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Umkehrfunktion Station 22
WH: Was ist eine Funktion?
Definition: Eine Funktion f ist eine Zuordnung, bei der jedem Argument x genau ein
Funktionswert y zugeordnet wird. Man schreibt: x → y oder y = f(x).
Um graphisch zu überprüfen, ob eine Zuordnung eine Funktion ist, kann man den „Vertical Line
Test“ verwenden. Man zeichnet in Graphikfenster mit F7-6 eine vertikale Gerade und verschiebt
sie. Schneidet diese Gerade die Funktion mehr als einmal, so ist die Zuordnung keine Funktion.
Funktion
Keine Funktion
Was ist eine Umkehrfunktion?
Gegeben ist nebenstehende Wertetabelle. Gib die Daten in den x –4 –2 0 2 4
DATA/MATRIX-Editor ein. Definiere dann einen Plot und zeichne
y –9 –5 –1 3 7
diese Daten (Scatter als Type, Box als Mark, c1 als x und c2 als y).
Sie liegen auf einer Geraden. Gib die Gleichung dieser Geraden
ein ………………… und zeichne sie mit DrawFunc (F6-2).
Als nächstes vertausche c1 mit c2 und zeichne wieder (Scatter als Type, Cross als Mark, c2
als x und c1 als y). Zeichne auch diese Funktion mit DrawFunc und gib die Gleichung an:
………… (Verwende u.U. ZOOM.)
Wie liegen die beiden Zeichnungen zueinander (ZOOM Square)? ………………………………
Definition: Es sei eine Funktion f gegeben. Kann man jedem Funktionswert y genau ein
Argument x zuordnen, dann heißt die Funktion umkehrbar. Die Umkehrfunktion
bezeichnet man mit f*. Sie ordnet dem Funktionswert von f wieder das Argument
zu.
Wie berechnet man die Umkehrfunktion?
Man vertauscht x und y und rechnet dann y aus:
f: y = 3x – 2 (vertauschen) x = 3y – 2 (y explizit machen) f*: y = (x+2)/3
Wie sieht man am Graph, ob die Funktion umkehrbar ist?
Entwickle analog zum „Vertical Line Test“ einen „Horizontal Line Test“, mit dem man an der
Funktion sieht, ob sie umkehrbar ist oder nicht.
Beispiele:
1. Berechne die Umkehrfunktion zu y = x/2 + 5.
2. y = x 2 ist nicht umkehrbar. Warum? Schränke die Definitionsmenge so ein, dass eine Umkehrfunktion
existiert.
1
3. y = . Ermittle die Umkehrfunktion. Achte auf Definitions- und Wertemenge!
x − 2
Zeichne die Beispiele auch und wende die beiden Tests an!
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Umkehrfunktion Station 22
Gib die Daten in den DATA/MATRIX-Editor ein. Definiere dann einen Plot und zeichne diese
Daten (Scatter als Type, Box als Mark, c1 als x und c2 als y). Sie liegen auf einer Geraden. Gib
die Gleichung dieser Geraden ein 2x – 1 und zeichne sie mit DrawFunc (F6-2).
Als nächstes vertausche c1 mit c2 und zeichne wieder (Scatter als Type, Cross als Mark, c2
als x und c1 als y). Zeichne auch diese Funktion mit DrawFunc und gib die Gleichung an:
(x+1)/2. (Verwende u.U. ZOOM.)
Wie liegen die beiden Zeichnungen zueinander (ZOOM Square)? Symmetrisch bezüglich der
1.Mediane
Wie sieht man am Graph, ob die Funktion umkehrbar ist?
Horizonal Line Test:
umkehrbar
nicht umkehrbar
Beispiele:
1. Berechne die Umkehrfunktion zu y = x/2 + 5:
x = y/2 + 5 ⇒ 2x – y = 10 ⇒ f*: y = 2x – 10
2. y = x 2 ist nicht umkehrbar. Warum?
y = 4 erhält man, wenn x = 2 oder x = –2.
Schränke die Definitionsmenge so ein, dass eine Umkehrfunktion existiert.
D = R 0
+
⇒
f*: y = √x
3. y =
1
. Ermittle die Umkehrfunktion. Achte auf Definitions- und Wertemenge!
x − 2
x =
1
y − 2
⇒ y – 2 = 1/x ⇒ f*: y = 1/x +2
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