Ionen in einer linearen Paulfalle - ArchiMeD

16 Kapitel 3. Die Paulfalle
0,6
0,4
0,2
x-stabil
y-stabil
a
0,0
stabil
-0,2
-0,4
y-stabil
x-stabil
-0,6
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
q
Abbildung 3.3. Stabilittsdiagramm der linearen Paulfalle. Aufgetragen sind die Parameter
a und q, wobei a die Gleich- und q die Wechselspannungsamlptiude reprsentiert.
Innerhalb des Bereichs, wo sich x- und y-stabile Bereiche berlappen,
kann stabil gespeichert werden. Fr ein bestimmtes Ion, d.h. ein
gegebenes q/m-Verhltnis, kann man mittels der Speicherspannungen einen
Arbeitspunkt innerhalb des stabilen Bereichs selektieren.
so kann man die Gleichungen in die Form einer Mathieuschen Differentialgleichung bringen:
d 2 x
dτ + (a x + 2q x · cos 2τ) · x = 0 (3.9)
d 2 y
dτ + (a y + 2q y · cos 2τ) · y = 0. (3.10)
Aufgrund der Rotationssymmetrie um die Fallenachse sind die beiden Gleichungen fr x und y
identisch. Fr die Mathieu-Gleichung existiert eine analytische Lsung in Form einer Reihe:
u(τ) = A · e iβτ
+∞
∑
k=−∞
c 2k e 2ikτ + B · e −iβτ
+∞
∑
k=−∞
c 2k e −2ikτ , (3.11)
wobei β der charakteristische Exponent ist, der nur von den Parametern a und q abhngt. A und
B sind Konstanten, die von den Anfangsbedingungen wie Ort und Geschwindigkeit des Ions
abhngen. Eine stabile Lsung, d.h. eine Lsung mit beschrnkter Amplitude, existiert nur fr ein
reelles, nicht ganzzahliges β. Mit dieser Bedingung kann man ein Stabilittsdiagramm erstellen.
Es ergeben sich stabile Bereiche fr x und y, eine stabile Speicherung ist in den Bereichen
mglich, wo sich x- und y-stabile Bereiche berlappen. Fr die lineare Falle ist das Stabilittsdiagramm
im Gegensatz zur hyperbolischen Falle symmetrisch zur a-Achse. Fr ein gegebenes q m
kann durch geeignete Wahl der Werte fr die Speicherspannung und Speicherfeldfrequenz Ω ein
Arbeitspunkt innerhalb des stabilen Bereichs eingestellt werden. Die Lsung der Bewegungsgleichung
ist eine periodische Bewegung, in obiger Form aber nicht sehr anschaulich. Fr kleine
a- und q-Werte, d.h. fr |a| ≪ 1 und q ≪ 1 gilt die sogenannte adiabatische Nherung. Innerhalb
dieser Nherung kann man die Bewegung in einen langsamen Anteil l(t) und einen schnellen s(t)
zerlegen. u(t) = s(t) + l(t) Gemittelt ber eine Periode des Speicherfelds kann die Lsung dann
geschrieben werden als:
u(t) =
(1 + √ 2 ω )
Ω cos Ωt ¯r 0 cos(ωt + γ) (3.12)
Diese Lsung kann anschaulich verstanden werden, nmlich als eine amplitudenmodulierte sinusfrmige
Schwingung. Die langsame Schwingung ist die sogenannte Makrobewegung mit der