Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Beispiel für einen kontinuierlichen Werteprozess: Aktienmodell nach Black-Scholes
„empirische Befund“ als Grundlage der Kapitalmarktheorie, siehe auch Abschnitt 1.3.2:
S
t
− S
S
∆S
=
S
t+ ∆ t t
σ
t
t
2
~ N(
µ ∆t,
∆t)
und für → 0
∆t schreiben wir
d (ln( S )) =
t
dS
S
t
t
2
d.h. die Logarithmen der Inkremente einer Aktie folgen einer Normalverteilung mit den Parametern ( µ ∆t,
σ ∆t)
:
S
T
2
= S exp( X − X ) mit ( X − X ) ~ N(
( T − t),
σ ( T − t))
t
T
t
T
t
µ für T > t
Exkurs:
Schätzung der Volatilität einer Aktie aus historischen Daten
Zeitreihe: n + 1 Preise S
i
mit
0 ≤ i ≤ n ; definieren tägliche Rendite
i
ln( Si
/ S
1)
u für 1 ≤ i ≤ n
=
i−
2
Statistik: Schätzer m und s für den Mittelwert und die Varianz
m ≡
m
∑u i
i=
1
s
2
1
≡
n −1
n
∑
i=
1
( u i
− m)
2
unverzerrter, erwartungstreuer Schätzer der Varianz
s Schätzer für σ ∆t
, ∆ t Zeitintervall zwischen Stichproben in Jahren
* s
s ≡
Schätzer für die annualisierte Standardabweichung (Volatilität) der Aktie.
∆t
30.11.2006 2.2.4 Parameterschätzung 2