Vorlesung Finanzmathematik - an der Fakultät für Mathematik ...

Vorlesung Finanzmathematik 

Markus Fulmek 

Fakultät für Mathematik 

Universität Wien 

6. März 2008 

Markus Fulmek (Universität Wien) VO Finanzmathematik 6. III 2008 1 / 31

Inhaltsverzeichnis 

1 Einleitung 

Die Sprache der Mathematik ≠ Sprache der Finanzwirtschaft 

Bewertung — Was ist ein Finanzinstrument wert? 

Geld: “Meßgröße für Wert” 

Reale Bewertung durch den Markt 


Einleitung 

Finanzmathematik 

Unter dem Begriff Finanzmathematik kann man verschiedenes verstehen: 

Klassische Finanzmathematik: Zinseszinsrechnung, eine Sammlung 

damit zusammenhängender Formeln (meist basierend auf der 

geometrischen Reihe), Versicherungsmathematik; 

Moderne Finanzmathematik: Mathematische Modellbildung für 

ökonomische Phänomene, im wesentlichen Stochastik; 

Praktische Finanzmathematik: “Alles, was ein/e 

Mathematikabsolvent/in an Kenntnissen braucht, um in der 

beruflichen Praxis in Banken und Versicherungen erfolgreich 

aufzutreten”. 


Einleitung 

“Praktische Finanzmathematik” 

Im Rahmen dieser zweistündigen Vorlesung behandle ich Themen der 

praktischen Finanzmathematik: Es geht also um konkrete Fragestellungen 

mit mathematischen Hintergrund, die in der finanzwirtschaftlichen Praxis 

wichtig sind. Dazu werde ich 

Die entsprechenden Begriffe aus der Praxis erklären, 

Die jeweiligen Hintergründe (wirtschaftlich, rechtlich, technisch, . ..) 

erläutern, 

Die gängigen mathematischen Methoden besprechen, die hier 

verwendet werden. 

Die Darstellung muß dabei teils kursorisch bleiben: Ich biete hier keine 

umfassende Einführung in Bank– und Versicherungswirtschaft, aber auch 

keine tieferliegenden mathematische Theorie (wie z.B. stochastische 

Differentialgleichungen), die in der modernen Finanzmathematik eine 

zentrale Rolle spielt. 


Einleitung 

Themen der Einleitung 

Der Zweck dieses einleitenden Kapitels ist ein erstes “Kennenlernen” 

von (finanz–)wirtschaftlichen Begriffen und Problemstellungen 

und von entsprechenden mathematischen Beschreibungen 

(“Modellen”) und Lösungsansätzen. 

Diese Themen werden in den folgenden Kapiteln detaillierter behandelt. 


Einleitung 


Wissenschaft und Praxis: Sprachliche Unterschiede 

Mathematikerinnen und Mathematiker müssen in der Finanzwirtschaft 

“umdenken”: 

In der Mathematik werden Begriffe möglichst präzise gefaßt, das 

Streben nach Einheitlichkeit in Begriffen und Notationen ist groß, und 

Beweise für Behauptungen werden in der größten logischen Strenge 

geführt, 

In der Finanzwirtschaft hingegen sind Begriffe oft verschwommen und 

mehrdeutig — Gerade “mathematisch klingende” Begriffe (wie z.B. 

“Korrelation”, “erwarteter Gewinn”, “unabhängige Ereignisse”) muß man 

häufig eher als “Metaphern” begreifen — , für ein und denselben 

Sachverhalt gibt es typischerweise viele synonyme Bezeichnungen, 

und für Behauptungen genügt meist ein überzeugendes 

Plausibilitätsargument. 


Einleitung 

Darstellung hier: “Mathematik–analog” 


Dieser Unvereinbarkeit von mathematischer und “wirtschaftlicher” Denk– 

und Ausdrucksweise entgeht man nur in der “reinen” Finanzmathematik. 

Ich werde in der Folge eine Darstellung geben, die der in der reinen 

Mathematik üblichen ähnlich ist und insbesondere Elemente wie 

Definitionen, Sätze und Beweise enthält — nur daß diese Elemente bei 

weitem nicht den Exaktheitsgrad haben wie in der reinen Mathematik. 


Einleitung 


Vokabel: “Finanzinstrument” 

Begriff (Finanzinstrument) 

Unter dem Begriff Finanzinstrument wollen wir hier alle Arten von Gütern 

oder Verträgen verstehen, die man bei Banken oder Versicherungen kaufen 

bzw. abschließen kann, oder die an Börsen gehandelt werden. Insbesondere 

zählen dazu: 

Sparkonto (weitgehend synonym: Sparbuch) und Kredit 

(Rahmenkredit oder Darlehen), 

Versicherungspolizze (weitgehend synonym: Versicherungskontrakt), 

Anleihe und Aktie 

Derivate (Swaps, Futures, Optionen). 

Synonyme Begriffe: Finanzprodukt; im Zusammenhang mit Derivaten auch 

Underlying. 


Einleitung 


Vokabel: Börsliche/außerbörsliche (OTC) Deals 

Begriff (Finanzmarkt) 

Der Handel mit Finanzinstrumenten findet weltweit an Börsen und 

zwischen Banken (Interbankenhandel) und anderen Teilnehmern 

(Versicherungen, Broker, große Unternehmen) statt: Diesen großen (teils 

virtuellen) Markt bezeichnet man als Finanzmarkt (weitgehend synonym: 

Kapitalmarkt). Wenn Finanzinstrumente nicht über die Börse gehandelt 

werden, spricht man von Over–The–Counter–Geschäften oder kurz 

OTC–Geschäften; synonym: Außerbörsliche Geschäfte. Statt “Geschäft” 

verwendet man in der Praxis auch die englischen Synonyme Deal, Trade 

oder Transaction. 


Einleitung 

Bewerten: “Umrechnen in Geld” 


Unter “Bewertung eines Finanzinstruments F” verstehen wir die 

Bestimmung eines Preises für F. (Bei Wertpapieren verwendet man auch 

die Bezeichnung Kurs statt Preis.) Preise sind Zahlenangaben in 

Geldeinheiten: Eine ökonomische Theorie zur Rolle des Geldes in 

Wirtschaft und Gesellschaft können wir hier nicht entwickeln, wir 

begnügen uns mit einer einfachen Begriffsbestimmung. 

Begriff (Geld) 

Unter Geld verstehen wir zunächst die (europäische) Heimatwährung 

EURO (¤, EUR); dann aber auch Fremdwährungen wie Dollar ($, USD), 

Schweizer Franken (CHF) oder Yen (JPY). 

Für unsere Zwecke ist “Geld” eine allgemein übliche “Meßgröße für Wert” 

— Bewerten heißt daher im wesentlichen “Umrechnen in Geld”. 


Einleitung 


Umrechnung von Geld in Geld: Wechselkurse. 

Aus dem Umstand, daß es verschiedene Währungen gibt, ist klar, daß eine 

Bewertung eines Finanzinstruments erst dann komplett ist, wenn man die 

Währung dazusagt, also z.B. 

Dollar–Wert von Aktie A = 141.50$. 

Wenn man die Währungsangabe wegläßt, ist in der Regel die 

Heimatwährung (englisch: Domestic Currency) — für uns also¤— 

gemeint. 

Um den EURO–Wert von Aktie A zu erhalten, muß man Dollars in EURO 

umrechnen, also den (Dollar–)Preis c für einen EURO kennen: 

Dollar–Wert von 1¤ = c $, 

EURO–Wert von Aktie A = 141.50 

c 

Diese “Preise von Geld” bezeichnet man als Wechselkurse. 

Markus Fulmek (Universität Wien) VO Finanzmathematik 6. III 2008 11 / 31 

¤.

Einleitung 


Umrechnung von Geld in Warenkörbe: “Kaufkraft”. 

Es gilt “definitionsgemäß”: 

EURO–Wert von 1¤ = 1¤. 

Was soll es also bedeuten, wenn von “Geldentwertung” die Rede ist? 

In der Regel ist ja nicht der Besitz von Geld an sich erfreulich, sondern die 

Tatsache, daß man damit verschiedene Konsum– oder auch Luxusgüter 

kaufen kann. Geld hat also eine Kaufkraft, und die kann mit der Zeit 

geringer werden (was gleichbedeutend damit ist, daß die Güter teurer 

werden). 


Inflation. 

Einleitung 


Um diese “Kaufkraft” geeignet zu quantifizieren, definieren die Volkswirte 

den sogenannten Laspeyres–Verbraucherpreisindex als die Kosten für ein 

festes Güterbündel X := (X 1 ,...,X n ) (man muß sich hier z.B. vorstellen: 

X 1 gleich 6 Eier, X 2 gleich 1 Laib Brot, etc.) zu einem festen Zeitpunkt t. 

VPI(t)¤ := EURO–Wert des Güterbündels X im Zeitpunkt t. 

Inflation bedeutet nun einfach, daß der Verbraucherpreisindex VPI(t) im 

Zeitablauf ansteigt: “Das Leben wird teurer”, die Kaufkraft des Geldes 

sinkt. Diese Veränderung wird meist in Prozent (also in Hundertstel) 

ausgedrückt: 

(( ) ) 

VPI(t1 ) 

Inflationsrate in Periode (t 0 ,t 1 ) := 

VPI(t 0 ) − 1 × 100 %. 


Einleitung 


Laspeyeres–Güterbündel: “Zeitinvariantes Nutzenmaß”. 

An sich ist ja “Geld” die übliche Meßgröße für “Wert”: Aber natürlich 

könnte man Werte auch in Einheiten des Güterbündels X ausdrücken. Das 

ist zwar unüblich, hätte aber den Vorteil, daß die Annahme 

Wert von X ist “zeitinvariant”: 

Der Wert (im Sinne von “individueller Nutzen”) von X ist zu allen Zeiten 

derselbe 

plausibel erscheint. 

Unter dieser Annahme könnte man Geld, “das in der Zukunft zur 

Verfügung steht” umrechnen in Geld, “das heute zur Verfügung steht”, in 

folgendem Sinn: 


Einleitung 

Gegenwartswert (Barwert). 


Sei t 0 der aktuelle Zeitpunkt (i.e.: jetzt) und t 1 ein Zeitpunkt in der 

Zukunft: Würden wir die Inflationsrate in Periode (t 0 ,t 1 ) genau 

vorhersagen können, dann könnten wir auch genau bestimmen, wieviel ein 

¤, den wir im Zeitpunkt t 1 besitzen, im Zeitpunkt t 0 (also jetzt) wert ist 

(ausgedrückt in¤): 

t 0 t 1 

VPI(t 0 ) 

VPI(t 1 ) ¤ 

1¤ 

1 

X VPI(t 1 ) 

1 

X VPI(t 1 ) 


Einleitung 


Gegenwartswert (Barwert). 

Begriff (Barwert) 

Für diesen jetzigen Wert führen wir den Begriff Gegenwartswert oder 

Barwert (englisch: Present Value) und die Notation PV ein. 

In dieser Betrachtungsweise gilt also: 

PV (Wert von 1¤zum Zeitpunkt t 1 ) = VPI(t 0) 

VPI(t 1 ) ¤. 


Einleitung 


Barwert: In Wahrheit durch Zinsen bestimmt. 

Diese Betrachtungen zur Inflation illustriert, daß man nicht nur Beträge in 

verschiedenen Währungen ineinander umrechnen kann, sondern auch 

Beträge in derselben Währung, aber zu verschiedenen Zeiten. In der Praxis 

spielt dabei aber nicht der Begriff Inflation die entscheidende Rolle, 

sondern der Begriff Verzinsung. 

Beispiel (Zinseszinsrechnung) 

Was ist (für mich) ein¤in 3 Jahren wert, wenn mir meine Bank für eine 

Spareinlage mit 3–jähriger Zinsbindung einen annualisierten Zinssatz von 

4% bietet? 

PV (1¤in 3 Jahren) = (1.04) −3 ≃ 0.888996 

(Hier haben wir die Angabe der “Heimatwährung”¤weggelassen; das 

werden wir in der Folge auch meist so halten.) 


Einleitung 


Zeitwert des Geldes: Diskontfaktoren. 

Begriff (Diskontfaktor) 

Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten (aber in derselben Währung) 

werden durch Diskontfaktoren D(T) für Laufzeit T ineinander 

umgerechnet; T wird dabei üblicherweise in Jahren gemessen: 

D(T) := PV (1 Geldeinheit in T Jahren) . 

Annahme 

Im “Normalfall” nehmen wir an: 

PV (Z Geldeinheiten in T Jahren) = Z · D(T) . 


Einleitung 


Matthäus 25,29 

Matthäus 25,29: 

Denn wer da hat, dem wird gegeben werden, daß er Fülle habe; wer aber 

nicht hat, von dem wird auch genommen, was er hat. 

Bemerkung 

In Wahrheit stimmt diese Annahme nicht: Der Zinssatz (und damit der 

Barwert) hängt auch vom Volumen ab! Wenn ich 1Mio.¤ auf ein 

Sparbuch lege, werde ich (meist) einen besseren Zinssatz erhalten, als 

wenn ich dasselbe nur mit 1000¤tue. 

Dennoch kann sie in vielen typischen Fällen als “hinreichend gute 

Näherung” betrachtet werden und wir werden in der Folge meist damit 

arbeiten. 

Mit Zinsen werden wir uns noch sehr viel beschäftigen — dabei wird es 

aber meist um Interbankengeschäfte gehen. 


Einleitung 


Zinsen für den Privatkunden. 

Bemerkung 

Für einen Privatkunden wird der Zinssatz, der für eine Spareinlage erzielt 

wird, abhängen von: 

Der “allgemeinen” Zinslandschaft, 

Der Laufzeit (Zinsbindung), 

Der Bonität der Bank (Banken mit schlechterer Kreditwürdigkeit 

müssen i.d.R. höhere Zinsen bieten), 

Der Höhe der Spareinlage (Volumen), 

Und nicht zuletzt: Dem persönlichen Verhandlungsgeschick. 


Einleitung 

Nominal– und Realverzinsung. 


Das verzinsliche Anwachsen von Kapital im Zeitablauf bezeichnet man 

auch als Nominalverzinsung. Diese kann in einen “Kaufkraftzuwachs” 

(ausgedrückt in Einheiten des Laspeyres–Güterbündels X) umgerechnet 

werden, indem man sie mit der gleichzeitig stattfindenden Entwicklung der 

Kaufkraft (Inflation) in Beziehung setzt: Das Ergebnis bezeichnet man als 

Realverzinsung. 


Einleitung 


Beispiel: Nominal– und Realverzinsung. 

Beispiel 

Sei der (Nominal–)Zinssatz für ein Jahr r = 10%, und sei die jährliche 

Inflation i = 5%; dann wächst zwar eine Summe von 1000¤verzinslich 

auf 1100¤, der Kaufkraftzuwachs beträgt aber nur 

oder in Prozenten ausgedrückt: 

( 1100 

1.05·VPI(0) 

1000 

VPI(0) 

1000 1100 

−→ 

VPI(0) VPI(1) = 1100 

1.05 · VPI(0) , 

− 1 

) 

≃ 4.7619%, 

d.h., die Realverzinsung beträgt nur etwa 4.7619%. 


Einleitung 


Bewertung? — “In Wahrheit” durch den Markt. 

Die einzig gültige Antwort auf die Frage 

Was ist ein Finanzinstrument wert? 

liefert der Markt: 

Wenn ich wissen will, wieviel¤ich für meine Aktie bekomme, muß 

ich mir einen anderen Marktteilnehmer suchen (typischerweise über 

eine Börse), der sie mir abkauft — zum sogenannten Bid–Kurs, 

Wenn ich wissen will, wieviel¤ich für eine Aktie zahlen muß, muß 

ich mir einen anderen Marktteilnehmer suchen, der sie mir verkauft 

— zum sogenannten Ask–Kurs. 


Einleitung 


Spread := Ask − Bid > 0. 

Für viele Finanzinstrumente werden von professionellen Marktteilnehmern 

(“Market Makers”) Bid– und Ask–Kurse laufend veröffentlicht 

(“quotiert”, denn diese Kurse heißen im Englischen Quotes), dabei wird 

man in der Regel feststellen: 

http://glossary.reuters.com: 

The bid, by definition, is always below the ask and is always the first 

quoted price. The difference between the two quotes is known as the 

spread. 

Die Differenz 

(Ask–Quote) − (Bid–Quote) 

ist also (fast) immer positiv und wird als Spread (Bid–Ask–Spread) 

bezeichnet. 


Einleitung 


Preisfindung an einer Börse. 

Die herkömmliche Preisfindung an einer Aktienbörse funktioniert (etwas 

vereinfachend dargestellt) so, daß potentielle Käufer und Verkäufer Gebote 

abgeben, die im wesentlichen 

die angebotene bzw. nachgefragte Stückzahl der Aktien, 

und die Mindestpreise (bei Verkäufen) bzw. Höchstpreise (bei 

Käufen), die dafür akzeptiert werden 

beinhalten. 


Einleitung 


Beispiel: An– und Verkaufsgebote. 

Beispiel 

Zum Beispiel könnten diese An– und Verkaufsgebote so aussehen: 

Preis Angebot Nachfrage Preis Angebot Nachfrage 

170 0 4800 205 2500 1000 

175 0 1370 210 3750 1500 

180 0 2500 215 5100 0 

185 0 6100 220 4900 0 

190 0 4700 225 5600 0 

195 800 3500 230 7100 0 

200 1370 2750 


Einleitung 


Angebots– und Nachfragekurve. 

Wenn man nun einfach aufsummiert, erhält man für jeden Preis p 

die Menge (Stückzahl) der Aktien, die zu diesem Preis insgesamt 

angeboten wird (also die Summe jener Verkaufsgebote, deren 

Mindestpreis kleiner oder gleich p ist), 

die Menge (Stückzahl) der Aktien, die zu diesem Preis insgesamt 

nachgefragt wird (also die Summe der Ankaufsgebote, deren 

Höchstpreis größer oder gleich p ist). 

Angebot bzw. Nachfrage erscheinen also als Funktion des Preises: Die 

Ökonomen sprechen von Angebotskurve bzw. Nachfragekurve. Es ist 

“konstruktionsbedingt” klar, daß in dieser einfachen Situation 

die Angebotskurve monoton steigend ist, 

und die Nachfragekurve monoton fallend ist. 


Einleitung 

Angebots– und Nachfragekurve: Graphik. 


Die folgende Abbildung zeigt die Angebots– und Nachfragekurve, die sich 

aus der Marktsituation in unserem Beispiel ergibt. 

30000 

25000 

20000 

15000 

10000 

5000 

demand 

supply 

180 190 200 210 220 230 


Einleitung 


Börsekurs = Gleichgewichtspreis = Umsatzmaximierer. 

Die Ökonomen würden sagen: “Der Marktpreis liegt dort, wo sich 

Angebots– und Nachfragekurve schneiden” (und zwar aufgrund eines 

“Gleichgewichtsarguments”: Bei jedem anderen Preis ergibt sich ein 

Überangebot oder ein Nachfrageüberhang, also ein Ungleichgewicht, und 

Ungleichgewichte haben in der Regel nicht lange Bestand ...). 

Die Börse sieht das viel nüchterner: Sie möchte erreichen, daß möglichst 

viel Umsatz erreicht wird (das maximiert nämlich zugleich ihre Gebühren). 

Mathematisch ausgedrückt, bedeutet dies: 

Betrachte die Kurve, die sich als Minimum von Angebots– und 

Nachfragekurve ergibt, 

Auf der so konstruierten Kurve suche das Maximum auf. 


Einleitung 


Umsätze: Graphik. 

Die folgende Abbildung zeigt die “Kurve der möglichen Umsätze”, die 

sich aus unserer “Beispiel–Marktsituation” ergibt: Wie man sieht, liegt der 

optimale Preis hier bei 205, der Umsatz bei diesem Preis wäre 2500 Stück. 

Menge 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

180 190 200 210 220 230 Preis 


Einleitung 


Andere Börse–Systeme: Market–Maker. 

Bemerkung 

An vielen modernen Börsen (insbesondere Termin– und Optionsbörsen) 

funktioniert die Preisbildung anders: Sogenannte Market–Maker (das sind 

in der Regel Banken oder Broker) verpflichten sich, An– und Verkaufskurse 

(Bid und Ask) zu stellen, und zwar 

“fast immer” während der Börsezeiten, 

für “übliche Mengen”, 

und mit einem Spread (Abstand zwischen Ankaufskurs und 

Verkaufskurs) unterhalb einer gewissen Schwelle.

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