteren<br />
⃗A = ∑ i<br />
∑<br />
A i ⃗e i , B ⃗ = B i ⃗e i , . . .<br />
⃗A = B ⃗ ⇐⇒ A i = B i Gleichheit<br />
⃗B = λB ⃗ ⇐⇒ B i = λA i Multiplikation mit Skalar<br />
⃗C = A ⃗ + B ⃗ ⇐⇒ C i = A i + B i Addition<br />
Skalarprodukt:<br />
i<br />
⃗A · ⃗B = ∑ i<br />
A i B i
38 KAPITEL 3. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES<br />
Beweis zum Skalarprodukt:<br />
⃗A · ⃗B =<br />
( ∑<br />
i<br />
) ⎛<br />
A i ⃗e i · ⎝ ∑ j<br />
B j ⃗e j<br />
⎞<br />
⎠<br />
= ∑ i,j<br />
A i B j<br />
⃗e i · ⃗e j = ∑ } {{ }<br />
i<br />
δ ij<br />
A i B i<br />
Insbesondere:<br />
∣ ∣∣ ⃗ A<br />
∣ ∣∣ 2<br />
= ⃗ A · ⃗ A =<br />
∑<br />
i<br />
A 2 i<br />
Und auch die Länge des Ortsvektors ist:<br />
√<br />
|⃗r| := x 2 + y 2 + z 2<br />
Vektorprodukt:<br />
¨<br />
©<br />
∑<br />
i<br />
⃗C = ⃗ A × ⃗ B<br />
c<br />
¡£¢<br />
i ⃗e i = ∑ A j B k ⃗e j × ⃗e k<br />
} {{ ¤<br />
}<br />
j,k<br />
⃗e r<br />
Dabei soll ⃗e r ein rechtshändiges Dreibein aufstellen.<br />
Für Interessierte:<br />
Es existiert eine Darstellung des Vektorproduktes mit dem Levi-Civita-<br />
Tensor (Anm. des TEX-ers: Im Bronstein steht nix dazu).<br />
⎧<br />
⎪⎨ 1 i, j, k = 1, 2, 3 und zyklisch vertauschbar<br />
ɛ ijk = −1 i, j, k = 1, 3, 2 und zyklisch vertauschbar<br />
⎪⎩ 0 sonst<br />
⃗C = A ⃗ × B ⃗<br />
c i = ∑ ɛ i,j,k A j B k<br />
j,k<br />
Einsteinsche Summenkonvention<br />
Durch die lineare Transformation x = Ax ′ oder auch<br />
ˆx 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3<br />
ˆx 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3<br />
ˆx 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3<br />
wird im Dreidimensionalen eine Koordinatentransformation beschrieben. x j<br />
und x ′ i sind die Koordinaten ein und desselben Punktes bezogen auf zwei<br />
¥§¦
3.5. INTEGRATION VON VEKTOREN 39<br />
verschiedene Koordinatensysteme K und K ′ . Anstelle der kompletten Ausdrücke<br />
kann man auch<br />
3∑<br />
x ′ i = a ij x j<br />
j=1<br />
oder auch abkürzend nach Einstein<br />
x i = a ij x j<br />
schreiben.
40 KAPITEL 3. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES
Man muß den Begriff schon<br />
wesentlich im Kopfe haben,<br />
den man lernen soll.<br />
Novalis<br />
Kapitel 4<br />
Koordinatensysteme und was<br />
dazugehört<br />
Koordinatensysteme können das Rechnen extrem erleichtern. Die ”Welt“<br />
ist eben nicht immer ein Kasten, also ist das kartesische (rechtwinklige)<br />
Koordinatensystem nicht immer optimal.<br />
Alternativen sind:<br />
- Polarkoordinaten<br />
z<br />
- Zylinderkoordinaten<br />
- Kugelkoordinaten<br />
x<br />
y<br />
4.1 Polarkoordinaten<br />
Definition 8 (Polarkoordinaten) Polarkoordinaten sind ein Tupel (r, ϕ),<br />
wobei r die Abstandskoordinate ist. Sie gibt den Abstand des Punktes P vom<br />
Koordinatenursprung an und ϕ ist der Winkel zwischen dem Koordinatenursprung<br />
0 und dem zum Punkt P gerichteten Radiusvektor und der positiven<br />
x-Achse.<br />
41
¢<br />
¡<br />
42KAPITEL 4.<br />
KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEHÖRT<br />
y<br />
P<br />
r<br />
y<br />
Polarkoordinaten (r, ϕ)<br />
eines Punktes (x, y)<br />
x<br />
x<br />
r ist per Definition immer positiv. ϕ wird gegen den Uhrzeigersinn positiv<br />
gezählt und im Uhrzeigersinn negativ. Das Polarkoordinatensystem ist<br />
krummlinig. Die Koordinatenlinien bestehen aus konzentrischen Kreisen um<br />
den Ursprung (ϕ-Linien) und Strahlen, die radial vom Ursprung nach außen<br />
verlaufen (r-Linien). Im Punkt r=0 gibt es eine Singularität, das heißt hier<br />
ist ϕ nicht definiert.<br />
y<br />
const<br />
(r−Linie)<br />
x<br />
Ebenes Polarkoordinatensystem<br />
r const<br />
−Linie<br />
4.1.1 Koordinatentransformation<br />
Kartesisch −→ Polar<br />
x = r cos ϕ<br />
y = r sin ϕ<br />
Polar −→ Kartesisch √<br />
r = x 2 + y 2<br />
tan ϕ = y x<br />
4.1.2 Darstellung eines Vektors in Polarkoordinaten<br />
Erinnerung an kartesische Koordinaten
4.1. POLARKOORDINATEN 43<br />
y<br />
¢¡<br />
⃗A = A x ⃗e x + A y ⃗e y<br />
¤¦¥ £<br />
¨© x<br />
§<br />
⃗e x und ⃗e y sind Einheitsvektoren in Richtung der x- beziehungsweise y-Achse.<br />
A x und A y sind die Projektionen des Vektors auf die Einheitsvektoren. Eine<br />
Vereinbarung ist, daß die Vektorkoordinate positiv wird, wenn der Projektionsvektor<br />
die gleiche Richtung hat wie der Einheitsvektor, ansonsten negativ.<br />
Wie lauten die Einheitsvektoren ⃗e r und ⃗e ϕ in Polarkoordinaten?<br />
y<br />
r−Linie<br />
cos<br />
sin<br />
<br />
<br />
−sin<br />
cos<br />
⃗e r = cos ϕ ⃗e x + sin ϕ ⃗e y<br />
r<br />
−Linie<br />
⃗e ϕ = − sin ϕ ⃗e x +cos ϕ ⃗e y<br />
x<br />
⃗e r und ⃗e ϕ verändern sich von Punkt zu Punkt. Die Ausnahme ist eine Bewegung<br />
längs eines r-Strahles (ϕ = const). Also ganz im Gegensatz zu kartesischen<br />
Koordinaten, bei denen ⃗e x und ⃗e y stets konstant bleiben.<br />
Eine andere Schreibweise für die Polarkoordinaten ist auch:<br />
⃗e r =<br />
( )<br />
cos ϕ<br />
sin ϕ<br />
⃗e ϕ =<br />
( )<br />
− sin ϕ<br />
cos ϕ<br />
Sie sind orthogonal, denn<br />
⃗e r · ⃗e ϕ = − cos ϕ sin ϕ + sin ϕ cos ϕ = 0
44KAPITEL 4.<br />
KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEHÖRT<br />
Daraus kann man eine Transformationsmatrix A berechnen:<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
⃗er cos ϕ sin ϕ ⃗ex ⃗ex<br />
=<br />
= A<br />
⃗e ϕ − sin ϕ cos ϕ ⃗e y ⃗e y<br />
} {{ }<br />
A<br />
cos ϕ sin ϕ<br />
Det A =<br />
∣ − sin ϕ cos ϕ ∣ = cos2 ϕ + sin 2 ϕ = 1<br />
Dies bedeutet, daß A orthogonal ist. Die Transformationsmatrix entspricht<br />
einer Drehung der Ebenen des x-y-Koordinatensystems um den Winkel ϕ.<br />
Physikalische Anwendung<br />
Erinnerung an den Ortsvektor ⃗r(t) = r(t) · ⃗e r . Das Differential in kartesischen<br />
Koordinaten lautet:<br />
˙⃗A =<br />
A ˙ x ⃗e x + A ˙ y ⃗e y + A ˙ z ⃗e z<br />
Für die Ableitungen der Einheitsvektoren gilt:<br />
Geschwindigkeit in Polarkoordinaten:<br />
⃗e ˙ x = ⃗e ˙ y = ⃗e ˙ z = 0<br />
Wie lautet ˙ ⃗e r ?<br />
⃗v(t) = ˙⃗r(t) = ṙ⃗e r + r ˙ ⃗e r<br />
⃗e r = cos ϕ⃗e x + sin ϕ⃗e y<br />
⃗e ˙ r = − ˙ϕ sin ϕ⃗e x + ˙ϕ cos ϕ⃗e y = ˙ϕ (− sin ϕ⃗e x + cos ϕ⃗e y ) = ˙ϕ⃗e ϕ<br />
} {{ }<br />
⃗e ϕ<br />
Also ist die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten:<br />
⃗v(t) = ṙ⃗e r + r ˙ϕ⃗e ϕ<br />
˙ ⃗e ϕ = − ˙ϕ cos ϕ⃗e x − ˙ϕ sin ϕ⃗e ϕ = − ˙ϕ⃗e r<br />
Damit kann man wiederum die Beschleunigung in Polarkoordinaten<br />
ausrechnen:<br />
Dabei ist<br />
⃗a(t) = a r ⃗e r + a ϕ ⃗e ϕ = ˙⃗v(t)<br />
- die Zentripetalbeschleunigung<br />
a r = ¨r − r ˙ϕ 2
¡<br />
¤<br />
£<br />
¢<br />
4.2. ZYLINDERKOORDINATEN 45<br />
- die Coriolisbeschleunigung<br />
Beispiel:<br />
Gleichförmige Kreisbewegung mit<br />
a ϕ = 2ṙ ˙ϕ + r ¨ϕ<br />
r = R = const ṙ = 0 ¨r = 0<br />
ϕ = ωt ˙ϕ = ω = const ¨ϕ = 0<br />
⇓<br />
⃗v = ωR⃗e ϕ<br />
⃗a = −ω 2 R⃗e r<br />
T angentialkomponente<br />
Normalkomponente<br />
4.2 Zylinderkoordinaten<br />
z<br />
Zylinderkoordinaten verwendet man vorzugsweise bei<br />
räumlichen Problemen mit Axial-, Zylinder- oder Rotationssymmetrie.<br />
Sie bestehen aus den Polarkoordinaten<br />
ϱ und ϕ in der (x-z-Ebene) und der kartesischen<br />
Höhenkoordinate z.<br />
Wichtig:<br />
y<br />
ϱ ≥ 0<br />
0 ≤ ϕ ≤ 2π<br />
−∞ < z < ∞<br />
x<br />
P<br />
z<br />
P(x,y,z)<br />
z<br />
y<br />
x<br />
x<br />
y<br />
P
¤<br />
¢<br />
£<br />
¥<br />
46KAPITEL 4.<br />
KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEHÖRT<br />
4.2.1 Koordinatentransformation<br />
Kartesische → Zylinder<br />
x = ϱ · cos ϕ<br />
y = ϱ · sin ϕ<br />
z = y<br />
Zylinder → Kartesische<br />
√<br />
ϱ = x 2 + y 2<br />
tan ϕ = y x<br />
z = z<br />
4.2.2 Koordinatenflächen<br />
Sie entstehen, wenn jeweils eine der drei Zylinderkoordinaten festgehalten<br />
werden:<br />
ϱ = const<br />
ϕ = const<br />
z = const<br />
Zylindermantel<br />
Halbebene durch die z-Achse<br />
Parallelebene zur x-y-Achse in der Höhe von z<br />
z<br />
z<br />
z<br />
z=const<br />
=const<br />
=const<br />
¡<br />
y<br />
y<br />
y<br />
x<br />
x<br />
x<br />
4.2.3 Koordinatenlinien<br />
ϱ, z = const Halbgerade senkrecht zur z-Achse (ϱ-Linie ϱ ≥ 0)<br />
ϕ, z = const Kreis um die z-Achse parallel zur x-y-Ebene (ϕ − Linie)<br />
z, ϕ=const Mantellinie des Zylinders (z-Linie)<br />
z<br />
−Linie<br />
−Linie<br />
P<br />
z−Linie<br />
y<br />
x
¢<br />
£<br />
¡<br />
4.2. ZYLINDERKOORDINATEN 47<br />
4.2.4 Linien- Flächen- und Volumenelemente<br />
• Linienelement<br />
Das Zylinderelement ist die geradlinige Verbindung zweier differentiell<br />
benachbarter Punkte, die sich in ihren Zylinderkoordinaten der Reihe<br />
nach um dϱ, dϕ und dz verändern. Seine Länge ist:<br />
√<br />
ds = (dϱ) 2 + ϱ 2 (dϕ) 2 + (dz) 2<br />
• Flächenelement<br />
x<br />
• Volumenelement<br />
z<br />
d<br />
dA<br />
y<br />
d<br />
dz<br />
Das Flächenelement entspricht<br />
einem Rechteck mit den Seiten<br />
ϱdϕ und dz und besitzt den<br />
Flächeninhalt:<br />
dV = ϱdϱdϕdz<br />
dA = ϱdϕdz<br />
4.2.5 Useful Stuff<br />
⃗e 2 = 1 =⇒ d dt ⃗e 2 = 0 = 2⃗e ˙⃗e =⇒ ˙⃗e ⊥ ⃗e<br />
1. Der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten ist:<br />
⃗r(t) = ϱ⃗e ϱ + ϕ⃗e ϕ + z⃗e z<br />
2. Sowie der Geschwindigkeitsvektor in Zylinderkoordinaten:<br />
⃗v(t) = ˙ϱ⃗e ϱ + ϱ ˙ϕ⃗e ϕ + ż⃗e z<br />
3. Zur Beschleunigung:<br />
⃗a(t) = a ϱ ⃗e ϱ + a ϕ ⃗e ϕ + a z ⃗e z<br />
a ϱ = ¨ϱ − ϱ ˙⃗ϕ 2<br />
a ϕ = ϱ ¨ϕ − 2 ˙ϱ ˙ϕ<br />
a z = ¨z
¡<br />
¤<br />
¥<br />
48KAPITEL 4.<br />
KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEHÖRT<br />
4.3 Kugelkoordinaten<br />
x<br />
y<br />
z<br />
r<br />
P<br />
z<br />
4.3.1 Koordinatentransformation<br />
x<br />
y<br />
Kartesische → Kugel<br />
Die Kugelkoordinaten r, ϑ und ϕ eines<br />
Raumpunktes P bestehen aus einer Abstandskoordinate<br />
r und zwei Winkelkoordinaten<br />
ϑ und ϕ.<br />
ϑ ist hierbei der Polabstand.<br />
x = r · sin ϑ · cos ϕ<br />
y = r · sin ϑ · sin ϕ<br />
z = r · cos ·ϑ<br />
Kugel → Kartesische<br />
√<br />
r = x 2 + y 2 + z 2<br />
( ) (<br />
)<br />
z z<br />
ϑ = arccos = arccos √<br />
r x 2 + y 2 + z 2<br />
tan ϕ = y x<br />
4.3.2 Koordinatenflächen<br />
Sie entstehen, genau wie bei den Zylinderkoordinaten, wenn jeweils eine der<br />
drei Kugelkoordinaten festgehalten werden:<br />
r = const Kugeloberfläche<br />
ϑ = const Mantelfäche eines Kegels (Kegelspitze, Öffnungswinkel )2ϑ<br />
ϕ = const Halbebene durch die z-Achse<br />
z<br />
r=const<br />
z<br />
z<br />
r<br />
y<br />
¢ £<br />
=const<br />
=const<br />
y<br />
y<br />
x<br />
x<br />
x
¢<br />
§<br />
4.3. KUGELKOORDINATEN 49<br />
4.3.3 Koordinatenlinien<br />
Koordinatenlinien entstehen, wieder wie bei den Zylinderkoordinaten, wenn<br />
jeweils zwei der drei Kugelkoordinaten festgehalten werden. Sie sind somit<br />
Schnittkurven zweier Koordinatenflächen:<br />
ϑ, ϕ = const radialer Strahl vom Ursprung (r-Linie)<br />
r, ϑ = const Breitenkreis mit Radius r · sin ϑ (ϕ-Linie)<br />
r, ϕ = const Längenkreis (ϑ-Linie)<br />
r−Linie<br />
z<br />
z ¡<br />
−Linie z<br />
−Linie<br />
y<br />
y<br />
y<br />
x<br />
x<br />
x<br />
4.3.4 Flächen-, Linien- und Volumenelement<br />
• Flächenelement<br />
x<br />
z<br />
d<br />
r sin<br />
r<br />
d<br />
r d<br />
©<br />
<br />
¨<br />
dA<br />
y<br />
Flächenelement dA auf der<br />
Kugeloberfläche:<br />
dA = r 2 · sin ϑ dϑdϕ<br />
r sin<br />
¤ ¥ ¦ £<br />
d r sin d<br />
• Linienelement ds<br />
ds =<br />
• Volumenelement dV<br />
√<br />
(ds) 2 + r 2 (dϑ) 2 + r 2 · sin 2 ϑ(dϕ) 2<br />
z dr<br />
d<br />
<br />
r<br />
dA<br />
dV<br />
dV = dA · dr<br />
= r 2 · sin ϑ drdϑdϕ<br />
x<br />
y
50KAPITEL 4.<br />
KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEHÖRT<br />
4.3.5 Useful Stuff<br />
⃗e ˙ r = ˙ϑ⃗e ϑ + ˙ϕ · sin ϑ · ⃗e ϕ<br />
⃗e ˙ ϑ = − ˙ϑ⃗e r + ˙ϕ · cos ϑ · ⃗e ϕ<br />
⃗e ˙ ϕ = − ˙ϕ sin ϑ⃗e r − ˙ϕ · cos ϑ · ⃗e ϑ<br />
⃗r = r · ⃗e r + ϑ⃗e ϑ + ϕ⃗e ϕ<br />
⃗v = ṙ⃗e r + r ˙ϑ⃗e ϑ + r · sin ϑ ˙ϕ⃗e ϕ<br />
⃗a = (¨r − r ˙ϑ 2 − r ˙ϕ 2 · sin 2 ϑ)⃗e r<br />
+ (r ¨ϑ − 2ṙ ˙ϑ − r ˙ϕ 2 sin ϑ cos ϑ)⃗e ϑ<br />
+ (r ¨ϕ sin ϑ + 2ṙ ˙ϕ sin ϑ + 2r ˙ϑ ˙ϕ cos ϑ)⃗e ϕ
Hinter jeder Ecke lauern ein<br />
paar Richtungen.<br />
Stanislaw Lec<br />
Kapitel 5<br />
Skalar- und Vektorfelder<br />
5.1 Motivation und Definitionen<br />
Physikalische Größen sind im Raum R 3 definiert, das heißt also als Funktion<br />
von ⃗r und eventuell von t. Dies führt uns zum Begriff des Feldes.<br />
5.1.1 Skalarfelder<br />
Definition 9 (Skalarfeld) Ein Skalarfeld ordnet den Punkten eines ebenen<br />
oder räumlichen Bereiches in eindeutiger Weise einen Skalar zu.<br />
Beispiele:<br />
Φ = Φ(P ) = Φ(x, y) ebenes Skalarfeld<br />
Φ = Φ(P ) = Φ(x, y, z) räumliches Skalarfeld<br />
Temperatur T (⃗r, t)<br />
Dichte ϱ(⃗r)<br />
Flächen im Raum, auf der das Skalarfeld einen konstanten Wert annimmt<br />
heißen Niveauflächen:<br />
Φ(x, y, z) = const<br />
Äquipotentialflächen<br />
5.1.2 Vektorfelder<br />
Definition 10 (Vektorfeld) Ein Vektorfeld ordnet den Punkten eines ebenen<br />
oder räumlichen Bereiches in eindeutiger Weise einen Vektor zu.<br />
51
52 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
• ebenes Vektorfeld:<br />
y<br />
⃗F (x, y) = F x (x, y)⃗e x<br />
+ F y (x, y)⃗e y<br />
=<br />
• räumliches Vektorfeld:<br />
(<br />
Fx (x, y)<br />
F y (x, y)<br />
)<br />
x<br />
P<br />
y<br />
¨<br />
¡£¢¥¤§¦<br />
©<br />
<br />
x<br />
⃗F (x, y, z) =<br />
F x (x, y, z)⃗e x + F y (x, y, z)⃗e y + F z (x, y, z)⃗e z =<br />
⎛<br />
⎞<br />
F x (x, y, z)<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ F y (x, y, z) ⎠<br />
F z (x, y, z)<br />
Beispiele:<br />
- Kraftfelder F ⃗ (⃗r)<br />
- Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit ⃗v(⃗r, t)<br />
5.1.3 Feldlinien<br />
Das Vektorfeld lässt sich durch Feldlinien sehr anschaulich darstellen. Feldlinien<br />
sind Kurven, die in jedem Punkt P durch den dortigen Feldvektor<br />
⃗F (P ) tangiert werden.<br />
Definition 11 (Feldlinie)<br />
"£#¥$§% !<br />
P<br />
⃗F × ˙⃗r = 0 oder ⃗ F × d⃗r = 0<br />
Feldlinie<br />
Der Feldvektor F ⃗ (p) verläuft parallel zum<br />
Tangentenvektor ˙⃗r der Feldlinie<br />
. /<br />
-<br />
')(+* , &<br />
P
¡<br />
5.2. SPEZIELLE VEKTORFELDER AUS DER PHYSIK 53<br />
Beispiel:<br />
y<br />
x<br />
Die Feldlinien des ebenen Vektorfeldes<br />
⃗A 1 (x, y) = x⃗e x + y⃗e y = ⃗r sind radial<br />
nach außen gerichtet, die des Vektorfeldes<br />
⃗A 2 (x, y) = −x⃗e x − y⃗e y = −⃗r radial nach<br />
innen.<br />
5.2 Spezielle Vektorfelder aus der Physik<br />
5.2.1 Homogenes Vektorfeld<br />
Dies ist ein Vektorfeld, dessen Feldvektoren ⃗ F in jedem Punkt die gleiche<br />
Richtung und den gleichen Betrag haben:<br />
⃗F = −−−→ const<br />
Beispiel:<br />
Elektrisches Feld in einem geladenen Plattenkondensator. ⃗ E hat in jedem<br />
Punkt die gleiche Richtung und den gleichen Betrag:<br />
⃗E(P ) = 0⃗e x + E 0 ⃗e y + 0⃗e z<br />
E 0 = const<br />
5.2.2 Kugelsymmetrisches Vektorfeld<br />
Zwei Bedingungen müssen für kugelsymmetrische Vektorfelder gelten:<br />
1. Die Feldvektoren zeigen in jedem Punkt des Feldes radial<br />
nach außen oder radial nach innen.<br />
2. Der Betrag des Vektorfeldes hängt nur vom Abstand r vom<br />
Koordinatenursprung ab.<br />
Ein kugelsymmetrisches Vektorfeld hat die Form:<br />
⃗F (P ) = f(r)⃗e r = f(r) ⃗r<br />
⃗e r = ⃗r<br />
|⃗r| = ⃗r r<br />
|⃗r| = f(r)<br />
r<br />
⃗r
¦ ¥<br />
¤ £<br />
54 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
⃗e r ist der nach außen gerichtete Einheitsvektor.<br />
Beispiel:<br />
Gravitationsfeld der Erde.<br />
Erde<br />
⃗F (P ) = −G M Erdem<br />
r 2 ⃗e r<br />
= −G M Erdem ⃗r<br />
r 2 r<br />
5.3 Linien- oder Kurvenintegrale<br />
Physikalische Arbeit, die von einer Kraft oder einem Kraftfeld verrichtet<br />
wird.<br />
1. Verschiebung längs einer Geraden durch eine konstante Kraft<br />
W = ⃗ F · ⃗s<br />
= F · s · cos ϕ<br />
¢ ¡<br />
2. Verschiebung längs einer Geraden durch eine ortsabhängige Kraft.<br />
<br />
¨© §<br />
<br />
s<br />
d<br />
s+ds<br />
<br />
s<br />
Die Einwirkung der Kraft ist ortsabhängig ⃗F = ⃗F (s). Also:<br />
Zerlegung des geradlinigen Wegstückes in kleine Wegelemente; längs<br />
eines Wegelements kann dann die einwirkende Kraft als nahezu konstant<br />
betrachtet werden. Für eine infinitesimal kleine Verschiebung um<br />
d⃗s gilt deshalb:<br />
dW = ⃗ F (s) · d⃗s = F s (s)ds<br />
F s ist die Kraftkomponente in Wegrichtung.<br />
Dies führt zum Arbeitsintegral:<br />
∫ s 2<br />
∫ s 2<br />
∫s 2<br />
W = dW = F ⃗ (s) · d⃗s = F s (s) ds<br />
s 1 s 1<br />
s 1
¡<br />
5.3. LINIEN- ODER KURVENINTEGRALE 55<br />
Der allgemeine Fall ist die Verschiebung eines Massenpunktes längs einer<br />
Kurve C mit dem Ortsvektor ⃗r(t) in einem ebenen Kraftfeld ⃗ F (x, y) von P 1<br />
nach P 2 . (Zeit: t 1 ≤ t ≤ t 2 ) – Welche Arbeit wird dabei verrichtet?<br />
P<br />
¢¤£<br />
<br />
© ¨<br />
<br />
¥§¦<br />
C<br />
Die Kraft variiert längs von C. Deshalb zerlegt man die Bewegung<br />
in Wegelemente d⃗r:<br />
dW = ⃗F · d⃗r =<br />
(<br />
Fx (x, y)<br />
F y (x, y)<br />
)<br />
·<br />
(<br />
dx<br />
dy<br />
= F x (x, y) dx + F y (x, y) dy<br />
)<br />
=<br />
W = ∫ dW = ∫<br />
C C<br />
⃗F · d⃗r = ∫ C<br />
(F x (x, y) dx + F y (x, y) dy)<br />
mit<br />
˙⃗r = d⃗r<br />
dt<br />
(ẋ(t) )<br />
und d⃗r = ˙⃗rdt = dt<br />
ẏ(t)<br />
ergibt sich aus dem Kurvenintegral ∫ C<br />
Integral:<br />
⃗F · d⃗r ein gewöhnliches<br />
W =<br />
∫<br />
= t 2<br />
∫<br />
C<br />
∫<br />
⃗F · d⃗r = t 2 ( ) ⃗F · ˙⃗r<br />
t 1<br />
dt =<br />
t 1<br />
[F x (x, y) · ẋ(t) + F y (x, y) · ẏ(t)] dt<br />
Definition 12 (Kurven- oder Linienintegral)<br />
∫<br />
C<br />
∫ t 2<br />
( )<br />
⃗F · d⃗r = ⃗F · ˙⃗r dt<br />
t 1<br />
⃗ F (x, y) ist Vektorfeld
56 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
Diese Definition läßt sich für skalare Funktionen noch umformulieren:<br />
Wenn f(⃗r) eine skalare Funktion ist und das Wegelement einer Kurve:<br />
√ (dx ) 2<br />
ds = |d⃗s| = +<br />
du<br />
( ) dy 2<br />
+<br />
du<br />
( ) dz 2<br />
du = ds<br />
du du du<br />
wobei u ein Parameter ist, so läßt sich das Kurvenintegral auch folgendermaßen<br />
formulieren:<br />
∫b<br />
a<br />
∫<br />
C<br />
∫<br />
f (⃗r) ds = b<br />
a<br />
f (⃗r) ds<br />
du du =<br />
√ ( ) 2 ( )<br />
f (⃗r(u)) dx<br />
du + dy 2 ( 2<br />
du + dz<br />
du)<br />
du<br />
Achtung!<br />
Der Weg des Linienintegrals hängt nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt<br />
des Integrationsweges, sondern auch noch vom eingeschlagenen Verbindungsweg<br />
ab.<br />
Anmerkungen:<br />
• Kurvenintegral im Dreidimensionalen:<br />
∫<br />
C<br />
F x dx + F y dy + F y dz = (F x ẋ + F y ẏ + F z ż) dt<br />
∫ t 2<br />
t 1<br />
• Wird der Integrationsweg C umgekehrt durchlaufen, ändert sich das<br />
Vorzeichen:<br />
∫<br />
∫<br />
⃗F d⃗r = − ⃗F d⃗r<br />
−C<br />
C<br />
• Die Schreibweise für das geschlossene Kurvenintegral ist:<br />
∮<br />
• Ebenes Problem<br />
Häufig ist der Integrationsweg als explizite Funktionsgleichung gegeben,<br />
das heißt in der Form y = f(x). Die Berechnung des Linienintegrals<br />
erfolgt dann in zwei Schritten:<br />
1. Schritt:<br />
Löse f(x)<br />
dy = f ′ (x)dx
5.3. LINIEN- ODER KURVENINTEGRALE 57<br />
2. Schritt:<br />
∫ ∫<br />
⃗F · d⃗r = (F x dx + F y dy) = (5.1)<br />
C<br />
C<br />
∫ x 2<br />
[<br />
Fx (x, f(x)) + F y (x, f(x)) · f ′ (x)) ] dx (5.2)<br />
x 1<br />
5.3.1 Beispiele<br />
1. Halbkreisbogen<br />
y<br />
• Berechnung in kartesischen Koordinaten<br />
⎫<br />
x = R cos u ⎪⎬<br />
⇒<br />
0 ≤ u ≤ π<br />
y = R sin u<br />
⎪⎭<br />
⇒<br />
x<br />
dx<br />
du<br />
= −R sin u<br />
dy<br />
du = R cos u<br />
Aus f(x, y) = 1 =⇒ x 2 + y 2 = 1. Also ist:<br />
√<br />
ds<br />
du = R 2 sin 2 u + R 2 cos 2 u = R<br />
Umgeformt nach ds und eingesetzt in die allgemeine Gleichung<br />
ergibt sich dann:<br />
l =<br />
∫ π<br />
0<br />
∫ π<br />
ds = R<br />
• Berechnung in ebenen Polarkoordinaten<br />
r = R<br />
ϕ = u<br />
}<br />
dr<br />
du = 0<br />
0<br />
du = πR<br />
d⃗r = dr ⃗e r + r dϕ ⃗e ϕ<br />
√ ( ) dr 2 ( dϕ<br />
ds =<br />
+ r<br />
du<br />
2 du<br />
l =<br />
dϕ<br />
du = 1<br />
∫ π<br />
0<br />
R du = πR<br />
) 2
58 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
Man sieht also, daß es sich am einfachsten in angepaßten Koordinatensystemen<br />
rechnet.<br />
2. Gegebenes Vektorfeld<br />
⃗F (x, y, z) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2x + y 2<br />
x 2 yz<br />
x + z<br />
Aufgabe:<br />
Integration längs der Kurve C, die durch<br />
⃗r(t) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
t<br />
t 2 t<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎠ 0 ≤ t ≤ 1<br />
beschrieben wird.<br />
Lösung:<br />
Die Komponenten von ⃗r(t) sind<br />
und die Ableitung ˙⃗r(t) ist<br />
x = t y = t 2 z = t<br />
˙⃗r =<br />
und ⃗r(t) eingesezt in ⃗ F (x, y, z) ist<br />
⃗F =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2t<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2t + t 4<br />
t 5<br />
2t<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
sowie<br />
⃗F · ˙⃗r = 2t 6 + t 4 + 4t<br />
Damit wird das Integral:<br />
∫<br />
C<br />
( ⃗F · ˙⃗r<br />
)<br />
dt =<br />
∫ 1<br />
0<br />
(<br />
)<br />
2t 6 + t 4 + 4t<br />
dt = 87<br />
35
5.3. LINIEN- ODER KURVENINTEGRALE 59<br />
3. Gegebenes Integral<br />
1<br />
y<br />
§¥¨©¨<br />
<br />
P=(1,1)<br />
∫<br />
(<br />
)<br />
xy 2 dx + xydy<br />
<br />
£¥¤<br />
¦<br />
C<br />
¢¡<br />
0 1 x<br />
Verbindungswege von 0 = (0, 0)<br />
zu P = (1, 1).<br />
(a) Integrationsweg C 1 : y=x, 0 ≤ x ≤ 1<br />
∫<br />
C 1<br />
(<br />
)<br />
xy 2 dx + xy dy<br />
dy<br />
= 1 ⇒ dy = dx<br />
dx<br />
=<br />
=<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
(<br />
)<br />
x · x 2 dx + x · x dx<br />
(<br />
x 3 + x 2) dx<br />
= 1 4 x4 + 1 3 x3 ∣ ∣∣∣ 1<br />
(b) Integrationsweg C 2 : y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 1<br />
dy<br />
dx = 3x2 ⇒ dy = 3x 2 dx<br />
∫<br />
⇒ . . . = 31<br />
56<br />
C 2<br />
(c) Integrationsweg C 3 = C ∗ 3 + C∗∗ 3<br />
Also ein zusammengesetzter Integrationsweg.<br />
i. C 3 mit 0 ≤ y ≤ 1:<br />
∫<br />
x = 0 ⇒ dx = 0 ⇒<br />
C ∗ 3<br />
0<br />
= 0<br />
= 7<br />
12<br />
ii. C ∗∗<br />
3 von Q → P , also 0 ≤ x ≤ 1:<br />
y = 1 ⇒ dy = 0 . . . →<br />
∫<br />
C ∗∗<br />
3<br />
. . . = 1 2<br />
In diesem Beispiel hängt das Linienintegral nicht nur vom Anfangsund<br />
Endpunkt, sondern auch vom eingeschlagenen Weg ab. Ergo: Drei<br />
Integrationswege führen in manchen Fällen zu drei Werten.
⃗F · d⃗r ? ¢¡<br />
60 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
5.4 Konservative Kräfte und Gradienten<br />
1. Übergang vom Zeitintegral zum Impuls<br />
∫t<br />
t 0<br />
∫<br />
F ⃗ dt =<br />
t 0<br />
m d2 ⃗r<br />
dt<br />
2. Übergang vom Wegintegral zur Energie<br />
Die Energie ist definitionsgemäß:<br />
Und die Kraft ist:<br />
d⃗r<br />
dt = m 2<br />
dt ∣ − m d⃗r<br />
t dt ∣ = ⃗p − ⃗p 0<br />
t0<br />
W =<br />
∫ ⃗r 1<br />
⃗r 0<br />
⃗ F d⃗r<br />
⃗F = m d2 ⃗r d⃗r<br />
=⇒ d⃗r =<br />
dt2 dt dt<br />
Ineinander eingesetzt ergibt dann die kinetische Energie:<br />
W =<br />
∫ t 1<br />
t 0<br />
m d2 ⃗r<br />
dt 2 · d⃗r ∫t 1<br />
dt dt =<br />
t 0<br />
d<br />
[ ( ) ]<br />
1 d⃗r<br />
2<br />
2 m = 1 ( )<br />
dt 2 m v1 2 − v0<br />
2<br />
Das heißt eine Kraft, die stets senkrecht auf der Bahn steht kann keine Arbeit<br />
leisten, also auch keine Änderung der kinetischen Energie hervorrufen.<br />
Solche Kräfte können die Richtung der Geschwindigkeit ändern, nicht jedoch<br />
deren Betrag!<br />
Was ist die Physik des Integrals?<br />
∮<br />
C<br />
C<br />
5.4.1 Partielle Differentiation<br />
Zur Erinnerung:<br />
d f(x 0 )<br />
dx<br />
= f ′ f(x 0 + ∆x) − f(x 0 )<br />
(x 0 ) = lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
Wird eine Funktion partiell abgeleitet, so bedeutet dies:<br />
∂f<br />
∂x = lim f(x + ∆x, y) − f(x, y)<br />
∆x→0 ∆x<br />
∂f<br />
∂y<br />
= lim<br />
∆y→0<br />
f(x, y + ∆y) − f(x, y)<br />
∆y
5.4. KONSERVATIVE KRÄFTE UND GRADIENTEN 61<br />
Die partielle Differentiation wird auf eine gewöhnliche Differentiation, das<br />
heißt auf die Differentiation einer Funktion einer Variablen zurückgeführt.<br />
Alle unabhängigen Variablen, bis auf die Differentiationsvariable (das ist die<br />
Variable, nach der differenziert wird) werden als konstante Größen betrachtet.<br />
Beispiel:<br />
z = f(x, y) = −4x 3 y 2 + 3xy 4 − 3x + 2y + 5<br />
∂f<br />
∂x = −12x2 y 2 + 3y 4 − 3<br />
∂f<br />
∂y<br />
= −8x 3 y + 12xy 3 + 2<br />
5.4.2 Produktregel<br />
z = f(x, y) = u(x, y) · v(x, y) = u · v<br />
∂z<br />
∂x = ∂f<br />
∂x = ∂u<br />
∂x v + u ∂v<br />
∂x<br />
∂z<br />
∂y<br />
= ∂f<br />
∂y = ∂u<br />
∂y v + u∂v ∂y<br />
5.4.3 Kettenregel<br />
Hier die Kettenregel für Funktionen mit zwei Parametern.<br />
z = f(x, y)<br />
äußere Funktion<br />
x = x(u, v) ∧ y = y(u, v) innere Funktion<br />
=⇒ z = f(x(u, v), y(u, v))<br />
∂z<br />
∂u = ∂z<br />
∂x · ∂x<br />
∂u + ∂z<br />
∂y · ∂y<br />
∂u<br />
∂z<br />
∂v<br />
= ∂z<br />
∂x · ∂x<br />
∂v + ∂z<br />
∂y · ∂y<br />
∂v<br />
Beispiel:<br />
Bei einer Rakete ist die Masse eine Funktion der Zeit, da sich deren<br />
Masse durch Verbrauch von Treibstoff verringert. Der Impuls<br />
hat nur eine Komponente und ist deshalb als Skalar darstellbar:<br />
p = mv
£<br />
62 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
Er setzt sich also aus zwei zeitabhängigen Grössen zusammen,<br />
der Masse und der Geschwindigkeit. Die Kettenregel ergibt:<br />
F = dp<br />
dt<br />
= ∂p dm<br />
∂m dt + ∂p dv<br />
∂v dt<br />
= vṁ + m ˙v<br />
= vṁ + ma<br />
Und für ṁ = 0 ergibt sich F = ma.<br />
5.5 Das totale Differential<br />
Hier gibt’s nur die Definition:<br />
z = f(x, y)<br />
dz = ∂f ∂f<br />
dx +<br />
∂x ∂y dy<br />
5.5.1 Gradient eines skalaren Feldes<br />
Die partiellen Ableitungen erster Ordnung einer differenzierbaren Funktion<br />
Φ(x, y, z) ermöglichen Aussagen über die Änderungen des Funktionswertes<br />
Φ, wenn man von einem Punkt P aus in Richtung der betreffenden Koordinatenachsen<br />
fortschreitet.<br />
Definition 13 (Gradient) Der Gradient ist folgendermaßen definiert:<br />
grad Φ = ∂Φ<br />
∂x ⃗e x + ∂Φ<br />
∂y ⃗e y + ∂Φ<br />
∂z ⃗e z<br />
Der Gradient eines Skalars ist ein Vektor.<br />
Der Gradient eines Skalarfeldes steht in jedem Punkt P senkrecht auf der<br />
durch P verlaufenden Niveaulinie.<br />
grad<br />
¥ ¤<br />
¦<br />
Beweis:<br />
Das totale Differential ist:<br />
dΦ = ∂Φ<br />
∂x<br />
∂Φ<br />
dx + dy = gradΦ · d⃗r<br />
∂y<br />
P<br />
Niveaulinie<br />
=const<br />
auf Niveaulinien gilt:<br />
dΦ = 0<br />
0<br />
⇒ grad Φ · d⃗r = 0<br />
⇒ Der Gradient eines Skalarfeldes ist<br />
stets senkrecht zu den Niveaulinien<br />
dieses Feldes.<br />
¢<br />
¡
5.5. DAS TOTALE DIFFERENTIAL 63<br />
Der Gradient zeigt immer in Richtung des größten Zuwachses von Φ(x, y).<br />
Für räumliche Felder gilt eine entsprechende Definition, hier gibt es nur<br />
noch eine “Abkürzung”, den Nabla-Operator (Anm.: Dieses Ding scheint<br />
studienbegleitend zu sein!).<br />
Definition 14 (Nabla-Operator)<br />
⃗∇ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂<br />
∂x<br />
∂<br />
∂y<br />
∂<br />
∂z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
grad Φ = ⃗ ∇Φ = ∂Φ<br />
∂x ⃗e x + ∂Φ<br />
∂y ⃗e y + ∂Φ<br />
∂z ⃗e z<br />
Das Produkt des Nabla-Operators mit einem Skalarfeld steht also immer<br />
senkrecht auf Φ und zeigt in Richtung des stärksten Zuwachses von Φ<br />
Der Gradient steht immer senkrecht auf den Niveaulinien.<br />
Beispiel: Berechnung der Niveaulinien und des Gradienten des<br />
ebenen Skalarfeldes<br />
Die Niveaulinien sind konstant:<br />
Φ(x, y) = x 2 + y 2<br />
Φ = const = C<br />
y<br />
Was bildlich bedeutet: Die<br />
Niveaulinien sind konzentrische<br />
Kreise um den Koordinatenursprung<br />
mit den Radien<br />
r = √ C<br />
Niveaulinie<br />
x<br />
x 2 + y 2 = const = C C > 0<br />
( )<br />
x ⃗∇Φ = 2x⃗e x + 2y⃗e y = 2 = 2⃗r<br />
y<br />
Der Gradient ist radial nach außen gerichtet und steht senkrecht<br />
auf den Niveaulinien.
¡<br />
¢<br />
64 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
y<br />
grad =2<br />
£ ¤<br />
x<br />
Niveaulinie<br />
(Kreis)<br />
5.5.2 Rechenregeln für Gradienten<br />
Im weiteren sind Φ und Ψ skalare Felder, C eine Konstante.<br />
⃗∇C = ⃗0<br />
⃗∇(C · Φ) = C ⃗ ∇ · Φ<br />
⃗∇(Φ + Ψ) = ⃗ ∇Φ + ⃗ ∇Ψ<br />
⃗∇(Φ + C) = ∇Φ ⃗<br />
⃗∇(Φ · Ψ) = Φ∇Ψ ⃗ + Ψ∇Φ<br />
⃗<br />
5.5.3 Richtungsableitung<br />
Gesucht:<br />
Änderung des Funktionswertes einer skalaren Funktion Φ, wenn man vom<br />
Punkt P aus in eine bestimmte Richtung fortschreitet. ⃗a ist der Richtungsvektor,<br />
definitionsgemäß in Fortschreiterichtung.<br />
<br />
§ ¦<br />
Niveaulinie<br />
¥<br />
=const<br />
P<br />
¨©<br />
¨<br />
Tangente in P<br />
⃗a<br />
Richtungsvektor<br />
def.: Fortschreiterichtung<br />
⃗e a = ⃗a<br />
|⃗a|<br />
Definition 15 (Richtungsableitung)<br />
∂Φ<br />
∂⃗a = ⃗ ∇Φ · ⃗e a = 1<br />
|⃗a| ⃗ ∇Φ · ⃗a<br />
Die Richtungsableitung ist ein Skalar!
5.5. DAS TOTALE DIFFERENTIAL 65<br />
5.5.4 Kurvenintegral eines konservativen Kraftfeldes<br />
Was sind die Bedingungen, unter denen der Wert eines Kurvenintegrals nur<br />
vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungsweg<br />
der beiden Punkte abhängt?<br />
Ein Kurvenintegral<br />
∫<br />
C<br />
∫<br />
⃗F d⃗r =<br />
C<br />
(F x (x, y)dx + F y (x, y)dy)<br />
ist wegunabhängig, wenn<br />
⃗F · d⃗r = F x dx + F y dy<br />
das totale Differential dΦ einer ortsabhängigen Funktion Φ(P ) = Φ(x, y)<br />
darstellt:<br />
dΦ = F x dx + F y dy = ∂Φ ∂Φ<br />
dx +<br />
∂x ∂y dy<br />
Dann gilt nämlich:<br />
∫<br />
C<br />
∫P 2<br />
⃗F d⃗r =<br />
=<br />
∫<br />
C<br />
∫<br />
C<br />
P 1<br />
dΦ = Φ(P )| P 2<br />
P 1<br />
(F x dx + F y dy)<br />
[ ]<br />
∂Φ ∂Φ<br />
dx +<br />
∂x ∂y dy<br />
= Φ(P 2 ) − Φ(P 1 )<br />
= Φ(x 2 , y 2 ) − Φ(x 1 , y 1 )<br />
hängt nur vom Anfangspunkt P 1 und Endpunkt P 2 ab!<br />
Definition 16 (Konservatives Vektorfeld) Ein Vektorfeld ⃗ F heißt konservativ<br />
oder ein Potentialfeld, wenn das Kurvenintegral<br />
∫<br />
C<br />
⃗F d⃗r<br />
nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungsweg<br />
C der beiden Punkte abhängt.<br />
Woran kann man aber erkennen, ob ein vorgegebenes, ebenes Vektorfeld<br />
⃗F (x, y) mit den skalaren Komponenten F x (x, y) und F y (x, y) konservativ
66 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
ist oder nicht? – Falls ⃗ F (x, y) konservativ ist, das heißt ein Potentialfeld ist<br />
und Φ(x, y) die zugehörige Potentialfunktion, so gilt jedenfalls<br />
oder auch<br />
F x = ∂Φ<br />
∂x<br />
∧<br />
⃗F (x, y) = ⃗ ∇Φ<br />
F y = ∂Φ<br />
∂y<br />
was der Darstellung eines Vektorfeldes als Gradient eines Potentials entspricht.<br />
Noch mal zur Verdeutlichung:<br />
Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals bedeutet, daß das Vektorfeld<br />
als Gradient einer Potentialfunktion darstellbar ist.<br />
Definition 17 (Satz von Schwarz) Partielle Ableitungen höherer Ordnung<br />
werden nach dem Satz von Schwarz gebildet:<br />
∂ ∂f<br />
∂x ∂x = ∂2 f<br />
∂x 2<br />
Mit dem Satz von Schwarz gilt dann<br />
∂ ∂f<br />
∂y ∂x = ∂2 f<br />
∂x∂y = ∂2 f<br />
∂y∂x<br />
∂ 2 Φ<br />
∂x∂y = ∂2 Φ<br />
∂y∂x<br />
und somit<br />
∂F x<br />
∂y = ∂F y<br />
∂x<br />
Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend für die Wegunabhängigkeit<br />
eines Kurvenintegrals vom Typ ∫ ⃗F · d⃗r.Für ein räumliches Vektorfeld<br />
C<br />
ergeben sich analoge Beziehungen:<br />
∂F x<br />
∂y = ∂F y<br />
∂x<br />
∂F x<br />
∂z<br />
= ∂F z<br />
∂x<br />
∂F y<br />
∂z = ∂F z<br />
∂y<br />
5.5.5 Die Rotation<br />
Im Falle der Wegunabhängigkeit verschwindet das Kurvenintegral längs einer<br />
geschloßenen Kurve, denn<br />
∮<br />
⃗F d⃗r =<br />
∫<br />
⃗ F d⃗r +<br />
∫<br />
⃗ F d⃗r<br />
−<br />
¦¨§<br />
=<br />
C 1<br />
∫<br />
C 2<br />
⃗ F d⃗r −<br />
∫<br />
<br />
£¥¤<br />
©¨<br />
C 1<br />
−C 2<br />
⃗ F d⃗r = 0<br />
¢¡
5.6. ZUSAMMENFASSUNG: KONSERVATIVE KRAFTFELDER 67<br />
5.6 Zusammenfassung: konservative Kraftfelder<br />
1. Das Kurvenintegral ∫ ⃗F · d⃗r längs einer Kurve C die zwei beliebige<br />
C<br />
Punkte P 1 und P 2 verbindet ist unabhängig vom eingeschlagenen Verbindungsweg.<br />
2.<br />
∮<br />
⃗F · d⃗r = 0<br />
3.<br />
4.<br />
⃗F = ⃗ ∇Φ<br />
oder auch<br />
∂F x<br />
∂y = ∂F y<br />
∂x<br />
∂F x<br />
∂z = ∂F z<br />
∂x<br />
⃗∇ × ⃗ F = ⃗0<br />
∂F y<br />
∂z = ∂F z<br />
∂y<br />
Letzteres ist ein kleiner Vorgriff.<br />
5. Totales Differential<br />
⃗F · d⃗r = dΦ<br />
5.6.1 Physikalische Beispiele<br />
Für konservative Kraftfelder gilt bekanntermaßen :<br />
∮<br />
⃗F d⃗s = 0<br />
Und das bedeutet für die Energie:<br />
∫⃗r ∫⃗r 0<br />
E pot (⃗r) = u (⃗r, ⃗r 0 ) = − F ⃗ · d⃗s =<br />
⃗r 0 ⃗r<br />
⃗F · d⃗s<br />
sie ist nur abhängig vom Bezugspunkt ⃗r 0 und dem Endpunkt ⃗r. Bei einem<br />
Wechsel des Bezugspunktes passiert folgendes:<br />
u ( ∫⃗r 0<br />
⃗r, ⃗r 0<br />
′ ) = −<br />
⃗F d⃗s<br />
∫⃗r<br />
−<br />
⃗ F · d⃗s = u (⃗r, ⃗r0 ) + const<br />
⃗r ′ 0<br />
} {{ }<br />
u(⃗r 0 , ⃗ r ′ 0)=const<br />
⃗r 0<br />
Will heißen: Die potentielle Energie ist bis auf eine Konstante definiert.<br />
=⇒ ⃗r 0 kann man bequem wählen.
¢<br />
¡<br />
68 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
1. Zentralkraftfeld ⃗ F = f(r)⃗e r<br />
∫<br />
W =<br />
⃗F · d⃗s =<br />
∫ r 1<br />
f(r)dr<br />
=⇒Wegunabhängigkeit. Zentralkraftfelder sind immer konservativ.<br />
2. Gravitation<br />
Das Gravitationspotential ist:<br />
Somit ist das Linienintegral:<br />
r 0<br />
⃗F = − GmM<br />
r 2 ⃗e r<br />
∫ r<br />
dr ′<br />
u (⃗r, ⃗r 0 ) = u(r, r 0 ) = −(−GmM)<br />
r ′2 = −GmM 1 r<br />
r ∣<br />
r 0<br />
r 0<br />
↑<br />
r 0 = 0 nicht möglich<br />
bequem r 0 = ∞<br />
Man sollte folgendes Integral kennen (Anm.: Vermutlich steht’s auch<br />
im “Bronstein”):<br />
∫ dx<br />
x n = − 1<br />
(n − 1)x n−1<br />
Und damit wird u (⃗r, ⃗r 0 ) zu:<br />
U<br />
u (r, ∞) = ugrav(r) = − GmM<br />
r<br />
r<br />
⃗F = − ⃗ ∇u<br />
Konservativ!<br />
(a) Potential auf der Erdoberfläche<br />
Man nimmt an, die Kraft außerhalb<br />
der Erde wäre so, als<br />
ob die Gesamtmasse im Mittelpunkt<br />
der Erde vereinigt<br />
werde. Der Bezugspunkt ist<br />
die Erdoberfläche.<br />
z
5.6. ZUSAMMENFASSUNG: KONSERVATIVE KRAFTFELDER 69<br />
u(z + R, R) = − GmM<br />
r<br />
z+R<br />
∣ = −GmM<br />
R<br />
( 1<br />
z + R − 1 )<br />
R<br />
(b) Entwicklung<br />
1<br />
z + R = 1 1<br />
R 1 + z R<br />
(<br />
)<br />
= 1 1 − z ( z 2<br />
R R R) + − . . . ≈ 1 R − z R 2<br />
1<br />
1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + . . . + x n − 1 < x < 1<br />
Also ist<br />
( 1<br />
u(z + R, R) = −GmM<br />
R − z R 2 − 1 )<br />
R<br />
= m GM<br />
r 2 z<br />
Man kann nun einen Vergleich mit der nahe der Erde gültigen Formel<br />
der konstanten Schwerebeschleunigung g ziehen:<br />
⃗F = −mg⃗e z<br />
∫ z<br />
u(z, z 0 = 0) = −<br />
0<br />
⃗F d⃗s = m GM<br />
r 2<br />
z<br />
Der Zusammenhang besteht also in der Konstante:<br />
g = GM<br />
R 2<br />
U(z)<br />
Dies ist ein lineares Potential!<br />
z<br />
3. Federkraft oder harmonische Kraft
¡<br />
70 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
Beide sind Zentralkräfte mit der Federkonstanten<br />
k in der Form:<br />
∫r<br />
u(r, r 0 ) = k<br />
⃗F = −k⃗r = −kr⃗e r<br />
r 0<br />
r ′ dr ′ = k 2 r′2 ∣ ∣∣∣ r<br />
r 0 =0<br />
= k 2 r2<br />
Das “Oszillatorpotential” wird später<br />
beim harmonischen Oszillator wichtig.<br />
u(r)<br />
4. Rechnerisches Beispiel<br />
Gegeben ist ein ebenes Vektorfeld<br />
r<br />
⃗F (x, z) = 3x 2 y⃗e x + x 3 ⃗e y<br />
(a) Beweis der Konservativität<br />
∂F x<br />
∂y<br />
∂F x<br />
∂y<br />
∂F y<br />
∂x<br />
= ∂F y<br />
∂x<br />
= 3x 2<br />
= 3x 2<br />
(b) Linienintegral<br />
∫<br />
C<br />
∫P 2<br />
(<br />
)<br />
⃗F · d⃗r = 3x 2 y dx + x 3 dy<br />
P 1<br />
ist wegunabhängig
5.6. ZUSAMMENFASSUNG: KONSERVATIVE KRAFTFELDER 71<br />
(c) Bestimmung der Potentialfunktion<br />
⃗F = ⃗ ∇Φ<br />
∂Φ<br />
∂x = F x = 3x 2 ∂Φ<br />
y<br />
∂y = F y = x 3<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
∂Φ<br />
Φ =<br />
∂x dx = 3x 2 y dx = 3y x 2 dx = x 3 y + K(y)<br />
Durch die folgende partielle Differentiation erhält man eine genauere<br />
Vorstellung von der Art der Integrationskonstanten K(y)<br />
(abhängig von y!):<br />
∂Φ<br />
∂y = x3 + K ′ (y) = x 3 ⇒ K ′ (y) = 0<br />
⇒ K(y) = K 0<br />
⇒ Φ(x, y) = x 3 y + K 0<br />
(d) Integrationsweg P 1 = (x 1 , y 1 ) nach P 2 = (x 2 , y 2 )<br />
∫<br />
(<br />
)<br />
3x 2 y dx + x 3 dy<br />
=<br />
∫P 2<br />
dΦ<br />
C<br />
P 1<br />
= Φ(x, y)| x 2,y 2<br />
x 1 ,y 1<br />
5. Energieerhaltung<br />
= x 3 y + K 0<br />
∣ ∣∣ x 2 ,y 2<br />
x 1 ,y 1<br />
= x 3 2y 2 − x 3 1y 1<br />
(a) Im Eindimensionalen<br />
mit<br />
d<br />
dt<br />
F (x) = mẍ<br />
mẍẋ = F (x) ẋ<br />
( ) m<br />
2 ẋ2<br />
= − d U(x) (*)<br />
dt<br />
∫ x<br />
U(x) = − F (x ′ )dx ′<br />
U(x) ist Stammfunktion der Kraft und bis auf eine Konstante bestimmt.<br />
Die Gleichung (*) liefert bei Integration eine Konstante.<br />
Dies ist die Energie E!<br />
E = T + U = m 2 ẋ2 + U(x)
72 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
Für konservative Kräfte ist E konstant<br />
dE<br />
dt = 0 = d (T + U) = 0<br />
dt<br />
Das heißt es geht nichts verloren!<br />
(b) Im Dreidimensionalen<br />
m¨⃗r ˙⃗r = ⃗ F · ˙⃗r<br />
(<br />
d ˙⃗r) m<br />
dt 2<br />
= ⃗ F · ˙⃗r<br />
Die Dimension von ⃗ F · ˙⃗r ist die einer Leistung also Joule<br />
sec<br />
= W att<br />
[Joule] = kg m2<br />
sec 2<br />
Im Eindimensionalen war F ⃗ ·⃗r = − d dtu (⃗r) eine reine Ortsfunktion<br />
und u (⃗r) ein Potential.<br />
(c) Energie eines Massenpunktes<br />
E = m 2<br />
˙ ⃗r 2 + u (⃗r)<br />
Zerlegung von ⃗ F · ⃗r in<br />
- konservativen Anteil<br />
∼ d dt u (⃗r)<br />
- dissipativen (nicht konservativen) Anteil, also beispielsweise<br />
Wärme, Strahlung, . . .<br />
(<br />
d m<br />
dt 2 ˙⃗r 2 + u (⃗r))<br />
= F ⃗ dissipativ · ˙⃗r<br />
} {{ }<br />
dissipat.Leistung<br />
Definition 18 (Energiesatz (vollständig)) Die zeitliche Änderung<br />
der Energie ist gleich der Leistung der dissipativen Kräfte.<br />
6. Drehimpuls und Drehmoment<br />
Definition 19 (Drehimpuls) Der Drehimpuls ist<br />
⃗L = ⃗r × ⃗p
5.6. ZUSAMMENFASSUNG: KONSERVATIVE KRAFTFELDER 73<br />
© ¨<br />
MP<br />
<br />
⃗ L ist ein axialer Vektor, er definiert eine Achse<br />
durch den Drehpunkt, die Drehachse; sie<br />
steht senkrecht auf der von ⃗r und ⃗p aufgespannten<br />
Ebene.<br />
¡£¢<br />
¤¦¥ §<br />
Definition 20 (Drehmoment) Das Drehmoment ist definiert als<br />
⃗D = ⃗r × ⃗ F<br />
denn:<br />
⃗D = d⃗ L<br />
dt<br />
d ⃗ L<br />
dt = ⃗ D<br />
= d (⃗r × m⃗v)<br />
dt<br />
= d⃗r<br />
m · d⃗v<br />
× m⃗v + ⃗r ×<br />
dt dt<br />
= ⃗v × m⃗v + ⃗r × d⃗p<br />
dt = ⃗r × F ⃗<br />
weil ⃗v × m⃗v = ⃗0 ist, und speziell ⃗ D = ⃗r × ⃗ F = ˙⃗ L = ⃗0 ist, folgt daraus<br />
⃗L = const ⇐⇒ Drehimpulserhaltung.<br />
⃗r × ⃗ F ist aber nur dann Null (ausser für ⃗r = ⃗0, ⃗ F = ⃗0), wenn ⃗r<br />
und ⃗ F in gleicher oder entgegengesetzter Richtung liegen, das heißt<br />
bei Zentralkraftfeldern.<br />
In Zentralkraftfeldern gilt die Drehimpulserhaltung:<br />
⃗L = const<br />
⃗D = ˙⃗ L = ⃗0<br />
Damit haben wir die drei grundlegenden Erhaltungssätze kennengelernt:<br />
• Energieerhaltung<br />
• Impulserhaltung<br />
• Drehimpulserhaltung
74 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
5.7 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern<br />
5.7.1 Die Divergenz – Quellen und Senken<br />
Beispiel:<br />
Strömende Flüssigkeit mit dem Geschwindigkeitsfeld:<br />
⃗v = v x ⃗e x + v y ⃗e y + v z ⃗e z<br />
Die Geschwindigkeitskomponenten sind also ortsabhängig, das<br />
heißt eine Funktion von x,y und z:<br />
v x = v x (x, y, z) v y = v y (x, y, z) v z = v z (x, y, z)<br />
In der Strömung liege ein kleiner Quader, mit den achsenparallelen<br />
Kanten ∆x, ∆y und ∆z. Die Quaderflächen seien vollkommen<br />
durchlässig.<br />
z<br />
Eintrittsflaeche<br />
x<br />
y<br />
§©! #"%$& (')<br />
£¥¤§¦©¨<br />
¢¡<br />
Austrittsflaeche<br />
<br />
Strömung in y-Richtung.<br />
Annahme: v y ändert sich kaum entlang ∆y.<br />
Die Flüssigkeitsmenge (Volumen), die in der sehr kleinen Zeit ∆t<br />
durch die Quaderflächen ein- oder austreten sind gegeben durch:<br />
Eintrittsmenge<br />
Austrittsmenge<br />
v y (x, y, z) · ∆t ·∆x∆z<br />
} {{ }<br />
∆s<br />
v y (x, y + ∆y, z)∆t∆x∆z<br />
Austrittsmenge - Eintrittsmenge<br />
[v y (x, y + ∆y, z) − v y (x, y, z)] ∆x∆z∆t
5.7. DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN 75<br />
Pro Zeiteinheit ergibt dies den Überschuss<br />
[v y (x, y + ∆y, z) − v y (x, y, z)] ∆x∆z<br />
mit dem Quadervolumen ∆V = ∆x∆y∆z<br />
[v y (x, y + ∆y, z) − v y (x, y, z)]<br />
∆x∆y∆z<br />
∆y<br />
=⇒ Volumengewinn an Flüssigkeit pro Volumen und Zeit<br />
v y (x, y + ∆y, z) − v y (x, y, z)<br />
∆y<br />
Entsprechendes gilt für v x und v z .<br />
Dies sind Differenzenquotienten!<br />
Ergo gilt mit ∆x → 0, ∆y → 0 und ∆z → 0:<br />
Volumengewinn an Flüssigkeit<br />
∂v x<br />
∂x + ∂vy<br />
∂y + ∂vz<br />
∂z<br />
= div ⃗v<br />
⃗∇ · ⃗v = ∂vx<br />
∂x + ∂vy<br />
∂y<br />
+ ∂vz<br />
∂z<br />
Die Divergenz ist ein Skalar!<br />
Im Volumenelement dV wird pro Zeit die Flüssigkeitsmenge<br />
erzeugt oder vernichtet.<br />
div ⃗v · dV = ⃗ ∇ · ⃗v dV<br />
div ⃗v > 0 Abfluß überwiegt Quelle<br />
div ⃗v < 0 Zufluß überwiegt Senke<br />
div ⃗v = 0 Zufluß=Abfluß Quellenfrei<br />
Der Begriff Divergenz stammt aus der Hydrodynamik und bedeutet “Auseinanderströmen<br />
einer Flüssigkeit”. Die Feldlinien “entspringen” den Quellen<br />
und “enden” in den Senken.<br />
geschlossene Feldlinien ⇐⇒ Quellenfreiheit<br />
Rechenregeln für Divergenzen
76 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
⃗A und ⃗ B sind Vektorfelder,<br />
Φ ist ein Skalarfeld<br />
⃗a ist ein konstanter Vektor und<br />
C ist eine Konstante<br />
⃗∇ · ⃗a = 0 (∗)<br />
(<br />
⃗∇ · ΦA<br />
⃗ ) ( )<br />
= ⃗∇Φ · ⃗A + Φ∇ ⃗ · ⃗A<br />
(<br />
⃗∇ · CA<br />
⃗ )<br />
= C∇ ⃗ · ⃗A<br />
( )<br />
⃗∇ · ⃗A + B ⃗ = ∇ ⃗ · ⃗A + ∇ ⃗ · ⃗B<br />
( )<br />
⃗∇ · ⃗A + ⃗a = ∇ ⃗ · ⃗A<br />
(*) Die Divergenz eines konstanten Vektors ist Null.<br />
5.7.2 Rotation eines Vektorfeldes<br />
Definition 21 (Rotation) Ist ⃗ F ein Vektorfeld, so ist seine Rotation:<br />
rot ⃗ F =<br />
oder auch<br />
+<br />
+<br />
rot ⃗ F = ⃗ ∇ × ⃗ F =<br />
1. Für ebene Vektorfelder ist:<br />
2. Rotation ⇐⇒ Wirbelfeld<br />
=<br />
( ∂Fz<br />
∂y − ∂F )<br />
y<br />
⃗e x<br />
∂z<br />
( ∂Fx<br />
∂z − ∂F )<br />
z<br />
⃗e y<br />
∂x<br />
( ∂Fy<br />
∂x − ∂F )<br />
x<br />
⃗e z<br />
∂y<br />
⎛<br />
∂<br />
∂x<br />
⎞<br />
∂<br />
⎜ ∂y<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
∂<br />
∂z<br />
⎛<br />
∂F z<br />
∂y<br />
∂F x<br />
∂z<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂F y<br />
∂x<br />
⎛<br />
×<br />
⎜<br />
⎝<br />
− ∂Fy<br />
∂z<br />
− ∂Fz<br />
∂x<br />
− ∂Fx<br />
∂y<br />
F x<br />
F y<br />
F z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⃗F = F x ⃗e x + F y ⃗e y<br />
(<br />
⃗∇ × F ⃗ ∂Fy<br />
(x, y) =<br />
∂x − ∂F )<br />
x<br />
⃗e z<br />
∂y
5.7. DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN 77<br />
3. Wirbelfrei heißt ⃗ ∇ × ⃗ F = ⃗0<br />
4. Bedingung für konservative Kraftfelder ⃗ F ist:<br />
⃗∇ × ⃗ F = ⃗0<br />
Kugelsymmetrie<br />
Zylindersymmetrie<br />
homogene Vektorfelder<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⇐⇒ wirbelfrei<br />
⎪⎭<br />
5. Rotation des Ortsvektors verschwindet:<br />
⃗∇ × ⃗r = ⃗0<br />
Rechenregeln für Rotation<br />
⃗A und ⃗ B sind Vektorfelder,<br />
Φ ist ein Skalarfeld<br />
⃗a ist ein konstanter Vektor und<br />
C ist eine Konstante<br />
⃗∇ × ⃗a = ⃗0<br />
(<br />
⃗∇ × ΦA<br />
⃗ )<br />
= ∇Φ ⃗ × A ⃗ ( )<br />
+ Φ ⃗∇ × A ⃗<br />
(<br />
⃗∇ × CA<br />
⃗ )<br />
= C∇ ⃗ × A ⃗<br />
( )<br />
⃗∇ × ⃗A + B ⃗ = ∇ ⃗ × A ⃗ + ∇ ⃗ × B ⃗<br />
( )<br />
⃗∇ × ⃗A + ⃗a = ∇ ⃗ × A ⃗<br />
5.7.3 Mehr Rechenregeln<br />
Es sind wieder:<br />
⃗A und ⃗ B Vektorfelder,<br />
Φ und Ψ Skalarfelder<br />
⃗a ein konstanter Vektor und
78 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
C eine Konstante<br />
⃗A · ⃗B (<br />
× C ⃗ =<br />
)<br />
A ⃗ ×<br />
(<br />
B ⃗ · ⃗C =<br />
)<br />
B ⃗ · ⃗C × A ⃗ = B ⃗ × C ⃗ · ⃗A = C ⃗ · ⃗A × B ⃗ = C ⃗ × A ⃗ · ⃗B<br />
⃗A × ⃗B × C ⃗ = ⃗C × B ⃗ × A ⃗ ( ) ( )<br />
= ⃗A · C ⃗ ⃗B − ⃗A · B ⃗ ⃗C<br />
( )<br />
⃗A × ⃗B × C ⃗ + B ⃗ ( )<br />
× ⃗C × A ⃗ + C ⃗ ( )<br />
× ⃗A × B ⃗ = ⃗0<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
⃗A × B ⃗ · ⃗C × D ⃗ = ⃗A · C ⃗ ⃗B · D ⃗ − ⃗A · D ⃗ ⃗B · C ⃗<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ⃗A × B ⃗ × ⃗C × D ⃗ = ⃗A × B ⃗ · D ⃗ ⃗C − ⃗A × B ⃗ · C ⃗ ⃗D<br />
⃗∇ (ΦΨ)<br />
(<br />
= ∇ ⃗ (ΨΦ) = Ψ∇Φ ⃗ + Φ∇Ψ<br />
⃗<br />
⃗∇ · ΦA<br />
⃗ )<br />
= Φ∇ ⃗ · ⃗A + A ⃗ · ⃗∇Φ<br />
(<br />
⃗∇ × ΦA<br />
⃗ )<br />
= Φ∇ ⃗ × A ⃗ + ∇Φ ⃗ × A ⃗ ( )<br />
⃗∇ · ⃗A × B ⃗ = B ⃗ · ⃗∇ × A ⃗ − A ⃗ · ⃗∇ × B ⃗ ( )<br />
⃗∇ × ⃗A × B ⃗ = A ⃗ ( ) ⃗∇ · B ⃗ − B ⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗∇ · A ⃗ + ⃗B · ∇ ⃗ ⃗A − ⃗A · ∇ ⃗ ⃗B<br />
( ) ( )<br />
⃗A × ⃗∇ × B ⃗ = ⃗∇ B ⃗ · ⃗A<br />
( )<br />
− ⃗A · ∇ ⃗ ⃗B<br />
( )<br />
⃗∇ ⃗A · B ⃗ = A ⃗ ( )<br />
× ⃗∇ × B ⃗ + B ⃗ ( ) ( ) ( )<br />
× ⃗∇ × A ⃗ + ⃗A · ∇ ⃗ ⃗B + ⃗B · ∇ ⃗ ⃗A<br />
⃗∇ 2 Ψ = ∇ ⃗ (<br />
· ⃗∇Ψ )<br />
⃗∇ 2 A ⃗ = ∇ ⃗ ⃗∇ · A ⃗ − ∇ ⃗ × ∇ ⃗ × A ⃗<br />
⃗∇ × ⃗ ∇Ψ = ⃗0<br />
⃗∇ · ⃗∇ × ⃗ A = 0<br />
Diese Rechenregeln sollte man kennen, nicht auswendig lernen!<br />
5.7.4 Anwendungsbeispiel<br />
Eine dünne, homogene Scheibe rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit<br />
⃗ω = ω 0 ⃗e z um die Symmetrieachse der Scheibe. Sie wird im Weiteren als<br />
flächenhafter Körper der Dicke Null angenommen.<br />
z<br />
rotierende Scheibe<br />
¡£¢¤¡¦¥<br />
§©¨<br />
P<br />
x<br />
Ein Teilchen auf der Scheibe mit dem Ortsvektor ⃗r hat den Geschwindigkeitsvektor:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 x −ω 0 y<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⃗v = ⃗ω × ⃗r = ⎝ 0 ⎠ × ⎝ y ⎠ = ⎝ ω 0 x ⎠<br />
ω 0 0 0<br />
<br />
<br />
y
5.7. DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN 79<br />
Anmerkung des TEXers: Der Zusammenhang ⃗ω × ⃗r ist rein mathematisch<br />
konstruiert.<br />
Dieses ebene Geschwindigkeitsfeld ist ein Wirbelfeld, da die Rotation von ⃗v<br />
nicht verschwindet:<br />
⃗∇ × ⃗v ∣ = ∂v y<br />
− ∂v x<br />
z ∂v x ∂x = ∂<br />
∂x (ω 0x) − ∂<br />
∂y (−ω 0y) = 2ω 0 ≠ 0<br />
⃗∇ × ⃗v = 0⃗e x + 0⃗e y + 2ω 0 ⃗e z = 2⃗ω ≠ 0<br />
Die Feldlinien sind konzentrische Kreise sie lassen sich aus ⃗v × d⃗r = ⃗0 berechnen:<br />
⃗v × d⃗r =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
= ω 0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
= ω 0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
−ω 0 y<br />
ω 0 x<br />
0<br />
−y<br />
x<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ × ⎝<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ × ⎝<br />
dx<br />
dy<br />
0<br />
dx<br />
dy<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−y dy − x dx<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Somit gilt:<br />
−y dy − x dx = 0<br />
Über eine Trennung der Variablen erhält man den Radius:<br />
y<br />
∫<br />
∫<br />
y dy = −<br />
x dx<br />
1<br />
2 y2 = − 1 2 x2 + C<br />
x 2 + y 2 = 2C = R 2<br />
x<br />
=⇒ Radius ist √ 2C = R. Dies bedeutet<br />
die Feldlinien sind konzentrische Kreise mit<br />
Radien R = √ C und C > 0.
80 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
5.7.5 Spezielle Vektorfelder<br />
Ein Vektorfeld ⃗ F dessen Divergenz verschwindet ( ⃗ ∇· ⃗F = 0) heißt quellenfrei.<br />
Ein Wirbel ⃗ F = ⃗ ∇ × ⃗ E ist stets quellenfrei; ergo<br />
⃗∇ · ⃗F = ∇ ⃗ ( )<br />
· ⃗∇ × E ⃗ = 0<br />
⃗E ist in komponentenweiser Darstellung:<br />
⃗E = E x ⃗e x + E y ⃗e y + E z ⃗e z<br />
Damit ist ⃗ ∇ × ⃗ E:<br />
⃗∇ × ⃗ E =<br />
+<br />
+<br />
( ∂Ez<br />
∂y − ∂E )<br />
y<br />
⃗e x<br />
∂z<br />
( ∂Ex<br />
∂z − ∂E )<br />
z<br />
⃗e y<br />
∂x<br />
( ∂Ey<br />
∂x − ∂E )<br />
x<br />
⃗e z<br />
∂y<br />
Und letztendlich ∇ ⃗ ( )<br />
· ⃗∇ × E ⃗ :<br />
( )<br />
⃗∇ · ⃗∇ × E ⃗<br />
= ∂ ( ∂Ez<br />
∂x ∂y − ∂E )<br />
y<br />
∂z<br />
+ ∂ ( ∂Ey<br />
∂z ∂x − ∂E )<br />
x<br />
∂y<br />
(<br />
∂ 2 )<br />
E z<br />
=<br />
∂y∂x − ∂2 E y<br />
+<br />
∂z∂x<br />
( )<br />
∂ 2 E y<br />
+<br />
∂z∂x − ∂2 E x<br />
∂z∂y<br />
( )<br />
∂ 2 E x<br />
=<br />
∂z∂y − ∂2 E x<br />
+<br />
∂y∂z<br />
=<br />
(<br />
∂ 2 )<br />
E z<br />
∂y∂x − ∂2 E z<br />
∂x∂y<br />
+ ∂ ( ∂Ex<br />
∂y ∂z − ∂E )<br />
z<br />
∂x<br />
= 0<br />
(<br />
∂ 2 )<br />
E x<br />
∂y∂z − ∂2 E z<br />
∂y∂x<br />
( )<br />
∂ 2 E y<br />
∂z∂x − ∂2 E y<br />
∂x∂z<br />
Die Reihenfolge der Ableitungen läßt sich ja nach dem Satz von Schwarz<br />
beliebig wählen; deshalb verschwinden letztendlich alle Komponenten.<br />
Umgekehrt lässt sich zeigen, daß ein quellenfreies Vektorfeld stets als Rotation<br />
eines Vektorfeldes, Vektorpotential genannt, darstellbar ist: ⃗ F = ⃗ ∇× ⃗ E.<br />
⃗∇ · ⃗F = ∇ ⃗ ( )<br />
· ⃗∇ × E ⃗ = 0
5.7. DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN 81<br />
Das Vektorpotential ist also immer bis auf den Gradienten einer skalaren<br />
Funktion Φ eindeutig bestimmt, denn<br />
( )<br />
⃗∇ × ⃗∇Φ = ⃗0<br />
Ein wirbelfreies Feld<br />
⃗∇ × ⃗ F = ⃗0<br />
lässt sich stets als Gradient<br />
eines skalaren Feldes Φ darstellen:<br />
⃗F = ⃗ ∇Φ ⇒ ⃗ ∇ × ⃗ F = ⃗0<br />
Zentralfelder, homogene Felder und<br />
axialsymmetrische Felder sind wirbelfrei<br />
⇐⇒ konservativ<br />
5.7.6 Laplace- und Poisson-Gleichung<br />
Für ein quellen- und zugleich wirbelfreies Vektorfeld müssen die folgenden<br />
Gleichungen erfüllt sein:<br />
⃗∇ · ⃗F = 0 ∧ ⃗ ∇ × ⃗ F = ⃗0<br />
Ein solches Vektorfeld ist wegen der Wirbelfreiheit als Gradient eines skalaren<br />
Feldes Φ darstellbar:<br />
⃗F = ⃗ ∇Φ<br />
Mit ∇ ⃗ · ⃗F = 0:<br />
( )<br />
⃗∇ · ⃗∇Φ<br />
( )<br />
⃗∇ · ⃗∇Φ<br />
= 0<br />
⃗∇Φ = ∂Φ<br />
∂x ⃗e x + ∂Φ<br />
∂y ⃗e y + ∂Φ<br />
∂z ⃗e z<br />
= ∂ ( ) ∂Φ<br />
+ ∂ ( ) ∂Φ<br />
∂x ∂x ∂y ∂y<br />
= ∂2 Φ<br />
∂x 2 + ∂2 Φ<br />
∂y 2 + ∂2 Φ<br />
∂z 2<br />
+ ∂<br />
∂z<br />
( ) ∂Φ<br />
=<br />
∂z<br />
Der letzte Term ist eine sogenannte partielle Differentialgleichung 2.Ordnung.<br />
Diese hängt eng mit dem Laplace-Operator zusammen.<br />
Definition 22 (Laplace-Operator)<br />
∆ = ∂2<br />
∂x 2 + ∂2<br />
∂y 2 + ∂2<br />
∂z 2
82 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
Laplace-Gleichung<br />
∆Φ = 0<br />
Die Laplace-Gleichung ist ein Sonderfall der allgemeinen Poisson-Gleichung:<br />
∆Φ = f(x, y, z)<br />
5.7.7 Differentialoperatoren und verschiedene Koordinatensysteme<br />
1. Polarkoordinaten<br />
• Gradient (Skalarfeld)<br />
• Divergenz (Vektorfeld)<br />
⃗∇Φ(r, ϕ) = ∂Φ<br />
∂r ⃗e r + 1 ∂Φ<br />
r ∂ϕ ⃗e ϕ<br />
⃗∇ · ⃗F (r, ϕ) = 1 r<br />
∂<br />
∂r (r · F r) + 1 ∂F ϕ<br />
r ∂ϕ<br />
• Rotation (Vektorfeld)<br />
⃗∇ × ⃗ F (r, ϕ)<br />
hat nur Komponente in z-Richtung:<br />
• Laplace-Operator<br />
2. Zylinderkoordinaten<br />
[ ⃗∇ × ⃗ F (r, ϕ)<br />
]<br />
z = 1 r<br />
∂<br />
∂r (r · F ϕ) − 1 ∂F r<br />
r ∂ϕ<br />
∆Φ(r, ϕ) = ∂2 Φ<br />
∂r 2 + 1 ∂Φ<br />
r ∂r + 1 ∂ 2 Φ<br />
r 2 ∂ϕ 2<br />
• Skalarfeld<br />
Φ = Φ(ϱ, Ψ, z)<br />
• Vektorfeld<br />
⃗F = ⃗ F (ϱ, Ψ, z) = F ϱ (ϱ, Ψ, z)⃗e ϱ +<br />
F Ψ (ϱ, Ψ, z)⃗e Ψ +<br />
F z (ϱ, Ψ, z)⃗e z<br />
• Gradient<br />
⃗∇Φ(ϱ, Ψ, z) = ∂Φ<br />
∂ϱ ⃗e ϱ + 1 ∂Φ<br />
ϱ ∂Ψ ⃗e Ψ + ∂Φ<br />
∂z ⃗e z
5.7. DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN 83<br />
• Divergenz<br />
• Rotation<br />
⃗∇ · ⃗F (ϱ, Ψ, z) = 1 ∂<br />
ϱ ∂ϱ (ϱ · F ϱ) + 1 ϱ<br />
⃗∇ × ⃗ F (ϱ, Ψ, z) =<br />
+<br />
( 1 ∂F z<br />
ϱ<br />
( 1<br />
ϱ<br />
• Laplace-Operator<br />
∆Φ = 1 (<br />
∂<br />
ϱ ∂ϱ<br />
∂Ψ − ∂F Ψ<br />
∂z<br />
( ∂<br />
∂ϱ (ϱ · F Ψ) − ∂F ϱ<br />
∂Ψ<br />
ϱ · ∂Φ<br />
∂ϱ<br />
∂F Ψ<br />
∂Ψ + ∂F z<br />
∂z<br />
) ( ∂Fϱ<br />
⃗e ϱ +<br />
∂z − ∂F z<br />
∂ϱ<br />
))<br />
⃗e z<br />
)<br />
+ 1 ∂ 2 Φ<br />
ϱ 2 ∂Ψ 2 + ∂2 Φ<br />
∂z 2<br />
)<br />
⃗e Ψ<br />
• Anmerkungen<br />
Ein zylindersymmetrisches Vektorfeld vom Typ ⃗ F = f(ϱ)⃗e ϱ ist<br />
stets wirbelfrei, aber nur in Sonderfällen auch quellenfrei, somit<br />
gilt für ϱ ≠ 0:<br />
⃗∇ × ⃗ F = ⃗0 und ⃗ ∇ · ⃗F ≠ 0<br />
• Sonderfälle<br />
f(ϱ) ∼ 1 oder<br />
ϱ<br />
dann ist nämlich ∇ ⃗ · ⃗F = 0 !<br />
f(ϱ) = const<br />
ϱ<br />
3. Kugelkoordinaten<br />
• Skalarfeld<br />
• Vektorfeld<br />
Φ = Φ(r, ϑ, Ψ)<br />
• Gradient<br />
⃗F = ⃗ F (r, ϑ, Ψ)<br />
= F r (r, ϑ, Ψ)⃗e r + F ϑ (r, ϑ, Ψ)⃗e ϑ + F Ψ (r, ϑ, Ψ)⃗e Ψ<br />
⃗∇Φ = ∂Φ<br />
∂r ⃗e r + 1 ∂Φ<br />
r ∂ϑ ⃗e ϑ + 1<br />
r sin ϑ<br />
∂Φ<br />
∂Ψ ⃗e Ψ<br />
• Divergenz<br />
⃗∇ · ⃗F (r, ϑ, Ψ) = 1 ∂ ) (r 2<br />
r 2 · F r<br />
∂r<br />
[<br />
1 ∂<br />
+<br />
r sin ϑ ∂ϑ (sin ϑF ϑ) + ∂F ]<br />
Ψ<br />
∂Ψ
84 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
• Rotation<br />
⃗∇ × F ⃗ (r, ϑ, Ψ) =<br />
+<br />
+<br />
[<br />
1<br />
r sin ϑ<br />
[<br />
1<br />
r sin ϑ<br />
[ 1<br />
r<br />
( ∂<br />
∂ϑ (sin ϑF Ψ) − ∂F ϑ<br />
∂Ψ<br />
]<br />
∂F r<br />
∂Ψ − 1 r<br />
∂<br />
∂r (r · F ϑ) − 1 r<br />
∂<br />
∂r (r · F Ψ)<br />
∂F r<br />
∂ϑ<br />
]<br />
⃗e Ψ<br />
⃗e ϑ<br />
)]<br />
⃗e r<br />
• Laplace-Operator<br />
∆Φ = 1 r 2 [<br />
∂<br />
∂r<br />
(<br />
r 2 ∂Φ<br />
∂r<br />
)<br />
+ 1 (<br />
∂<br />
sin ϑ ∂ϑ<br />
sin ϑ ∂Φ<br />
∂ϑ<br />
)<br />
+ 1<br />
]<br />
∂ 2 Φ<br />
sin 2 ϑ ∂Ψ 2<br />
• Anmerkungen<br />
Der in Kugelkoordinaten ausgedrückte Laplace-Operator enthält<br />
auch partielle Ableitungen 1.Ordnung, ganz im Gegensatz zum<br />
kartesischen Fall.<br />
∂<br />
∂r<br />
(<br />
r 2 ∂Φ<br />
∂r<br />
)<br />
(<br />
∂<br />
sin ϑ ∂Φ )<br />
∂ϑ ∂ϑ<br />
= 2r ∂Φ<br />
∂r + r2 ∂2 Φ<br />
∂r 2<br />
= cos ϑ ∂Φ<br />
∂ϑ + sin Φ<br />
ϑ∂2 ∂ϑ 2<br />
Ein kugelsymmetrisches Vektorfeld, also ein Zentralfeld vom Typ<br />
⃗F = f(r)⃗e r ist stets wirbelfrei, aber nur in Sonderfällen auch<br />
quellenfrei. Somit gilt für r > 0:<br />
⃗∇ × ⃗ F = ⃗0 und ⃗ ∇ · ⃗F ≠ 0<br />
Sonderfälle<br />
Ist der Betrag des Zentralkraftfeldes umgekehrt proportional zum<br />
Quadrat des Abstandes r, gilt also:<br />
f(r) ∼ 1 r 2 oder f(r) = const<br />
r 2<br />
so ist das Zentralfeld zusätzlich auch quellenfrei, das heißt<br />
⃗∇ · ⃗F = 0<br />
wie bei Gravitationsfeldern oder dem elektrischen Feld einer Ladung.
¡<br />
5.8. OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE 85<br />
5.8 Oberflächen- und Volumenintegrale<br />
5.8.1 Das Oberflächenintegral<br />
Physikalisches Beispiel:<br />
Flüssigkeitsströmung mit konstanter Geschwindigkeit ⃗v durch ein vollkommen<br />
durchlässiges Flächenelement ∆A senkrecht zur Strömungsrichtung.<br />
Welche Flüssigkeitsmenge fließt pro Zeit durch die Fläche?<br />
Lösung:<br />
Ein Flüssigkeitsteilchen der Geschwindigkeit v = |⃗v| legt in der Zeit ∆t den<br />
Weg ∆s = v · ∆t zurück.<br />
¥§¦<br />
¢¤£<br />
© ¨<br />
<br />
Das Volumen ist ∆V = ∆A · ∆s = ∆A · v∆t. In der Zeit ∆t strömt die<br />
Menge ∆V<br />
∆t<br />
= v · ∆A durch ∆A. Dies ist der Flüssigkeitsfluß durch ∆A.<br />
Jetzt führt man das vektorielle Flächenelement ∆ ⃗ A ein:<br />
1. Der Vektor ∆ ⃗ A steht senkrecht auf dem Flächenelement ∆A<br />
2. Der Betrag von ∆ ⃗ A entspricht der Fläche von ∆A:<br />
<br />
<br />
<br />
∣<br />
∣∆A<br />
⃗ ∣ = ∆A
86 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
oder anders ausgedrückt, mit ⃗ N der Flächennormalen (≡ Einheitsvektor<br />
in Strömungsrichtung):<br />
¢ ¡<br />
£<br />
§©¨¤§¥ ¤¦¥<br />
=⇒ ∆V<br />
∆t<br />
∆ ⃗ A = ∆A · ⃗N<br />
= v · ∆A<br />
= ⃗v · ∆ ⃗ A =<br />
(<br />
⃗v · ⃗N<br />
)<br />
∆A<br />
Eine schräge Strömung ⃗v = ⃗v T + ⃗v N zerlegt man für die Berechnung<br />
in die Tangential- und Normalenkomponenten ⃗v T und ⃗v N :<br />
⃗v N = ⃗v · ⃗N<br />
∆V<br />
∆t = ⃗v N∆A =<br />
Sonderfall (Luftwiderstand):<br />
∆A ist parallel zu ⃗v; dann ist ⃗ N senkrecht zu ⃗v<br />
⃗v · ⃗N = 0<br />
=⇒ ∆V<br />
∆t<br />
=<br />
(<br />
⃗v · ⃗N<br />
)<br />
∆A = ⃗v · ∆A<br />
⃗<br />
(<br />
⃗v · ⃗N<br />
)<br />
· ∆A = 0<br />
Allgemeiner Fall:<br />
Gegeben ist ein ortsabhängiges Geschwindigkeitsfeld ⃗v(x, y, z); wie groß ist<br />
der Fluss durch eine beliebige Fläche A? – Zerlegung der Fläche in Flächenelemente<br />
dA. Dann ist der Flüssigkeitsfluss:<br />
⃗v · d ⃗ A =<br />
(<br />
⃗v · ⃗N<br />
)<br />
dA<br />
der Gesamtfluss ist dann<br />
∫ ∫<br />
(A)<br />
∫ ∫<br />
⃗v dA ⃗ =<br />
(A)<br />
(<br />
⃗v · ⃗N<br />
)<br />
dA<br />
Zusammenfassung Oberflächenintegral<br />
Allgemeines Vektorfeld F ⃗ = F ⃗ (x, y, z)<br />
Orientiertes Flächenelement dA ⃗ (|dA| ⃗ = dA)<br />
Flächennormale N ⃗ (dA ⃗ = dAN)<br />
⃗<br />
∫ ∫<br />
Oberfläche A<br />
⃗F · dA ⃗ = ∫ ∫ ( ) ⃗F · N ⃗ dA<br />
Anmerkungen<br />
1. Die Orientierung der Fläche wird durch ⃗ N festgelegt.<br />
(A)<br />
(A)
5.8. OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE 87<br />
2. Bei geschlossenen Flächen, wie beispielsweise der Oberfläche einer Kugel,<br />
zeigt ⃗ N nach aussen.<br />
3. Das Oberflächeintegral wird mit der Normalenkomponente F N = ⃗ N · ⃗F<br />
gebildet.<br />
4. Andere Begriffe für das Oberflächenintegral sind<br />
• Flussintegral<br />
• Flächenintegral<br />
5. Schreibweise für geschlossenes Flächenintegral<br />
So, hatte ich bereits beim Kurvenintegral ’nen Problem, so weiß diesmal<br />
auch mein L A TEX-Buch nix mehr. Das Zeichen soll ausschauen wie<br />
ein geschlossenes Kurvenintegral ( ∮ ) mit zwei Integralen, oder einem<br />
Kringel über zwei Integralzeichen, oder. . . ach keine Ahnung, fragt euren<br />
Prof oder schaut im Original-Script nach.<br />
Anmerkung des Korrektors: Werde es in Zukunft durch ein o als Index<br />
markieren<br />
6. Die Gesamtheit der Flächennormalen ist:<br />
∫∫<br />
⃗F · ⃗N = N ⃗ · ⃗N = 1 und dA = A<br />
Flächeninhalt<br />
Berechnung eines Flächenintegrals<br />
2<br />
x<br />
Insgesamt vier Schritte:<br />
1<br />
z<br />
Ebene<br />
x+2y+2z=2<br />
1<br />
y<br />
Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes<br />
F ⃗ durch die im ersten<br />
Oktanten gelegene Fläche<br />
der Ebene x + 2y + 2z = 2.<br />
⃗F =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
6z<br />
−3y<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1. Wahl der geeigneten Koordinaten<br />
Hier empfehlen sich natürlich kartesische Koordinaten. Die Ebene x +<br />
2y + 2z = 2 wird als Niveaufläche eines skalaren Feldes Φ aufgefasst:<br />
Φ(x, y, z) = x + 2y + 2z
88 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
Ergo ist<br />
⃗∇Φ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
überall senkrecht auf der Ebene. Durch Normierung erhalten wir N: ⃗<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
∇Φ<br />
⃗N =<br />
⃗ 1<br />
1<br />
∣∇Φ<br />
⃗ ⎜ ⎟<br />
= √<br />
∣ 1 2 + 2 2 + 2 2 ⎝ 2 ⎠ = 1 1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
3<br />
2 2<br />
2. Bestimme ⃗ F · ⃗N<br />
⃗F · ⃗N =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
6z<br />
−3y<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ · 1<br />
3<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
=⇒ Löse die Gleichung der Ebene nach z auf:<br />
in ⃗ F · ⃗N eingesetzt<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
z = 1 (2 − x − 2y)<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ = 2(z − y + 1)<br />
⃗F · ⃗N = 2(z − y + 1)<br />
( )<br />
1<br />
= 2<br />
2 (2 − x − 2y) − y + 1<br />
= −x − 4y + 4<br />
Normalerweise ist ein Flächenelement dA ∗ = dxdy aber hier gilt ja<br />
dA ⃗ = dAN ⃗ und deshalb ist<br />
dA ∗ = dA ⃗ ( )<br />
· ⃗e z = dA ⃗N · ⃗ez = dxdy<br />
⃗N · ⃗e z =<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 1 0<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ · ⎝ 0 ⎠<br />
3<br />
2 1<br />
dA · 2<br />
3 = dydx oder dA = 3 2 dydx<br />
Dies ist das Flächelement dA in kartesischen Koordinaten in der Ebene<br />
z=0, in der die Fläche A ∗ liegt. Die Gleichung der Ebene lautet<br />
x + 2y = 2 oder y = − 1 2 x + 1<br />
3. Aus der Gleichung der Ebene ergeben sich als Integrationsgrenzen<br />
y = 0 bis y = − 1 2 x + 1<br />
x = 0 bis x = 2
5.8. OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE 89<br />
4. Berechnung des Oberflächenintegrals<br />
∫ ∫ ( ) ∫ ∫<br />
⃗F · N ⃗ dA = (−x − 4y + 4)dxdy 3 2<br />
(A)<br />
(A)<br />
= 3 2<br />
∫2<br />
x=0<br />
− 1 2 x+1 ∫<br />
y=0<br />
(−x − 4y + 4)dxdy<br />
innere Integration, also nach y:<br />
−<br />
∫<br />
1 2 x+1<br />
y=0<br />
(−x − 4y + 4)dy =<br />
äussere Integration, also nach x:<br />
∫ 2<br />
x=0<br />
(x + 2)dx =<br />
[<br />
] −<br />
−xy − 2y 2 1<br />
2<br />
+ 4y<br />
x+1<br />
= x + 2<br />
0<br />
[ ] 1 2<br />
2 x2 + 2x = 2 + 4 = 6<br />
0<br />
Und das gesamte Integral ist dann also:<br />
∫ ∫ ( ) ⃗F · N ⃗ dA = 3 2 · 6 = 9<br />
Anmerkungen<br />
(A)<br />
1. Der Fluß eines zylindersymmetrischen Vektorfeldes durch die Oberfläche<br />
eines Zylinders<br />
⃗F = f(ϱ)⃗e ϱ<br />
2. durch die geschlossene Oberfläche A eines (Koaxial-)Zylinders<br />
∫∫ ( ) ⃗F N ⃗ dA = f(R) · 2πRH<br />
o<br />
mit Zylinderradius R, Zylinderhöhe H und der Symmetrieachse z.<br />
3. Kugelsymmetrie<br />
⃗F = f(r)⃗e<br />
∫∫<br />
r<br />
( ) ⃗F · N ⃗ dA = f(R) · 4πR 2<br />
o<br />
mit dem Kugelradius R und dem Kugelmittelpunkt als Koordinatenursprung.
¦ ¥<br />
§<br />
90 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
Weiteres Beispiel<br />
Gegeben ist eine Strömung mit<br />
• Dichte ϱ (⃗r)<br />
• Geschwindigkeit v (⃗r)<br />
• Zeitintervall ∆t<br />
Wie groß ist die in der Zeit ∆t durch die Fläche ∆f strömende Masse?<br />
¨ © ¨©<br />
∆m = ϱ(v∆t)∆f cos α<br />
∆ ⃗ F = ∆f · ⃗n<br />
¢¡¤£<br />
Der Fluß ist definiert als<br />
Masse<br />
Zeiteinheit<br />
Die Flußdichte ist definiert als<br />
Definition 23 (Flußdichte)<br />
= ∆Φ = ∆m = ϱv∆f cos α<br />
∆t<br />
= ϱ⃗v · ∆f ⃗ = ⃗j · ∆f<br />
⃗<br />
⃗j (⃗r) = ϱ (⃗r) · ⃗v (⃗r)<br />
und damit ist der Gesamtfluß durch die Fläche:<br />
∫∫<br />
Φ = ⃗j · df<br />
⃗<br />
5.8.2 Das Volumenintegral<br />
Zusammenhang zwischen:<br />
Gesamtvolumen V<br />
⇕<br />
Volumenelement ∆V i<br />
Volumen V<br />
<br />
Ist eine skalare Funktion f(⃗r) und das Volumen V gegeben, dann ist:<br />
∫<br />
∑<br />
f (⃗r) dV = lim f (⃗r i ) ∆V i<br />
∆V i →0<br />
das Volumenintegral.<br />
V<br />
i
5.8. OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE 91<br />
Spezifizierung des Volumenelementes dV = d 3 r<br />
kartesisch<br />
zylinder<br />
kugel<br />
dV = dxdydz<br />
dV = ϱdϱdϕdz<br />
dV = r 2 sin ϑdrdϑdϕ<br />
Beispiel<br />
Berechnung des Gravitationspotentials einer Kugel der homogenen Dichte<br />
ϱ.<br />
1. Hohlkugel mit Radius r und der Dicke der Kugelschale dr.<br />
dr<br />
R<br />
m<br />
d<br />
dH<br />
r<br />
Der Abstand d ergibt sich aus dem Cosinussatz.<br />
d = √ R 2 + r 2 − 2rR cos ϑ ≥ 0<br />
U hohl (R) = −<br />
∫<br />
Kugelschale<br />
dM = ϱdV = ϱr 2 sin ϑdrdϑdϕ<br />
∫ π<br />
U Hohl (R) = −Gmϱr 2 dr<br />
G mdM<br />
d<br />
sin ϑdϑ<br />
√<br />
R 2 + r 2 − 2rR cos ϑ<br />
0<br />
0<br />
} {{ }<br />
∫ 1<br />
√ dt<br />
R 2 +r 2 −2rRt<br />
Substitution: t = cos ϑ und dt = − sin ϑdϑ:<br />
U Hohl (R) = −Gmϱr 2 2 √ dr · 2π · R<br />
−2rR<br />
2 + r 2 +1<br />
− 2rRt<br />
∣<br />
−1<br />
} {{ }<br />
−1<br />
∫2π<br />
dϕ<br />
} {{ }<br />
2π
¢<br />
¡<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
92 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
U Hohl = −4πGmϱr 2 dr<br />
⎡<br />
⎤R>r<br />
= − 1 ⎢<br />
⎥<br />
⎣±(R − r) − (R + r) ⎦<br />
rR } {{ }<br />
>0<br />
R R<br />
− GmM H<br />
R<br />
r < R (1)<br />
− GmM H<br />
r<br />
r > R (2)<br />
(1) Das Potential verhält sich so, als ob M H im Ursprung vereinigt<br />
wäre.<br />
(2) Das Potential ist konstant für r = const.<br />
=⇒ aussen verhält sich das Potential so, als ob die gesamte<br />
Masse im Zentrum vereinigt wäre.<br />
r<br />
R<br />
r<br />
R<br />
£¥¤§¦©¨<br />
const<br />
<br />
⃗F = −∇U ⃗ Hohl (R) = − dU {<br />
Hohl −<br />
GmM<br />
dR ⃗e H<br />
r < R<br />
r = R 2<br />
0 r > R<br />
Wichtige Schlußfolgerung:<br />
=⇒ im Inneren existiert kein Kraftfeld, da sich die Beträge<br />
gegeneinander aufheben.<br />
2. Vollkugel<br />
Im Gegensatz zur Hohlkugel, muß hier noch über die Kugelschalen<br />
aufsummiert (sprich: integriert) werden. Das Integral über dem Radius<br />
a schafft also den Übergang zwischen den beiden Kugeln<br />
U V oll =<br />
U Hohl (R, r) → dU V oll (r)<br />
∫ a<br />
0<br />
dU V oll (r)<br />
∫ a<br />
= −4πGmϱ<br />
0<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
r 2 dr<br />
⎪⎩<br />
1<br />
R<br />
1<br />
r<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
r < R<br />
r > R
¥<br />
¥<br />
¥<br />
§ ¦<br />
¥<br />
¥<br />
¥<br />
¡<br />
<br />
5.8. OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE 93<br />
R > a<br />
R < a<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
=<br />
⎪⎩<br />
−4πGMϱ 1 R<br />
−4πGmϱ<br />
M V = 4π 3 a3 ϱ<br />
a 3<br />
3<br />
∫ R<br />
↓<br />
= −G<br />
mMv<br />
R<br />
r 2 dr 1 ∫a<br />
R +<br />
r 2 dr 1 r<br />
0<br />
R<br />
} {{ }<br />
R 2<br />
3 + 1 2 (a2 −R 2 )= 1 6 (3a2 −R 2 )<br />
(<br />
= GmMv<br />
2a R 2 − a 2)<br />
3<br />
F (R) = − dU V oll<br />
dR<br />
⎧<br />
⎪⎨ − GmMv<br />
= R 2<br />
⎪ ⎩<br />
R > a<br />
− GmMv<br />
a 3 R R < a<br />
R>a<br />
R
94 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
5.9 Integralsätze von Gauss und Stokes<br />
5.9.1 Gausscher Integralsatz<br />
1. Beispiel<br />
Modell einer Flüssigkeitsströmung mit dem Geschwindigkeitsfeld ⃗v =<br />
⃗v(x, y, z).<br />
Quader<br />
©<br />
£¥¤ £§¦ ¡ ¨ ¢¡<br />
Volumen−<br />
element dV<br />
Flaechen−<br />
element dA<br />
Strömung durch ein Quadervolumen V . Pro Zeiteinheit fließt durch<br />
ein Flächenelement dA der Quaderoberfläche die Flüssigkeitsmenge<br />
(<br />
⃗v · ⃗N<br />
)<br />
dA = ⃗v · dA<br />
⃗<br />
Der Gesamtfluß pro Zeit durch die geschloßene Hülle A, die Oberfläche<br />
des Quaders ist durch das geschlossene Oberflächenintegral gegeben:<br />
∫ ∫ (<br />
⃗v · ⃗N<br />
) ∫ ∫<br />
dA = ⃗vd A ⃗<br />
o,(A)<br />
o,(A)<br />
Nun: Flüssigkeitsmenge, die im Volumenelement dV im Inneren des<br />
Quaders erzeugt oder vernichtet wird:<br />
⃗∇ · ⃗vdV<br />
und im gesamten Quader:<br />
∫ ∫ ∫<br />
(V )<br />
⃗∇ · ⃗vdV<br />
=⇒ Diese Menge muß aber bei einer Flüssigkeit mit konstanter<br />
Dichte in der Zeiteinheit durch die Quaderoberfläche A<br />
hindurchfließen.
5.9. INTEGRALSÄTZE VON GAUSS UND STOKES 95<br />
Wir formulieren deshalb:<br />
Die in der Zeiteinheit im Volumen V erzeugte oder vernichtete Flüssigkeitsmenge<br />
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (<br />
∇ ⃗ · ⃗vdV muß gleich dem Gesamtfluß ⃗v · ⃗N<br />
)<br />
dA<br />
durch die Quaderoberfläche entsprechen.<br />
2. Definition 24 (Satz von Gauss im Raum)<br />
o<br />
∫ ∫<br />
o,(A)<br />
∫ ∫ ∫<br />
⃗F dA ⃗ =<br />
(V )<br />
⃗∇ · ⃗F dV<br />
⃗F : stetig differenzierbares Vektorfeld<br />
A: Geschloßene Fläche<br />
V : von A eingeschloßenes Volumen<br />
3. Anmerkungen<br />
Mit Hilfe des Satz von Gauss lässt sich ein Volumenintegral über die<br />
Divergenz eines Vektorfeldes in ein Oberflächenintegral umwandeln<br />
und umgekehrt. Bei einem quellenfreien Feld ( ⃗ ∇ · ⃗F = 0) ist der Gesamtfluß<br />
durch die Oberfläche gleich Null.<br />
4. weitere Beispiele<br />
(a) Gegeben ist das Feld:<br />
⃗F =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x 3<br />
−y<br />
z<br />
Berechnung des Fluß durch die Oberfläche eines Zylinders mit<br />
Radius R = 2 und der Höhe H = 5. Nach dem Satz von Gauss<br />
gilt:<br />
∫ ∫<br />
o,(A)<br />
∫∫ ∫<br />
( ⃗F · ⃗ N<br />
)<br />
dA =<br />
(V )<br />
∫∫ ∫<br />
⃗∇ · ⃗F = ∂<br />
∂x<br />
∫∫ ∫<br />
⃗∇ · ⃗F dV = 3 ·<br />
⃗∇ · ⃗F dV<br />
(V )<br />
(x 3) + ∂<br />
(V )<br />
x 2 dV<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
∂y (−y) + ∂ ∂z (z) = 3x2 − 1 + 1 = 3x 2<br />
Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten war: dV = ϱdzdϱdϕ<br />
und die Formeln zur Umwandlung von kartesische in Zylinderkoordinaten<br />
waren:<br />
x = ϱ cos ϕ<br />
y = ϱ sin ϕ<br />
z = z
96 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER<br />
Und die Integrationsgrenzen sind:<br />
z = 0 bis z = 5 (Höhe)<br />
ϱ = 0 bis ϱ = 2 (Radius)<br />
ϕ = 0 bis ϕ = 2π<br />
∫∫ ∫<br />
(V )<br />
∫∫ ∫<br />
⃗∇ · ⃗F dV = 3<br />
(V )<br />
x 2 dV<br />
= 3<br />
= 3<br />
= 3<br />
∫2π<br />
∫2<br />
∫5<br />
ϕ=0 ϱ=0 z=0<br />
∫2π<br />
∫ 2<br />
∫ 5<br />
ϕ=0 ϱ=0 z=0<br />
∫2π<br />
0<br />
cos 2 ϕdϕ<br />
(ϱ cos ϕ) 2 ϱdzdϕdϱ<br />
ϱ 3 cos 2 ϕdzdϕdϱ<br />
∫ 2<br />
[ ϕ<br />
= 3<br />
2 + sin(2ϕ)<br />
4<br />
= 3 · π · 4 · 5<br />
0<br />
∫ 5<br />
ϱ 3 dϱ<br />
] 2π<br />
0<br />
0<br />
dz<br />
[ ] 1 2<br />
·<br />
4 ϱ4 · z| 5 0<br />
0<br />
∫∫ ∫<br />
= 60π =<br />
(V )<br />
∫ ∫<br />
⃗∇ · ⃗F dV =<br />
o,(A)<br />
( ⃗F · ⃗ N<br />
)<br />
dA<br />
(b) Wie groß ist der Fluß durch ein kugelsymmetrisches Vektorfeld<br />
⃗F = k⃗r durch die Oberfläche A einer konzentrische Kugel vom<br />
Radius R (k = const)?<br />
∫∫<br />
o<br />
( ) ∫∫∫<br />
⃗F · N ⃗ dA =<br />
Aus ⃗r = r⃗e r folgt eingesetzt in ⃗ ∇ · ⃗r:<br />
∫∫∫<br />
⃗∇ · ⃗F dV = k<br />
⃗∇ · ⃗r = ⃗ ∇ · (r⃗e r )<br />
⃗∇ · ⃗rdV<br />
= 1 r 2 δ<br />
δr (r2 · r)<br />
= 1 r 2 3r2 = 3
5.9. INTEGRALSÄTZE VON GAUSS UND STOKES 97<br />
∫∫<br />
o<br />
( ) ∫∫∫<br />
⃗F · N ⃗ dA = k<br />
∫∫<br />
=⇒<br />
o<br />
∫∫∫<br />
⃗∇ · ⃗F dV = k3 dV<br />
} {{ }<br />
V Kugel = 4π 3 R3<br />
( ⃗F · ⃗ N<br />
)<br />
dA = 3kV = 4πkR 3<br />
Definition 25 (Satz von Gauss in der Ebene)<br />
∮<br />
C<br />
( ) ∫∫<br />
⃗F N ⃗ ds =<br />
⃗∇ · ⃗F dA<br />
dA: Flächenstück einer Ebene<br />
C: Geschlossene Randkurve<br />
⃗N: nach außen gerichtete Flächennormale<br />
ds: Linienelement der Randkurve C<br />
5. Anmerkung<br />
Zusammenhang zwischen Kurven- und Doppelintegral:<br />
∮ ( ⃗ F ⃗ N<br />
)<br />
ds:<br />
Flüssigkeitsmenge, die durch die geschlossene Randkurve C<br />
pro Zeit in die Fläche ein- oder austritt<br />
∫∫ ⃗∇ · ⃗ F dA:<br />
Flüssigkeitsmenge, die in der Fläche A “erzeugt”<br />
oder “vernichtet” wird<br />
5.9.2 Integralsatz von Stokes<br />
Das Kurven- oder Linienintegral eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes<br />
⃗F längs einer einfach geschlossenen Kurve C ist gleich dem Oberflächenintegral<br />
der Rotation von ⃗ F über eine beliebige Fläche die durch C berandet<br />
wird.<br />
∫ ∫<br />
o,A<br />
∮<br />
C<br />
∫ ∫<br />
⃗F d⃗r = ⃗∇ × F ⃗ dA<br />
A<br />
} {{ }<br />
W irbelfluss<br />
∫ ∫ ∫<br />
⃗∇ × F ⃗ dA =<br />
V<br />
( ∇ ⃗ · ( ∇ ⃗ × F ⃗ )) dV = 0<br />
} {{ }<br />
=0
98 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER
Fortschritt bedeutet, daß<br />
wir immer mehr wissen<br />
und immer weniger davon<br />
haben.<br />
Josef Meinrad<br />
Kapitel 6<br />
Mechanik in bewegten<br />
Bezugssystemen<br />
z<br />
<br />
§©<br />
y<br />
0 x<br />
y’<br />
¡£¢¥¤§¦©¨<br />
x’<br />
z’<br />
Beschreibung der Bahn eines Massenpunktes in verschiedenen Bezugssystemen<br />
0 und 0 ′ . Es muß gelten:<br />
• Die Physik ist unabhängig vom Bezugssystem<br />
• Die Bewegungsgleichungen hängen vom Bezugssystem ab!<br />
In diesem Kapitel geht es also um die Beschreibung der Beziehung der Bewegung<br />
in verschiedenen, meist zueinander bewegten Bezugssystemen. Oft ist<br />
99<br />
0’
100 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
es außerdem besser angepaßte Bezugssysteme zu verwenden, beispielsweise:<br />
- in Erdoberfläche verankert (Labor)<br />
- fahrender Zug, Fahrstuhl, . . .<br />
6.1 Inertialsysteme, Galilei-Transformationen<br />
Was wissen wir?<br />
– Wir wissen, dass die Newton-Axiome die Bewegung eines mechanischen<br />
Systems vollständig beschreiben. Gilt das für alle Bezugssysteme?<br />
– Wir werden sehen: Nein!<br />
Die Newtonschen Axiome<br />
1. Trägheitsgesetz<br />
⃗F = ⃗0 =⇒ ⃗v = const<br />
2. Bewegungsgesetz<br />
˙⃗p = ⃗ F<br />
3. Actio=Reactio<br />
⃗F 12 = − ⃗ F 21<br />
6.1.1 Probleme der Interpretation<br />
1. Newtonsches Axiom:<br />
Ist es ein Spezialfall des 2. Newtonschen Axioms?<br />
Was heißt eigentlich kräftefrei?<br />
Gibt es eine Abhängigkeit vom Bezugssystem? (Karussell, . . . )<br />
2. Newtonsches Axiom: Kraft und Masse sind nicht definiert.<br />
=⇒ Die Definitionen und Axiome sind nicht klar getrennt.<br />
Lösung:<br />
Umdrehen der Argumentation!<br />
1. Newtonsches Axiom: Es existieren Bezugssysteme, in denen das Trägheitsgesetz<br />
gilt. Solche Bezugsysteme heißen Inertialsysteme.
6.1. INERTIALSYSTEME, GALILEI-TRANSFORMATIONEN 101<br />
2. Newtonsches Axiom: In einem Inertialsystem gilt das Bewegungsgesetz<br />
in der Newtonschen Form:<br />
˙⃗p = ⃗ F<br />
d⃗p<br />
dt = ⃗ F<br />
wobei ⃗ F die physikalische Kraft ist (nicht geändert).<br />
Bemerkungen<br />
• Inertialsysteme sind nicht eindeutig!<br />
• Wie werden Inertialsysteme gefunden?<br />
• Ein Inertialsystem definiert physikalische Kräfte!<br />
In Nicht-Inertialsystemen können die Bewegungsgleichungen anders aussehen<br />
und tun es auch! Was ist also ein ”gutes“ Inertialsystem?<br />
Ein gutes Inertialsystem ist unbeschleunigt und rotiert nicht!<br />
Ist die Erde also ein Inertialsystem?<br />
Nein, denn sie rotiert.<br />
Ja, wenn der Einfluß der Rotation sehr klein wäre<br />
Ein Inertialsystem ist unbeschleunigt. Aber für viele Zwecke ist die Erde<br />
eine ziemlich gute Näherung für ein Inertialsystem. Aber wie groß ist die<br />
Beschleunigung eigentlich?<br />
1. Beschleunigung eines Labors auf der Erde durch die Erdrotation. Abschätzung<br />
für einen Massenpunkt am Äquator – die Zentripetalbeschleunigung<br />
ist:<br />
a =<br />
v2<br />
= ω 2 R Erde<br />
R Erde<br />
mit ω = 0, 7 · 10 −4 sec −1 und R Erde ≈ 6400 km:<br />
a ≈ 0, 031 m<br />
sec 2 −→ klein<br />
2. Rotation des Fixsternhimmels oder Erddrehung um die Sonne<br />
ω =<br />
2π<br />
1 Jahr = 2 · 10−7 sec −1<br />
R = 10 11 m<br />
a = ω 2 R ≈ 4 · 10 −3 m<br />
sec 2 −→ kleiner
¡<br />
<br />
§©<br />
102 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
3. Drehung der Sonne um das Zentrum der Milchstraße<br />
a Sonne ∼ 3 · 10 −10 m<br />
sec 2 −→ sehr klein<br />
Inertialsysteme gibt es eigentlich gar nicht! Das Dilemma ist, daß es keine<br />
Kräftefreiheit gibt, wenn sich alles dreht. Wir erwarten jedoch, daß Fixsterne<br />
in guter Näherung ein unbeschleunigtes Koordinatensystem definieren.<br />
– Warum können wir das erwarten?<br />
– Weil Sterne sehr weit (∼ 1LJ ∼ 10 16 m) voneinander entfernt sind und die<br />
Schwerkraft proportional zu R −2 ist.<br />
6.1.2 Beziehungen zwischen Bezugssystemen<br />
Zueinander fest orientierte Bezugssysteme.<br />
1. Translation ohne zeitliche Änderung. Ein Bezugssystem bewegt<br />
sich relativ zum anderen mit einem konstanten Abstand ⃗ d.<br />
z’<br />
BS’<br />
£¥¤§¦©¨<br />
¢<br />
z<br />
BS<br />
y’<br />
x’<br />
x<br />
y<br />
dd<br />
⃗d = const =⇒<br />
⃗ dt = 0<br />
Für die Translationsbewegung r ⃗′ (t) eines Punktes im Bezugssystem 0 ′<br />
bedeutet dies, ausgedrückt im Bezugssystem 0:<br />
⃗r ′ (t) = ⃗r(t) − ⃗ d<br />
d ⃗ r ′ (t)<br />
dt<br />
= d⃗ r ′ (t)<br />
dt<br />
Damit erhalten wir die Zusammenhänge:<br />
⃗v ′ (t) = ⃗v(t)<br />
⃗a ′ (t) = ⃗a(t)<br />
− d⃗ d<br />
dt }{{}<br />
=0
6.1. INERTIALSYSTEME, GALILEI-TRANSFORMATIONEN 103<br />
2. Feste Drehung des Bezugssystems, ohne zeitliche Änderung<br />
⃗r(t) = ⃗ r ′ (t), aber komplett verschieden. Hilfreich ist hier die Drehoder<br />
Transformationsmatrix.<br />
r j = R ij r ′ j<br />
z’<br />
z<br />
x’<br />
x<br />
v j = dr j<br />
dt ⎛<br />
= ∑ ⎜<br />
⎝<br />
dR ij<br />
} dt {{ }<br />
=0,da fest<br />
r ′ j + R ij<br />
dr ′ j<br />
dt<br />
}{{}<br />
v ′ j<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
y<br />
= ∑ j<br />
R ij v ′ j<br />
y’<br />
=⇒ ⃗v = ⃗ v ′<br />
⃗a = ⃗ a ′<br />
Wichtig ist dabei, daß die Drehung fest ist, das heißt also R ij = const<br />
beziehungsweise die Drehung ist zeitlich unabhängig.<br />
3. Gleichförmig bewegte Systeme<br />
Diese entsprechen im Wesentlichen der Translation mit ⃗ d = ⃗ut.<br />
z’<br />
z<br />
© <br />
©<br />
<br />
y’<br />
y<br />
x’<br />
¡£¢¥¤§¦©¨<br />
x<br />
⃗r ′ (t) = ⃗r(t) − ⃗ut<br />
⃗u = const<br />
dr ′ (t)<br />
dt<br />
= d⃗r<br />
dt − ⃗u<br />
⃗ v ′ = ⃗v − ⃗u
104 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
dv ⃗′<br />
dt = d⃗v<br />
dt − d⃗u<br />
}{{} dt<br />
=0<br />
=⇒ ⃗ a ′ = ⃗a<br />
=⇒ m⃗a = m ⃗ a ′<br />
=⇒ ⃗ F = ⃗ F ′<br />
Das heißt also, in zwei gleichförmig zueinander bewegten Bezugssystemen<br />
herrschen die gleichen Kräfte.<br />
Ergo:<br />
• Falls ein Bezugssystem ein Inertialsystem ist, so ist auch das Bezugssystem<br />
2 eines.<br />
• Es existieren unendlich viele Inertialsysteme.<br />
• Inertialsysteme sind physikalisch äquivalent, das heißt also ununterscheidbar.<br />
Transformation zwischen Inertialsystemen durch die speziellen Galilei-Transformationen:<br />
⃗r ′ = ⃗r − ⃗ut<br />
t ′ = t<br />
Die Zeit soll dabei durch eine synchrone Uhr gemessen werden. (Frage am<br />
Rande: Stimmt das denn immer?) Insgesamt ist die allgemeine Galilei-Transformation<br />
eine Kombination aus fester Translation und Drehung.<br />
6.1.3 Kräfte<br />
1. Direkter Kontakt, durch Druck, Stoss, Zug, . . .<br />
sogenannte Nahwirkungskräfte<br />
2. Kräfte ohne direkten Kontakt, es existieren also keinen direkten Wechselwirkungspartner<br />
(a) Entstehung durch Bezugssystemwechsel<br />
→ Trägheitskräfte oder Scheinkräfte (sie existieren natürlich trotzdem!),<br />
am Beispiel der Insassen eines bremsenden Autos: Es existieren<br />
(idealerweise, kein Unfall, . . . ) keine Nahwirkungskräfte.<br />
Die Beschleunigungskräfte verschwinden beim Übergang in ein<br />
System, das sich geradlinig-gleichförmig weiterbewegt.<br />
Die Insassen tun das, was das Trägheitsgesetz verlangt.
6.1. INERTIALSYSTEME, GALILEI-TRANSFORMATIONEN 105<br />
(b) Echte Fernkräfte, diese sind durch keine Änderung des Bezugssystems<br />
zu beseitigen. Ein Beispiel wäre die Gravitation.<br />
Zentrifugalkraft<br />
⃗F Zentr. = mω 2 ⃗r<br />
Sie ist eine Scheinkraft und wirkt zum Beispiel bei einer Kurvenfahrt auf<br />
die Insassen und das Auto selbst.<br />
Für Beobachter im Inertialsystem bewegen sie sich einfach geradlinig-gleichförmig<br />
weiter und müssen dabei allerdings mit Teilen des seinerseits ungleichförmig<br />
bewegten Fahrzeugs kollidieren.<br />
Der Fahrer lenkt dieser Kraft hoffentlich entgegen.<br />
Kraft in rotierendem System<br />
Die dort auftretende Kraft heißt Coriolis-Kraft:<br />
∣ ⃗ F c<br />
∣ ∣∣ = m2ω |⃗v|<br />
⃗a c = 2⃗v × ⃗ω ⇒| ⃗a c |= 2vω sin α<br />
Sie ist senkrecht zur Richtung der Drehachse und senkrecht zur Geschwindigkeit<br />
gerichtet.<br />
Drehscheibe<br />
In der Mitte einer sich mit ω = const drehenden Scheibe befindet sich ein<br />
Beobachter. Er schießt eine Kugel mit der Geschwindigkeit v = at. Diese<br />
Kugel ist nach dem Abschuss mit der Scheibe durch keinerlei Kräfte mehr<br />
verbunden, sondern fliegt frei durch den Raum.<br />
1. ruhendes System<br />
r=vt<br />
Für einen Beobachter außerhalb der Scheibe<br />
bewegt sich die Kugel also geradlinig mit<br />
der konstanten Geschwindigkeit v nach außen.<br />
Nach der Zeit t = r v<br />
ist sie im Abstand<br />
r angekommen.<br />
In dieser Zeit hat sich die Scheibe um den Winkel α = ωt weitergedreht!<br />
2. Mitrotierendes System
106 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
B<br />
A<br />
Weil sich die Scheibe in dieser Zeit (siehe<br />
oben) um den Winkel α = ωt weitergedreht<br />
hat, stellt der Beobachter auf der Scheibe<br />
fest, daß sich die Kugel nicht über dem Punkt<br />
A seiner Scheibe befindet, wie er vielleicht erwartet<br />
hätte, sondern über dem Punkt B.<br />
Die Kugel ist um y = rα nach rechts abgelenkt worden, senkrecht zur<br />
erwarteten Flugrichtung!:<br />
z = rα = vtωt =⇒ y = vωt 2<br />
Der Beobachter auf der Scheibe muß diese Ablenkung auf eine Beschleunigung<br />
zurückführen, die senkrecht zur Geschwindigkeit wirkt.<br />
Der Bewegungsablauf y ∼ t 2 lässt auf eine konstante Beschleunigung<br />
a schließen, denn diese führt auf y = 1 2 at2 .<br />
Ein Vergleich liefert die Coriolisbeschleunigung:<br />
a = 2ωv<br />
Und daraus lässt sich leicht die Corioliskraft berechnen:<br />
F C = ma = 2mωv<br />
Diese Kraft spürt der Beobachter auch, wenn er sich selbst oder Teile<br />
von sich mit v bewegen. Steht ⃗v nicht senkrecht zur Drehachse sondern<br />
bildet mit ihr den Winkel α so ist die Coriolisbeschleunigung:<br />
| ⃗a |= 2 | ⃗v × ⃗ω |= 2vω sin α<br />
6.2 Foucaultsches Pendel<br />
Das Foucaultsche Pendel ist ein historischer Versuch; er ist eine Demonstration<br />
für die Erdrotation und damit ein Beweis, daß die Erde kein Inertialsystem<br />
ist. Dieser Versuch wurde zum erstenmal 1851 in Paris durchgeführt.<br />
Eine Masse von 28kg war an einem 70m langem Draht befestigt und konnte<br />
frei schwingen. Die Schwingungsdauer betrug 17 Sekunden.<br />
Nach mehreren Schwingungen zeigte sich, daß sich die Schwingungsebene<br />
von oben gesehen in einer Stunde um 11 Grad im Uhrzeigersinn drehte.<br />
Zur Messung war auf dem Fußboden, direkt unterhalb der Aufhängung im<br />
Pantheon in Paris ein kreisförmiges Geländer aufgebaut, welches mit Sand<br />
bestreut war. Ein Nagel an der Unterseite des Pendels hinterlies bei jeder<br />
Schwingung eine Spur im Sand.<br />
Zurück zum Problem: Warum rotiert also die Schwingungsebene des Pendels?
¡<br />
6.3. DAS FOUCAULT-PENDEL AM NORDPOL 107<br />
6.3 Das Foucault-Pendel am Nordpol<br />
Wir stellen uns das Foucaultsche Pendel am Nordpol vor. Die Schwingungsebene<br />
bleibt im Inertialsystem fest, während die Erde unter dem Pendel in<br />
24 Stunden eine Umdrehung ausführt.<br />
Die Erde dreht sich, von einem Beobachter über dem Nordpol (vom Polarstern)<br />
aus gesehen, gegen den Uhrzeigersinn. Deshalb scheint für einen<br />
Beobachter auf einer Leiter am Nordpol die Schwingungsebene im Uhrzeigersinn<br />
relativ zu ihm zu rotieren.<br />
Die Situation wird schwieriger, sobald wir den Nordpol verlassen und dabei<br />
die Zeit für einen vollen Umlauf der Pendelebene länger wird.<br />
Nordpol<br />
N<br />
Pendel<br />
R cos<br />
R<br />
h<br />
S<br />
Aequator<br />
geographische<br />
Breite<br />
R<br />
Rotationsachse<br />
Suedpol<br />
6.4 Sanfte mathematische Hinführung<br />
Wir betrachten die Relativgeschwindigkeit des nördlichsten (N) und südlichsten<br />
(S) Punktes des Foucaultschen Sandringes mit dem Radius r. Da der<br />
Südpunkt weiter von der Drehachse entfernt ist, bewegt er sich schneller<br />
durch den Raum (v = ωr) als der Nordpunkt. (Winkelgeschwindigkeit ω,<br />
Erdradius R). Das Zentrum des Kreises bewegt sich mit<br />
v Z = ω · R cos ϕ
108 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
Der nördliche Punkt bewegt sich mit<br />
v N = ωR cos ϕ − ωr sin ϕ<br />
und der südliche Punkt mit<br />
v S = ωR cos ϕ + ωr sin ϕ<br />
Damit ist die Differenz der Zentrumsgeschwindigkeit zu den beiden anderen<br />
Geschwindigkeiten<br />
Die Zeit für eine volle Umdrehung ist<br />
T 0 =<br />
∆v = ωr sin ϕ<br />
Umfang<br />
Geschwindigkeit =<br />
2πr<br />
ωr sin ϕ = 24h<br />
sin ϕ<br />
Für die beiden “Extrempunkte” ergeben sich dann:<br />
Pol ϕ = 90◦ T 0 = 24h<br />
Äquator ϕ = 0◦ T 0 = ∞<br />
Beachte<br />
∆v = ωr sin ϕ<br />
a Cor ∼ ∆v<br />
∆t ∼ ωr<br />
∆t sin ϕ<br />
6.5 Scheinkräfte in rotierenden Systemen<br />
Die “Waschbrettversion” des Faucaultschen Pendels – hart aber herzlich.<br />
6.5.1 Rotation eines (v ′ , y ′ , z ′ ) Koordinatensystems um den Ursprung<br />
des Inertialsystems (x, y, z)<br />
Beide Koordinatenursprünge sollen zusammenfallen.<br />
Das Inertialsystem soll das Laborsystem sein, die Kennzeichnung soll deshalb<br />
im weiteren mit dem Index L erfolgen. Das rotierende System bekommt<br />
im weiteren den Index B.
¦<br />
§£¨¥©<br />
<br />
£¥<br />
6.5. SCHEINKRÄFTE IN ROTIERENDEN SYSTEMEN 109<br />
z’<br />
z<br />
y’<br />
y<br />
¡£¢¥¤<br />
x<br />
x’<br />
Der Vektor A(t) ⃗ = A ′ ⃗ xe ′ x + A ′ ⃗ ye ′ y + A ′ ⃗ ze ′ z soll sich im gestrichenen System<br />
zeitlich ändern. Für einen in diesem System ruhenden Beobachter gilt<br />
dA<br />
⃗ = dA′ x<br />
e<br />
dt ∣ B<br />
dt ⃗′ x + dA′ y<br />
e<br />
dt ⃗′ y + dA′ z<br />
e<br />
dt ⃗′ z<br />
Im Inertialsystem (x, y, z) ist ⃗ A ebenfalls zeitabhängig. Hier ändern sich aber<br />
auch aufgrund der Rotation des gestrichenen Systems auch die Einheitsvektoren<br />
⃗e x , ⃗e y , ⃗e z mit der Zeit. Ergo<br />
d ⃗ A<br />
dt<br />
= d ⃗ A<br />
+ A ′ ∣ L<br />
dt ∣ x<br />
B<br />
⃗e ′ x ·<br />
d ⃗ e ′ x<br />
dt<br />
Allgemein gilt:<br />
˙ ⃗e ′ x = ⃗ e ′ x · d⃗ e ′ x<br />
dt<br />
= 0<br />
+ A ′ de ⃗′ y<br />
y + A ′ de ⃗′ z<br />
z<br />
dt dt<br />
Die Ableitung eines Einheitsvektors<br />
steht immer senkrecht auf dem Vektor selbst!<br />
Deshalb lässt sich die Ableitung eines Einheitsvektors als Linearkombination<br />
der beiden anderen darstellen.<br />
˙ ⃗e ′ x = a 1<br />
⃗ e ′ y + a 2<br />
⃗ e ′ z<br />
˙ ⃗e ′ y = a 3<br />
⃗ e<br />
′ x + a 4<br />
⃗ e<br />
′ z<br />
˙ ⃗e ′ z = a 5<br />
⃗ e ′ x + a 6<br />
⃗ e ′ y<br />
Von diesen sechs Koeffizienten sind nur drei linear unabhängig.
110 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
Beweis:<br />
Differenziere e ⃗′ x · ⃗e ′ y = 0 =⇒ ⃗e ˙′<br />
xe ⃗′ y = −⃗e ˙′<br />
ye ⃗′ x<br />
Multiplikation von ⃗e ˙′<br />
x = a 1e ⃗′ y + a 2e ⃗′ z mit e ⃗′ y und ⃗e ˙′<br />
y = a 3e ⃗′ x +<br />
a 4e ⃗′ z mit e ⃗′ x. Daraus ergibt sich<br />
⃗e ′ y ·<br />
˙ ⃗e ′ x = a 1 und e ⃗′ ˙<br />
x · ⃗e ′ y = a 3<br />
=⇒ a 3 = −a 1<br />
Analog erhält man: a 6 = −a 4 und a 5 = −a 2<br />
=⇒ d ⃗ A<br />
dt<br />
= d ⃗ A<br />
)<br />
+ A ′ ∣ L<br />
dt ∣ x<br />
(a 1e ⃗′ y + a 2e ⃗′ z<br />
B<br />
)<br />
+ A ′ y<br />
(−a 1e ⃗′ x + a 4e ⃗′ z<br />
)<br />
+ A ′ z<br />
(−a 2e ⃗′ x − a 4e ⃗′ y<br />
= d ⃗ A<br />
dt<br />
+ e ⃗ ∣ ′ x<br />
B<br />
(<br />
)<br />
−a 1 A ′ y − a 2A ′ z<br />
+ e ⃗′ (<br />
y a1 A ′ x − a 4A ′ z)<br />
+ e ⃗ (<br />
)<br />
′ z −a 2 A ′ x + a 4A ′ y<br />
Mit ⃗ C =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
a 4<br />
⎟<br />
a 2<br />
a 1<br />
⎠ folgt:<br />
d ⃗ A<br />
dt<br />
= d ⃗ A<br />
+ C<br />
∣ L<br />
dt ∣ ⃗ × A ⃗<br />
B<br />
Welche physikalische Bedeutung hat ⃗ C? – Betrachten wir den Spezialfall<br />
d ⃗ A<br />
dt<br />
= ⃗0<br />
∣ B<br />
das heißt, daß die Ableitung des Vektors ⃗ A im bewegten System verschwindet.<br />
⃗ A bewegt sich (rotiert) mit dem bewegten System mit.
¦ ¥<br />
¤<br />
6.5. SCHEINKRÄFTE IN ROTIERENDEN SYSTEMEN 111<br />
z<br />
¢ £ ¡<br />
d<br />
y’<br />
y<br />
ϕ ist der Winkel zwischen der Rotationsachse<br />
(hier: z-Achse) und ⃗ A ist<br />
die Komponente parallel zur Winkelgeschwindigkeit<br />
⃗ω. Letztere wird<br />
durch die Rotation nicht geändert.<br />
x<br />
x’<br />
Änderungen von A ⃗ im Laborsystem:<br />
dA = ωdtA sin ϕ<br />
dA<br />
dt ∣ = ωA sin ϕ<br />
L<br />
dA<br />
⃗ = ⃗ω × A<br />
dt ∣ ⃗ L<br />
(<br />
Die Richtung von ⃗ω × A ⃗ )<br />
dt stimmt mit dA ⃗ überein. C ⃗ muss mit ⃗ω, mit<br />
der das System B rotiert identisch sein. Und allgemein:<br />
dA<br />
⃗ = d ⃗ A<br />
+ ⃗ω × A<br />
dt ∣ L<br />
dt ∣ ⃗ B<br />
wird dann zu:<br />
∂<br />
Operator ˆD =<br />
∂t<br />
ˆD L = ∂ ∂t∣ ∧ ˆD B = ∂ L ∂t∣ B<br />
dA<br />
⃗ = d ⃗ A<br />
+ ⃗ω × A<br />
dt ∣ L<br />
dt ∣ ⃗ B<br />
ˆD L<br />
⃗ A = ˆDB ⃗ A + ⃗ω × ⃗ A<br />
Ohne ⃗ A würde man von einer Operatorgleichung sprechen:<br />
6.5.2 Beispiele<br />
ˆD L = ˆD B + ⃗ω×<br />
1.<br />
d⃗ω<br />
dt ∣ = d⃗ω<br />
L dt ∣ + ⃗ω × ⃗ω<br />
B<br />
} {{ }<br />
=0<br />
d⃗ω<br />
dt<br />
∣ = d⃗ω<br />
L dt ∣ B
112 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
Diese beiden Ableitungen sind offensichtlich für alle Vektoren gleich,<br />
die senkrecht zur Rotationsebene stehen, da dann das Kreuzprodukt<br />
verschwindet.<br />
2.<br />
d⃗r<br />
dt ∣ = d⃗r<br />
L dt ∣ + ⃗ω × ⃗r<br />
B<br />
ˆD L ⃗r = ˆD B ⃗r + ⃗ω × ⃗r<br />
Dabei ist:<br />
⃗ω × ⃗r<br />
d⃗r<br />
dt ∣ B<br />
d⃗r ∣<br />
dt<br />
∣ B<br />
+ ⃗ω × ⃗r<br />
Rotationsgeschwindigkeit<br />
scheinbare Geschwindigkeit<br />
wahre Geschwindigkeit<br />
6.5.3 Formulierung der Newtonschen Gleichungen in rotierenden<br />
Koordinatensystemen<br />
⃗F = m¨⃗r = m d2 ⃗r<br />
dt 2<br />
gilt nur in Inertialsystemen. Der Betrag der reinen Rotation ist:<br />
⃗r ¨ L = d ) (˙⃗r<br />
dt<br />
= ˆD<br />
( )<br />
L ˆDL ⃗r<br />
L<br />
( ) (<br />
= ˆDB + ⃗ω× ˆDB ⃗r + ⃗ω × ⃗r)<br />
= ˆD B 2 ⃗r + ˆD B (⃗ω × ⃗r) + ⃗ω × ˆD B ⃗r + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r)<br />
= ˆD<br />
( )<br />
B⃗r 2 + ˆDB ⃗ω × ⃗r + 2⃗ω × ˆD B ⃗r + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r)<br />
Ersetzen wir den Operator durch Differentialquotienten:<br />
∣ ∣<br />
d 2 ⃗r ∣∣∣∣L<br />
dt 2 = d2 ⃗r ∣∣∣∣B<br />
dt 2 + d⃗ω<br />
dt ∣ × ⃗r + 2⃗ω × d⃗r<br />
B dt ∣ + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r)<br />
B<br />
Dabei ist:<br />
d⃗ω<br />
dt<br />
∣ × ⃗r<br />
B<br />
2⃗ω × d⃗r<br />
∣<br />
dt<br />
∣ B<br />
⃗ω × (⃗ω × ⃗r)<br />
Lineare Beschleunigung<br />
Coriolisbeschleunigung<br />
Zentripetalbeschleunigung
¡<br />
6.6. BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME 113<br />
Durch Multiplikation mit der Masse m folgt die Kraft ⃗ F :<br />
∣<br />
m d2 ⃗r ∣∣∣∣B<br />
dt 2 + m d⃗ω<br />
dt ∣ × ⃗r + 2m⃗ω × d⃗r<br />
B dt ∣ + m⃗ω × (⃗ω × ⃗r) = F ⃗<br />
B<br />
Die Grundgleichung der Mechanik in rotierenden Koordinatensystemen lautet<br />
dann, wenn man den Index B weglässt:<br />
m d2 ⃗r<br />
dt 2 = F ⃗ − m d⃗ω × ⃗r − 2m⃗ω × ⃗v − m⃗ω × (⃗ω × ⃗r)<br />
dt<br />
Die zusätzlichen Terme auf der rechten Seite sind Scheinkräfte dynamischer<br />
Art, doch eigentlich vom Beschleunigungsterm stammend. Für Experimente<br />
auf der Erde kann man diese Zusatzterme oft vernachlässigen, da<br />
ω Erde = 2π<br />
T = 2π<br />
24h ≈ 7 · 10−5 s −1<br />
6.6 Beliebig gegeneinander bewegte Systeme<br />
Diese bedeutet zunächst, daß die Ursprünge der beiden Koordinatensysteme<br />
nicht mehr zusammenfallen! Im Allgemeinen setzt sich die Bewegung eines<br />
Koordinatensystems aus der Rotation des Systems und der Translation des<br />
Ursprungs zusammen.<br />
z’<br />
z<br />
y’<br />
r’<br />
£ ¢<br />
y<br />
z’<br />
x<br />
Sei ⃗ R der Ursprung des gestrichenen Systems, so ist der Ortsvektor im ungestrichenen<br />
System<br />
⃗r = ⃗ R + ⃗ r ′
114 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
es gilt ˙⃗r = ˙⃗ R + ˙⃗r ′ . Im Inertialsystem gilt aber nach wie vor:<br />
∣<br />
m d2 ⃗r ∣∣∣∣L<br />
dt 2 = F ⃗ ∣ = F ⃗<br />
L<br />
einsetzen von ⃗r und anschließendes Differenzieren liefert:<br />
m d2⃗ r ′<br />
dt 2 ∣ ∣∣∣∣L<br />
+ m d2 ⃗ R<br />
dt 2 ∣ ∣∣∣∣L<br />
= ⃗ F<br />
Der Übergang zum beschleunigten System erfolgt wie vorher, nur tritt hier<br />
noch ein Zusatzglied m ¨⃗ R auf<br />
∣<br />
d 2 r ⃗′<br />
∣∣∣∣B<br />
dt 2 = F ⃗ − m ¨⃗<br />
∣ ∣∣∣L R − m ˙⃗ω<br />
∣ × ⃗r − 2m⃗ω × ⃗v|<br />
B<br />
B<br />
− m⃗ω × (⃗ω × ⃗r)<br />
6.6.1 Der freie Fall auf der Erde<br />
z<br />
¨ §<br />
z’<br />
<br />
£<br />
y’<br />
£ <br />
<br />
©<br />
£<br />
<br />
<br />
x’<br />
¥£¦ ¤<br />
y<br />
¡£¢<br />
x<br />
Auf der Erde gilt die bereits abgeleitete Grundgleichung der Mechanik, wenn<br />
wir die Rotation um die Sonne vernachlässigen: sonst betrachten wir ein<br />
Koordinatensystem im Erdzentrum als Inertialsystem:<br />
∣<br />
d 2 r ⃗′<br />
∣∣∣∣B<br />
dt 2 = F ⃗ − m ¨⃗<br />
∣ ∣∣∣L R − m ˙⃗ω × r ⃗ ∣ ′ ∣∣B<br />
− 2m⃗ω × ˙⃗ r ′<br />
∣ − m⃗ω ×<br />
(⃗ω × ⃗ )<br />
r ′<br />
B
6.6. BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME 115<br />
Die Winkelgeschwindigkeit ⃗ω der Erde um ihre Achse kann als zeitlich konstant<br />
angesehen werden; deshalb ist m ˙⃗ω ×⃗r = ⃗0 die Bewegung des Aufpunktes<br />
R, ⃗ also die Bewegung des Koordinatenursprungs des (x ′ , y ′ , z ′ ) Systems,<br />
muß noch auf das bewegte System umgerechnet werden:<br />
¨⃗R<br />
∣ = ¨⃗<br />
∣ ∣∣∣B R + ˙⃗ω<br />
∣ × R ⃗ + 2⃗ω × ˙⃗<br />
∣ ∣∣∣B R + ⃗ω ×<br />
L B<br />
(<br />
⃗ω × R ⃗ )<br />
Da R ⃗ vom bewegten System aus eine zeitunabhängige Größe ist und ⃗ω konstant<br />
ist, lautet die Gleichung schließlich<br />
(<br />
¨⃗R<br />
∣ = ⃗ω × ⃗ω × ⃗ )<br />
R<br />
L<br />
Das ist die Zentripetalbeschleunigung, die ein sich auf der Erdoberfläche bewegender<br />
Körper aufgrund der Erdrotation erfährt. Für die Kraftgleichung<br />
ergibt sich:<br />
m¨⃗ r ′ = F ⃗ (<br />
− m⃗ω × ⃗ω × R ⃗ )<br />
− 2m⃗ω × ˙⃗ r ′ − m⃗ω ×<br />
(⃗ω × r ⃗ )<br />
′<br />
Beim freien Fall auf der Erde treten demnach im Gegensatz zum Inertialsystem<br />
Scheinkräfte auf, die den Körper in x ′ - und y ′ -Richtung ablenken. Die<br />
Kraft ⃗ F ist im Inertialsystem, wenn nur die Schwerkraft wirkt:<br />
Ergo:<br />
⃗F = −G Mm<br />
r 2<br />
⃗r<br />
|⃗r| = −GMm r 3 ⃗r<br />
m¨⃗ r ′ = −G Mm<br />
(<br />
r 3 ⃗r − m⃗ω × ⃗ω × R ⃗ )<br />
− 2m⃗ω × r ⃗′ − m⃗ω ×<br />
(⃗ω × r ⃗ )<br />
′<br />
Wir führen nun den experimentell bestimmten Wert für die Gravitationsbeschleunigung<br />
⃗g ein und nähern in −G Mm ⃗r mit ⃗r ≃ R ⃗ durch Einsetzen des<br />
R 3<br />
Radius ⃗r = R ⃗ + r ⃗′ :<br />
⃗g = −G M R ⃗ (<br />
3 R − ⃗ω × ⃗ω × R ⃗ )<br />
Die Zentrifugalkraft verringert die Wirkung der Schwerkraft!<br />
Damit erhalten wir für die Kräfte folgende Gleichung:<br />
m¨⃗ r ′ = m⃗g − 2m⃗ω × ˙⃗ r ′ − m⃗ω ×<br />
(⃗ω × r ⃗ )<br />
′<br />
In der Nähe der Erdoberfläche ist r ⃗′<br />
Ordnung ω 2 und kann wegen |ω| ≪ 1<br />
sec<br />
¨⃗r ′ = ⃗g −<br />
≪ R. ⃗ Der letzte Term ist von der<br />
vernachlässigt werden:<br />
(<br />
⃗ω × ˙⃗ r ′<br />
)
116 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
beziehungsweise<br />
(<br />
¨⃗r ′ = −ge ⃗′ z − 2 ⃗ω × ˙⃗<br />
)<br />
r<br />
′<br />
Zur Lösung dieser Vektorgleichung zerlegt man sie in ihre Komponenten:<br />
Aus der Zeichnung folgt die Beziehung für ⃗e x , ⃗e y , ⃗e z des Inertialsystems mit<br />
⃗e ′ x, ⃗ e ′ y, ⃗ e ′ z<br />
wegen ⃗ω = ω⃗e z erhält man<br />
⃗e z = − sin λ ⃗ e ′ x + 0 ⃗ e ′ y + cos λ ⃗ e ′ z<br />
⃗ω = −ω sin λ ⃗ e ′ x + ω cos λ ⃗ e ′ z<br />
und<br />
⃗ω × ˙⃗ r<br />
′<br />
=<br />
(<br />
( (<br />
−ωẏ′ cos λ) ⃗e ′ x + ˙ z′ ω sin λ + ẋ cos λω) ⃗e ′ y − ωy ˙′<br />
sin λ) ⃗e ′ z<br />
Die Vektorgleichung ¨r ′ = −g ⃗ e ′ z − 2 (⃗ω × ⃗r) lautet damit in Komponentengleichungen:<br />
ẍ ′ = 2y ˙′<br />
ω cos λ<br />
( )<br />
ÿ ′ = −2ω ˙ z′ sin λ + ẋ′ cos λ<br />
¨z ′ = −g + 2ω ˙ y ′ sin λ<br />
Die Striche werden jetzt weggelassen.<br />
Wir erhalten drei gekoppelte Differentialgleichungen mit ⃗ω als Kopplungsparameter.<br />
Für ω = 0 ergibt sich der freie Fall im Inertialsystem:<br />
Verschiedenen Lösungsverfahren:<br />
1. Störungsrechnung<br />
2. Sukzessive Approximation (erst in der T1-Vorlesung)<br />
3. Exakte Lösung<br />
Wir versuchen 1. und 3.<br />
6.6.2 Methode der Störungsrechnung<br />
Man betreibt Störungsrechnung im Prinzip um die Stabilität eines Systems<br />
zu überprüfen. Die Frage heisst: Wie wirken sich kleine Störungen auf einen<br />
Zustand aus? Werden die Störungen gedämpft, oder wachsen sie an?<br />
Im ersten Fall wäre das System stabil, im zweiten instabil. Beim Foucaultschen<br />
Pendel weiß man schon die Antwort: das System wird durch die Erddrehung<br />
nicht instabil, das heißt die Amplitude des Pendelausschlags wächst<br />
nicht durch die Erddrehung an. Hier wird Störungsrechnung verwendet um<br />
den Einfluss einer bekannten kleinen Störung, die durch die Erddrehung<br />
verursachte Zentrifugalkraft, auf ein System unter dem Einfluss einer sehr
6.6. BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME 117<br />
viel stärkeren Kraft, der Erdgravitation berechnet. Es ist also noch nicht<br />
die Stabilitätsanalyse, sondern eine Analyse der zusätzlichen Effekte durch<br />
kleine Störungen. Zunächst integrieren:<br />
ẋ = 2ωy cos λ + c 1<br />
ẏ = −2ω(x cos λ + z sin λ) + c 2<br />
ż = −gt + 2ωy sin λ + c 3<br />
Beim freien Fall auf der Erde wird der Körper aus der Höhe h zur Zeit t = 0<br />
losgelassen; damit ergeben sich folgende Anfangsbedingungen:<br />
z(0) = h ż(0) = 0<br />
y(0) = 0 ẏ(0) = 0<br />
x(0) = 0 ẋ(0) = 0<br />
Daraus ergeben sich dann folgende Integrationskonstanten:<br />
c 1 = 0 c 2 = 2ωh sin λ c 3 = 0<br />
ẋ = 2ωy cos λ<br />
ẏ = −2ω(x cos λ + (z − h) sin λ)<br />
ż = −gt + 2ωy sin λ<br />
Die Glieder proportional zu ω sind klein gegen gt =⇒ ż(t) = −gt. Sie bilden<br />
die Störung.<br />
Die Abweichung y vom bewegten System ist eine Funktion von ω und t.<br />
Ergo tritt in erster Näherung das Glied y 1 (ω, t) ∼ ω auf.<br />
Achtung!<br />
Wir setzen y 1 (ω, t) ∼ ω in ẋ ein und erhalten:<br />
ẋ = 2ωy 1 (ω, t) cos λ ∼ ω 2<br />
=⇒ ẋ(t) = 0<br />
Denn die Glieder ∼ ω 2 werden vernachlässigt.<br />
Die Integration von ż(t) = −gt liefert mit den Anfangsbedingungen:<br />
z(t) = − g 2 t2 + h<br />
Die Integration von ẋ(t) = 0 mit den Anfangsbedingungen liefert:<br />
x(t) = 0
118 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
Wegen x(t) = 0 fällt in der Differentialgleichung für ẏ(t) das Glied 2ωx cos λ<br />
heraus und es bleibt<br />
ẏ = −2ω(z − h) sin λ<br />
einsetzen von z = − g 2 t2 + h:<br />
ẏ = −2ω<br />
= ωgt 2 sin λ<br />
Mit der Anfangsbedingung y(t = 0) = 0<br />
y =<br />
(<br />
h − 1 )<br />
2 gt2 − h sin λ<br />
ωg sin λ<br />
t 3<br />
3<br />
Die Lösung des Differentialgleichungssystems in der Näherung ω N = 0 mit<br />
N ≤ 2 (konsistent bis zu den linearen Gliedern) ist dann:<br />
x(t) = 0<br />
y(t) =<br />
ωg sin λ<br />
t 3<br />
3<br />
z(t) = h − g 2 t2<br />
Die Fallzeit T ergibt sich aus z(t = T ) = 0:<br />
T 2 = 2h g<br />
y(t = T ) = y(h)<br />
=<br />
=<br />
ω sin λ2h<br />
3g<br />
2ωh sin λ<br />
3<br />
√<br />
2h<br />
√<br />
2h<br />
g<br />
g · g<br />
Letzteres ist die Ortsablenkung als Funktion der Fallhöhe.<br />
6.6.3 Exakte Lösung<br />
ẍ = 2ẏω cos λ<br />
ÿ = −2ω (ż sin λ + ẋ cos λ)<br />
¨z = −g + 2ωẏ sin λ<br />
Integrieren mit den schon in der Störungsrechnung verwendeten Anfangsbedingungen<br />
liefert:<br />
ẋ = 2ωy cos λ<br />
ẏ = 2ω(z sin λ + x cos λ) + 2ωh sin λ<br />
ż = −gt + 2ωy sin λ
6.6. BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME 119<br />
Durch Einsetzen von ẋ und ż in ÿ erhält man<br />
ÿ + 4ω 2 y = 2ωy sin λ = ct<br />
Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung 2.Ordnung. :-o<br />
Die allgemeine Lösung ist<br />
- die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, das heißt<br />
ÿ + 4ω 2 y = 0<br />
ÿ = −4ω 2 y<br />
y = A sin 2ωt + B cos 2ωt<br />
- und eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung<br />
ÿ + 4ω 2 y = ct<br />
c<br />
y =<br />
4ω 2 t<br />
c<br />
=⇒ y = t + A sin 2ωt + B cos 2ωt<br />
4ω2 Aus den Anfangsbedingungen zur Zeit t=0<br />
x = y = 0 ẋ = ẏ = ż = 0 z = h<br />
folgt B=0 (y=0):<br />
− c<br />
4ω 2 = 2ωA (ẏ = 0)<br />
A = − c<br />
8ω 3<br />
y =<br />
=<br />
c<br />
4ω 2 t − c sin 2ωt<br />
8ω3 (<br />
)<br />
c sin 2ωt<br />
4ω 2 t −<br />
2ω<br />
c = 2ωg sin λ<br />
y = g sin λ<br />
2ω<br />
Einsetzen in ẋ = 2ωy cos λ liefert:<br />
ẋ = g sin λ cos λ<br />
aus den Anfangsbedingungen folgt:<br />
(<br />
t<br />
2<br />
x = g sin λ cos λ<br />
2<br />
(<br />
t −<br />
(<br />
t −<br />
)<br />
sin 2ωt<br />
2ω<br />
)<br />
sin 2ωt<br />
2ω<br />
)<br />
1 − cos 2ωt<br />
−<br />
4ω 2
120 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
In ż = −gt + 2ωy sin λ wird y eingesetzt:<br />
ż =<br />
[ (<br />
)]<br />
g sin λ sin 2ωt<br />
gt + 2ω sin λ t −<br />
2ω 2ω<br />
ż =<br />
(<br />
)<br />
−gt − g sin 2 sin 2ωt<br />
λ t −<br />
2ω<br />
Mit den Anfangsbedingungen integriert liefert dies:<br />
z = h − g 2 t2 + g sin 2 λ<br />
(<br />
t<br />
2<br />
2<br />
)<br />
1 − cos 2ωt<br />
−<br />
4ω 2<br />
Und hier sind die exakten Lösungen noch einmal zusammengefasst:<br />
x =<br />
(<br />
t<br />
2<br />
g sin λ cos λ<br />
2<br />
y = g sin λ (<br />
)<br />
sin 2ωt<br />
t −<br />
2ω 2ω<br />
z = h − g (<br />
t<br />
2 t2 + g sin 2 2<br />
λ<br />
2<br />
Es ergibt sich für die Entwicklung in ωt bei<br />
)<br />
1 − cos 2ωt<br />
−<br />
4ω 2<br />
)<br />
1 − cos 2ωt<br />
−<br />
4ω 2<br />
t 2 2<br />
[ ]<br />
1 − cos 2ωt<br />
−<br />
4ω 2 = t2 1<br />
2 − cos 2ωt<br />
−<br />
4ω2 4ω 2<br />
mit<br />
[<br />
(∗) cos 2ωt = 1 − sin 2 ωt = 1 − 2 ωt − (ωt)3<br />
3!<br />
[<br />
]<br />
!<br />
≃ 1 − 2 ω 2 t 2 − 2 ω4 t 4<br />
6<br />
folgt<br />
≃ 1 − 2ω 2 t 2 − 4ω4 t 4<br />
6<br />
[<br />
(∗)<br />
≃ t2 1<br />
2 − 4ω 2 − 1<br />
]<br />
4ω 2 − 2ω2 t 2<br />
4ω 2 − 4ω4 t 4<br />
6 · 4ω 2<br />
= t2 6 ω2 t 2<br />
x = gt2<br />
6 sin λ cos λ (<br />
ω 2 t 2)<br />
] 2
6.6. BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME 121<br />
Entsprechend:<br />
y = gt2<br />
3<br />
z = h − gt2<br />
2<br />
sin λωt<br />
(<br />
)<br />
1 − cos2 λ<br />
(ωt) 2<br />
3<br />
Berücksichtigt man nur Glieder erster Ordnung in ωt, so ist (ωt) 2 = 0 und<br />
wir erhalten:<br />
x(t) = 0<br />
y(t) = g ωt3<br />
3 sin λ<br />
z(t) = h − g 2 t2<br />
Dies ist identisch mit den Ergebnissen der Störungsrechnung!<br />
Die nichtentwickelten Lösungen für x, y und z sind jedoch exakt!<br />
Die Ostablenkung einer fallenden Masse erscheint zunächst paradox, weil<br />
sich die Erde doch nach Osten dreht, aber man muß bedenken:<br />
Die Masse hat in der Höhe h zur Zeit t = 0 im Inertialsystem aufgrund<br />
der Erdrotation eine größere Geschwindigkeitskomponente ostwärts, als ein<br />
Beobachter auf der Erdoberfläche. Diese “überschüssige” Geschwindigkeit<br />
gen Osten lässt den Stein nach Osten fallen und nicht senkrecht nach unten.<br />
£¥¤<br />
R<br />
¢¡<br />
h<br />
Turm der<br />
Hoehe h<br />
Projektion der<br />
Meridiane<br />
6.6.4 Das Foucaultsche Pendel<br />
Eine einigermaßen vollständige theoretische Beschreibung des Foucaultschen<br />
Pendels enthält einige wichtige neue mathematische Konzepte wie nichtlineare<br />
Differentialgleichungen, komplexe Zahlen, die wir als Handwerkszeug<br />
angeben. Vollständig wird dieses Problem in T1 (Theoretische Mechanik)<br />
behandelt.
122 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
z<br />
Sueden<br />
¦ §£¨¥© ¡£¢¥¤<br />
<br />
£¥<br />
Osten<br />
y<br />
<br />
x<br />
Es gilt ⃗ F = ⃗ T + m⃗g ( ⃗ T ist unbekannte Zugkraft), sowie die Grundgleichung<br />
für bewegte Bezugssysteme:<br />
m¨⃗r = ⃗ F − m d⃗ω<br />
dt<br />
Wegen d⃗ω<br />
dt = 0, sowie ω2 ≃ 0<br />
× ⃗r − 2m⃗ω × ⃗v − m⃗ω × (⃗ω × ⃗r)<br />
m¨⃗r = ⃗ T + m⃗g − 2m⃗ω × ⃗v<br />
Dabei führt 2m⃗ω × ⃗v, die Corioliskraft zu einer Drehung der Schwingungsebene.<br />
( ) ( ) ( )<br />
⃗T = ⃗T · e ⃗′ x ⃗e ′ x + ⃗T · e ⃗′ y ⃗e ′ y + ⃗T · e ⃗′ z ⃗e ′ z<br />
⃗ω × ⃗v =<br />
T x<br />
T = −x l<br />
∣<br />
⃗e ′ x<br />
T y<br />
T = −y l<br />
⃗e ′ y<br />
⃗e ′ z<br />
−ω sin λ 0 ω cos λ<br />
ẋ ẏ ż<br />
∣<br />
T z<br />
T = −l − z<br />
l<br />
= − cos λẏ ⃗ e ′ x + ω (cos λẋ + sin λż) ⃗ e ′ y − ω sin λẏ ⃗ e ′ z<br />
mit m⃗g = −mg ⃗ e ′ z und allem eingesetzt ergibt sich ein gekoppeltes System<br />
von Differentialgleichungen:<br />
mẍ = − x T + 2mω cos λẏ<br />
l<br />
mÿ = − y T − 2mω (cos λẋ + sin λż)<br />
l<br />
m¨z = l − z T − mg + 2mω sin λẏ<br />
l<br />
Zur Eliminierung von T machen wir folgende Näherung:<br />
Der Pendelfaden soll sehr lang sein, das Pendel soll aber nur mit<br />
einer kleinen Amplitude schwingen.
6.7. KOMPLEXE ZAHLEN 123<br />
=⇒ x l ≪ 1 y<br />
l ≪ 1<br />
z<br />
l ≪≪ 1<br />
Der Massenpunkt bewegt sich in der x-y-Ebene, deshalb gilt:<br />
l − z<br />
l<br />
= 1 und m¨z = 0<br />
=⇒ T = mg − 2mω sin λẏ<br />
Wir setzen ein in ẍ und ÿ und teilen durch die Masse m:<br />
ẍ = − g l<br />
ÿ = − g l<br />
2ω sin λ<br />
x + xẏ + 2ω cos λẏ<br />
l<br />
2ω sin λ<br />
y + yẏ + 2ω cos λẋ<br />
l<br />
Dies ist ein System nichtlinearer Differentialgleichungen. Nichtlinear heißen<br />
sie deshalb, weil die Glieder xẏ und yẏ auftreten. Da die Produkte der kleinen<br />
Zahlen ω, x, ẏ, beziehungsweise ω, y, ẏ gegenüber den anderen Termen<br />
verschwindend klein sind haben wir<br />
ẍ = g x + 2ω cos λẏ<br />
l<br />
ÿ = g y + 2ω cos λẋ<br />
l<br />
Diese linearen, gekoppelten Differentialgleichungen<br />
beschreiben die Schwingungen eines Pendels unter<br />
Einfluß der Corioliskraft in guter Näherung.<br />
Zur Lösung brauchen wir komplexe Zahlen.<br />
6.7 Komplexe Zahlen<br />
Definition 26 (Imaginäre Zahlen) Die Zahl i ist die Einheit der imaginären<br />
Zahlen; sie hat die Eigenschaft:<br />
i 2 = −1<br />
i entspricht dabei der 1 bei den reellen Zahlen.<br />
Das Quadrat positiver wie negativer reeller Zahlen ist immer eine positive<br />
reelle Zahl:<br />
3 2 = (−3) 2 = 9
124 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
Die Wurzel aus einer positiven Zahl ist daher positiv oder negativ. Im Vergleich<br />
dazu liefert das Quadrat der imaginären Zahl eine negative Zahl.<br />
Die allgemeine Form einer imaginären Zahl ist:<br />
z = y · i<br />
√<br />
−5 =<br />
√<br />
5(−1) = √ 5 √ −1<br />
Aus i 2 = −1 folgt i = √ −1 =⇒ √ −5 = √ 5·i Die Wurzel aus einer negativen<br />
Zahl ist eine imaginäre Zahl! Es gilt mit i 2 = −1<br />
i 3 = i 2 · i = −i<br />
i 4 = i 2 · i 2 = 1<br />
Definition 27 (Komplexe Zahl)<br />
x heißt Realteil von z: Re(z)<br />
y heißt Imaginärteil von z: Im(z)<br />
z = x + iy<br />
Der Imaginärteil ist reell!<br />
Eine imaginäre Zahl entsteht durch das Produkt iy.<br />
Definition 28 (Komplex konjugierte Zahl)<br />
z ∗ = x − iy<br />
Eine komplexe Zahl ist nur dann Null, wenn Real- und Imaginärteil gleichzeitig<br />
Null sind.<br />
Rechenregeln<br />
Addition z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 )<br />
= (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 )<br />
Subtraktion z 1 − z 2 = (x 1 − x 2 ) + i(y 1 − y 2 )<br />
Multiplikation z 1 z 2 = x 1 x 2 − y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 )<br />
Division<br />
( )<br />
z 1 x1 + iy 1<br />
z 2<br />
=<br />
= x 1 + iy 1 x 2 − iy 2<br />
x 2 + iy 2 x 2 + iy 2 x 2 − iy 2<br />
= x 1x 2 y 1 y 2 + i(y 1 x 2 − x 1 y 2 )<br />
x 2 2 + y2 2<br />
Erweiterung mit komplex konjugierter<br />
des Nenners, dann Ausmultiplizieren
¡<br />
6.7. KOMPLEXE ZAHLEN 125<br />
6.7.1 Gaussche Zahlenebene<br />
Im(z)<br />
y<br />
y<br />
y<br />
r<br />
x<br />
P(z)=(x,y)<br />
P(z)<br />
y<br />
Re(z)<br />
x<br />
x<br />
Zu jeder komplexen Zahl z<br />
gibt es genau einen Punkt<br />
P (z) in der Gausschen Zahlenebene.<br />
Wir können den Punkt P (z)<br />
auch durch seinen Abstand r<br />
vom Ursprung und durch den<br />
Winkel α festlegen.<br />
x = r cos α ∧ y = r sin α<br />
⇓<br />
z = r(cos α + i sin α)<br />
z ∗ = r(cos α − i sin α)<br />
Es gilt<br />
r 2 = x 2 + y 2 =⇒ r =<br />
√<br />
x 2 + y 2<br />
r heißt der Betrag der komplexen Zahl z: |z| = r. Weiterhin gilt:<br />
tan α = y x<br />
cot α = x y<br />
α = arctan y x<br />
tan<br />
1<br />
£ ¤ ¥<br />
¢<br />
1/2 3/2 2<br />
α heißt das Argument der komplexen<br />
Zahl, läuft von 0 bis 2π und dessen<br />
Vorzeichen bestimmt den Quadranten.<br />
Aber Achtung:<br />
Die Tangensfunktion ist periodisch<br />
mit der Periode π, deshalb liefert sie<br />
zwei Werte für 0 ≤ α ≤ 2π!
126 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
6.7.2 Exponentialfunktion einer komplexen Zahl<br />
Eulersche Formel:<br />
Ansatz:<br />
Beweis: Taylorentwicklung von e x<br />
z = re iα = r(cos α + i sin α)<br />
=⇒ e iα = (cos α + i sin α)<br />
e x = 1 + x + x2<br />
2! + x3<br />
3! + x4<br />
4! + x5<br />
5! + · · ·<br />
e iα = 1 + iα − α2<br />
2! − iα3 3! + α4<br />
4! + iα5 5! ± · · ·<br />
cos α = 1 − α2<br />
2! + α4<br />
4! ± · · ·<br />
i sin α = iα − i α3<br />
3! + iα5 5! ± · · ·<br />
=⇒ cos α + i sin α = 1 + iα − α2<br />
2! − iα3 3! + α4<br />
4! + iα5 5! ± · · ·<br />
Die Euler Formel ist also:<br />
Wichtige spezielle Fälle:<br />
Und ganz allgemein:<br />
e iα = cos α + i sin α<br />
e −iα = cos α − i sin α<br />
cos α = 1 (<br />
2 e iα + e −iα)<br />
sin α = 1 (<br />
2i e iα − e −iα)<br />
re iα = re i(α+2kπ) k = ±1, ±2, ±3, . . .<br />
Zurück zur Lösung der Differentialgleichung:<br />
ẍ = − g x + 2ω cos λẏ<br />
l<br />
ÿ = − g y + 2ω cos λẋ<br />
l<br />
Wir definieren zunächst zwei Abkürzungen:<br />
k 2 = g l<br />
∧<br />
ω cos λ = α
6.7. KOMPLEXE ZAHLEN 127<br />
Die Multiplikation von ÿ mit i = √ −1 ergibt:<br />
ẍ = −k 2 x − 2αi 2 ẏ<br />
iÿ = −k 2 iy − 2αiẋ<br />
ẍ + iÿ = −k 2 (x + iy) − 2αi(ẋ + iẏ)<br />
Und wir führen die nächste Abkürzung ein: u = x + iy<br />
ü = −k 2 u − 2αi ˙u oder ü + 2αi ˙u + k 2 u = 0<br />
Diese Gleichung wird durch den sich bei allen Schwingungsvorgängen bewährten<br />
Ansatz Ce γt gelöst. γ wird durch Einsetzen der Ableitungen bestimmt:<br />
Cγ 2 e γt + 2αiCγe γt + k 2 Ce γt = 0<br />
oder<br />
γ 2 + 2iαγ + k 2 = 0<br />
Die beiden Lösungen sind<br />
γ 1,2 = −iα ± ik<br />
√<br />
1 + α2<br />
k 2<br />
Da α 2 = ω 2 cos 2 λ ist, und weiterhin ω2<br />
k 2 klein gegen 1:<br />
ω 2<br />
k 2<br />
= T 2 P endel<br />
T 2 Erde<br />
≪ 1<br />
=⇒ γ 1,2 = −iα ± ik<br />
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ü + 2αi ˙u + k 2 u = 0 ist:<br />
u = Ae γ 1t + Be γ 2t<br />
A und B sind durch die Anfangsbedingungen festgelegt, sie sind selbstverständlich<br />
komplex, so daß man die Gleichung auch schreiben kann als<br />
u = (A 1 + iA 2 ) e −i(α−k)t + (B 1 + iB 2 ) e −i(α+k)t<br />
Bemühen wir noch die Euler-Formel, so kommt dabei folgendes heraus:<br />
x + iy = (A 1 + iA 2 ) (cos[α − k]t − i sin[α − k]t)<br />
+ (B 1 + iB 2 ) (cos[α + k]t − i sin[α + k]t)
128 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN<br />
Nach Trennung von Real- und Imaginärteil folgt daraus<br />
x = A 1 cos(α − k)t + A 2 sin(α − k)t<br />
+B 1 cos(α + k)t + B 2 sin(α + k)t<br />
mit den Anfangsbedingungen<br />
y = A 1 sin(α − k)t + A 2 cos(α − k)t<br />
+B 1 sin(α + k)t + B 2 cos(α + k)t<br />
x 0 = 0<br />
y 0 = L<br />
x˙<br />
0 = 0<br />
y˙<br />
0 = 0<br />
Das heißt, das Pendel wird um die Strecke L nach Osten ausgelenkt und<br />
bei t = 0 losgelassen. Mit x 0 = 0 folgt B 1 = −A 2 . Die sich damit aus y<br />
ergebende Differenz ergibt, durch Einsetzen von x˙<br />
0 = 0:<br />
und da α ≪ k =⇒ B 2 = A 2 . Ergo:<br />
B 2 = A 2<br />
(k − α)<br />
k + α<br />
x = A 1 cos(α − k)t + A 2 sin(α − k)t<br />
−<br />
A 1 cos(α − k)t + A 2 sin(α + k)t<br />
y = A 1 sin(α − k)t + A 2 cos(α − k)t<br />
+ A 1 sin(α − k)t + A 2 cos(α + k)t<br />
Unter Berücksichtigung von y 0 = L und y˙<br />
0 = 0 folgt aus y˙<br />
0 = 0<br />
sowie aus y 0 = L<br />
−A 1 (α − k) + A 1 (α + k) = 0 =⇒ A 1 = 0<br />
so daß sich insgesamt ergibt:<br />
2A 2 = L =⇒ A 2 = L 2<br />
x = L 2 sin(α − k)t + L 2<br />
sin(α + k)t<br />
y = L 2 cos(α − k)t + L 2<br />
cos(α + k)t<br />
Unter Berücksichtigung des folgenden Zusammenhangs<br />
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y<br />
cos(x ± y) = cos x cos y ± sin x sin y
6.7. KOMPLEXE ZAHLEN 129<br />
folgt dann<br />
x = L sin αt cos kt<br />
y = L cos αt cos kt<br />
oder, formuliert als Vektorgleichung<br />
⃗r = L cos kt (sin(αt)⃗e x + cos(αt)⃗e y )<br />
6.7.3 Diskussion<br />
z<br />
¡<br />
y<br />
x<br />
Der erste Faktor beschreibt die Bewegung eines Pendels, das mit der Amplitude<br />
L und der Frequenz k =<br />
√ g<br />
l<br />
schwingt.<br />
Der zweite Faktor ist ein Einheitsvektor ⃗n, der mit der Frequenz α = ω cos λ<br />
rotiert und die Drehung der Schwingungsebene beschreibt.<br />
⃗r = L cos kt⃗n(t)<br />
⃗n(t) = sin αt⃗e x + cos αt⃗e y<br />
Für die Nordhalbkugel ist cos λ > 0<br />
und nach kurzer Zeit cos αt > 0<br />
sin αt > 0<br />
=⇒ Schwingungsebene dreht sich im Uhrzeigersinn<br />
Und für die Südhalbkugel cos λ < 0<br />
=⇒ Drehung gegen die Uhr.<br />
Insgesamt ergeben sich Rosettenbahnen!
130 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
Pantra rhei<br />
Alles fließt<br />
Heraklit<br />
Kapitel 7<br />
Hydrodynamik<br />
7.1 Ruhende Flüssigkeiten und Gase<br />
Hydrostatik und Aerostatik Die Einzelteile eines makroskopischen Körpers<br />
sind gegeneinander verschiebbar; man unterscheidet:<br />
• Formveränderungen ohne Volumenänderung wie beispielsweise Scherungen,<br />
Biegungen, Drillungen,. . .<br />
• Formveränderungen mit Volumenänderung wie Kompressionen, Dilatationen,.<br />
. .<br />
Feste Körper wehren sich gegen beide Arten der Formveränderung; sie<br />
kehren sobald die Beanspruchung aufhört wieder in ihren ursprünglichen<br />
Zustand zurück. Man sagt sie seien Form- und Volumenbeständig. Erst wenn<br />
die Beanspruchung bestimmte Grenzen überschreitet beginnt das plastische<br />
Fließen, daß schlußendlich zum Bruch führt.<br />
Flüssigkeiten<br />
Form:<br />
haben ein bestimmtes Volumen – aber keine bestimmte<br />
- nur eine Volumenänderung erfordert Kräfte<br />
- es herrscht Volumenelastizität; dies bedeutet:<br />
Bei Entlastung nach einer Kompression stellt sich das Anfangsvolumen<br />
wieder ein.<br />
131
¡<br />
132 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
Gase<br />
erfüllen jeden verfügbaren Raum, das bedeutet:<br />
- keine Formelastizität<br />
- viel kompressibler als flüssige oder feste Körper<br />
Festkörper und Flüssigkeiten zählen zu den kondensierten Körpern, sowie<br />
Flüssigkeiten und Gase zu den fluiden Körpern. Dazwischen befinden sich<br />
die amorphen Stoffe, welche weder richtig fest noch flüssig sind wie beispielsweise<br />
Teer oder auch Glas. Eine quantitative Erklärung der einzelnen<br />
Phänomene erfolgt später in der Festkörper- und Atomphysik.<br />
Flüssigkeitsmoleküle sind nicht an Gleichgewichtslagen gebunden, sie sind<br />
gegeneinander seitlich verschiebbar aber nicht ganz frei, denn Reibungskräfte<br />
behindern die Bewegung. Die Dichten in Flüssigkeiten und festen Stoffen<br />
sind nicht allzu verschieden. Im Gegensatz dazu stehen die Gase (nicht<br />
zu grosser Dichte): In ihnen können die Kräfte zwischen den Molekülen<br />
vernachlässigt werden, ausser im Moment des Zusammenstoßes zweier Moleküle.<br />
=⇒ Gasmoleküle bewegen sich völlig ungeordnet<br />
Bei “normalen” Drücken und Temperaturen haben Gase Dichten, die 10 3 mal<br />
kleiner sind als die kondensierter Materie.<br />
7.1.1 Gestalt von Flüssigkeitsoberflächen<br />
Flüssigkeitsteilchen verschieben sich leicht tangential zur Oberfläche, sobald<br />
entsprechende Kräfte wirken. Ein Gleichgewicht kann nur bestehen, wenn<br />
die Oberfläche überall senkrecht zu den Kräften steht. Im homogenen Schwerefeld<br />
ist die Oberfläche horizontal. Kommt jedoch ein Zentrifugalfeld hinzu,<br />
so wird die Oberfläche ein Rotationsparaboloid, dessen Achse mit der Drehachse<br />
zusammenfällt.<br />
y<br />
x<br />
¢¤£¦¥¨§<br />
mg<br />
Man kann den Neigungswinkel α als Funktion des Abstandes x beschreiben:<br />
tan α = mω2 x<br />
mg<br />
= ω2 x<br />
g<br />
x
7.1. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE 133<br />
Andererseits gilt auch<br />
dy<br />
dx = tan α<br />
Dies ist die Steigung der Geraden, oder anders ausgedrückt die Neigung der<br />
Oberfläche gegen die Waagrechte. Beide Gleichungen lassen sich über den<br />
Tangens gleichsetzen:<br />
dy<br />
dx = ω2 x<br />
g<br />
über eine Trennung der Variablen ergibt sich<br />
∫<br />
∫<br />
dy = ω2<br />
xdx<br />
g<br />
∫<br />
y = ω2<br />
xdx<br />
g<br />
= 1 ω 2<br />
2 g x2 + C<br />
Für x = 0 soll gelten y = 0, woraus sich C = 0 ergibt<br />
7.1.2 Der Druck<br />
F<br />
A<br />
p<br />
Die Einheit des Drucks ist<br />
y = 1 ω 2<br />
2 g x2<br />
Greift an einer Fläche A die Kraft F flächenhaft<br />
und senkrecht an, so heißt das Verhältniss von<br />
Kraft zu Fläche Druck:<br />
p = F A<br />
[p] = 1Nm −2<br />
= 1Pascal<br />
= 10 −5 bar<br />
Ein bar ist der normale Atmosphärendruck und 1 ATM entspricht 1013<br />
mbar.<br />
Anmerkungen
134 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
• Der Druck ist kein Vektor!<br />
Soweit man von der Abhängigkeit des Drucks vom Gewicht der Flüssigkeit<br />
absehen kann gilt der Satz von der allseitigen Gleichheit des<br />
Druckes (Isotrophie).<br />
• An jeder Stelle der Wand und im Inneren der Flüssigkeit ist der Druck<br />
der Gleiche.<br />
• Bei ruhenden Flüssigkeiten ist die Kraft senkrecht zur Wand.<br />
Ein Anwendungsbeispiel ist die hydraulische Presse:<br />
Auf den kleinen Stempel wirkt die bekannte<br />
Kraft F; außerdem ist weiterhin die<br />
Fläche des kleinen und großen Stempels<br />
bekannt. Somit ist der Druck:<br />
©<br />
¦¨§<br />
£¥¤<br />
p = F 1<br />
¢¡<br />
p<br />
p<br />
A 1<br />
Beide Druckkammern stehen in Verbindung; somit gilt:<br />
Und aufgelöst:<br />
F 2<br />
F 1<br />
= A 2<br />
A 1<br />
F 2 = pA 2 = F 1<br />
A 2<br />
A 1<br />
7.1.3 Druckkraft<br />
Auf das Volumen dV = dxdydz innerhalb einer Flüssigkeit möge von der<br />
linken Seite, oder dem linken Flächenelement dydz her der Druck p wirken.<br />
Eine Druckänderung in x-Richtung bewirkt einen entsprechenden Druck p+<br />
∂p<br />
∂x<br />
dx auf die Gegenfläche.<br />
<br />
z<br />
y<br />
x<br />
p<br />
dz<br />
Die Kraft in x-Richtung ist<br />
F x = pdydz −<br />
dx<br />
dy<br />
(<br />
p + ∂p<br />
∂x dx )<br />
dydz = − ∂p<br />
∂x dV
7.1. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE 135<br />
Dies ergibt zusammengefasst für alle drei Seiten des Quaders<br />
⃗F Druck = − ⃗ ∇p · dV<br />
Aus ⃗ ∇p = ⃗0 folgt damit ⃗ F Druck = ⃗0. Der Druck ist konstant im ganzen<br />
Volumen, auf jedes Flächenelement dA der umgebenden Wände wirkt in<br />
einer ruhenden Flüssigkeit derselbe Druck.<br />
7.1.4 Druckarbeit<br />
Eine hydraulische Presse spart zwar Kraft, aber keine Arbeit!<br />
Wir verdeutlichen uns diesen Zusammenhang: Schieben wir den Kolben um<br />
dx 1 vor, ohne daß die Kraft F 1 wesentlich geändert werden müsste, so ist<br />
die geleistete Arbeit am Kolben 1:<br />
dW = F 1 dx 1 = pA 1 dx 1 = pdV<br />
mit dem Fluidvolumen dV = dx 1 A 1 , das verschoben wurde. Am Kolben<br />
2 wird die gleiche Arbeit geleistet, denn der Eintritt dieses Volumens dV<br />
verschiebt den grösseren Kolben nur um<br />
dx 2 = dV<br />
A 2<br />
Allgemein erfordert eine Volumenabnahme −dV unter einem fast konstanten<br />
Druck p die Arbeit<br />
dW = −pdV<br />
7.1.5 Schweredruck<br />
Eine Flüssigkeitssäule mit der Höhe h und dem Querschnitt A hat das Gewicht<br />
F = gϱhA und übt daher den Druck<br />
p = F A = gϱh<br />
aus. Der Bodendruck ist dabei unabhängig von der Form des Gefässes (vergleiche:<br />
Hydrostatisches Paradoxon).<br />
7.1.6 Kommunizierende Röhren<br />
Zwei Flüssigkeiten mit den Dichten ϱ 1 und ϱ 2 stehen in den Schenkeln eines<br />
U-Rohres. An jedem Rohrquerschnitt (zum Beispiel ganz unten), muss der<br />
Druck p = ϱgh beiderseits gleich sein, damit ein Gleichgewicht herrscht.<br />
Bei ϱ 1 = ϱ 2 ist das der Fall, wenn beide Schenkel gleich hoch gefüllt sind –<br />
unabhängig von Form und Querschnitt!
136 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
Bei verschiedenen Dichten verhalten sich die Höhen umgekehrt wie diese,<br />
beispielsweise Wasser und Quecksilber:<br />
h H2 O<br />
h Hg<br />
= ϱ Hg<br />
ϱ H2 O<br />
= 13, 6<br />
Zu beachten:<br />
H 2 O kriecht an Hg vorbei, weil Hg die Wand nicht benetzt.<br />
7.1.7 Auftrieb<br />
Ein Zylinder oder Prisma, ganz in eine Flüssigkeit der Dichte ϱ getaucht,<br />
erfährt auf seine Grundfläche eine Kraft<br />
F 2 = gϱh 2 A<br />
und auf die obere Deckfläche wirkt die Kraft<br />
F 1 = ϱgh 1 A<br />
Die Differenz<br />
¢¡<br />
¦¨§<br />
A<br />
F A = F 2 − F 1<br />
= gϱ (h 2 − h 1 ) A = gϱV<br />
©<br />
A<br />
£¥¤<br />
die den Körper nach oben schiebt, der<br />
Auftrieb, ist also gerade das Gewicht<br />
der verdrängten Flüssigkeit. Die Kräfte<br />
auf die Seitenflächen heben sich auf –<br />
auch bei beliebigen Formen.<br />
Anmerkung:<br />
Eigentlich greift der Auftrieb über die Oberfläche verteilt an, man kann<br />
aber auch eine Einzelkraft einführen, die im Schwerpunkt der verdrängten<br />
Flüssigkeit angreift. (“Gleichgewichtsbetrachtung”)<br />
7.1.8 Schwimmen<br />
Ein Körper vom Gewicht F G , homogen oder nicht, erfahre ganz eingetaucht<br />
den Auftrieb F A .<br />
F A = F G schwebt er im indifferenten Gleichgewicht,<br />
Bei F A < F G sinkt er<br />
F A > F G schwimmt er (Ein Teil ragt über die Oberfläche.)
7.1. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE 137<br />
7.1.9 Druck<br />
Bei einem nicht zu dichten oder zu kalten Gas sind Druck und Volumen<br />
umgekehrt proportional zueinander:<br />
V ∼ p −1 ∧ V ∼ ϱ −1<br />
Aus beiden Bedingungen lässt sich das Gesetz von Boyle-Mariotte herleiten:<br />
p<br />
ϱ = const<br />
Der Atmosphärendruck ist gleich dem Luftdruck und dieser wiederum ist<br />
überall 1atm oder 1,013bar. Dieser Druck kommt wie der Schweredruck in<br />
einer Flüssigkeit zustande, als Quotient von Gewicht und Fläche der gesamten<br />
Erdatmosphäre.<br />
Wäre die Luft überall so dicht wie in Meereshöhe, dann könnte die Atmosphäre<br />
nur bis zur Höhe<br />
H = p<br />
ϱg = 1, 013 N m 2<br />
9, 81kg m s 2 1, 29 kg<br />
m 3<br />
≃ 8km<br />
reichen; dann würde aber der “Mount Everest” bereits ins Leere ragen. Bei<br />
einem Kilometer Anstieg würde der Druck immer um 127mbar abnehmen,<br />
während ϱ konstant bliebe.<br />
Bei konstanter Temperatur muss aber nach Boyle-Mariotte die Dichte proportional<br />
zum Druck mit der Höhe abnehmen. Ergo:<br />
p = gϱh<br />
gilt nur in einer dünnen Schicht der Dicke dh; beim Anstieg um dh ändert<br />
sich der Druck um<br />
dp = −gϱdh (zwei Variable ϱ und p)<br />
mit dem Gesetz von Boyle-Mariotte ergibt sich<br />
p<br />
ϱ = p 0<br />
ϱ 0<br />
=⇒ dp<br />
dh = −g ϱ 0<br />
p 0<br />
p<br />
Dabei sind p 0 und ϱ 0 die jeweiligen Werte auf Meereshöhe.<br />
Die Ableitung der Funktion p(h) ist bis auf den Faktor −g ϱ 0<br />
p 0<br />
gleich der<br />
Funktion selbst. Es handelt sich also um eine Exponential-Funktion:<br />
p(h) = p 0 e −g ϱ 0 h<br />
p 0
138 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
mit der Skalenhöhe<br />
H = p 0<br />
ϱ 0<br />
g = 8005m (bei 0 ◦ C)<br />
p(h) = p 0 e − h H<br />
barometrische<br />
Höhenformel<br />
Bei einem Anstieg von acht Kilometern nehmen also Druck und Dichte nicht<br />
auf Null ab wie bei der “homogenen Atmosphäre”, sondern um den Faktor<br />
e −1 = 0, 386. Eine scharfe obere Grenze der Atmosphäre gibt es nicht.<br />
7.1.10 Oberflächenspannung<br />
- Tropfen auf fettiger Unterlage −→ nimmt Kugelform an<br />
- Wasserläufer überm See<br />
- Enten, die im eiskalten Wasser nicht frieren<br />
Dann zeigt sich, dass eine Flüssigkeit eine Art Haut hat, deren Spannung in<br />
sehr kleinem Maßstab der Schwerkraft entgegenwirkt.<br />
Jede gespannte Haut hat minimale Energie, wenn ihre Fläche minimal wird<br />
Oberflächenenergie ∼ Oberfläche<br />
W Ob = σA<br />
σ: spezifische Oberflächenspannung<br />
Bei gegebenem Volumen hat eine Kugel die kleinste Oberfläche, deshalb sind<br />
Tröpfchen eben kugelig.<br />
Die Beine der Wasserläufer oder Enten sind gut eingefettet, das heißt nicht<br />
benetzbar (Waschpulver senkt die Oberflächenspannung =⇒ macht fettige<br />
Flächen benetzbar!).<br />
Die Oberflächenenergie ist Teil der Anziehungsenergie zwischen den Flüssigkeitsmolekülen.<br />
Befindet sich ein Molekül tief in der Flüssigkeit, so ist die auf<br />
es wirkende Gesamtkraft Null. Die Reichweite der Oberflächenspannung beträgt<br />
10 −9 m. Befinden sich Moleküle an der Oberfläche, so sind die Kräfte<br />
einseitig; es bleibt eine resultierende Kraft zur Flüssigkeit hin. Um sie zu<br />
überwinden und das Molekül ganz an die Oberfläche zu bringen braucht<br />
man Energie.<br />
Betrachten wir einmal nur die Molekularkräfte zwischen Nachbarn, so halten<br />
ein Molekül<br />
• 12 Bindungen im Innern der Flüssigkeit<br />
• 9 Bindungen an der Oberfläche
7.2. STRÖMUNGEN 139<br />
Daraus folgt, daß die Oberflächenenergie pro Molekülquerschnitt ∼ 1 4 der<br />
Energie ist, die nötig ist das Molekül ganz aus der Flüssigkeit zu befreien,<br />
das heißt 1 4 Verdampfungsenergie.<br />
Bügelversuch<br />
Die Oberflächenenergie bewirkt durch die Seifenhaut eine Kraft auf den<br />
Bügel der Seitenlänge b. Sie ziehe den Bügel um δs aufwärts.<br />
=⇒ Die Oberflächenenergie steigt um 2bδs. (Der Bügel hat zwei Seiten,<br />
deshalb der Faktor zwei.)<br />
∆W = F · ∆s<br />
=⇒ F = 2bσ<br />
An jedem Rand einer Oberfläche zieht also eine Kraft nach innen, die gleich<br />
σ mal der Randlänge ist.<br />
σ ist sehr empfindlich gegen winzige Verunreinigungen.<br />
7.2 Strömungen<br />
Bisher haben wir Flüssigkeiten betrachtet, die als Ganzes ruhen; die Behandlung<br />
der dort auftretenden Phänomene ist Aufgabe der Hydrostatik;<br />
eine thermische Bewegung der Moleküle ist vernachlässigbar.<br />
Eine vollständige Behandlung der makroskopischen Bewegung von Flüssigkeiten<br />
und Gasen erfordert die Kenntnis aller Kräfte, die auf ein Volumenelement<br />
∆V mit der Masse ∆m = ∆V · ϱ wirken.<br />
Druckkräfte<br />
∼ ⃗ ∇p<br />
Schwerkraft ∼ ∆m⃗g (vertikale Strömung)<br />
Reibungskräfte ∼ U Strom (r) (Geschwindigkeitsprofil)<br />
Ist im allgemeinen alles Newton oder was?<br />
7.2.1 Grundbegriffe<br />
⃗F = ∆m¨⃗r = ⃗ F p + ⃗ F g + ⃗ F R = ϱ∆V d⃗v<br />
dt<br />
kontinuierliches Geschwindigkeitsfeld ⃗u (⃗r, t)<br />
stationäre Strömung ⃗u (⃗r)<br />
Es ist zeitlich konstant, aber nicht räumlich!<br />
Begriffskiste Demtröder Seite 222<br />
Stromlinie, Stromfäden, Stromröhre, . . .
140 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
Ideale Flüssigkeit<br />
Keine Reibung und keine Dissipation. Beispiele:<br />
• ”trockenes Wasser“<br />
• Luftumströmte Tragflächen<br />
• viele astronomische Strömungen, . . .<br />
zähe Flüssigkeit<br />
Starke Reibung. Beispiele:<br />
• Dissipation<br />
• Honig, . . .<br />
reale Flüssigkeit<br />
Sie ist idealzäh.<br />
laminare Strömungen<br />
Die Stromfäden sind geschichtet, nicht gerührt!<br />
turbulente Strömungen<br />
Verrührt, verwirbelt, . . .<br />
Der Newton der Hydrodynamik heisst Euler!<br />
Euler-Gleichung ≡ ⃗ F = m⃗a| Flüssigkeit<br />
⃗F = m⃗a = m d⃗v<br />
dt<br />
Dies ist eine lineare Differentialgleichung nach Newton.<br />
Geschwindigkeiten in Flüssigkeiten sind lokal und global. Im Intervall dt legt<br />
ein Flüssigkeitsvolumen mit der Geschwindigkeit ⃗u (⃗r, t) den Weg d⃗r = ⃗udt<br />
zurück. Es kommt vom Ort ⃗r zum Ort ⃗r + ⃗udt.<br />
Aber Achtung: ⃗u kann sich von Ort zu Ort und von Zeit zu Zeit ändern.<br />
⃗u + d⃗u = ⃗u (⃗r + ⃗udt, t + dt)<br />
du x<br />
dt<br />
= ∂u x<br />
dt + ∂u x dx<br />
∂x dt + ∂u x dy<br />
∂y dt + ∂u x dz<br />
∂z dt<br />
Oder kürzer:<br />
d⃗u<br />
dt = ∂⃗u<br />
∂t<br />
(⃗u + · ⃗∇<br />
)<br />
⃗u<br />
Durch das Nabla erhalten wir einen Zusammenhang ∼ u 2 dies bedeutet<br />
Nichtlinearität und bereitet stets Probleme. Der Term setzt sich aus zwei<br />
Summanden zusammen, denen folgende Bedeutung zukommt:
7.2. STRÖMUNGEN 141<br />
(<br />
⃗u · ⃗∇<br />
)<br />
⃗u<br />
∂⃗u<br />
∂t ≠ ⃗0<br />
Dies ist die Konvektionsbeschleunigung; sie tritt auch bei<br />
stationären Strömungen auf.<br />
für nichtstationäre Strömungen<br />
Damit ergibt sich die<br />
d⃗u<br />
dt<br />
Euler-Gleichung<br />
= ∂⃗u<br />
∂t<br />
(⃗u + · ⃗∇<br />
)<br />
⃗u = ⃗g − 1 ⃗ ϱ∇p<br />
↑<br />
↑<br />
Schwer- Druckkraft<br />
kraft<br />
Sie ist eine Bewegungsgleichung und gilt für ideale Flüssigkeiten, das heißt<br />
sie müssen reibungsfrei sein. Für die Massenerhaltung (rein=raus) ist die<br />
Kontinuitätsgleichung zuständig; das Volumen V enthält zur Zeit t die Masse<br />
∫<br />
M = ϱdV<br />
V olumenintegral<br />
V<br />
Die zeitliche Änderung der Masse ist beim Ausströmen<br />
∂M<br />
= − ∂ ∫<br />
ϱdV<br />
∂t ∂t<br />
∫<br />
= −<br />
V<br />
V<br />
∂ϱ<br />
∂t dV<br />
Die zeitliche Änderung der Masse beim Ausströmen lässt sich auch durch ein<br />
Oberflächenintegral berechnen. Pro Zeiteinheit strömt aus einer Oberfläche<br />
S die Masse<br />
− ∂M ∂t<br />
= ∫ ϱ⃗u · d⃗s = ∫ ⃗j · d⃗s<br />
S<br />
S<br />
d⃗s<br />
⃗j=ϱ⃗u<br />
Oberflaechenelement<br />
Stromdichte<br />
Na und jetzt? Da war doch was?! – Genau: Gauss (Oberflächenintegral −→<br />
Volumenintegral)<br />
− ∂M ∮<br />
∫<br />
= ϱ⃗ud⃗s = ⃗∇ · (ϱ⃗u) dV<br />
∂t<br />
S<br />
V<br />
↑<br />
Divergenz
142 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
Gleichsetzen und umformen liefert:<br />
∫ [ ]<br />
∂ϱ<br />
∂t + ∇ ⃗ · (ϱ⃗u) dV = 0<br />
Da das für alle Volumina gelten muss<br />
V<br />
Kontinuitätsgleichung<br />
−→ Massenerhaltung<br />
∂ϱ<br />
∂t + ⃗ ∇ · (ϱ⃗u) = 0<br />
Gilt für Gase und Flüssigkeiten<br />
Für inkompressible Fluide gilt weiterhin<br />
∂ϱ<br />
∂t<br />
= 0 bzw. ϱ = const<br />
Damit ergibt sich die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Flüssigkeiten:<br />
⃗∇ · ⃗u = 0<br />
Sie gilt für u < Schallgeschwindigkeit; denn für u > Schallgeschwindigkeit,<br />
wie sie beispielsweise bei Überschallflugzeugen auftreten, bilden sich Schockwellen:<br />
Das Gas wird komprimiert und der Überschallknall entsteht.<br />
7.2.2 Die Bernoulli-Gleichung<br />
£¥¤<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
¦¨§©<br />
¨¥<br />
¢¡<br />
Die Energieerhaltung in idealen Flüssigkeiten wird von der Bernoulli-Gleichung<br />
beschrieben.<br />
∆V 1 = A 1 ∆x 1 ∧ ∆V 2 = A 2 ∆x 2
7.2. STRÖMUNGEN 143<br />
Eine Flüssigkeit ströme durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt.<br />
=⇒ Die Strömungsgeschwindigkeit muss aufgrund der Kontinuitätsgleichung<br />
größer werden.<br />
Ergo: Die Flüssigkeit wird dort beschleunigt.<br />
=⇒ Die kinetische Energie steigt, woraus wiederum eine<br />
Druckabnahme folgt.<br />
Beweis:<br />
Die Arbeit um das Flüssigkeitsvolumen ∆V 1 = A 1 ∆x 1 durch die<br />
Fläche A 1 um ∆x 1 gegen den Druck p 1 zu bewegen ist<br />
Und analog im engen Teil<br />
∆W 1 = ∆V 1 · p 1<br />
∆W 2 = ∆V 2 · p 2<br />
Durch diese Arbeit wird die potentielle Energie geändert:<br />
E kin = 1 2 ∆mu2 = 1 2 ϱu2 ∆V<br />
Für ideale (sprich: reibungsfreie) Flüssigkeiten gilt<br />
E kin + E pot = const<br />
p 1 ∆V 1 + 1 2 ϱu2 1∆V 1 = p 2 ∆V 2 + 1 2 ϱu2 2∆V 2<br />
Für inkompressible Flüssigkeiten ist ϱ = const, deshalb ist ∆V 1 =<br />
∆V 2 = ∆V und damit ergibt sich<br />
p 1 + 1 2 ϱu2 1 = p 2 + 1 2 ϱu2 2<br />
Für reibungsfreie, inkompressible Flüssigkeiten gilt also<br />
Bernoulli-Gleichung<br />
p + 1 2 ϱu2 = p 0 = const<br />
p 0 ist der Gesamtdruck an der Stelle mit u = 0. Man unterscheidet:<br />
- Staudruck oder dynamischen Druck<br />
ϱ<br />
2 u2 = p 0 − p<br />
- statischen Druck<br />
p = p 0 − ϱ 2 u2<br />
Praktische Anwendung
144 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
• Zerstäuber<br />
• Wasserstrahlpumpen<br />
• Gebäudezerstörung durch einen Sturm:<br />
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><br />
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© ¨<br />
¦¥§<br />
⃗F A = ∆p · A<br />
• Aerodynamik oder aerodynamischer Auftrieb<br />
<br />
<br />
<br />
Die Luft umströmt eine Tragfläche. Bei einer unsymmetrischen Profilform<br />
strömt die Luft oben schneller um die Tragfläche als unten. Mit<br />
der Gesamtfläche A ergibt sich als Auftriebskraft:<br />
F ≃ 1 2 ϱ L<br />
<br />
( )<br />
u 2 1 − u2 2 A<br />
Sie wirkt nach oben auf die Fläche. – Im Prinzip!<br />
Luft ist nämlich keine ideale oder inkompressible Flüssigkeit.<br />
=⇒ Reibungskräfte, Wirbel, . . .<br />
7.2.3 Laminare Strömungen<br />
Wenn es stark reibt, wird es laminar:<br />
wenn F ⃗ R<br />
> ∼ FB ⃗<br />
Reibung<br />
><br />
∼ Beschleunigung<br />
Die Reibung kann Haftreibung, Gleitreibung, . . . sein. Hier ist es die innere<br />
Reibung, also die Reibung zwischen den Geschwindigkeitslamellen.
7.2. STRÖMUNGEN 145<br />
Erklärung:<br />
Wir bewegen eine Platte der Fläche A in einer Flüssigkeit. Zweifelsohne<br />
besteht Haftreibung zwischen der Flüssigkeit und der Oberfläche. Dadurch<br />
werden Flüssigkeitsschichten x = x 0 ± dx von der Platte mitgenommen. Es<br />
erfolgt ein Impulsübertrag auf Nachbarschichten<br />
∼ ϱu z (x) · dV<br />
Wir bekommen den Geschwindigkeitsgradienten<br />
∼ du<br />
dx<br />
und damit die Kraft<br />
∣F<br />
⃗ ∣ ∣∣∣ du<br />
∣ = ηA<br />
dx ∣<br />
D<br />
x<br />
¢¡ £¢¤<br />
Sie ist in z-Richtung aufzuwenden, um eine konstante Geschwindigkeit u 0<br />
der Platte zu erreichen.<br />
¥¢¦<br />
Reibungskraft<br />
⃗F R = −F ⃗ = −ηA<br />
du<br />
∣dx∣<br />
η ist die dynamische Zähigkeit oder Viskosität, ihre Einheit ist<br />
[η] = Ns<br />
m 2<br />
= P a s<br />
η| H2 O ∼ 1 η| Glycerin ∼ 1480<br />
Die Schichtdicke, innerhalb der die Flüssigkeit noch durch die Bewegung der<br />
Platte mitgenommen wird heißt Grenzschicht.<br />
Wie dicht ist die Grenzschicht?<br />
Um die Platte um ihre eigene Länge L zu verschieben, muss gegen die Reibungskraft<br />
F ⃗ R die Arbeit<br />
W R = −F R · L = ηAL<br />
du<br />
∣dx∣ ≃ ηALu 0<br />
D<br />
weil bei einem linearen Geschwindigkeitsgefälle gilt<br />
du<br />
dx ∼ u 0<br />
D
!<br />
<br />
146 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
Ersetze<br />
d<br />
dt −→ 1 τ<br />
Achtung: Wichtige Methode!<br />
d<br />
dx −→ 1 L<br />
Dadurch ergibt sich für ⃗ ∇ und ∆<br />
⃗∇ ∼ 1 L<br />
∧ ∆ ∼ 1 L 2<br />
τ und L sind sogenannte charakteristische Längen.<br />
Wieder zurück zur Grenzschichtdicke . . .<br />
Durch die Mitbewegung einer Flüssigkeitsschicht der Masse dm = ϱAdx<br />
gewinnt diese die kinetische Energie<br />
E kin = 1 2<br />
(<br />
dm<br />
2 u2 mit u = u 0 1 − |x| )<br />
D<br />
∫<br />
u 2 dm = ϱ 2<br />
∫ D<br />
0<br />
2u 2 0<br />
(<br />
1 − |x|<br />
D<br />
)<br />
Adx<br />
Der Faktor zwei entsteht dadurch, daß ja auf beiden Seiten der Platte<br />
Flüssigkeit ist und daher die Kraft zweimal auftritt. E kin ist also<br />
E kin = 1 3 AϱDu2 0<br />
wegen der umgewandelten Wärme muss<br />
E kin < W R = −ηF R<br />
D <<br />
√ 3ηL<br />
ϱu 0<br />
D ≃<br />
1 √ u0<br />
7.2.4 Allgemeines zur Reibung in Flüssigkeiten<br />
¢¨¢<br />
¢¡<br />
¥¢¦¨§©¢<br />
£¢¤<br />
dx<br />
x
7.2. STRÖMUNGEN 147<br />
In einer Flüssigkeit mit einer Strömung sei u z (x) die Geschwindigkeit in<br />
z-Richtung mit dem Gradienten in x-Richtung. Die Lamellen schieben sich<br />
übereinander. Wir entwickeln die Geschwindigkeit in einer Taylor-Reihe:<br />
u z (x 0 + dx) = u z (x 0 ) + ∂u z<br />
∂x dx + . . .<br />
Die Entwicklung wird nach dem linearen Glied abgebrochen. Die Flüssigkeitsschicht<br />
erfährt zwischen x = x 0 und x = x 0 + dx die Reibungskraft dF ⃗ R<br />
pro Flächenelement dA = dydz. Für ∂uz<br />
∂x > 0 wird die Fläche an x = x 0<br />
gebremst (Grenze zur langsameren Schicht) und an x = x 0 + dx beschleunigt<br />
(Grenze zur schnelleren Schicht). Die Netto-Tangentialkraft auf beide<br />
Flächen ist<br />
+dx<br />
£¢¤ ¢¡<br />
Mit der Taylorentwicklung ergibt sich<br />
∂F R = dF R (x 0 + dx) − dF R (x 0 )<br />
∂F R = ηdydz<br />
[<br />
∂uz<br />
∂x<br />
∣ x=x0 +dx<br />
=⇒ ∂F R = ηdxdydz ∂2 u z<br />
∂x 2<br />
∂F R = ηdV ∂2 u z<br />
∂x 2<br />
Summa summarum für alle Raumrichtungen<br />
[<br />
∂ 2 u z<br />
dF R = ηdV + ∂2 u z<br />
dF R = η∆u z dV<br />
]<br />
+<br />
∂2 u z<br />
∂z 2<br />
∂x 2 ∂y 2<br />
} {{ }<br />
Laplace−Operator ∆·u z<br />
− ∂u z<br />
∂x<br />
Für beliebige Strömungen ⃗u mit dem endlichen Volumen V:<br />
]<br />
∣ x=x0<br />
⃗F R = η ∫ V<br />
∆⃗udV<br />
7.2.5 Kräfte in Flüssigkeiten<br />
Bisher kennen wir folgende Kräfte in Flüssigkeiten:<br />
Schwerkraft: dF ⃗ G = ϱ⃗gdV<br />
Druckkraft:<br />
Reibungskraft:<br />
d ⃗ F p = − ⃗ ∇pdV<br />
d ⃗ F R = η∆⃗udV
148 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
Fassen wir alle in einer Gleichung zusammen, erweitern wir also die Euler-<br />
Gleichung um die Reibungskraft, so erhalten wir die<br />
(<br />
ϱ<br />
∂<br />
∂t<br />
+<br />
Navier-Stokes-Gleichung<br />
(<br />
⃗u · ⃗∇<br />
) )<br />
⃗u = −∇p ⃗ + ϱ⃗g + η∆⃗u<br />
↑ ↑ Kräfte<br />
zeitliche räumliche<br />
Änderung Änderung<br />
mit (<br />
⃗u · ⃗∇<br />
)<br />
⃗u =<br />
1 2∇u 2 − ⃗u × ∇ ⃗ × ⃗u<br />
↑<br />
↑<br />
Änderung Änderung<br />
von ⃗u der Richtung<br />
7.2.6 Laminare Strömung durch ein Rohr<br />
Von entscheidender Bedeutung in vielen Bereichen sind Strömungen durch<br />
ein zylindrisches Rohr, beispielsweise<br />
• Wasserleitungen<br />
• Pipelines<br />
• Blutgefässe<br />
• Extragalaktische Jets<br />
• stellare Jets<br />
.<br />
Das Prinzip<br />
Triebkraft > Reibungsder<br />
kraft<br />
Strömung ∼ η∆⃗u<br />
↓<br />
Druckdifferenz<br />
∼ −∇p<br />
⃗<br />
Die folgende Funktion sei eine Strömung mit dem Druckgradienten in negativer<br />
z-Richtung und der z-Geschwindigkeit als Funktion von x<br />
d 2 u<br />
dx 2 = −1 ∂p<br />
η ∂z<br />
Die Lösung der obigen Gleichung erfolgt durch zweimaliges Integrieren:
7.2. STRÖMUNGEN 149<br />
1. Integration<br />
du<br />
dx = −1 ∂p<br />
η ∂z x + C 1<br />
C 1 ist die erste Integrationskonstante; für sie muß gelten:<br />
C 1 = du<br />
∣<br />
dx<br />
∣ x=0<br />
Ihre physikalische Bedeutung ist die Steigung des Geschwindigkeitsprofiles<br />
bei x = 0, also wenn unsere Gleichung ein Geschwindigkeitsparaboloid<br />
beschreibt, so bedeutet x = 0 exakt die Spitze vorne.<br />
Anmerkung: p hängt nicht von x ab.<br />
2. Integration<br />
u(x) = − x2 dp<br />
2η dz + C 1x + C 2<br />
C 2 ergibt sich wieder aus den Randbedingungen.<br />
Ein Beispiel sagt mehr als tausend Worte. . . :<br />
Wir möchten die Strömung zwischen zwei parallelen Platten mit dem Abstand<br />
d berechnen. Also sind<br />
x = −d ∧ x = +d<br />
Die Symmetrie fordert an der Stelle x = 0, dass du<br />
dx<br />
= 0 ist. Daraus folgt:<br />
C 1 = 0<br />
Außerdem soll die Flüssigkeit an den Wänden haften. Daraus ergibt sich<br />
dann die zweite Randbedingung:<br />
u(x = +d) = 0 ∧ u(x = −d) = 0<br />
=⇒ C 2 = d2 dp<br />
2η dz<br />
Und damit lautet unsere Gleichung dann<br />
u(x) = 1 dp (d 2 − x 2)<br />
2η dz<br />
u(0)<br />
Ihr Scheitel liegt bei x = 0, das heißt in der<br />
Mitte zwischen den parallelen Wänden.<br />
−d 0 d x<br />
Dies ist aber lediglich die Strömung zwischen zwei parallelen Platten. Widmen<br />
wir uns einmal der Strömung durch ein Rohr und betrachten wir die<br />
Druckdifferenz p 1 − p 2 zwischen z = 0 und z = L eines Kreiszylinders mit<br />
Radius R.
150 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
R<br />
z=L<br />
z=0<br />
Die Zylindersymmetrie fordert, daß u nur von der Entfernung r von der<br />
Zylinderachse abhängt. Die Reibungskraft auf die Zylinderoberflächen ist<br />
gleich der Nettodruckkraft auf die Stirnflächen:<br />
η2πrL du<br />
dr<br />
du<br />
dr<br />
= −πr 2 (p 1 − p 2 )<br />
= r p 2 − p 1<br />
2 ηL<br />
Die Randbedingung ist wieder: u(R) = 0<br />
∫<br />
du =<br />
u(r) =<br />
∫ R<br />
r<br />
∫R<br />
r<br />
r<br />
2<br />
r<br />
2<br />
p 2 − p 1<br />
ηL<br />
dr<br />
p 2 − p 1<br />
ηL<br />
dr + C<br />
Die Randbedingung C ist<br />
C = p 1 − p 2<br />
4ηL<br />
R2<br />
Man erhält sie, indem man über die vorige Gleichung nochmals integriert,<br />
die Randbedingung u(0) = 0 einsetzt und ausrechnet. Insgesamt ergibt sich<br />
dann für die Gleichung:<br />
u(r) = p 1 − p 2<br />
4ηL<br />
(R 2 − r 2)<br />
Dies ist die Gleichung eines Rotationsellipsoids und beschreibt die laminare<br />
Strömung in einem zylindrischen Rohr.
7.2. STRÖMUNGEN 151<br />
Die gesamte Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch eine Fläche z =<br />
const des Hohlzylinders mit Radien zwischen r und r + dr fließt ist<br />
dV<br />
dr = 2πrdru = 2πrdr ( R 2 − r 2)<br />
(p 1 − p 2 )<br />
4ηL<br />
Durch den gesamten Rohrquerschnitt fließt dann während der Zeit t das<br />
Flüssigkeitsvolumen<br />
∫ R<br />
V = t · 2πrdru = πR4 (p 1 − p 2 )<br />
t<br />
2 · 4ηL<br />
0<br />
Beachte:<br />
p 1 − p 2<br />
= ∂p<br />
L ∂z<br />
beschreibt ein lineares Druckgefälle entlang des Rohres (siehe auch 6.2.3<br />
Wichtige Methode).<br />
Die Flüssigkeitsstromstärke I = V t<br />
führt zum<br />
Hagen-Poiseuille-Gesetz<br />
I = πR4 ∂p<br />
8η ∂z<br />
Das heißt I ∼ R 4 und bedeutet, daß die kleinste Veränderung des Rohrquerschnittes<br />
die Stromstärke dramatisch ändert.<br />
- Blutzirkulation<br />
- Rohrströmungen<br />
.
152 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
7.2.7 Laminare Strömungen um Kugeln – Stokes-Gesetz<br />
r<br />
schematisches<br />
Geschwindigkeitsprofil<br />
um<br />
eine Kugel, die<br />
von einer viskosen<br />
Flüssigkeit<br />
umströmt wird<br />
Zieht man eine Kugel vom Radius r mit der Geschwindigkeit v durch eine<br />
Flüssigkeit, so haften die unmittelbar benachbarten Flüssigkeitsschichten<br />
an der Kugel. In einiger Entfernung herrscht die Strömungsgeschwindigkeit<br />
null. Diese Entfernung ist von der Größe r. Ergo<br />
∂u<br />
∂z ∼ u r<br />
Auf der Oberfläche der Kugel greift also eine bremsende Kraft an:<br />
F R ≃ −η du<br />
dz 4πr2 ≃ 4πηur<br />
Mit dieser Kraft muss man ziehen, um die Geschwindigkeit v zu erzeugen.<br />
Die genauere und sehr aufwendige Rechnung liefert das<br />
Stokes-Gesetz<br />
F R = −6πηru<br />
Neben dem Stokeschen Gesetz existiert aber noch ein weiteres, das der<br />
Newtonschen Reibung; hier ist ein kleiner Vergleich:<br />
F R ∼ v<br />
F R ∼ v 2<br />
Stokes<br />
Laminare<br />
Strömungen<br />
aber<br />
Newton<br />
Turbulente<br />
Strömungen<br />
Wichtig: Viskosität<br />
Luftwiderstand ∗<br />
*Luftwiderstand für ungünstig geformte Körper,<br />
hohe Geschwindigkeiten wie bei Geschossen,. . .<br />
Herleitung der Newtonschen Reibung:<br />
Will ein Körper mit der Geschwindigkeit v durch ein Medium der Dichte ϱ
7.2. STRÖMUNGEN 153<br />
dringen, so muß er es erst zur Seite drängen. Dazu muß er das Medium auf<br />
die Geschwindigkeit v M beschleunigen, die ungefähr gleich seiner Geschwindigkeit<br />
v ist. In der Zeit dt, muß dies für eine Säule der Länge vdt und dem<br />
Querschnitt S geschehen. Dabei ist S ∼ Querschnitt des bewegten Körpers.<br />
Volumen der Säule<br />
Masse der Säule<br />
∫ vdt<br />
m M = ϱSvdt<br />
Um diese Masse auf die Geschwindigkeit v ≃ v M zu bringen, muß ihr<br />
die Energie 1 2 m Mv 2 = 1 2 ϱSv3 dt zugeführt werden; natürlich auf Kosten des<br />
Körpers. Das bedeutet also<br />
1<br />
2 ϱSv3<br />
ist die zuzuführende Leistung. Da<br />
Leistung = Kraft · Geschwindigkeit<br />
muß die Kraft beziehungsweise die Reibungskraft<br />
F R = 1 2 ϱSv2<br />
sein, wobei S der sogenannte effektive Querschnitt ist. Und damit ist die<br />
Grenzschichtdicke aus Kapitel 7.2.3.<br />
und für S ∼ L 2 erhalten wir die<br />
F ∼ η S D v ≃ S √<br />
v 3 ηϱ<br />
L<br />
F P randtl =<br />
Prandtl-Reibung<br />
√<br />
FR<br />
Stokes · FR<br />
Newton<br />
⎧<br />
⎪⎨ Stokes zu klein<br />
Denn für Schiffe und Flüssigkeiten ist<br />
⎪⎩ Newton zu groß<br />
7.2.8 Strömungstypen<br />
Unser Ansatzpunkt ist die Navier-Stokes-Gleichung (zur Erinnerung: Kräftegleichgewicht):<br />
ϱ ∂⃗u (<br />
∂t + ϱ ⃗u · ⃗∇<br />
)<br />
⃗u = −∇p ⃗ + η∆⃗u + . . .
154 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
Führen wir die zwei Vektoren<br />
ein, so lautet sie dann<br />
Wir kennen drei Strömungstypen:<br />
⃗a 1 = ∂⃗u<br />
(<br />
∂t<br />
⃗a 2 = ⃗u · ⃗∇<br />
)<br />
⃗u<br />
ϱ (⃗a 1 + ⃗a 2 ) = − ⃗ ∇p + η∆⃗u<br />
1. Ideale Strömung<br />
Keine Reibung → meistens in Ordnung<br />
2. Laminare Strömung<br />
Anteil ⃗a 2 der Beschleunigung ist zu vernachlässigen – aber die Reibungskräfte<br />
sind entscheidend.<br />
3. Turbulente Strömungen<br />
Selbst wenn die Strömung stationär ist (⃗a 1 = 0), ist ⃗a 2 von größerem<br />
Einfluß als die Reibungskräfte. (⃗a 1 = 0 =⇒ ∂u<br />
∂r = 0)<br />
Turbulenz ist sehr schwierig!<br />
Kriterien für verschiedene Strömungstypen<br />
Welcher Strömungstyp (zur Auswahl stehen: ideal, laminar, sowie turbulent)<br />
gilt unter<br />
• gegebenen Abmessungen l von Gefäss oder umströmtem Körper<br />
• gegebener Strömungsgeschwindigkeit u<br />
• gegebener Dichte ϱ<br />
• gegebener Viskosität η<br />
Wir betrachten nun stationäre Strömungen mit ⃗a 1 = ⃗0, was auch heißt, daß<br />
die Strömungsgeschwindigkeit nicht von t abhängt: ∂⃗u<br />
∂t = ⃗0.<br />
Dagegen kann die Geschwindigkeit<br />
an verschiedenen Stellen verschieden sein!<br />
⃗a 2 ist umso grösser, je schneller sich die Geschwindigkeit räumlich ändert,<br />
je grösser also ihr Gradient ist. Wir bekommen nun drei unterschiedliche<br />
Längen:
7.2. STRÖMUNGEN 155<br />
l 1<br />
Strecke, auf der eine wesentliche Geschwindigkeitsänderung erfolgt<br />
in dieser Zeit ändert sich u um<br />
t ∼ l 1<br />
u<br />
a 2 := u t ≃ u2<br />
l 1<br />
l 2<br />
Länge auf der sich der Druck ändert<br />
⃗∇p ∼ p l 2<br />
l 3<br />
Länge auf der sich die Reibungskraft ändert<br />
η∆u ∼ ηu<br />
l 2 3<br />
l 1 , l 2 , l 3 können je nach Geometrie sehr verschieden sein. Für stationäre<br />
Strömungen gelten die Navier-Stokes-Gleichungen:<br />
ϱ⃗a 2 = − ⃗ ∇p + η∆⃗u<br />
Setzen wir nun die obigen Ergebnisse für ⃗a 2 , p und ⃗u ein, so erhalten wir<br />
ϱ u2<br />
l 1<br />
≈ p l 2<br />
+ η u l 2 3<br />
Wir können nun drei Fälle unterscheiden:<br />
1. keine Reibung<br />
wenn<br />
ηu<br />
l 2 3<br />
≪ p l 2<br />
≃ ϱu2<br />
l 1<br />
l 2 ≃ l 1 =⇒ p ≃ 1 2 ϱu2<br />
Dies bedeutet es herrscht eine ideale Strömung, ohne nennenswerte<br />
Wirbel.<br />
2. Trägheitskraft ∼ ⃗a 2 zu vernachlässigen<br />
ϱu 2<br />
l 1<br />
≪ p l 2<br />
≃ η u l 2 3<br />
=⇒ ⃗ ∇p = η∆⃗u<br />
Laminare Strömung
156 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
3. Der Fall<br />
ist von geringerer Bedeutung.<br />
p<br />
l 2<br />
≪ ϱu2<br />
l 1<br />
≃ η u l 2 3<br />
Der Übergang von Fall 1 zu Fall 2 erfolgt bei<br />
und<br />
ηu<br />
l 2 3<br />
≃ p l 2<br />
≃ ϱu2<br />
l 1<br />
ϱul 2 3<br />
ηl 1<br />
≃ 1 und<br />
pl 1<br />
ϱu 2 l 2<br />
≃ 1<br />
Das sind Bedingungen für Druckverhältnisse von l 1 und l 2 ; beide beherrschen<br />
die hydrodynamische Ähnlichkeitstheorie. – Ein verkleinertes Modell (zum<br />
Beispiel im Windkanal) liefert nur dann physikalisch richtige Resultate, wenn<br />
die Zahlen<br />
ϱul3<br />
2 pl 1<br />
sowie<br />
ηl 1 ϱu 2 l 2<br />
den gleichen Wert haben wie in Wirklichkeit. Da eine geometrische Ähnlichkeit<br />
garantiert ist kann man l “kürzen” und nur die Übereinstimmung<br />
von<br />
p<br />
ϱu 2 und ϱul<br />
η<br />
fordern. Letzteres ist die<br />
Eine Strömung ist laminar für<br />
ϱul 2 3<br />
2ηl 1<br />
Reynoldszahl<br />
Re = ϱul<br />
η<br />
sehr klein<br />
und turbulent für<br />
ϱul3<br />
2 sehr groß<br />
2ηl 1<br />
da l 3 ≠ l 1 erfolgt ein Umschlag von laminar zu turbulent bei<br />
Re = ϱul<br />
η ≫ 1<br />
l ist hier die makroskopische Abmessung des um- beziehungsweise durchströmten<br />
Körpers. Man findet<br />
Re| kritisch<br />
≃ 10 3<br />
Beim Umschlag von laminar zu turbulent wächst der Strömungswiderstand<br />
erheblich an
7.2. STRÖMUNGEN 157<br />
Wirbel<br />
Laminar<br />
Turbulent<br />
Laminar: F R ∼ u · η (Stokes)<br />
Turbulent: F R ∼ u 2 · ϱ (Newton)<br />
7.2.9 Wirbel und Zirkulation<br />
Umströmung eines kreisförmigen Hindernisses<br />
• Kleine Strömungsgeschwindigkeit u =⇒ Laminare Strömung<br />
• Geschwindigkeit u > u kritisch =⇒<br />
Turbulente Strömung<br />
↓<br />
Wirbel<br />
Wirbel? – Sie bestehen aus einem starr rotierenden Wirbelkern<br />
⃗u W irbel = ⃗ω × ⃗r ∼ ⃗r<br />
außerhalb des Wirbelkerns nimmt ⃗r W irbel ∼ ⃗r ab.
158 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
y<br />
x<br />
Zirkulations<br />
stroemung<br />
Wirbelkern<br />
Wirbelvektor ⃗ Ω =<br />
1<br />
2 ⃗ ∇ × ⃗u<br />
Wirbelstärke<br />
Zirkulation<br />
Z = ∮ ⃗ud⃗s<br />
Z: Erhaltungsgröße in reibungfreien, also idealen<br />
Flüssigkeiten<br />
Wirbel verändern den Charakter der Reibung<br />
Stokes<br />
Newton<br />
∼ ηv −→ ∼ ϱv 2<br />
laminar<br />
turbulent<br />
Wirbel<br />
⇕<br />
Reibung steigt<br />
Diese ist aber formabhängig! 1<br />
Wie entstehen aber ( Wirbel? – Wirbel entstehen durch Ränder und Kanten;<br />
dort ist nämlich ⃗u · ⃗∇<br />
)<br />
⃗u am stärksten, es herrschen starke Tangentialkräfte<br />
(Scherkräfte) zwischen den Flüssigkeitsteilchen.<br />
−→ Grenzschicht am umstömten Körper mit kleinen Unebenheiten<br />
oder Fluktuationen<br />
1 zum c w-Wert siehe Demtröder Seite 240-241
7.2. STRÖMUNGEN 159<br />
<br />
¨©<br />
§ ¦<br />
Verstärkung des Geschwindigkeitsgradienten<br />
¢¡ £¥¤<br />
Betrachtung des Druckprofils<br />
an umstömter Kugel:<br />
S 1 Staupunkt<br />
p ist maximal<br />
u=0<br />
S 2 u=0<br />
Zwischen S 1 und S 2 strömen die Flüssigkeitsteilchen zunächst schneller und<br />
werden bis S 2 wieder abgebremst.<br />
• Laminare Strömung mit u < u kritisch<br />
U<br />
<br />
<br />
¥
160 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK<br />
• Turbulente Strömung mit u > u kritisch<br />
U<br />
¢¡£ ¥¤§¦©¨<br />
<br />
<br />
Wird ein Zylinder mit u 0 angeströmt und rotiert dieser mit der Winkelgeschwindigkeit<br />
ω, so strömt die Flüssigkeit an seiner Oberseite mit<br />
und unten mit<br />
u ′ = u 0 + ωr<br />
u ′′ = u 0 − ωr<br />
In Kombination mit Bernoulli folgt daraus, daß der statische Druck an der<br />
Unterseite überwiegt, nämlich um<br />
falls ωr ≪ u 0 . Die Querkraft ist<br />
p = 1 2 ϱ (u ′2 − u ′′2) ≃ 2ϱωru 0<br />
F ≃ ϱωrlu 0 oder vektoriell ⃗ F ∼ ϱr 2 l⃗u × ⃗ω<br />
mit<br />
∮<br />
Z =<br />
⃗ud⃗s = 2πru(r)<br />
= 2πωr 2 0<br />
Letztere macht Flugzeuge fliegen.<br />
Kutta-Schukowski-Formel<br />
F ∼ = ϱu 0 lZ
Ich weiß, daß Sie glauben, Sie<br />
verstünden, was sie denken, was ich<br />
gesagt habe; aber ich bin mir nicht<br />
sicher, ob Sie begreifen, daß das, was<br />
Sie gehört haben, nicht das ist, was<br />
ich meine.<br />
Richard Nixon<br />
Kapitel 8<br />
Relativitätstheorie<br />
Zur Einstimmung empfiehlt es sich nochmals die Bezugssysteme und Galileitransformationen<br />
zu Gemüte zu führen.<br />
8.1 Historisches<br />
Im 19.Jahrhundert schien alles klar zu sein:<br />
Bewegungen<br />
von<br />
Atomen/Molekülen<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Newton Axiome −→ Gravitationsgesetz<br />
↓<br />
Planeten + Himmelskörper<br />
Maxwell-Gleichungen<br />
↓<br />
Elektrodynamik<br />
Newtonsches Relativitätsprinzip<br />
a) Raum und Zeit sind absolut<br />
b) Alle relativ zu einem Inertialsystem gleichförmig<br />
bewegten Bezugssysteme sind ebenfalls Inertialsysteme<br />
und im Rahmen der Newtonschen Mechanik gleichwertig!<br />
161
162 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
An diesem Prinzip wurde nicht gerüttelt, bis die Untersuchung elektromagnetischer<br />
Wellen die Vermutung nährte, es liesse sich ein absolutes Bezugssystem<br />
finden.<br />
8.2 Das Michelson-Morley-Experiment<br />
Wellen brauchen ein Trägermedium wie<br />
• Luft<br />
• Wasser<br />
• Festkörper<br />
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt von den Eigenschaften des Trägermediums<br />
ab (Schallgeschwindigkeit in Luft hängt von der Temperatur ab!).<br />
Bei mechanischen Wellen ist es erlaubt, das jeweilige Medium als ruhend<br />
anzusehen.<br />
Wie sind die Verhältnisse bei Lichtwellen?<br />
–Optische Interferenz- und Beugungsversuche lieferten die Theorie, daß Licht<br />
eine Welle sei. Ergo gibt es ein Medium, das die Lichtwellen, oder allgemeiner<br />
die elektromagnetischen Wellen trägt. Das Medium der Wahl sollte der<br />
Äther sein, ein materieller Stoff mit besonderen Eigenschaften:<br />
• kleine Dichte<br />
Denn es sollte keine Reibung auf die Planeten bei ihrer Bewegung um<br />
die Sonne wirken.<br />
• grosse Starrheit<br />
Wegen der hohen Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes.<br />
• Ruhend<br />
Der Äther sollte also als ruhendes System angesehen werden können, auf das<br />
sich alle Bewegungen sämtlicher Körper und Erscheinungen beziehen lassen<br />
sollten! Er sollte ein absolutes Bezugssystem sein. Dies steht im Widerspruch<br />
zum Newtonschen Relativitätsprinzip.<br />
Nach der Maxwellschen Theorie der Elektrodynamik ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
von Licht und elektromagnetischen Wellen im Vakuum durch<br />
c = 1 √ ε0 µ 0<br />
= 3 · 10 8 m s<br />
ε 0 Dielektrizitätskonstante<br />
µ 0 Permeabilitätskonstante<br />
gegeben. Die Maxwellsche Gleichung sagt nichts darüber aus, in welchem<br />
Bezugsystem die Lichtgeschwindigkeit diesen Wert annimmt. Man erwartet
8.2. DAS MICHELSON-MORLEY-EXPERIMENT 163<br />
jedoch, daß c die Lichtgeschwindigkeit auf den Äther bezogen ist.<br />
Wenn sich die Erde also relativ zum ruhenden Äther bewegt (– Das tut sie,<br />
denn sie kreist um die Sonne und der Äther sollte der Theorie nach ruhen.),<br />
so erwartete man, dass eine Messung ein grösseres oder kleineres Ergebniss<br />
als c liefert, je nach Richtung relativ zum Lichtstrahl. 1881 beginnt dann Albert<br />
Michelson mit der Messung der Lichtgeschwindigkeit relativ zur Erde<br />
und damit auch der Geschwindigkeit der Erde relativ zum Äther.Die gängigen<br />
Methoden waren jedoch zur Messung ungeeignet. – Aber warum??<br />
Wir betrachten einmal folgende Situation:<br />
Lichtquelle<br />
c−v<br />
c+v<br />
v<br />
l<br />
Die Lichtquelle und der Spiegel bewegen sich mit der Geschwindigkeit v in<br />
gleicher Richtung durch den Äther. Dann sollte sich das Licht mit c − v auf<br />
den Spiegel zu und mit c + v von ihm wegbewegen. Die gesamte Laufzeit<br />
wäre daher<br />
t 1 =<br />
l<br />
c − v + l<br />
c + v = 2l 1<br />
c 1 − v2<br />
c 2<br />
t 1 unterscheidet sich daher von der Laufzeit 2l<br />
c<br />
, die man erwartet, wenn die<br />
] −1,<br />
Erde im Äther ruht nur durch den Faktor<br />
[1 − v2<br />
c der für v ≪ c sehr<br />
2<br />
nahe an 1 liegt. Für kleine Werte von v c (will heißen: v c<br />
≪ 1) kann man mit<br />
Hilfe der Binomialentwicklung noch vereinfachen:<br />
(1 + x) n = 1 + nx + n(n − 1) x2<br />
2<br />
+ . . . ≈ 1 + nx für x ≪ 1<br />
Setzt man für n = −1 und x = − v2<br />
c 2<br />
t 1 ≈ 2l<br />
c<br />
ein, so folgt:<br />
(<br />
1 + v2<br />
c 2 )<br />
Die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne ist ∼ 3 · 10 4 m<br />
sec<br />
=⇒ v c<br />
≃<br />
10 −4<br />
=⇒ v2<br />
c 2 ≈ 10 −8
164 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
Der Effekt der Erdbewegung ist sehr sehr klein und daher schwer, sehr schwer<br />
zu messen!<br />
Die Lösung:<br />
Differenzmessung mit einem Interferometer, dem Michelson-Morley-Interferometer:<br />
Licht fällt auf einen Strahlteiler (sprich: halbdurchlässiger Spiegel);<br />
es pflanzt sich dabei parallel zur Erdbewegung fort. Ein Teil des Lichtes<br />
geht in dieser Richtung durch den Strahlteiler hindurch, ein anderer wird<br />
mit 90 ◦ reflektiert.<br />
beweglicher<br />
Spiegel<br />
©<br />
£¥¤ ¦¨§<br />
2<br />
fester<br />
Spiegel<br />
diffuse Licht−<br />
quelle<br />
A<br />
1<br />
Strahl−<br />
teiler<br />
¢¡<br />
Auge<br />
1. Betrachten wir den durchgelassenen Teil<br />
Die Strecke AS 1 , vom Strahlteiler A zum Spiegel S 1 und zurück; der<br />
Lichtstrahl benötigt die Zeit<br />
mit l = l 1 .<br />
t 1 ≃ 2l<br />
c<br />
(<br />
1 + v2<br />
c 2 )<br />
2. Betrachtung des reflektierten Strahls<br />
Dieser trifft den Spiegel S 2 mit der Geschwindigkeit ⃗u senkrecht zur<br />
Geschwindigkeit ⃗v der Erde. Relativ zum Äther jedoch bewegt er sich<br />
mit der Geschwindigkeit ⃗c. – Warum?
¡<br />
8.2. DAS MICHELSON-MORLEY-EXPERIMENT 165<br />
£ ¢<br />
Spiegel<br />
¥ ¤<br />
¦¨§<br />
Das Interferometer bewegt<br />
sich relativ zum Äther mit ⃗v<br />
nach rechts, der Lichtstrahl<br />
mit ⃗u nach oben. Die Geschwindigkeit<br />
im Bezugssystems<br />
des Strahls im Äther ist<br />
⃗c und die Geschwindigkeit relativ<br />
zur Erde daher ⃗u = ⃗c−⃗v.<br />
=⇒ nach der klassischen Theorie ist der Betrag<br />
der Lichtgeschwindigkeit relativ zur Erde<br />
u = ( c 2 − v 2) ) 1 1<br />
2<br />
= c<br />
(1 − v2 2<br />
c 2<br />
⃗u = ⃗c − ⃗v |⃗u| = √ c 2 − v 2<br />
=⇒ Laufzeit:<br />
t 2 =<br />
2l<br />
√ 2<br />
c 2 − v = 2l ( ) −<br />
1<br />
2<br />
1 − v2 2<br />
2 c c 2<br />
mit n = − 1 2<br />
und x = −<br />
v2<br />
c 2<br />
eingesetzt und binomialentwickelt:<br />
t 2 ≃ 2l 2<br />
c<br />
(<br />
1 + 1 2<br />
)<br />
v 2<br />
c 2<br />
Wenn l 1 = l 2 = l, dann ist die Differenz der Zeiten:<br />
∆t = t 1 − t 2 ≈ l c<br />
Diese Laufzeitdifferenz müsste man nun durch Interferenz zwischen den beiden<br />
Lichtstrahlen messen können. – Warum?<br />
Weil die Laufzeit ∆t einer Differenz in der Anzahl der Wellenlängen entspricht,<br />
die auf die Strecken AS 1 A und AS 2 A passen:<br />
∆N = ∆t<br />
T<br />
v 2<br />
c 2<br />
c∆t<br />
= ν∆t =<br />
λ<br />
T<br />
ν<br />
λ<br />
Periodendauer }<br />
Frequenz<br />
Wellenlänge<br />
des Lichts<br />
c = ν · λ<br />
für elektromagnetische<br />
Wellen
166 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
Diese Interferenz ist unmöglich messbar; Michelson hatte deshalb eine andere<br />
Idee: die Messung der Änderung des Interferenzmusters.<br />
Sei ∆N definiert als die Zahl der Interferenzstreifen, wie zum Beispiel Maxima,<br />
die am Auge des Beobachters vorbeilaufen, wenn ∆t makroskopisch<br />
herbeigeführt würde. – Wie macht man das?<br />
Man dreht die Apparatur um 90 ◦ ; dadurch ändert sich nicht der Abstand der<br />
Spiegel, denn die kleinste Veränderung der Spiegelabstände ändert das Interferenzmuster.<br />
Nimmt man die Existenz eines Äthers an, so erhält man nach<br />
einer Drehung um 90 ◦ eine neue Laufzeitdifferenz (vertausche die Indices 1<br />
und 2), die gerade ∆t beträgt. Beobachtet man während einer langsamen<br />
Drehung das Interferenzmuster kontinuierlich, so müsste es sich genau um<br />
die Zahl<br />
∆N = 2c∆t<br />
λ<br />
von Interferenzmaxima verschieben!<br />
1881 Erster Versuch von Michelson<br />
= 2l<br />
λ · v2<br />
c 2<br />
l = 1, 2m<br />
λ = 590nm<br />
Für v2<br />
c 2<br />
= 10 −8 ergibt sich ein Erwartungswert von<br />
∆N = 0, 04 Streifen<br />
Es wurde nichts beobachtet! – Warum nicht?<br />
Die Erde ruhte im Äther, deshalb: Messung sechs Monate später (Bewegung<br />
gegen Äther)<br />
Aber: Erneut keine Beobachtung! – Was ist da falsch?<br />
Ruht die Erde im Äther?<br />
Ist was mit dem Äther faul?<br />
1887 Neuer Versuch von Michelson und Morley<br />
Nichts geschah – Was ist da los?<br />
l = 11m ∆N = 20 − 40<br />
1905 Einstein veröffentlicht die “Elektrodynamik bewegter Körper” oder<br />
auch spezielle Relativitätstheorie.<br />
Sie enthält im wesentlichen zwei Postulate:
8.3. DIE LORENTZ-TRANSFORMATION 167<br />
1. Es gibt kein physikalisch bevorzugtes Inertialsystem. – Die Naturgesetze<br />
nehmen in allen Inertialsystemen dieselbe Form an.<br />
2. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist in jedem beliebigen Inertialsystem<br />
unabhängig vom Bewegungszustand der Lichtquelle.<br />
alternative Formulierung für 2.:<br />
2. Jeder Beobachter misst für die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum<br />
denselben Wert!<br />
Das erste Postulat stellt eine Erweiterung des Newtonschen Relativitätsprinzips<br />
dar, gilt also nicht nur für die Mechanik. Das zweite Postulat widerspricht<br />
unserer alltäglichen Vorstellung von Relativgeschwindigkeiten.<br />
Wenn sich ein Auto mit 50 km h<br />
von einem Beobachter wegbewegt und ein<br />
zweites Auto mit 80 km h<br />
in dieselbe Richtung fährt, dann ist die Relativgeschwindigkeit<br />
der beiden Autos 30 km h .<br />
Trotzdem messen Beobachter in beiden Autos für einen Lichtstrahl, der sich<br />
in ihrer Richtung ausbreitet, dieselbe Geschwindigkeit wie es die Einsteinschen<br />
Postulate fordern. Unsere Vorstellung, daß wir Geschwindigkeiten einfach<br />
addieren können ist offenbar nur solange gültig, wie die betrachtete<br />
Geschwindigkeit klein ist gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c.<br />
8.3 Die Lorentz-Transformation<br />
Die Einstein-Postulate haben wichtige Konsequenzen für die Messung von<br />
Zeit- und Längenintervallen, sowie von Relativgeschwindigkeiten. Wir vergleichen<br />
im folgenden Zeit- und Ortsmessungen von Ereignissen, wie zum<br />
Beispiel Lichtblitzen, die von verschiedenen sich relativ zueinander bewegenden<br />
Beobachtern vorgenommen werden. Dazu verwenden wir zwei Bezugssysteme<br />
S und S ′ , mit den kartesischen Koordinaten x, y, z und x ′ , y ′ , z ′ ,<br />
sowie den Ursprüngen 0 und 0 ′ .<br />
S ′ bewege sich mit der Geschwindigkeit v in positiver Richtung der x-Achse<br />
des Bezugssystems S. Auf dem Weg ist ein dichtes Netz von Beobachtern<br />
installiert, die mit identischen Uhren und Maßstäben ausgestattet sind um<br />
möglichst genaue Messungen zu erzielen. Diese sind lokale Beobachter!<br />
Wir benutzen die Einstein-Postulate, um eine allgemeine Beziehung zwischen<br />
den Koordinaten x, y, z und dem Zeitpunkt t eines Ereignisses gemessen<br />
im Bezugssystem S und den Koordinaten x ′ , y ′ , z ′ , sowie dem Zeitpunkt<br />
t ′ , gemessen in S ′ herzuleiten. Desweiteren vereinfachen wir, indem wir annehmen,<br />
daß zu den Zeiten t = t ′ = die Ursprünge 0 = 0 ′ zusammenfallen.
168 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
y<br />
S<br />
0<br />
x<br />
z<br />
y’<br />
v<br />
S’<br />
0’<br />
x’<br />
z’<br />
Die nichtrelativistische oder klassische Beziehung, die unter diesen Voraussetzungen<br />
unmittelbar aus dem Newtonschen Relativitätsprinzip folgt, ist<br />
die sogenannte Galilei-Transformation (Kapitel 6.1.2):<br />
x = x ′ + vt ′ y = y ′<br />
z = z ′ t = t ′<br />
und die inverse Transformation lautet<br />
x ′ = x − vt y ′ = y<br />
z ′ = z t ′ = t<br />
Diese Transformationen geben die experimentelle Beobachtung richtig wieder,<br />
solange v ≪ c und führen auf die gewöhnliche klassische Additionsvorschrift<br />
für Geschwindigkeiten. Besitzt ein Teilchen die Geschwindigkeit<br />
u x = dx<br />
dt<br />
im System S, dann ist seine Geschwindigkeit in S ′<br />
u ′ x = dx′<br />
dt ′<br />
= dx′<br />
dt<br />
= dx<br />
dt − v = u x − v<br />
u ′ x = u x − v<br />
Durch nochmaliges Differenzieren erhält man die Beschleunigung des Teilchens<br />
in beiden Bezugssystemen<br />
a x = dux<br />
dt<br />
= du′ x<br />
dt ′<br />
= a ′ x
8.3. DIE LORENTZ-TRANSFORMATION 169<br />
Die Galilei-Transformation steht jedoch im offensichtlichen Widerspruch zu<br />
den Einsteinschen Postulaten der speziellen Relativitätstheorie:<br />
Bewege sich ein Lichtstrahl in S entlang der x-Achse. Nach den<br />
Galilei-Transformationen gilt in S ′ :<br />
u ′ x = c − v<br />
laut Einstein ist aber c = const und daher<br />
u ′ x = c<br />
Wir benötigen daher andere Transformationsgesetze. Nehmen wir also an,<br />
daß die relativistische Transformationsformel für x bis auf einen Faktor γ auf<br />
der rechten Seite der Gleichung x = x ′ + vt entspricht, so ist die (“richtige”)<br />
Gleichung dann von der Form<br />
x = γ (x ′ + vt ′ )<br />
γ kann von c und von v abhängen, nicht jedoch von den Koordinaten! Die<br />
inverse Transformation wäre also<br />
x ′ = γ(x − vt)<br />
Betrachten wir nun einmal einen Lichtstrahl, der im Ursprung von S zur Zeit<br />
t = 0 startet. Da für t = t ′ = 0 die Ursprünge von S und S ′ zusammenfallen<br />
startet der Lichtstrahl auch in S ′ zum Zeitpunkt t ′ = 0. Nach den Einstein-<br />
Postulaten muß gelten<br />
x = ct in S<br />
x ′ = ct ′ in S ′<br />
Wir setzen ein und erhalten<br />
sowie<br />
x = ct<br />
= γ ( ct ′ + vt ′)<br />
= γ(c + v)t ′<br />
x ′ = ct ′<br />
= γ(ct − vt)<br />
= γ(c − v)t<br />
Nach t ′ oder t aufgelöst ergibt<br />
γ 2 =<br />
=⇒ γ =<br />
( ) −1<br />
1 − v2<br />
c 2<br />
1<br />
√<br />
1 − v2<br />
c 2
170 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
Beachte: γ ist immer grösser als 1<br />
γ ≃ 1 für v ≪ c<br />
Die relativistischen Transformationsformeln sind also<br />
x = γ ( x ′ + vt ′)<br />
x ′ = γ(x − vt)<br />
1<br />
γ = √<br />
1− v2<br />
c 2<br />
Wird die Zeit vielleicht auch transformiert?<br />
Ersetze in x ′ = γ(x − vt) x durch γ (x ′ + vt ′ ), so ergibt sich<br />
x ′ = γ ( γ ( x ′ + vt ′) − vt )<br />
Letzteres wird nach t aufgelöst, wodurch sich dann die vollständigen relativistischen<br />
Transformationsgleichungen ergeben<br />
Lorentz-Transformation<br />
x = γ (x ′ + vt ′ ) y = y ′ z = z ′<br />
)<br />
t = γ<br />
(t ′ + vx′<br />
c 2<br />
inverse Transformation<br />
x ′ = γ(x − vt) y’=y z=z’<br />
( )<br />
t ′ = γ t − vx<br />
c 2<br />
Die Lorentz-Transformation erfüllt die Einsteinschen Postulate! Sie stellt die<br />
Beziehung zwischen den Orts- und Zeitkoordinaten x, y, z und t eines Ereignisses<br />
in einem Bezugssystem S und den Orts- und Zeitkoordinaten x ′ , y ′ , z ′<br />
und t ′ desselben Ereignisses in einem anderen Bezugssystem S ′ , das sich mit<br />
der Geschwindigkeit v relativ zu S bewegt her.<br />
Anwendungen:<br />
• Zeitdehnung<br />
• Längenkontraktion<br />
• Uhrensynchronisation und Gleichzeitigkeit<br />
• Doppler-Effekt<br />
• Zwillingsparadoxon<br />
• Geschwindigkeitstransformation<br />
• Impuls<br />
• Masse-Energie Äquivalenz
8.4. ZEITDEHNUNG – DILATATION 171<br />
8.4 Zeitdehnung – Dilatation<br />
Aus der Lorentz-Transformation folgt die Dehnung der Zeit – die Zeitdilatation.<br />
Messung von zwei Ereignissen in zwei verschiedenen Inertialsystemen<br />
im ersten System: Ereignisse am selben Ort<br />
im zweiten System: an verschiedenen Orten<br />
Das Zeitintervall für zwei Ereignisse, die man am selben Ort betrachtet, ist<br />
immer kleiner als das Zeitintervall für dieselben Ereignisse, die in einem anderen<br />
Inertialsystem an verschiedenen Orten stattfinden.<br />
Lassen wir also einmal zwei Ereignisse zu den Zeitpunkten t ′ 1 und t′ 2 im Bezugssystem<br />
S ′ am Ort x ′ 0 stattfinden. Mit Hilfe der Lorentz-Transformation<br />
finden wir für die Zeiten t 1 und t 2 in S<br />
( )<br />
( )<br />
t 1 = γ t ′ 1 + vx′ 0<br />
c 2 und t 2 = γ t ′ 2 + vx′ 0<br />
c 2<br />
=⇒ t 2 − t 1 = γ ( t ′ 2 − )<br />
t′ 1<br />
Die Zeit zwischen Ereignissen, die in einem Bezugssystem am selben Ort<br />
stattfinden heisst Eigenzeit:<br />
∆t E = t ′ 2 − t ′ 1 (gemessen in S ′ )<br />
Das Zeitintervall ∆t = t 2 − t 1 ist um den Faktor γ grösser als die Eigenzeit.<br />
Diese Dehnung des Zeitintervalls ∆t im Vergleich zur Eigenzeit ∆t E heißt<br />
Zeitdilatation<br />
∆t = γ∆t E<br />
Beispiele:<br />
1. Zwei Ereignisse finden in S ′ am selben Punkt x ′ 0 zu den Zeiten t′ 1 und<br />
t ′ 2 statt. S′ bewege sich relativ zu S mit der Geschwindigkeit v.<br />
Wie groß ist die räumliche Distanz der Ereignisse in S?<br />
x 1 = γ (x ′ 0 + vt′ 0 )<br />
}<br />
x 2 = γ (x ′ 0 + vt′ 2 ) x 2 − x 1 = γv (t ′ 2 − t′ 1 )<br />
= v(t 2 − t 1 )<br />
Die räumliche Distanz der beiden Ereignisse in S entspricht also der<br />
Entfernung, die ein Punkt in S ′ , beispielsweise x ′ 0 im Zeitintervall zwischen<br />
den Ereignissen in S zurücklegt.<br />
2. Astronauten in einem mit v = 0, 6c von der Erde fortfliegenden Raumschiff<br />
teilen ihrer Bodenstation mit, daß sie ein Nickerchen einlegen und<br />
sich nach einer Stunde wieder melden werden.<br />
Wie lange schlafen die beiden im Bezugssystem der Erde?
172 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
Eigenzeit der Astronauten: 1 Stunde<br />
Im Bezugssystem der Erde legen die Astronauten eine beachtliche Distanz<br />
zurück. Das Zeitintervall im Bezugssystem Erde ist daher länger,<br />
und zwar um γ. Mit v = 0, 6c ergibt sich::<br />
( )<br />
1 − v 2<br />
c<br />
= 1 − (0, 6) 2 = 0, 64<br />
2<br />
1<br />
=⇒ γ = √ − √ 1<br />
0,64<br />
= 1<br />
1− v2<br />
0,8<br />
= 1, 25<br />
c 2<br />
Das Nickerchen dauert im Bezugssystem der Erde also 1,25 Stunden.<br />
8.5 Die Längenkontraktion<br />
Eng mit der Zeitdilatation verwandt ist die Längenkontraktion:<br />
Die Länge eines Objektes gemessen im Ruhesystem heisst Ruhelänge l R . In<br />
jedem Bezugssystem S, in dem sich das Objekt bewegt, ist die dort gemessene<br />
Länge kürzer als die Ruhelänge.<br />
Beweis:<br />
In S ′ ruhe ein Stab der Länge<br />
in S ist die Länge des Stabes<br />
l R = x ′ 2 − x′ 1<br />
l = x 2 − x 1<br />
Dabei ist<br />
x 2 : Position des einen Endes zu einer Zeit t 2<br />
x 1 : Position des anderen Endes zu derselben Zeit t 1 = t 2<br />
x ′ 2 = γ(x 2 − vt 2 )<br />
x ′ 1 = γ(x 1 − vt 1 )<br />
t 2 = t 1 =⇒ x ′ 2 − x′ 1 = γ(x 2 − x 1 )<br />
x 2 − x 1 = 1 γ (x′ 2 − x′ 1 ) = 1 γ l R<br />
Lorentz-Kontraktion<br />
L = L R<br />
1<br />
γ<br />
Beispiel: Myonen-Zerfall<br />
Myonen entstehen, wenn kosmische Strahlung auf die Atmosphäre trifft. Die<br />
dabei entstehenden Myonen zerfallen nach dem Zerfallsgesetz<br />
N(t) = N 0 e (− t τ<br />
)
8.5. DIE LÄNGENKONTRAKTION 173<br />
N 0 : Ursprüngliche Zahl von Myonen bei t = 0<br />
N(t): Anzahl der Myonen zum Zeitpunkt t<br />
τ: Mittlere Lebensdauer ∼ 2 · 10 −6 sec<br />
Da Myonen beim Zerfall von Pionen in einer Höhe von mehreren tausend<br />
Metern entstehen, sollten nur wenige die Höhe des Meeresspiegels erreichen.<br />
v Myon ≃ 0, 998c =⇒ in 2µs l ≃ 600m<br />
Im Bezugssystem der Erde erhöht sich die Lebensdauer des Myons jedoch<br />
um γ<br />
γ(v = 0, 998c) = 15<br />
=⇒ t Zerfall<br />
Myon<br />
= γ · 2µs ≈ 30µs<br />
=⇒ v · t Zerfall<br />
Myon<br />
= 9000m<br />
Das heißt also, aus 9000m im Bezugssystem der Erde werden 600m im Bezugssystem<br />
des Myons.<br />
Test:<br />
Angenommen wir beobachten in 9000m Höhe 10 8 Myonen. Wieviele Myonen<br />
werden wir in Meereshöhe im selben Zeitintervall erwarten?<br />
• Nichtrelativistisch<br />
Ein Myon benötigt für die 9000m die Zeit<br />
9000m<br />
0, 998 · c ≃ 30µs<br />
– das 15-fache der Lebensdauer. Eingesetzt ins Zerfallsgesetz<br />
N 0 = 10 8<br />
N = 10 8 e −15 = 30, 6<br />
t = 15 · τ<br />
Von den ursprünglich 100 Millionen Myonen sollten nur 31 den Meeresspiegel<br />
erreichen, also nicht zerfallen!<br />
• Relativistisch<br />
Die Strecke ist nur 600m lang, die Dauer 2µs = 1τ.<br />
=⇒ N = 10 8 e −1 = 3, 68 · 10 7<br />
Diese Zahl wird auch von den Experimenten bestätigt.
174 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
8.6 Uhrzeitsynchronisation und Gleichzeitigkeit<br />
Definition 29 (Eigenzeit) Die Eigenzeit ist das Zeitintervall zwischen zwei<br />
Ereignissen die in einem Bezugssystem am selben Ort stattfinden.<br />
Die Eigenzeit kann daher nur mit einer einzigen<br />
Uhr gemessen werden!<br />
In einem anderen Bezugssystem, das sich relativ zum ersten bewegt, finden<br />
diese Ereignisse an verschiedenen Orten statt. Der Zeitpunkt des Ereignisses<br />
muss also mit verschiedenen Uhren gemessen werden. Das Zeitintervall ergibt<br />
sich dann durch Subtrahieren der Zeitpunkte. Dazu müssen die Uhren<br />
jedoch synchronisiert sein.<br />
Zwei Uhren, die an einem Bezugssystem synchronisiert sind,<br />
gehen in keinem relativ zum ersten bewegten Bezugssystem synchron.<br />
=⇒ zwei Ereignisse, die in einem Bezugssystem gleichzeitig<br />
stattfinden sind in einem relativ zum ersten bewegten Bezugssystem<br />
nicht gleichzeitig.<br />
In einem Bezugssystem sind zwei Ereignisse gleichzeitig, wenn die von<br />
den Ereignissen ausgesendeten Lichtsignale einen Beobachter, der sich<br />
in der Mitte zwischen den Ereignissen befindet, zur selben Zeit<br />
erreichen.<br />
Werden zwei Uhren in ihrem Ruhesystem synchronisiert, so sind sie in keinem<br />
anderen Bezugssystem synchron. In dem Bezugssystem, in dem die<br />
Uhren sich bewegen, geht die führende Uhr um<br />
∆t s = l R<br />
v<br />
c 2<br />
vor, zeigt also eine spätere Zeit an, wobei l R der Ruheabstand der Uhren<br />
ist.<br />
8.7 Der relativistische Doppler-Effekt<br />
Betrachten wir einmal eine Quelle, die sich mit der Geschwindigkeit v =<br />
const in Richtung eines Beobachters bewegt.<br />
Ab jetzt wird im Ruhesystem des Beobachters gerechnet!
8.7. DER RELATIVISTISCHE DOPPLER-EFFEKT 175<br />
Die Quelle emittiere N elektromagnetische Wellenberge in einem vom Beobachter<br />
gemessenen Zeitintervall ∆t B . Während der erste Wellenberg in dieser<br />
Zeit eine Entfernung c · ∆t B zurücklegt, bewegt sich die Quelle um v · ∆t B<br />
auf den Beobachter zu. Die Wellenlänge der vom Beobachter empfangenen<br />
Welle ist<br />
λ ′ = c·∆t B−v∆t B<br />
N<br />
und die vom Beobachter gemessene Frequenz ist<br />
ν ′ = c λ ′ = c<br />
(c−v)<br />
N<br />
∆t B<br />
= 1<br />
1− v c<br />
N<br />
∆t B<br />
Ist die Frequenz der Welle im Ruhesystem der Quelle gleich ν 0 , so emittiert<br />
sie N = ν 0 ∆t Q Wellenberge im Intervall ∆t Q der Eigenzeit, da im Bezugssystem<br />
der Quelle die Wellen immer am selben Ort emittiert werden. Es gilt:<br />
∆t B = γ∆t Q<br />
=⇒ ν ′ = 1<br />
1 − v c<br />
N<br />
∆t B<br />
= ν 0∆t Q<br />
∆t B<br />
1<br />
1 − v c<br />
= ν 0<br />
γ<br />
1<br />
1 − v c<br />
Die Quelle bewegt sich also auf den Beobachter zu −→ Blauverschiebung<br />
oder für v ≪ c : ν 0 = γν ′ , oder<br />
ν ′ =<br />
√<br />
1 − v2<br />
c 2<br />
1 − v ν 0 =<br />
c<br />
√<br />
1 +<br />
v<br />
c<br />
1 − v ν 0<br />
c<br />
und für eine sich vom Beobachter wegbewegende Quelle ergibt sich<br />
ν ′ =<br />
√<br />
1 − v2<br />
c 2<br />
1 + v ν 0 =<br />
c<br />
√<br />
1 −<br />
v<br />
c<br />
1 + v ν 0<br />
c<br />
Beispiel:<br />
Eine Linie der Balmer-Serie von Wasserstoff hat eine Wellenlänge λ 0 =<br />
656nm. Im Licht einer entfernten Galaxie wird die Wellenlänge dieser Linie<br />
zu λ ′ = 1458nm gemessen. Wie gross ist die Geschwindigkeit, mit der sich<br />
die Galaxie von der Erde wegbewegt?<br />
ν ′ = c λ ′<br />
√<br />
1− v c<br />
1+ v c<br />
ν 0 = c<br />
λ 0<br />
= ν′<br />
ν 0<br />
= λ 0<br />
λ ′<br />
Anmerkung:<br />
Die Rotverschiebung ist eine Verschiebung hin zu längeren Wellenlängen.
176 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
mit β = v c :<br />
1 + β<br />
1 − β = λ′2<br />
λ 2 0<br />
=<br />
1 + β = 4, 94 − 4, 94β<br />
( ) 1458nm 2<br />
= 4, 94<br />
656nm<br />
β =<br />
4, 94 − 1<br />
4, 94 + 1 = 0, 663 = v c<br />
v = 0, 663c<br />
8.8 Das Zwillingsparadoxon<br />
Homer und Odysseus seien eineiige Zwillinge. Odysseus reise mit hoher Geschwindigkeit<br />
zu einem Planeten weit jenseits des Sonnensystems und kehre<br />
schließlich zur Erde zurück, während Homer auf der Erde bleibt.<br />
Welcher Zwilling ist nun nach Odysseus’ Rückkehr älter? – Oder sind sie<br />
beide gleich alt?<br />
Paradoxon<br />
Nach der Reise ist Odysseus jünger als Homer!<br />
Wie kommt denn das? – Die Rolle der Zwillinge ist asymmetrisch.<br />
y<br />
y’<br />
fortflieg Odysseus<br />
Planet<br />
X<br />
v<br />
S’<br />
x’<br />
y’’<br />
zurueck Odysseus<br />
Erde<br />
v<br />
S’’<br />
x’’<br />
S<br />
x<br />
¢¡<br />
Der Planet X und der auf der Erde verbleibende Homer sollen im Bezugssystem<br />
S in einem Abstand l P voneinander ruhen (wir vernachlässigen die
8.8. DAS ZWILLINGSPARADOXON 177<br />
Erdbewegung).<br />
S ′ und S ′′ bewegen sich mit der Geschwindigkeit v auf den Planeten zu,<br />
beziehungsweise vom Planeten fort. Odysseus beschleunigt rasch bis zur Geschwindigkeit<br />
v, ruht dann in S ′ , bis er den Planeten erreicht, an dem er<br />
anhält und für einen kurzen Moment in S ruht.<br />
Dann beschleunigt er rasch auf v in Richtung Erde, ruht in S ′′ bis er die<br />
Erde erreicht und wieder anhält. Die Beschleunigungszeiten seien klein im<br />
Vergleich zu den Ruhezeiten. Wir benutzen<br />
l P = 8LJ<br />
v = 0, 8c<br />
γ =<br />
1<br />
√<br />
1 − v2<br />
c 2 = 5 3<br />
Wir analysieren von Homer’s Sicht aus.<br />
Nach Homer’s Uhr ruht Odysseus jeweils für einen Zeitraum l P<br />
v<br />
= 10Jahre<br />
in S ′ beziehungsweise in S ′′ . Homer ist deshalb um 20 Jahre gealtert.<br />
Das Zeitintervall im Bezugssystem S ′ , in dem Odysseus ruht, ist kürzer, da<br />
es ein Eigenzeitintervall ist. Er braucht nach seiner Uhr für die Strecke von<br />
der Erde zum Planeten<br />
∆t ′ = ∆t<br />
γ<br />
= 10a<br />
5/3 = 6a<br />
benötigt er dieselbe Zeit für den Rückweg, also insgesamt zwölf Jahre!<br />
Odysseus ist nach seiner Rückkehr acht Jahre<br />
jünger als Homer!<br />
Aus Odysseus’ Sicht ist die Distanz zwischen Erde und Planet kontrahiert<br />
und beträgt nun<br />
l ′ = l P<br />
γ = 8LJ = 4, 8LJ<br />
5/3<br />
mit v = 0, 8c braucht er nur sechs Jahre für jeden Weg.<br />
Das Problem liegt darin, aus Odysseus’ Sicht zu verstehen, warum sein Zwillingsbruder<br />
in seiner Abwesenheit um 20 Jahre gealtert ist.<br />
Wenn wir annehmen, dass Odysseus die ganze Zeit ruht und Homer sich<br />
bewegt, sollte Homer’s Uhr langsamer gehen und nur 6a<br />
γ<br />
= 3, 6a für eine<br />
Strecke messen. Warum sollte also Homer nicht nur 7, 2a altern? – Dies ist<br />
das Paradoxon.<br />
Lösung:<br />
Odysseus bleibt nicht immer in einem Inertialsystem.<br />
Was passiert bei seinen Beschleunigungen?<br />
=⇒ Allgemeine<br />
Relativitäts<br />
Theorie
178 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
Versuch einer Erklärung:<br />
Die Kommunikation erfolge über Signale. Die Vereinbarung ist, daß pro Jahr<br />
ein Signal gesendet wird.<br />
Mit v c<br />
Aber:<br />
Die von jedem Zwilling an seinem Ort gemessene Frequenz der<br />
hereinkommenden Signale wird wegen der Doppler-Verschiebung<br />
nicht ein Signal pro Jahr sein.<br />
v2<br />
∼ 0, 8, das heißt<br />
c<br />
≃ 0, 64 folgt, falls sich die Zwillinge entfernen<br />
2<br />
√<br />
√<br />
ν ′ 1 − v2<br />
c<br />
=<br />
2 1 − 0, 64<br />
1 + v ν 0 =<br />
c<br />
1 + 0, 8 ν 0 = 1 3 ν 0<br />
Und damit ist ν ′ = 3ν 0 , falls sie sich einander nähern.<br />
Aus Odysseus’ Sicht:<br />
Während der sechs Jahre, die er von der Erde zum Planeten braucht<br />
(die Distanz ist für ihn ja kontrahiert), misst er eine Frequenz von 1 3<br />
Signal pro Jahr, er empfängt also zwei Signale auf dem Hinweg.<br />
Nach seiner Umkehr erhält er drei Signale pro Jahr, also 18 Signale<br />
auf dem Rückweg.<br />
Odysseus erwartet also, dass Homer um 20 Jahre gealtert ist,<br />
während für ihn selbst erst 12 Jahre vergangen sind.<br />
Aus Homer’s Sicht:<br />
Er misst eine Frequenz von 1 3<br />
Signalen pro Jahr nicht nur während<br />
der zehn Jahre, die Odysseus benötigt, um zum Planeten zu kommen,<br />
sondern auch noch während der Zeit, die das letzte von Odysseus auf<br />
dem Hinweg ausgesandte Signal braucht, um die Erde zu erreichen.<br />
Homer kann nicht wissen, dass Odysseus umgekehrt ist,<br />
bevor er Signale mit erhöhter Frequenz empfängt.<br />
Da der Planet 8LJ entfernt ist, erhält er also weitere acht Jahre lang<br />
Signale mit 1 3<br />
Signal pro Jahr, das heißt während der ersten 18 Jahre<br />
insgesamt sechs Signale. In den verbleibenden zwei Jahren bis zu<br />
Odysseus Rückkehr empfängt Homer drei Signale pro Jahr – zusammen<br />
also sechs Signale.<br />
Homer erwartet demnach, daß Odysseus<br />
um zwölf Jahre gealtert ist.<br />
Hier wird die Asymmetrie in der Rolle der Zwillinge deutlich:<br />
Beide Zwillinge kommen zu dem Ergebnis, daß der Zwilling, der beschleunigt<br />
wurde, nach seiner Rückkehr jünger ist als der auf der Erde gebliebene.
8.9. GESCHWINDIGKEITSTRANSFORMATION 179<br />
8.9 Geschwindigkeitstransformation<br />
Differenzieren wir einmal die Gleichung der Lorentz-Transformation (zur<br />
Erinnerung: Die Transformation für Geschwindigkeiten beim Übergang von<br />
einem zu einem anderen Bezugssystem). Sei also<br />
u ′ x = dx′<br />
dt ′<br />
die Geschwindigkeit eines Teilchens in S ′ . S ′ bewegt sich relativ zu S mit<br />
der Geschwindigkeit v. u ′ x = dx′<br />
dt<br />
in S ist dann<br />
′<br />
dx = γ ( dx ′ + vdt ′)<br />
)<br />
dt = γ<br />
(dt ′ + vdx′<br />
c<br />
u x = dx<br />
dt = u′ x + v<br />
1 + vu′ x<br />
c 2<br />
u ′ x = u x − v<br />
1 − vux<br />
c 2<br />
Entsprechende Transformationen gelten für u y und u z :<br />
u y =<br />
u z =<br />
γ<br />
γ<br />
u ′ y<br />
( )<br />
1 + vu′ x<br />
c 2<br />
u ′ z<br />
( )<br />
1 + vu′ x<br />
c 2<br />
Beispiel: Zwei Flugzeuge fliegen aufeinander zu. Flugzeug 1 hat<br />
eine Geschwindigkeit von v = 0, 8c uns Flugzeug 2 fliegt relativ<br />
zu Flugzeug 1 mit 0, 8c.<br />
vu ′ x<br />
c 2 =<br />
=⇒ u ′ x =<br />
0, 8 · 0, 8 · c2<br />
c 2 = 0, 64<br />
0, 8c + 0, 8c<br />
= 0, 98c<br />
1 + 0, 64<br />
Dies überrascht, denn das klassische Ergebnis wäre 0, 8c+0, 8c =<br />
1, 6c!<br />
Die Lichtgeschwindigkeit c ist für massenbehaftete Teilchen eine nicht<br />
erreichbare Grenzgeschwindigkeit.<br />
Masselose Teilchen wie Photonen bewegen sich immer mit c.
180 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE<br />
8.10 Relativistischer Impuls<br />
Was ist aber mit der Impulserhaltung? Schließlich ändert sich die Masse des<br />
Teilchens.<br />
– Sie gilt weiterhin: Für u c<br />
−→ 0 muss ⃗p −→ m⃗u gehen. Gesucht ist also der<br />
relativistische Impuls und dieser ist<br />
Dabei ist<br />
m r<br />
m 0<br />
⃗p = m r · ⃗u<br />
⃗p = γm 0 ⃗u<br />
⃗p =<br />
m⃗u<br />
√<br />
1 − v2<br />
c 2<br />
relativistische Masse<br />
Ruhemasse<br />
m r = m 0<br />
√<br />
1 − v2<br />
c 2<br />
8.11 Relativistische Energie<br />
Aus der klassischen Mechanik ist die resultierende Kraft F res , die auf einen<br />
Massenpunkt einwirkt gleich der zeitlichen Änderung seines Impulses, vorausgesetzt,<br />
die Kraft wird nicht durch eine Gegenkraft kompensiert. Außerdem<br />
ist die Arbeit gleich der Änderung der kinetischen Energie des Massenpunktes.<br />
Eine analoge Definition gilt in der Relativitätstheorie; wir behandeln<br />
jedoch hier nur den eindimensionalen Fall:<br />
E kin =<br />
=<br />
=<br />
∫ u<br />
u=0<br />
∫ u<br />
0<br />
∫ u<br />
0<br />
F res ds<br />
dp<br />
dt · ds<br />
udp =<br />
mit u = ds<br />
dt<br />
. Weiterhin ergibt sich mit<br />
⎛<br />
d ⎝<br />
m 0u<br />
√<br />
1 − u2<br />
E kin =<br />
∫ u<br />
0<br />
( )<br />
m 0 1 − u2<br />
c 2<br />
c 2 ⎞<br />
∫ u<br />
0<br />
⎛<br />
ud ⎝<br />
m 0u<br />
√<br />
1 − u2<br />
⎠ = m 0<br />
(<br />
⎛<br />
udu = m 0 c 2 ⎝<br />
⎞<br />
⎠<br />
c 2<br />
) −<br />
3<br />
1 − u2 2<br />
c 2<br />
du<br />
1<br />
√ − 1<br />
1 − u2<br />
c 2<br />
⎞<br />
⎠
8.12. NÜTZLICHE GLEICHUNGEN 181<br />
Daher ist<br />
E kin = m 0c 2<br />
√ − m 0 c 2<br />
1 − u2<br />
c 2<br />
Letzteres heißt die Ruheenergie ist<br />
E 0 = m 0 c 2<br />
Die relativistische Gesamtenergie ist<br />
E = E kin + m 0 c 2<br />
Bedeutung:<br />
Bei der Beschleunigung investierte Arbeit wird nicht nur in der Geschwindigkeitserhöhung,<br />
sondern auch im Massenzuwachs deutlich. Für u −→ c<br />
wird m r −→ ∞.<br />
8.12 Nützliche Gleichungen<br />
pc 2 = m 0c 2 u<br />
√<br />
u<br />
c<br />
= pc<br />
E<br />
1 − u2<br />
c 2<br />
= Eu<br />
E 2 = p 2 c 2 +<br />
(m 0 c 2) 2<br />
E ≈ pc für E >> m 0 c 2
182 KAPITEL 8. RELATIVITÄTSTHEORIE