Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Wir bezeichnen mit
F
t
r( T −t)
= e St
den Wert des Forward-Kontrakts zum Zeitpunkt t .
Es gilt: F
T
= ST
F = K
0
.
Diese Definition ergibt auch für F
t
mit
0 < t < T einen arbitragefreien Preis für einen handelbaren Kontrakt dieser Art
und beschreibt den Forward ( F
t)
als stochastischen Prozess bezüglich des zugrunde liegenden Werteprozesses ( t
)
Angenommen S
t
ist ein Ito-Prozess der Form
S .
dS
t
= µ S dt + σS
dW mit σ
t
t
t
µ, konstant
r(
T −t)
Die Funktion F : IR x [0, T ] → IR definiert durch F(
S,
t)
= Se ist eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, daher
r( t)
ist der Prozess ( F t
) mit F S e
T −
= ebenfalls ein Ito-Prozess und es gilt:
t
t
dF
t
∂Ft
= (
∂S
t
µ S
t
∂Ft
+
∂t
+
1
2
∂ F 2
σ S
∂
2
t
2
St
2
t
∂Ft
) dt + σStdWt
∂S
t
= ( e
r(
T −t)
µ S
t
− rS e
t
r(
T −t)
) dt + e
r(
T −t)
σS
dW
t
t
= ( µ − r)
F dt + σF dW
t
t
t
Daraus folgt, dass auch F
t
log-normalverteilt ist: mit der gleichen Volatilität σ wie S
t
, aber mit dem Drift ( µ − r)
.
30.11.2006 2.3.1 Preismodell für den Forwardkontrakt 18