Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Für
T = t erhalten wir
( und es gilt weiters die Beziehung B B exp( f ( t,
s)
ds)
f t,
t)
= r
t
T
t
T
∫
= .
Diese Definition von f ( t,
T ) überträgt den uns bereits bekannten Begriff des Forward-Rate-Prozesses aus dem
zeitdiskreten endlichen Modell auf das kontinuierliche Modell.
Ohne näher auf die genaue Ableitung der Zinsstruktur und ihrer wirtschaftlichen Bedeutung einzugehen ist jedoch
anzumerken, dass sich die Form der Zinskurve als Variable von t ändert. Die folgende Grafik zeigt die Zinsstrukturkurve
der Deutschen Bundesanleihen zu vier unterschiedlichen Stichtagen:
t
Beispiele für „einfache“ Modelle in dem Sinn, dass die
gesamte Zinskurve ausschließlich von einer stochastischen
Zinsstrukturkurve von Bundesanleihen (Quelle: Bundesbank)
Null - Kupon - Anleihen mit Laufzeiten 1 bis 10 Jahre
Variablen - dem Spot-Rate-Prozess ( r t
) - abhängt:
6,0%
Spot-Rate-Prozess nach der Brownschen Bewegung:
r = r + σ mit
t
W t
r > 0 Konstante
σ ≥ 0 Fluktuationsmaß für die Abweichung von r
W
t
standardisierter Wiener-Prozess
d.h. Spot-Rates sind normalverteilt mit dem konstanten
Durchschnittliche Verzinsung
5,0%
4,0%
3,0%
2,0%
1,0%
29.Dez.2000
31.Mär.2005
30.Dez.2003
30.Jun.2006
2
Mittelwert r und mit der Varianz σ t . Damit können nur
„flache“ Zinskurven modelliert werden, jedoch haben
volatile Zinsen Einfluss auf arbitragefreie Preise!
0,0%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Laufzeit in Jahren
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 8