Blatt zu Übung 3
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Übung 3 zu Mathematische Methoden III, SS-07 Christof Gattringer, Andreas Trügler, Robert Wagenbrunn, Markus Wenin Aufgabe 3.1 Gegeben ist das Vektorfeld ⃗F(x,y,z) = Berechnen Sie das Wegintegral wobei die Kurve C gegeben ist durch ∫ C ⎛ ⎜ ⎝ 3x 2 + 6y −14xy 20xz 3 ⎞ ⎟ ⎠ . (1) d⃗r · ⃗F , (2) 1. ⃗r(t) = ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ t t 2 ⎟ t 3 ⎠ , t ∈ [0,t] , (3) 2. eine Gerade von (0,0,0) nach (1,1,1), 3. drei aufeinanderfolgende gerade Stücke (0,0,0) → (1,0,0), (1,0,0) → (1,1,0) und (1,1,0) → (1,1,1). Aufgabe 3.2 Gegeben ist das (2-dimensionale) Vektorfeld ⃗F(x,y) = ( ) 3xy −y 2 . (4) Berechnen Sie das Wegintegral ∫ C d⃗r · ⃗F (5) für die Kurve C die durch den Zusammenhang y = x 2 gegeben ist. 1
- Seite 2: Aufgabe 3.3 Eine Fläche sei durch
<strong>Übung</strong> 3 <strong>zu</strong> Mathematische Methoden III, SS-07<br />
Christof Gattringer, Andreas Trügler, Robert Wagenbrunn,<br />
Markus Wenin<br />
Aufgabe 3.1<br />
Gegeben ist das Vektorfeld<br />
⃗F(x,y,z) =<br />
Berechnen Sie das Wegintegral<br />
wobei die Kurve C gegeben ist durch<br />
∫<br />
C<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
3x 2 + 6y<br />
−14xy<br />
20xz 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ . (1)<br />
d⃗r · ⃗F , (2)<br />
1.<br />
⃗r(t) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
t<br />
t 2 ⎟<br />
t 3<br />
⎠ , t ∈ [0,t] , (3)<br />
2. eine Gerade von (0,0,0) nach (1,1,1),<br />
3. drei aufeinanderfolgende gerade Stücke (0,0,0) → (1,0,0),<br />
(1,0,0) → (1,1,0) und (1,1,0) → (1,1,1).<br />
Aufgabe 3.2<br />
Gegeben ist das (2-dimensionale) Vektorfeld<br />
⃗F(x,y) =<br />
( )<br />
3xy<br />
−y 2<br />
. (4)<br />
Berechnen Sie das Wegintegral<br />
∫<br />
C<br />
d⃗r · ⃗F (5)<br />
für die Kurve C die durch den Zusammenhang y = x 2 gegeben ist.<br />
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Aufgabe 3.3<br />
Eine Fläche sei durch den Zusammenhang<br />
x 2 + y 2 − z = 0 , (6)<br />
gegeben. Bestimmen Sie die Flächennormale ⃗n im Punkt (1,1,2) und geben<br />
Sie eine Parameterdarstellung ⃗r(u,v) der Tangentialebene in diesem Punkt<br />
an.<br />
Aufgabe 3.4<br />
Berechnen Sie den Gradienten ⃗ ∇Φ für die Felder<br />
Φ(⃗r) = ln(|⃗r|) und Φ(⃗r) = 1<br />
|⃗r| . (7)<br />
Aufgabe 3.5<br />
Gegeben ist das Vektorfeld<br />
⃗F(x,y,z) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
z<br />
⎟<br />
x ⎠ . (8)<br />
−3y 2<br />
Berechnen Sie das Oberflächenintegral<br />
∫∫<br />
dA ⃗ · ⃗F , (9)<br />
B<br />
wobei die Fläche B der Teil des Mantels eines Zylinders (Achse = z-Achse,<br />
Radius R = 4) ist, der im Bereich z ∈ [0,5],ϕ ∈ [0,π/2] liegt.<br />
Aufgabe 3.6<br />
Gegeben ist das skalare Feld<br />
Φ(⃗r) = 7xyz , (10)<br />
Berechnen Sie das Oberflächenintegral<br />
∫∫<br />
dA ⃗ Φ , (11)<br />
B<br />
wobei die Fläche B wieder durch den Teil des Zylindermantels aus dem<br />
letzten Beispiel gegeben ist.<br />
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