Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Wie man aus der Formel für den Zero-Bondpreis für das Vasiček-Modell sieht, ist das Vasiček-Modell selbst ein
affines Zinsmodell mit A wie in der Formel angegeben und mit
−κ
( T −t)
B = B(
t,
T ) = (1 − e ) / κ .
Für einen allgemeinen Spot-Rate-Prozess gegeben durch die SDE
dr = µ ( r , t)
dt + σ ( r , t)
dW
t
t
t
t
mit Funktionen µ ,σ : IR x [0, T ] → IR kann man zeigen, dass der Spot-Rate-Prozess r t
genau dann eine affine
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Zinsstruktur im obigen Sinn ergibt, wenn µ und σ selbst affine Funktionen in der ersten Variablen sind, d.h. sich in
der Form x , t → a(
t)
+ b(
t)
x für entsprechend reguläre Funktionen a, b in der Variablen t darstellen lassen.
Übungsaufgaben
(a) Beweisen Sie die in Anmerkung 2 angeführten Behauptungen für das Vasiček-Modell!
(b) Geben Sie die Formel für den arbitragefreien Preis eines Bonds nach dem Vasiček-Modell an! (Hinweis: Verwenden
Sie das Martingalmaß für die Brownsche Bewegung aus Abschnitt 2.2.1)
(c) Liefert das CIR-Modell eine affine Zinsstruktur?
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 14