Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...
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Def<strong>in</strong>ition<br />
E<strong>in</strong> stochastischer Prozess S<br />
t<br />
heißt Ito-Prozess, wenn<br />
S<br />
t<br />
= x +<br />
t<br />
∫<br />
∫<br />
µ ds + σ<br />
sdWs<br />
bzw. dSt<br />
µ<br />
tdt<br />
+ σ<br />
tdWt<br />
t<br />
s= 0 s=<br />
0<br />
t<br />
S =<br />
= mit<br />
0<br />
wobei x ∈ IR , W<br />
s<br />
e<strong>in</strong> standardisierten Wienerprozess sowie µ<br />
s<br />
, σ<br />
s<br />
adaptierte Prozesse s<strong>in</strong>d, welche die<br />
t<br />
t<br />
2<br />
Integrabilitätsbed<strong>in</strong>gungen ∫ µ<br />
s<br />
ds < ∞ , ∫σ s<br />
ds < ∞ erfüllen.<br />
s=<br />
0<br />
s=<br />
0<br />
0<br />
x<br />
d<br />
E t<br />
S<br />
dτ<br />
d<br />
d<br />
vart<br />
τ<br />
[<br />
τ<br />
]<br />
τ = t<br />
= µ<br />
t<br />
Än<strong>der</strong>ung des Preises <strong>von</strong><br />
τ<br />
S bezüglich des bed<strong>in</strong>gten Erwartungswertes<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( Sτ )<br />
τ = t<br />
= σ<br />
t<br />
Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> bed<strong>in</strong>gten Varianz <strong>von</strong> S<br />
τ<br />
wobei vart<br />
( X ) ≡ Et[<br />
X ] − ( Et[<br />
X ]) .<br />
Black-Scholes:<br />
Ito-Prozess:<br />
µ<br />
t<br />
= St<br />
µ , d.h. <strong>der</strong> „Drift“ (erwarteter Return) ist proportional <strong>zu</strong>m aktuellen Preis<br />
gesamte Informationen bis <strong>zu</strong>m Zeitpunkt t gehen <strong>in</strong> den Driftterm e<strong>in</strong>; analog für σ<br />
t<br />
Ito’s Lemma<br />
Für e<strong>in</strong>en Ito-Prozess<br />
dX<br />
t<br />
= µ dt + σ dW und e<strong>in</strong>e zweimal stetig differenzierbare Funktion G IR<br />
2 → IR<br />
t<br />
t<br />
t<br />
: gilt, dass<br />
Yt ≡ G( X<br />
t<br />
, t)<br />
ebenfalls e<strong>in</strong> Ito-Prozess ist, <strong>der</strong> die folgende partielle stochastische Differentialgleichung erfüllt:<br />
2<br />
⎡ ∂<br />
∂ 1 ∂<br />
2<br />
⎤ ∂<br />
dYt<br />
= ⎢ G(<br />
X<br />
t<br />
, t)<br />
µ<br />
tdt<br />
+ G(<br />
X<br />
t<br />
, t)<br />
+ G(<br />
X<br />
t<br />
, t)<br />
σ<br />
t<br />
dt + G(<br />
X<br />
t<br />
, t)<br />
σ<br />
tdW<br />
2<br />
t<br />
x<br />
t 2 x<br />
⎥<br />
.<br />
⎣∂<br />
∂<br />
∂<br />
⎦ ∂x<br />
30.11.2006 2.2.4 Erweiterung <strong>der</strong> Zustandsvariablen 4