Ionen in einer linearen Paulfalle - ArchiMeD
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16 Kapitel 3. Die <strong>Paulfalle</strong><br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
x-stabil<br />
y-stabil<br />
a<br />
0,0<br />
stabil<br />
-0,2<br />
-0,4<br />
y-stabil<br />
x-stabil<br />
-0,6<br />
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4<br />
q<br />
Abbildung 3.3. Stabilittsdiagramm der l<strong>in</strong>earen <strong>Paulfalle</strong>. Aufgetragen s<strong>in</strong>d die Parameter<br />
a und q, wobei a die Gleich- und q die Wechselspannungsamlptiude reprsentiert.<br />
Innerhalb des Bereichs, wo sich x- und y-stabile Bereiche berlappen,<br />
kann stabil gespeichert werden. Fr e<strong>in</strong> bestimmtes Ion, d.h. e<strong>in</strong><br />
gegebenes q/m-Verhltnis, kann man mittels der Speicherspannungen e<strong>in</strong>en<br />
Arbeitspunkt <strong>in</strong>nerhalb des stabilen Bereichs selektieren.<br />
so kann man die Gleichungen <strong>in</strong> die Form e<strong>in</strong>er Mathieuschen Differentialgleichung br<strong>in</strong>gen:<br />
d 2 x<br />
dτ + (a x + 2q x · cos 2τ) · x = 0 (3.9)<br />
d 2 y<br />
dτ + (a y + 2q y · cos 2τ) · y = 0. (3.10)<br />
Aufgrund der Rotationssymmetrie um die Fallenachse s<strong>in</strong>d die beiden Gleichungen fr x und y<br />
identisch. Fr die Mathieu-Gleichung existiert e<strong>in</strong>e analytische Lsung <strong>in</strong> Form e<strong>in</strong>er Reihe:<br />
u(τ) = A · e iβτ<br />
+∞<br />
∑<br />
k=−∞<br />
c 2k e 2ikτ + B · e −iβτ<br />
+∞<br />
∑<br />
k=−∞<br />
c 2k e −2ikτ , (3.11)<br />
wobei β der charakteristische Exponent ist, der nur von den Parametern a und q abhngt. A und<br />
B s<strong>in</strong>d Konstanten, die von den Anfangsbed<strong>in</strong>gungen wie Ort und Geschw<strong>in</strong>digkeit des Ions<br />
abhngen. E<strong>in</strong>e stabile Lsung, d.h. e<strong>in</strong>e Lsung mit beschrnkter Amplitude, existiert nur fr e<strong>in</strong><br />
reelles, nicht ganzzahliges β. Mit dieser Bed<strong>in</strong>gung kann man e<strong>in</strong> Stabilittsdiagramm erstellen.<br />
Es ergeben sich stabile Bereiche fr x und y, e<strong>in</strong>e stabile Speicherung ist <strong>in</strong> den Bereichen<br />
mglich, wo sich x- und y-stabile Bereiche berlappen. Fr die l<strong>in</strong>eare Falle ist das Stabilittsdiagramm<br />
im Gegensatz zur hyperbolischen Falle symmetrisch zur a-Achse. Fr e<strong>in</strong> gegebenes q m<br />
kann durch geeignete Wahl der Werte fr die Speicherspannung und Speicherfeldfrequenz Ω e<strong>in</strong><br />
Arbeitspunkt <strong>in</strong>nerhalb des stabilen Bereichs e<strong>in</strong>gestellt werden. Die Lsung der Bewegungsgleichung<br />
ist e<strong>in</strong>e periodische Bewegung, <strong>in</strong> obiger Form aber nicht sehr anschaulich. Fr kle<strong>in</strong>e<br />
a- und q-Werte, d.h. fr |a| ≪ 1 und q ≪ 1 gilt die sogenannte adiabatische Nherung. Innerhalb<br />
dieser Nherung kann man die Bewegung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en langsamen Anteil l(t) und e<strong>in</strong>en schnellen s(t)<br />
zerlegen. u(t) = s(t) + l(t) Gemittelt ber e<strong>in</strong>e Periode des Speicherfelds kann die Lsung dann<br />
geschrieben werden als:<br />
u(t) =<br />
(1 + √ 2 ω )<br />
Ω cos Ωt ¯r 0 cos(ωt + γ) (3.12)<br />
Diese Lsung kann anschaulich verstanden werden, nmlich als e<strong>in</strong>e amplitudenmodulierte s<strong>in</strong>usfrmige<br />
Schw<strong>in</strong>gung. Die langsame Schw<strong>in</strong>gung ist die sogenannte Makrobewegung mit der