Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...
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Wir bezeichnen mit<br />
F<br />
t<br />
r( T −t)<br />
= e St<br />
den Wert des Forward-Kontrakts <strong>zu</strong>m Zeitpunkt t .<br />
Es gilt: F<br />
T<br />
= ST<br />
F = K<br />
0<br />
.<br />
Diese Def<strong>in</strong>ition ergibt auch für F<br />
t<br />
mit<br />
0 < t < T e<strong>in</strong>en arbitragefreien Preis für e<strong>in</strong>en handelbaren Kontrakt dieser Art<br />
und beschreibt den Forward ( F<br />
t)<br />
als stochastischen Prozess bezüglich des <strong>zu</strong>grunde liegenden Werteprozesses ( t<br />
)<br />
Angenommen S<br />
t<br />
ist e<strong>in</strong> Ito-Prozess <strong>der</strong> Form<br />
S .<br />
dS<br />
t<br />
= µ S dt + σS<br />
dW mit σ<br />
t<br />
t<br />
t<br />
µ, konstant<br />
r(<br />
T −t)<br />
Die Funktion F : IR x [0, T ] → IR def<strong>in</strong>iert durch F(<br />
S,<br />
t)<br />
= Se ist e<strong>in</strong>e zweimal stetig differenzierbare Funktion, daher<br />
r( t)<br />
ist <strong>der</strong> Prozess ( F t<br />
) mit F S e<br />
T −<br />
= ebenfalls e<strong>in</strong> Ito-Prozess und es gilt:<br />
t<br />
t<br />
dF<br />
t<br />
∂Ft<br />
= (<br />
∂S<br />
t<br />
µ S<br />
t<br />
∂Ft<br />
+<br />
∂t<br />
+<br />
1<br />
2<br />
∂ F 2<br />
σ S<br />
∂<br />
2<br />
t<br />
2<br />
St<br />
2<br />
t<br />
∂Ft<br />
) dt + σStdWt<br />
∂S<br />
t<br />
= ( e<br />
r(<br />
T −t)<br />
µ S<br />
t<br />
− rS e<br />
t<br />
r(<br />
T −t)<br />
) dt + e<br />
r(<br />
T −t)<br />
σS<br />
dW<br />
t<br />
t<br />
= ( µ − r)<br />
F dt + σF dW<br />
t<br />
t<br />
t<br />
Daraus folgt, dass auch F<br />
t<br />
log-normalverteilt ist: mit <strong>der</strong> gleichen Volatilität σ wie S<br />
t<br />
, aber mit dem Drift ( µ − r)<br />
.<br />
30.11.2006 2.3.1 Preismodell für den Forwardkontrakt 18