¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Statistische ... - komet 337

Aufgabe 12. Carnot-Prozess mit einem realen Gas (7 Punkte)
Wir nehmen wiederum an, dass das reale Gas die Van-der-Waals’sche Zustandsgleichung erfüllt,
) (P + a N2
V 2 (V − Nb) = Nk B T ,
und sich stets auch tatsächlich in der Gasphase befindet. Die Teilchenzahl N wird im Folgenden
festgehalten, so dass die innere Energie U und der Druck P bei festem N als Funktionen der
zwei Veränderlichen T und V aufgefasst werden können.
(a) Zeigen Sie allgemein: ( ∂U
∂V
)
T = T ( ∂P
∂T
)
V − P.
Wir definieren die spezifische Wärme C V als C V ≡ ( )
∂U
∂T V .
(b) Zeigen Sie, dass für das Van-der-Waals-Gas gilt:
1. C V (V,T) = C V (T)
2. U(V,T) − U(V 0 ,T 0 ) = aN 2 (
1
V 0
− 1 V
)
+ ∫ T
T 0
dT ′ C V (T ′ ) .
Das Van-der-Waals-Gas wird nun als Arbeitssubstanz in einem Carnot-Prozess verwendet. Der
Carnot-Prozess enthält die üblichen Arbeitsschritte:
1. isotherme Expansion von (T + ,V 1 ) zu (T + ,V 2 ),
2. adiabatische Expansion von (T + ,V 2 ) zu (T − ,V 3 ),
3. isotherme Kompression von (T − ,V 3 ) zu (T − ,V 4 ) und
4. adiabatische Kompression von (T − ,V 4 ) zu (T + ,V 1 ) .
(c) Bestimmen Sie die Effizienz dieser Carnot-Maschine durch eine konkrete Berechnung der
absorbierten Wärme und der geleisteten Arbeit, und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem
bekannten Ergebnis für den Prozess mit einem klassischen idealen Gas als Arbeitssubstanz.