Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...
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Eigenschaften des Vasiček-Modells<br />
E[<br />
r ] = r e<br />
t<br />
0<br />
−κt<br />
+ m(1<br />
− e<br />
−κt<br />
2<br />
σ<br />
−2κt<br />
Var(<br />
rt<br />
) = (1 − e )<br />
2κ<br />
2<br />
σ<br />
−2κt<br />
−κh<br />
Cov(<br />
rt<br />
, rt<br />
+ h<br />
) = (1 − e ) e<br />
2κ<br />
−κ<br />
(<br />
1−<br />
e<br />
P(<br />
t,<br />
T ) = exp( A(<br />
t,<br />
T ) −<br />
κ<br />
Anmerkungen<br />
)<br />
1−<br />
e<br />
2<br />
T −t)<br />
r )<br />
t<br />
−2κ<br />
( T −t)<br />
2<br />
2<br />
−κ<br />
( T −t)<br />
2<br />
σ σ<br />
σ<br />
mit A( t,<br />
T ) =<br />
− ( m − )( T − t)<br />
+ ( m + )<br />
2<br />
2<br />
2<br />
κ κ κ<br />
κ κ<br />
2<br />
2<br />
(1) Aus <strong>der</strong> Formel für den Erwartungswert folgt, dass dieser für t → ∞ gegen den mittleren Z<strong>in</strong>s m strebt und die<br />
2<br />
Varianz gegen die Größe σ / 2κ<br />
. Die Formel für die Kovarianz zeigt, dass die Inkremente <strong>der</strong> Spot-Rates nicht<br />
unabhängig s<strong>in</strong>d, jedoch für h → ∞ die Verteilungen r t<br />
und r<br />
t + h<br />
nicht mehr korreliert s<strong>in</strong>d.<br />
(2) Da für den Zero-Bond-Preis e<strong>in</strong>e analytische Formel vorliegt, lassen sich die Yield to Maturity und die Forward-Rates<br />
unmittelbar berechnen. Man kann Folgendes zeigen:<br />
2<br />
σ<br />
y0,<br />
T<br />
→ m − < m für T → ∞<br />
2<br />
2κ<br />
2<br />
σ<br />
−κT<br />
2<br />
f (0, T ) = E[<br />
rT<br />
] − (1 − e ) < E[<br />
r ]<br />
2<br />
T<br />
2κ<br />
2<br />
σ<br />
und f (0; T ) → m − für T → ∞<br />
2<br />
2κ<br />
2<br />
Daraus folgt, dass für 2m < σ<br />
2 / κ negative Forward-Rates auftreten. Diese wie<strong>der</strong>um bedeutet, dass bei<br />
entsprechen<strong>der</strong> Parameterkonstellation <strong>der</strong> Spotrate-Prozess r t<br />
nach dem Vasiček-Modell <strong>zu</strong> oft negative Werte<br />
annimmt, was aus ökonomischer Sicht ke<strong>in</strong>en S<strong>in</strong>n ergibt bzw. empirisch nicht haltbar sche<strong>in</strong>t.<br />
30.11.2006 2.2.3 Z<strong>in</strong>smodellierung 12<br />
1−<br />
e