Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...
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(stochastische) Modellierung <strong>der</strong> risikolosen Z<strong>in</strong>sen<br />
Konstruktion: Forward-Rate-Prozess im endlichen zeit<strong>diskreten</strong> Modell: siehe Abschnitt 2.1.5 Anmerkung 2<br />
Vorausset<strong>zu</strong>ng:<br />
es existiert e<strong>in</strong>e geeignete Handelsstrategie, <strong>der</strong>en Rückflüsse <strong>zu</strong>standsunabhängig (risikolos) s<strong>in</strong>d<br />
Postulat: <strong>zu</strong> jedem Zeitpunkt s gibt es e<strong>in</strong>en Geldmarktz<strong>in</strong>s r s<br />
(spot rate bezeichnet) mit Bt<br />
= exp( rs<br />
ds)<br />
Marktbetrachtung<br />
wobei r s<br />
im Allgeme<strong>in</strong>en durch e<strong>in</strong>en stochastischen Prozess gegeben ist.<br />
Für risikolose Staatsanleihen unterschiedlicher Laufzeiten <strong>zu</strong> e<strong>in</strong>em gegebenen Zeitpunkt t ist die durchschnittliche<br />
kont<strong>in</strong>uierliche Verz<strong>in</strong>sung y ,<br />
über e<strong>in</strong>e fixe Laufzeit ( T − t)<br />
mit T > t durch die Beziehung<br />
t T<br />
B<br />
y<br />
t,<br />
T<br />
( T − t)<br />
= ln(<br />
B<br />
T<br />
t<br />
)<br />
gegeben, die man auch als Z<strong>in</strong>sstruktur (engl. Yield Curve) bezeichnet. Die Variable y<br />
t , T<br />
(auch mit Yield to Maturity<br />
bezeichnet) gibt somit den jährlichen Ertrag an, mit <strong>der</strong> e<strong>in</strong> <strong>der</strong> Bonität des Staates vertrauen<strong>der</strong> Investor für die Laufzeit<br />
( T − t) mit Sicherheit rechnen kann.<br />
Die Größe P( t,<br />
T ) ≡ ( B t<br />
/ BT<br />
) bezeichnet man auch als Zero-Bond-Preis. Darunter versteht man den Wert e<strong>in</strong>er Gelde<strong>in</strong>heit<br />
<strong>zu</strong>m Zeitpunkt t , über die man aber erst <strong>zu</strong> e<strong>in</strong>em späteren Zeitpunkt T - aber hier mit Sicherheit - verfügen kann.<br />
Wir def<strong>in</strong>ieren nun die Forward-Rate f ( t,<br />
T ) für diesen Markt als Ableitung <strong>der</strong> Bondpreise nach dem Parameter T :<br />
∂<br />
∂<br />
f ( t,<br />
T ) ≡ ( yt, T<br />
( T − t))<br />
= − ln P(<br />
t,<br />
T )<br />
∂T<br />
∂T<br />
30.11.2006 2.2.3 Z<strong>in</strong>smodellierung 7<br />
t<br />
∫<br />
0