Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...
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Wir betrachten das sehr einfache derivative Finanzinstrument eines Forward-Kontrakts. Definition Man sagt, dass die Vertragspartei, die sich dazu verpflichtet, den Vermögenstitel zu einem definierten Zeitpunkt um den vereinbarten Preis (Lieferpreis) zu kaufen die long position hält, während die andere Vertragspartei, die sich zum Verkauf verpflichtet, die short position innehat. Der Lieferpreis K wird so festgelegt, dass der Preis für den Abschluss des Vertrages zum Zeitpunkt t = 0 Null ergibt. Bezeichne S T den Wert des zugrunde liegenden Vermögenstitels zum Zeitpunkt der Fälligkeit, dann beträgt der Wert des Kontrakts zum Zeitpunkt T für den Vertragspartner mit der long position: Vertragspartner mit der short position: S T − K K − ST Annahmen: S zahlt innerhalb der Vertragsdauer ( 0, T ) keine Dividenden aus und es existiert ein konstanter risikoloser Zins r , d.h. ein Finanztitel B dessen Wert sich aus der kontinuierlichen Verzinsung mit Sicherheit ergibt. Dann bestimmt sich der arbitragefreie Lieferpreis K aus der Gleichung K = e rT So 30.11.2006 2.3.1 Preismodell für den Forwardkontrakt 16
Zu diesem Schluss sind wir bereits in unserem Beispiel in Abschnitt 2.1.1 gekommen: jeder andere Lieferpreis würde eine Arbitragemöglichkeit eröffnen. Wir wiederholen kurz das Argument für den Fall, dass der Lieferpreis K > wäre. Ein Arbitrageur wählt folgende Handelsstrategie in den zur Verfügung stehenden Securities: Portfolio zum Zeitpunkt t = 0 : Anteile in B : S0 Anteile in : Preis − − S0 S + S0 + S0 short position im Forward-Kontrakt 0 e rT So Portfolio zum Zeitpunkt t = T : Anteile in B : S0 − rT − S 0 e Anteile in : S + S0 + ST short position im Forward-Kontrakt K − ST Der Arbitrageur hat zum Zeitpunkt t = 0 kein Kapital eingesetzt und zum Zeitpunkt t = T folgenden Erlös aus der Handelsstrategie: − S rT rT 0 e + ST + K − ST = K −S 0e > 0 Das bedeutet, dass diese sich selbst finanzierende Handelsstrategie einen zum Zeitpunkt T risikolosen, strikt positiven Ertrag liefert und somit eine Arbitragemöglichkeit darstellt. 30.11.2006 2.3.1 Preismodell für den Forwardkontrakt 17
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Arbitrageur wählt folgende Handelsstrategie <strong>in</strong> den <strong>zu</strong>r Verfügung stehenden Securities:<br />
Portfolio <strong>zu</strong>m Zeitpunkt t = 0 : Anteile <strong>in</strong> B : S0<br />
Anteile <strong>in</strong> :<br />
Preis<br />
− − S0<br />
S + S0<br />
+ S0<br />
short position im Forward-Kontrakt 0<br />
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Portfolio <strong>zu</strong>m Zeitpunkt<br />
t = T : Anteile <strong>in</strong> B : S0<br />
−<br />
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e<br />
Anteile <strong>in</strong> :<br />
S + S0<br />
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short position im Forward-Kontrakt<br />
K − ST<br />
Der Arbitrageur hat <strong>zu</strong>m Zeitpunkt t = 0 ke<strong>in</strong> Kapital e<strong>in</strong>gesetzt und <strong>zu</strong>m Zeitpunkt t = T folgenden Erlös aus <strong>der</strong><br />
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Das bedeutet, dass diese sich selbst f<strong>in</strong>anzierende Handelsstrategie e<strong>in</strong>en <strong>zu</strong>m Zeitpunkt T risikolosen, strikt positiven<br />
Ertrag liefert und somit e<strong>in</strong>e Arbitragemöglichkeit darstellt.<br />
30.11.2006 2.3.1 Preismodell für den Forwardkontrakt 17
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