Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...
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(3) Ausgehend vom Vasiček-Modell lassen sich e<strong>in</strong>fache stochastische Z<strong>in</strong>smodelle bilden, die e<strong>in</strong>erseits das Auftreten<br />
<strong>von</strong> negativen Z<strong>in</strong>sen (bis auf Mengen vom Maß Null) ausschließen und/o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>e bestehende Z<strong>in</strong>sstruktur auch<br />
zweckmäßiger abbilden können. Wir wollen hier nur zwei Modelle kurz anführen und verweisen bezüglich e<strong>in</strong>er<br />
ausführlichen Abhandlung auf [Duffie].<br />
Das Modell <strong>von</strong> Cox, Ingersoll und Ross für den Spotrate-Prozess r t<br />
(kurz CIR-Modell) ist durch die folgende SDE<br />
gegeben:<br />
dr<br />
t<br />
= κ ( m − r ) dt + σ<br />
t<br />
r dW<br />
t<br />
t<br />
wobei die Parameter die gleiche Bedeutung wie im Vasiček-Modell haben. Auch für diese Differenzialgleichung gibt es<br />
e<strong>in</strong>e explizite Lösung, und die Formeln für die Bondpreise lassen sich <strong>in</strong> analytischer Form angeben. Im Gegensatz<br />
<strong>zu</strong>m Vasiček-Modell liefert das CIR-Modell jedoch für alle Parameter κ , m > 0 und σ ≥ 0 positive Werte für die Yield<br />
to Maturity und die Forward-Rates.<br />
E<strong>in</strong>e weitere Klasse <strong>von</strong> Z<strong>in</strong>smodellen wird durch die sogenannten „aff<strong>in</strong>en Z<strong>in</strong>sstrukturen“ beschrieben, bei denen<br />
sich die Zero-Bondpreise <strong>in</strong> <strong>der</strong> Form<br />
P t,<br />
T ) = exp( A(<br />
t,<br />
T ) − B(<br />
t,<br />
T ) r )<br />
(<br />
t<br />
mit determ<strong>in</strong>istischen Funktionen A und B und e<strong>in</strong>em Spot-Rate-Prozess r t<br />
darstellen lassen.<br />
30.11.2006 2.2.3 Z<strong>in</strong>smodellierung 13