Aufgabe „Offenes Pflaster“

Aufgabe „Offenes Pflaster“
Bei einer wasserdurchlässigen Befestigung einer Garageneinfahrt mit Rasengittersteinen
können die Niederschläge wieder im Erdreich versickern und in die Grundwasserströme
gelangen. Dadurch bleibt der Wasserkreislauf erhalten und die Niederschlagswasser
werden nicht direkt über den Kanal in die Flüsse abgeleitet.
Das linke Bild zeigt einen solchen
Rasengitterstein. Er besteht aus
wasserdurchlässigen Öffnungen
und wasserundurchlässigen
Betonteilen. Der 40 x 60 x 10 cm
große Rasengitterstein besteht aus
6 gleichartigen offenen
Pflastersteinen. Das rechte Bild
zeigt Form und Maße eines dieser
offenen Pflastersteine.
a) Herrn Meiers Garageneinfahrt ist 8 m lang und 6 m breit. Wie viele solche
Rasengittersteine werden benötigt?
b) Wie viel Prozent der gesamten Garageneinfahrt bestehen dann aus den
wasserdurchlässigen Öffnungen?
c) Herr Meier entdeckt auf einer Palette
im Hof eines Baumarktes einen Stapel
mit Rasengittersteinen (s. Bild). Wie
viele Rasengittersteine befinden sich
auf der Palette, wenn sie lückenlos
aneinandergereiht auf der Palette
aufgestapelt sind? Erläutere, wie du
deren Anzahl bestimmst.
d) Kann man mit einem LKW mit 7,5 Tonnen Ladegewicht alle benötigten Rasengittersteine
in einer Fahrt anliefern? (Dichte von Beton: 2,3 g/cm3).
Lege dar, wie du zu deiner Lösung gekommen bist.

Teilaufgabe a) gehört zur Leitidee Messen. Zu ihrer Lösung müssen zuerst der
Aufgabentext sinnentnehmend gelesen und relevante von irrelevanten Informationen
unterschieden werden (dies ist ein wesentlicher Teil der Kompetenz Kommunizieren). Die
Übersetzung der Realsituation in die Mathematik (ein Teil der Kompetenz Modellieren)
ist durch die Zeichnung eines Pflastersteins teilweise geleistet, es fehlt aber noch eine
geometrische Repräsentation der Garageneinfahrt. Mit Hilfe einer solchen Repräsentation
(Kompetenz Darstellungen verwenden) muss dann der - sehr einfache - Lösungsplan
zurechtgelegt werden (Beziehung zwischen Garageneinfahrt und Rasengittersteinen
herstellen - dies gehört zur Kompetenz Probleme lösen). Dann wird gerechnet (Kompetenz
symbolisch/technisch/formalesArbeiten, hier ebenfalls sehr einfach), und das Ergebnis
(200) wird dann in die Realsituation zurückübersetzt (erneut Kompetenz Modellieren).
Wegen der Lese-Anforderungen wird diese Teilaufgabe in Anforderungsbereich II
eingeordnet.
Teilaufgabe b) gehört in erster Linie zur Leitidee Messen, wobei durch die
Verhältnisbildung auch die Leitidee Zahl involviert ist. Es müssen zwei Flächeninhalte
berechnet und zueinander in Beziehung gesetzt werden. Involviert sind wieder
Kommunizieren, Modellieren, Probleme lösen, Darstellungen verwenden und
symbolisch/technisch/formales Arbeiten. Die Lese-Anforderungen und die Mehrschrittigkeit
verweisen auf Anforderungsbereich II.
Teilaufgabe c) eröffnet einen neuen Problemkontext. Da es um eine Anzahlbestimmung
geht, gehört die Aufgabe zur Leitidee Zahl. Anhand des Fotos (Darstellungen verwenden)
ist eine einfache Zählstrategie zu entwerfen (Probleme lösen) und zu erläutern
(Kommunizieren). Die nötige Übersetzung Realsituation H Mathematik (Modellieren) ist
hier trivial. Diese Teilaufgabe kann man noch bei Anforderungsbereich 1 verorten.
Teilaufgabe d) gehört zur Leitidee Messen und ist etwas komplexer. Es muss aus den
verstreut gegebenen Informationen das Gewicht aller benötigten Rasengittersteine
berechnet und das Ergebnis mit dem Ladegewicht des LKWs verglichen werden. Die
benötigten Kompetenzen sind Kommunizieren (Text lesen und Antwort darlegen),
Modellieren (Übersetzen der Situation in Rechnungen und Interpretieren des Ergebnisses
in der Realität), Probleme lösen (einen passenden Lösungsgang zurechtlegen) und
symbolisch/technisch/formales Arbeiten (diverse Rechnungen ausführen). Ob die
geforderte rechnerische Begründung bereits eine nennenswerte Ausprägung der
Kompetenz Argumentieren ist, ist eher zu verneinen. Wegen ihrer Mehrschrittigkeit lässt
sich diese Aufgabe in Anforderungsbereich II einordnen.
Insgesamt ist die Aufgabe keineswegs ungewöhnlich, dennoch hebt sie sich durch ihre
breiteren Kompetenzanforderungen von den üblichen Aufgaben ab. Hier ist eine
wichtige Erläuterung angebracht, die für alle Kapitel dieses Buches gilt. Wenn wir über
„in die Aufgabe involvierte Kompetenzen" oder „für die Aufgabe erforderliche
Kompetenzen" reden, so liegt eine kognitive
Analyse der Aufgabe auf theoretischer Ebene zu Grunde. Am Beispiel von
Teilaufgabe a): Wer die Aufgabe auf welchen Wegen auch immer löst, muss
den Text verstehen, einen Lösungsweg zurechtlegen, mit Darstellungen
umgehen, dir Situation mathematisieren, muss rechnen und das Ergebnis
interpretieren. Wie im Detail gerechnet wird, welche Darstellungen im
Einzelnen verwendet werden, wie der Bezug zwischen Form und Größe der
Garageneinfahrt sowie Form und Größe der Rasengittersteine mental
hergestellt wird, all das ist Sache des einzelnen Aufgabenbearbeiters.

Ähnliches gilt für die Einordnung in die drei Anforderungsbereiche, auch sie
geschieht auf theoretischer Ebene. Insofern kann die Aufgabe a priori in das
dreidimensionale Kompetenzmodell eingeordnet werden. Natürlich ist es
dann hochinteressant zu sehen, wie Individuen die Aufgabe lösen, welche
unterschiedlichen Vorgehensweisen erkennbar sind. Hier drei
Schülerlösungen zu Teilaufgabe a):
Schüler 1 macht sich eine genaue Vorstellung von der Garageneinfahrt und erkennt, wie viele
Steine jeweils nebeneinander passen, nämlich 10 bzw. 20. Dies führt folgerichtig zum Ergebnis
10 • 20 = 200.
Schüler 2 betrachtet nur die Flächeninhalte, nicht die Flächen selber. Er kommt so auch zum
richtigen Ergebnis 200, hat dabei aber nicht mitbedacht, ob man womöglich Steine zerteilen
müsste.
Schüler 3 berechnet ebenfalls nur die Flächeninhalte, nimmt jedoch für die Rasengittersteine
offenbar eine andere Form an. Die verwendete Formel und die Division durch 6 deuten
darauf hin, welche Form das war: Er betrachtet nur ein einzelnes Achteck. Das Ergebnis
ist naturgemäß falsch, vorsichtiger: Die Zahl 360 beantwortet eine andere, hier nicht gestellte
(da nicht sinnvolle) Frage (Welche kann das sein?).
(Quelle: Praxisbuch Bildungsstandards Mathematik: konkret (Broschiert) von Werner Blum, Christina
Drüke-Noe, Ralph Hartung, Olaf Köller)